平面向量的概念及线性运算（4大考点+6大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

5.1平面向量的概念及线性运算

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、向量的有关概念................................................................3

二、向量的线性运算................................................................3

三、平面向量基本定理和性质........................................................4

四、平面向量的坐标表示及坐标运算.................................................4

常用二级结论......................................................................5

03探究核心题型....................................................................6

题型一：平面向量的基本概念........................................................6

题型二：平面向■的线性运算........................................................8

题型三：三点共线定理及鸡爪定理...................................................10

题型四：平面向量基本定理.........................................................12

题型五：坐标运算.................................................................16

题型六：坐标表示.................................................................17

04好题赏析（一题多解）..........................................................21

05数学思想方法...................................................................25

①数形结合.......................................................................25

②转化与化归.....................................................................27

③分类讨论.......................................................................29

06课时精练（真题、模拟题）......................................................31

基础过关篇.......................................................................31

能力拓展篇.......................................................................36

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01课标要求

（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

（3）了解平面向量基本定理及其意义

（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

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02落实主干知识

一、向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量刀的大小，也就是向量而的长度，记作|刀

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二、向■的线性运算

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

.

•-»/......―一

求两个向量和的••①交换律a+b-b+a

加法

运算・■②结合律+b)+c=a+(b+c)

三角形法则平行四边形法则

求〃与力的相反•'.6

向量-6的和的运

减法Z------------a-h=a+(-b)

算，叫做。与ba

的差三角形法则

（1）|A«|=|>1||«|九，NwR

求实数2与向量（2）当%>0时，而与〃的方向相

数乘

。的积的运算同；当％<0时，而与“的方向相(A+p)a=Aa++/a

反：当％=0时，=6A(a+6)=

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三、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果G=2B(/lwR),则,/区；反之，如果且则一定存在唯一的实数义，使方=花.(口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘).

2、平面向量基本定理

加果I和[是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量G,都存在唯一的一对

实数4,4,使得G=+4可，我们把不共线向量I，•叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记

为｛0勺｝,4,+^2e2叫做向量后关于基底｛弓刍｝的分解式.

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取巧X轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量7J作为基底，那么由平面

向量基本定理可知，对于平面内的一个向量5,有且只有一对实数x,y使2=行+行，我们把有序实数对

(x,y)叫做向量力的坐标，记作a=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)、机八向量为、""、点A(xty).

(3)设2=(再,乂)，b=(x2,y2),则。+B=(x1十%/+人)，a-7)=(xl-x2,-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若。=(x,y),尤为实数，则加=(/U,2j，)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相

应坐标.

(4)设4(演,必),5a2,%)，则刀=(演-4，乂-乃)，即一个向量的坐标等于该向量的有

向线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

①已知点力(演，必)，8区，力)，则力8=。2—芭，为一乂"I1=^(x2~xS-^-(y2-yS

②已知4=(须,乂)，b=(x2,>2)»则5±B=(±±占，必土必)，Aa=(Axl9Zyi),

Q•5=4马+必必，|昨&+y：.

a//bxyy2-x2yt=0,G1B<=>x]x2+y｝y2=0

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常用二级结论

(1)向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多

边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.

即44+44+…+4-4=44•

(2)\\a\-\b||<|a±b\<(a\+\b\,当且仅当a,b至少有一个为。时,向量不等式的等号成立.

(3)特别地：||4|一|"国a±b|或|a±6国a|+|b|当且仅当仅,6至少有一个为0时或者两向量共线时，向

量不等式的等号成立.

(4)减法公式：~AB-~AC=CB,常用于向量式的化简.

(5)力、P、4三点共线，则丽=。-勾而+/1砺(/UH),这是直线的向量式方程.

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03探究核心题型

题型一：平面向■的基本概念

【典例14】下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.同=恸是向量£=右的必要不充分条件

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，

所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题；

选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，

两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题：

选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0,故C为真命题；

选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题；

故选：D

【典例1-2】下列说法中，正确的是（）

A.模为0的向量与任意向量共线

B.单位向量只有一个

C.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

D.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

【答案】A

【解析】对A,模为0的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确；

对B,单位向量的模为1,但方向为任意方向，故B错误；

对C,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误；

对D,它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误.

故选：A.

【解题总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

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【变式1-1］下列说法中正确的是（）

A.时间能称为向量B.所有单位向量都是相等向量

C.模为0的向量与任一非零向量平行D.若同=W，则不

【答案】C

【解析】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误；

所有单位向量的模都为1，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误；

模为。的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确：

相等向量要求大小和方向都相同，故D错误.

故选：C.

【变式1・2］关于平面向量，下列正确的是（）

A.若£是单位向量，。零向量，则同=问=0

B.若向量£与坂不共线，则存在一对实数XJ,使"=0+卯

C.海拔、制度、角度都是向量

D.若茄=元，则四边形45co是菱形

【答案】B

【解析】对于A,因£是单位向量，0零向量，则同=1，忖=0,故A错误；

对于B,因向量［与B不共线，则£与3可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：

存在一对实数x,y,使工=6+仍，故B正确；

对于C,向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；

对于D,因亦二而，则力。=4。，ADHBC,则四边形力86是平行四边形，条件不足，无法判断是否

是菱形，故D错误.

故选：B.

【变式1・3】以下说法中，正确的是（）

A.两个具有公共终点的向量一定是共线向量

B.零向量的长度为0,没有方向

C.单位向量都是共线向量

D.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

【答案】D

【解析】对于A,如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故人错＜

对于B,零向量的长度（大小）为0,方向是任意的，B错，

对于C,单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错；

对于D,向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，

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而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确;

故选：D.

题型二：平面向■的线性运算

【典例2・1】四面体0/8。中，OA=a，0B=b>0C=c>且丽=29，苑=区，则①等于（）

【答案】B

【解析】因为丽=2万，BQ=QC.

・—212I/・一,・■・・、1-•1

所以0尸=]04=+卜/+产，

故选：B.

IXULUl1UUL1

【典例2-2】在V/18C中，点。在边力〃上，BD=3DA.记〃?则而=()

一一IX±u1LI1

A.4〃?一3〃B--3m+4/?C.4〃?+3〃D.3机+4〃

【答案】B

L£ULU11UUL1

【解析】如图，作出符合题意的图形，且〃?=C4〃=CQ,

贝lj丽+方=5+4而=爹+4（就+而）=B+4就+4而

=-3C3+4CD=-3w+4>b故B正确.

故选：B

【解题总结】

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（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型''公式更有利于快速解题.

（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或

首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似

三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

【变式2・1】（2025•高三•安徽•开学考试）如图，5x5的方格里，每个方格长度为1,则向量万一6=

【答案】B

【解析】如图所示，=而-而=9+砺=而=-1+3《.

UL1LOUULUULUL

【变式2・2】OM-PM-OP=（）

_____ULU-

A.2MOB.2PoC.2MpD.0

【答案】D

il।uuumuuuuuuuUUULUUUUUUUUUI

【解析】由OM——=

故选:D

【变式2・3】在边长为1的正方形"CO中，若湘=G,阮=&,祀=[,则k-在+小（）

A.0B.1C.2D.2>/2

【答案】C

【解析】忖-3+曰二|而一元+就卜河+元+函卜快+加卜淞卜2.

故选：C

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题型三：三点共线定理及鸡爪定理

【典例3-1】己知是不共线的向量，OA=Aa+^b,OB=2a-b,OC=a-2b,4'C三点共线，则口,以

满足()

A.义=〃-3B.4=4+3C.义=4+2D.A=/z-2

【答案】B

【解析】因为方=加+〃尻砺二2々一万，玩二/一25,

UUUUUULLAA1p1____

所以力4=。4-。4=(2—2)“一(1+〃)6,BC=OC-OB=-a-b，

2-A=­/

若4B,C三点共线，则荏//前，则存在实数f,使得在=/圮，所以।.，

即(2—4)=—(1+〃)，化简得2=〃+3,

故选：B.

【典例3・2】已知不，可是平面内的一组基底，而=44+34，砺=2不+怩，OC=5^-3e,,若力，B,

C三点共线，则实数左的值为()

A.9B.13C.15D.18

【答案】C

【解析】因为万5=44+3号，砺=2玛+隹，反=5耳一3可，

所以而=砺_厉=(2召+修卜(他+3%)=-24+(%—3)无，

AC=OC-OA=(5ei-3e2)-(4ei+3e2)=el-6e2,

又因为力，B,。三点共线，

所以存在实数尤，使得刀=义祀，

即—2昌+(攵-3)&二2(4一6司)，

因为不，当是平面内的一组基底,

2=-2

所以由平面向最基本定理可得：

-62二"3

2=-2

解得

左=15,

故选：C.

【解题总结】

要证明人B,。三点共线，只需证明刀与环共线，即证方=2就(Ze/?).若已知4,B,C三

点共线，则必有1耳与团共线，从而存在比数％,使得15=4册.

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【变式3・1】e,,e?是平面内不共线两向量，已知=q-〃6，^C=4e,+e2,若4,B,。三点共线，

则A的值为（）

A.—B.-yC.-4D.4

44

【答案】A

【解析】由力，B,C三点共线，得刀//前，又AB=e「k%,BC=4e1+e2,e],弓不共线，

则;==，所以4=一）.

故选：A

【变式3・2】外电是平面内不共线两向量，已知力8=9+〃牲，C8=3q+46，CO=4q+q,若4B,D

三点共线，则上的值为（）

A.3B.-3C.-2D.2

【答案】B

【脩析】由C8=3q+4s，CO=4q+s，得=C。-C6=q-3刍，

由力，B,。三点共线，得刘//丽,又/吕M+3，4勺不共线，

1k

则：=々，所以左=一3.

1—3

故选：B

【变式3・3】已知翔='+5心BC=-2a+Sb，CD=3a-3b（，和万不共线），则三点共线（）

A.4B、DB.4、8、CC.B、C、DD.4C、D

【答案】A

【解析】Bb=BC+CD=a+5b=AB^所以刘，丽共线，

即从B、。三点共线，故A正确：

•.•砺=1+5坂，BC=-2a+Sb»1x8-5x（—2）=18w0,.•.48、C不共线，故B错误：

•.•前=一23+8右，诙=35一3九-2X（-3）-8X3=-18*0,B、C、。不共线，故C错误：

•.•祝=赤+册=工+]3B，CD=3a-3b>-lx（-3）-13x3=-36^O,

/.AC、。不共线，故D错误；

故选：A

【变式34]如图，在△48C中，点O是8C的中点，过点O的直线分别交直线48,4C于不同的两点M,

___28

N,若AB=mAM,AC=nAN,m>0,n>0,贝!I—十—的最小值为（）

mn

11/42

A

A.2B.9C.10D.

【答案】B

【解析】因为。是BC的中点，所以而=；(前+元).

因为方"而，刀=〃俞，所以疝5=g(〃?而+〃丽).

由于O,",N三点共线，所以言可以表示为赤，前的线性组合，

即方=%屈+(1-〃)屈,4wR.

所以‘机+,〃=1,即ni+n=2.

22

八八…281.、(281,4mn,,4m

因为〃?>0,”>0,所以一十—=-(〃?+〃)—+-=1+——+—+4=5+——

mn2\mn)nmn

当且仅当2•=%时，即〃=2〃?时等号成立.

tnn

24

由于根+〃=2,所以解得m=：,〃=；,此时最小值为9.

33

故选:B.

题型四：平面向量基本定理

【典例4-1】在平行四边形力AC。中，E是力。的中点，点P在线段4。上.若而=/l方+〃而，贝lj

2+〃=()

A.yB.C.；D.—\_

3

【答案】B

【解析】i&PD=mBD(0<m<l),所以

PE=PD+DE=mBD--^AD=m[AD-AB卜，万=-mAB+卜一万

12/42

则/=一/〃，LI=m—,故4+〃=_〃？+〃？—=—;

222

故选：B

【典例4-2】在V48。中，点。在边8C上，且2诙=3方C，则（）

——2—3————3—2—

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

5555

C.TD=-AB+-ACD.JD=-JB+加

3333

【答案】A

—3——

【解析】因为280=3。。，所以3O=g8C.

因为布=刀+而，而肥二衣—刀，

所以丽=（国一码.

代入而=静+而可得：

7b=^+|(JC-^S)=|Z&+|JC

故选：A

【解题总结】

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或

数乘运算，基本方法有两种：

（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.

（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

（3）三点共线定理：A,B,尸三点共线的充要条件是：存在实数，使丽=/1况+〃砺，其中

%+〃=1,。为48外一点.

【变式4・1】（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在V48C中，瓦。=2流,N为线段/A/上一点，且

病=（1-幻刘+（就，则实数7的值为（）

AC

13/42

3

A.-Bc・iD,7

4-I

【答案】D

_________2—

【解析】因8M=2MC，则

___—2—2—―2——.1__1?—2•

故4“=48+8M=/18+彳8。=/8+5（力。一力8）=548+54。，

因/,N,M三点共线，故设而？=/布7，则/N=+,

因丽=（1一/1）益+［配，则＜%2；"g

—=---

33

故选：D.

【变式4-2］（2025-甘肃定西-模拟预测）已知在梯形力8CQ中,AB=2DC=3AE，BC=2BF记

刀=而，~AD=n^\~EF=（）

5一1一

A.-m+-nB.—m+—n

32122

5一2一

C.-/«+-«D.—m+-n

34123

【答案】B

【解析】因为而=抗，~AD=ri»AB=2DC.

1

^l：XRC=7C-7B=^4D+DC-AB=-BA+^D=--ni4.n,

22

因为刀=3左，~BC=2BF»

-2一1―•11

所以=—而，BF=-BC=--m+-n,

3242

所以市=而+前=上市+!日.

122

故选：B.

【变式4-3］如图，在V/A右中，PC=2BP,过点尸的直线分另」交直线.45,4。于不同的两点"，N.设

AB=mAM,AC=nAN,贝+〃的值为（）

A.1B.2C.3D.4

14/42

【答案】c

[1O1

【解析】方=筋+即=布+_前=方+_（%_同=_方+_就,

33、733

因为44=〃〃A/,AC-nAN,所以NA=+g4N,

又M,P,N三点共线，所以g+g=l,即2〃?+〃=3.

故选：C

【变式4-4]如图，在平行四边形48C。中，CE=DE,所和，4C相交于点G,且方为4G上一点（不包

括端点），若旃二屈+汨，呜+；的最小值为（）

c.(4D.-+V6

2

【解析】由题意，设Z=x屁,xw（0,l）,

则而=x（苑+q）=.》瑟+£丽=x^?+三函,

22

因为4G,C三点共线，

x2

所以x+1=I,即1=彳，

__2-

所以8G=严,

所以游=2尿+〃而=芸而+海，

又£4G三点共线，

所以彳+〃=1,

…11/3/1、/1、5341l、5J3-p

所以万+丁(5+"“V=2卷％、屈为E

当且仅当即人字’〃=6-2时等号成立'

故的最小值为1+疝

15/42

故选：B.

题型五：坐标运算

【典例5・1】已知向量1=(-1,2),1=(5/)，则B+B卜—.

【答案】5

【解析】由题意可得：5+刃=(4,3),

所以归+可="2+32=5.

故答案为：5.

【解题总结】

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

【典例5・2】已知点。(0,0),向量8=(1,3),历=(-3,5),点P满足万=2而，则点P的坐标为.

【答案】事)

【解析】因为点。(0,0),向量近=(1,3),05=(-3,5),

所以4(1,3),5(-3,5),

设P(xj)，则丽=(x,y)—(l,3)=(x—l,y—3),

方=(-3,5)-(x,y)=(-3-x,5-y),

__5

x-l=2(-3-x)x=y/513\

因为万=2而，所以a工A解得「，所以2-不丁

[y-3=2(5-y)1313

)一3

故答案为:卜(5同13、

【变式5・1】(2025•高三•黑龙江哈尔滨•期中)如图，点4B,C,P均在正方形网格的格点上.若

则％+2〃=

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【答案】：3/0.5

2

【解析】以力为原点，刀为工轴的正方向建立平面直角坐标系，如图,

不妨设小正方形的边长为1,则力(0,0),8(-2,2),C(4,0),网1,1),

所以,j5=(-2,2),JC=(4,0),7P=(l,l),

则有(1,1)=4(一2,2)+〃(4,0)=(—24+4〃,2/1),

所以―A24+,4y//=1,解得人"=]/

2Z=I2

113

所以4+2〃=-+2x-=

222

故答案为：43

2

题型六：坐标表示

【典例6・1】已知V4O4,点P在直线48上，且满足而=2/苏+/砺(/eR),则

【答案】^/0.5

2

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，

代人坐标即得(〃一生-方)=2/(-〃,0)+/(〃?一。,一分),

17/42

解法2：向量转化法

而=2/@-研+/丽=(1+2/府=2两+廊,

由HP,8三点共线,得l+2f=2f+f,则f=l,

从而3而=2而+砺=2而+2苏+丽+丽，

I3_i

即0=2万+而，所以

网一5

【典例6-2】已知向量q=(-1,2),e.=(2,1),若向量+%色，则使442Vo成立的万可能是

(填序号)①(i,o)；@(o,i)；@(-i,o);@(O,-1).

【答案】①③

【解析】因为[=(—1,2),^=(2,1),

所以向量万=44+4向=(-4,241+(244)=(24-4,24+4).

/、[2/U-/L=1=-5

当万=(1,0)时，-7八=」=44<0,满足题意；

ZX)+&=()_2

一一M

=2

/\(24-4=0-5

当G=(0,l)时，\:=>44>(),不满足题意；

124+4=1工_1

r-5

当3=(-1,0)时，n5=44<0,满足题意；

24+4=U12

/、2Z,—A.=0'5

当，=(0,-1)时，「?尸：=44>o,不满足题意.

2X,+4=—1.1

故答案为：①③

【解题总结】

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，=(人必)，b=(x2,y2),则不〃方的充要条件是

x}y2-x2yi=0;②若。〃B(BwO),则万=花.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，

也可以利用坐标对应成比例来求解.

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【变式6・1】已知。为正方形48CO内一点，且满足万5+2沅=3方+4丽，则S"8：SA8“=—.

【答案】1：3

【解析】解法I：坐标法

建立平面直角坐标系，如图，设正方形边长为1,O(x,y),4(0,0),8(1,0),c(l,l),0(0,1).

由方+2反=3砺+4而得：

(-x,-y)+2(1-x,1-^)=3(1-x,-))+4,

解行X=w，＞,=~»所以&4OD：S&8OC_1：3.

故答案为：1：3.

解法2：由况+2方=3砺+4而，

^OA-OB+2OC-2OB=4OD^^BA+2BC=4OD-

如图，延长8c至点尸，使BC=CF,延长力。至点E,使力。=。£,过点。作O“，力。交/I。于点

易知瓦3+痂=诟=4而，BEHOD,△ABEFHOD,不妨假设48=1,

易得()“=!，所以$次：&叱=1：3.

故答案为：1:3.

【变式6・2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点43』)，4(T，3),若点。满足

灰=4方+4砺，其中4,4wR且4+&=1,则点C的轨迹是—.

【答案】直线48

【解析】方法1：因为4+&=1,OC=^OA+^OB,

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所以方=4方+(1-4癖^>OC-OB^\［OA-OB^BC=ZBA.

所以46。三点共线.

所以点。的轨迹是直线48.

方法2：设C(xj)，因为反=4厉+%砺，

工=34-410

所以•

y=4+

10

因为4+4=1，所以写上一三萨=1，化简得：x+2y-5=0.

又直线45的方程为：吴二三,化简得：x+2y-5=0.

所以点C的轨迹是直线48.

故答案为：直线48

【变式6・3】在VH6C中，。是6c边上靠近6的一个三等分点，若充与2方+亚历平行，则实数

〃?=.

【答案】4

【解析】根据题意可得皮=-2而，

所以2或+mDB=2DC+2CA+mDB=2CA+(m-4)75B,

由就与2刀+〃?而平行可得工=义［29+(6-4)而］工0,

即(1+2与衣=火加一4)无，又就，历不共线，

[1+24=0A=--

所以•-0,解得2

m=4

故答案为：4

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1.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的

头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现

代哲学中的矛盾对立统•规律.而图是由八卦模型图抽象出来的正八边形48CQQG”,其中心为。，若

OG^xOH+vOF,则x+y=()

3D.在

A.五B.—C.2

22

【答案】A

【解析】解：以OE,0G所在直线分别为x,歹轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

设OE=OG=2,则G(0,2),

因为NHOG=/.FOG

84

所以尸(&,旬,H(-72,72),

由0G=xOH+yOF,

-Jlx+41y=0

得

瓜十五y=2'

6

解得x=y=-^-,故x+y=\/^.

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故选：A

2.如图，在正方形力4。。中，E为4c的中点，户是以44为直径的半圆弧上任意一点(与4点不重合),

设,4E=工力。+eR),则2x+y的最小值为()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】解：方法1：以力点为M标原点，力8所在直线为工轴，4。所在直线为)，轴，建立如图所示的平

面直角坐标系，

设,46=2,P("o),则4(0,0),0(0,2),设2,1),

半圆的方程为(x-I)2+V=l(y开))，

所以危=(2,1)，八二(0,2)，&=(%,%)，

因为AE=xAD+yAP(x,y€R)»即(2,1)=x(0,2)+歹(%,%)，

2

y=­

2二户。日n%

所以《，即，

[\=2x+yyQ2.L

%

所以2x+j，=l+2・^^

%

又P(/Jo)是半圆上的任意•点(与4点不重合),

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所以Xo=l+cos。，%=sin。，0e[0,^),

1-sinO=1_2.^±1

所以2x+y=l+2-

1+cos6cos0+1

•Zj1

令1=sm一则上的几何意义是单位圆的上半部分中的任意一点与点连线的斜率,

cos8+1

结合图象可知，斜率”的最大值为0,

所以当时，2x+y取得最小值1.

故选B.

方法2：如图，取力。中点尸，则花=2x/+y不,

直线FP交AE于G,设公=t'AG，

•••/、P、G三点共线.•.就=〃?而+(1-机)万，

AE=tAG=tmAF+/(I-m)AP,

一一一

AE=2xAF+yAP,

.2-1辑

kl

当P为防中点时，G与£重合，此时，取到最小值，&n=L

3.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定

A

理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小

正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若前二），

函=6，~BE=3EF，则而1=（）

A.旦+与

2525

/+2

B.

2525

C.-a^-b

55

23/42

D.-a+-b

55

【答案】B

【解析】解：（法一）过点/作77G_LBC于点G,不妨设8E=3,EF=\,

742+32=5，

BFCF4x312

所以EG=

BC5

16

所以BG=dBF?—FG2=<4?-

T

所以55=3方亍，GF=—BA,

2525

所以而=的+不=”前+工或二竺G+?尻

25252525

故选：B.

（法二）砺=比+方=比+3基=肥+々而+项）=肥+赤+两,

4444

——33———16—12—

UPBF=BC+-（一一BF+BA）,解得BF=——BC+——B4,

442525

—1612-

即BF=—a+—h.

2525

故选：B.

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①数形结合

1.在38。中，力。为8C边上的中线，E为力。的中点，则而=()

3一1一|一3—3—|一

A.-AB一一ACB.-AB——ACC.—4BT—AC

444444D>4^

【答案】A

【解析】解：如图,

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC）

222424

」而+，而+，衣=3而+1%,

24444

所以£8=2/8--AC.

44

故选A.

2.已知点。为A/IBC的外心，且向量彳万=2万+（1-/1）冠，AER,若向量而在向量正上的投影

I—

向量为18。，则cos5的值为（）

/GR旧C2亚1

A•—B•