辽宁省锦州市20242025学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省锦州市20242025学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品

中有X件合格品，则E(X)=()

I2410

A.-B.-C.-D.—

，aa2

2.已知数列｛为｝中，4=一!，/.|二1一」",则的二()

458

A.-B.-C.-D.5

S4?

3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产x个单位产品的生产

成本函数是qx)=8+1+41nx,则生产4个单位产品时，边际成本是()

A.2B.8C.10D.16

4.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S”,$二1,$6=4,则06+勾7+。用=()

A.7B.9C.IID.13

5.已知耳彳)=：P3|4)=；?(8|彳)二.则P(后二()

7755

A•—B.—C•—D•—

1?94199d

6.数列｛凡｝的前〃项和为S”，对一切正整数〃，点(〃，5,)在函数/(x)+1V的图象上,

，2，、

^=-----厂(nWN*且〃21),则数列｛/%｝的前〃项和为7；=()

V+v

A.V2w+1-V2//-1B.j2〃+3-1C.>/2n-\l2n-2D.J2〃+3

7.若X~N(O,1),则P(・l0X<1)-0.6827/(-2<X<2)-0.9545,尸(-3<X<3)«0.9973.

今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为丫(单位：亳米)，且

y~N(5.40,0.052),现从中随机抽取10000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间

(5.35,5.55).则K的估计值为()

A.6895B.8400C.9545D.9973

8.已知函数/(x)=——，则()

r

A.f(2)<f(3)</le)B.f(3)<f(2)<f(e)

C./Ie)<f(3)<f(2)D.f(2)<f(e)<f(3)

二、多选题

9.统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量)，与x之间线性相关性强弱，下列关于相关

系数「的叙述中，正确的是()

A.-l<r<1

B.当y与x正相关时，r>0

C.|/•域小，得出的)，与x之间的回归直线方程越没有价值

D.「越大，具有相关关系的两个变量y与x的线性相关程度越强

10.已知函数7U)与其导函数/。)的图象如图所示，设g(x)=_C_,则()

f(x)

斗一曲线M

/■…曲线N

\JL

A.曲线M为函数/Q)的图象B.曲线N为函数/(x)的图象

C.函数g(x)在区间［12］上是增函数D.函数g(x)在区间［㈤上是减函数

11.已知一组样本数据：-I,a,方，9,其中aW(),〃20,将该组数据排列，下列关于该组数

据结论正确的是()

A.排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列

B.若排列后得到的新数列成等比数列，〃和人有4组可能取值

C.若排列后得到的新数列成等差数列，”和。有2组可能取值

33

D.这组数据方差的最小值为三

三、填空题

12.已知随机变量X服从两点分布，J1P(X=0)=0.4,若y=3X—2，则

1)=.

试卷第2页，共4页

13.写出数列1,2,4,7,11,15,…的一个递推公式：卬=1,:一个通项公

式：.

14.若xw1,-H»^x2+362Inx>^(3+lnx),则实数。的取值范围是----------.(参考数

据：1112«0.693)

四、解答题

15.己知函数/U)=av3+bx+2在-2处取得极值-14.

⑴求a,b的值;

(2)求曲线y=｛幻在点(1,川))处的切线方程.

16.某工厂A,8两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分

别获利20元、18元、16元，现从人，8生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果

统计如下图：

一二三产品等级

一等级非一等级合计

A生产线

B生产线

合计

(1)根据已知数据，完成2x2列联表并判断有95%的把握认为是否为一等级产品与生产线有

关吗？

(2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明

哪条生产线的获利更稳定？

也n(ad-be)2,

附：K~=----------------------其中〃=a+b+c+d.

(。+bXc+dXa+cXb+d)

试卷第3页，共4页

《辽宁省锦州市20242025学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DAACCDBAABCBD

题号11

答案BC

I.D

【分析】由超几何分布的均值公式昂X)-空即可求解.

N

【详解】由题可得X服从超几何分布，且〃=4,N=12,"=10,

所以E(x)=^=生坦=12

'>N123

故选：D

2.A

【分析】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解.

【详解】因为4:一;•白3=1一',

I1U

所以%=1--=5,

氏

.11

所以a=1---=--,

W4

所以%

a.

所以数列｛〃“｝是周期为3的数列，所以%=%=：.

故选：A

3.A

【分析】根据题意得到边际成本即C，(4),对函数求导，代入数值4即可.

y2X4

【详解】C\x)=S+—+4\,G(x)二：十一，

8nx4r

44

所以生产4个单位产品时，。(4)=一+—=2

44

故选：A

4.C

【分析】先由题设结合等差数列分段和性质求出9d=2,再由卬6++。如=45d+S,即可计

算求解.

答案第1页，共12页

【详解】设等差数列｛〃“｝的公差为d,则由题S6-S3=9d+W=%/+1=3-94=2,

所以“16+。17+。18=45d+53=5x2+1=11.

故选：C

5.C

【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得P（8*和P（8A）,从而求得尸（8）.

【详解】由题知，P（A｝=1-P（j）=|,尸（回=尸（反"==

_211

P（BJ）=P（J）-P（^）=---=-

"同力鬻=:P（网=丘44

则尸（8）=P：3/1）+内点）=:+5.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用

P（8）=下84）+尺8彳怵得「（8）.

6.D

【分析】根据S与〃的关系求得。=2〃+I,进而求出b=育-x/5—〃+1,利用裂灰相

消求和法即可求解.

【详解】由题意知工=川+2〃①，

当〃=1时，S]=4=3,

当〃22时，S„.,=（7i-1）2+2（«-1）=«2-1②，

①-②，得q=S「S“”2〃+1,

若〃=1,«）=3,符合题意，

所以凡=2〃+1,则a,.=2〃+3,

㈱-T―；E焉时:亚广■叫

则/=f\+h2+...+hn

答案第2页，共12页

=\/5—J3+力一、,5+…+、.？/?+3—、2ii+I

=j2〃+3-6.

故选：D.

7.B

【分析】先由题设求出尸(535<丫<5.55)=0.84,从而得到K〜3(10000.0.84),再求出E(K)

即可得解.

【详解】由题可得

P(5.35<r<5.55)=P(5.40-0.05<r<5.40+0.l5)=^^^+^y^=0.84:

则《~B(10000,0.84),所以E(K)=10000x0.84=8400.

所以则K的估计值为8400.

故选：B

8.A

【分析】利用导数研究/(工)的单调性可得f(2)<f(e),f(3)<f(e),利用对数函数的单调性

可得人2)(人3),综合可得结论.

“、Inx.、1-lnx,,

【详解】/0)=—3>。，则/z(幻=——,由/(x)=0,得工=©,

Yr

当0VxVe时，£3)、0,艮X)单调递增；

当x>e时，/;(幻<(),jlx)单调递减，

V2<e<3,</(e),/13)</(e),

/(2)=竽=In\/2,/(3)=?=In密

而(及『=8,他『=9,则(尤卜(如,可得回〈珀,

则InTJvln泗，即人2)<#3),

综上,f(2)<f(3)<f(e).

故选：A.

9.ABC

【分析】根据相关系数的定义和性质即可逐一判断.

【详解】对于A,相关系数r的为[―1,l],故A正确；

答案第3页，共12页

对于B,当)，与x正相关时，r>0,故B正确；

对于C,H越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，

因为回归直线方程是基于变量之间的线性关系建立的，

当线性相关性弱时.，用回归直线来描述变量之间的关系就不准确，即意味着回归直线方程越

没有价值，故C正确：

对于D,上越大，具有相关关系的两个变量,，与x的线性相关程度越强，故D错误.

故选：ABC

10.BD

【分析】由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB：利用导

数工具结合图象即可分析求解函数g(x)的单调性即可判断CD.

【详解】对于AB,因为£(x)>0时/G)单调递增，£6)<0时/6)单调递减，

所以由图可知曲线M为函数/；(工)的图象，曲线N为函数/(工)的图象，

故A错误，B正确：

对于CD,由图可知当x£(0,“)时(x)>0,x£(〃,/?)时(x)<。，

因为g,(x)=©［"2/((切所以当x£(0.。)时&(x)>。，xW(a,b］时g,(A)<0,

广3

所以函数g(x)在区间［0,a］上是增函数,在区间［a㈤上是减函数，

故C错误，D正确.

故选：BD

11.BC

【分析】数列的性质进行判断，非零常数列既是等比数列又是等差数列，判断出A错误；

由等比数列的性质，将四个数进行排列为一正一负相邻，求出相应的值；由等差数列的性质

以及小方的范围，举例求解：得出B,C正确；用特殊值法求出方差还有更小的，得出D甯误.

【详解】对于A,若数列既是等比数列又是等差数列，则该数列为非零常数列，而aVO为20,

且数列中的项有・1,9,不可能构成常数列，故A错误：

对于B，若排列后的新数列为等比数列，则不可能有0,则

故设新数列的公比为g，则有q<0，且数列相邻两项异号；

答案第4页，共12页

I22

数列可能为T,A49,此忖,/=_炉，RiJ/2=9\a=-9j:

数列可能为-l,9,a,〃，此时q=-9,则〃=729,a=-81；

数列可能为,此时,=-9,则/,=：,〃=-&；

9XI

数列可能为。,9,-1*,此时q=-(,则匕=1«=・81；

1I2

数列可能为9,4,4-1,此时夕=一旃，贝砧=91〃=_91

数列可能为A4,9,-1,此时,则力二729,。=-81；

数列可能为9,-1也。，此时g=-：,则力=5，〃=一1；

数列可能为力,-1,9,〃，此时q=-9,则8=\〃=-81；

综上所述，〃和〃有4组可能取值，故B正确；

对于C,若排列后得到的新数列成等差数列，设公差为d

若・1,在首项，不论9在第九项，都有〃>0/>0,不符合题意,

若・1,9两项相邻，且・1不在首项，则d=10或者d二・10,

此时有a=-11,b=19,

符合题意的数列为-11,-1,9,19或者19,9,-1,-11：

若-1,9中间仅有一项，且-I不在首项，则〃=5,或者d=-5,

此时有a=-6,/?=4,

符合题意的数列为-6,・1,4,9或者9.4,-1,-6,

故a和力有2组可能取值，故C正确;

对于D,该组数据的平均数为7二-1+/+1+9=8+4+方

当a”尽可能接近平均数，方差越小,

方差为：[（-1-7）2+（〃-亍）~+（力—亍）”+（9—幻~],

4

当。=0涉=5时，X=—,

4

・J/113、2/13、2,13、2n13\2]25933田3口

r+（a--）*+z（/>-—r+（9--）J=—<—故D错误.

44444167

故选：BC.

12.0.6/^

【分析】根据两点分布的性质可求得"（X=1）,进而山〃（丫:1）=&X=1）得出结果.

答案第5页，共12页

【详解】随机变量X服从两点分布，且P（X=0）=0.4,则P（X=1）="P（X=0）=0.6,

若y=3X-2=1,可知x=1,则尸（丫=i）=P（X=i）=0.6.

故答案为：06

、2

13.q田="+〃（〃WN，）（答案不唯一）：a」一「

〃n

【分析】观察分析得。”+「可二〃即可得递推公式，根据递推公式结合累加法即可求通项公

式.

【详解】记数列1,2,4,7,11,16….的第〃项为4,

则七--1,4-。2=2,%=3,45-a4=4,...

依此类推可得

所以可得数列1,2,4,7,11,16….的一个递推公式为“e=4+〃（〃WN）；

所以

4”=)+(«».|-)+…+(6-)+(〃2-6)+6

z.11(〃-1)(〃-1+1)n2-n+2

=(n-1)+(〃-2)+...+2+1+1=------------H-1=--------

故答案为：%+]=",+〃(〃£N)；a=--

〃n/

/1

14.-oo,-

I6」

「e、「e、

【分析】将题设变形为xw-,+oo|,(3«-^)(t/lnx-^)>0,进而得到xe—,+8时

L2；L2)

a\nx-x<0

接着求出4灯二工的最小值即可得解.

3a-x<0\nx

Q1,「e、，、/、

【详解】A-G-,+00|,x2+3421nx>ax(3+In.x)即xw—,+»|,(3tj-,r)(t?lnx-x)>0

l_2J.2)

e、alnx-x>0falnx-.r<0

所以xw-,+oo时恒仔或

2）3a-x>0

e、_00a\nx-x<C

因为xe],+8时不恒有3〃-2（）,所以_re余+J时，

3a-x<0

ecx

又InxNln^〉。，所以34W]且a4■j---=/卜)

因^^。）=黑^,所以当工时£（x）<。，x£（e,+8）时£（%）>0,

\2）

答案第6页，共12页

(Q)

所以函数/(x)在尸上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

12)

所以/'(%)min=/(e)=e,所以aK1且a4e,所以“K

66

所以实数。的取值范围是(-8,].

故答案为：(-co,

I6」

15.(1)«=7/=12

(2)y=9x+4

/\,(C(-2)=0

【分析】(1)求得力(x)=3©2+人，根据题意得到一，即可求解:

1/(-2)=-14

(2)由(1)得到/(I),/；(!),得出切点处点斜式方程

\2a+b=0a=-i

【详解】(1)f,(r)=3以2+b，根据题意得到,。-解得:

-82"2=74,6=12'

：ci=-1,/?=12

52

(2),/U)=-X+12A+2Sf,(A)=-3X+12,

/(1)=-3+12=9,y(l)=-l+12+2=13,

点(1瓜1))处的切线点斜式方程为：y-13=9(x-l),

即y=9x+4

16.(1)2x2列联表见解析；没有95%的把握认为一等级产品与生产线有关；

(2)A生产线的获利更稳定.

【分析】(1)先由题设先写列联表，接着进行零假设和计算卡方值，由卡方值以及小概率值

a=0.05的独立性检验思想即可下结论：

(2)设A,。两条生产线单件产品获利分别为x,v元，依次求出两生产线的方差。(x),o(y)

即可得解.

【详解】(1)由题可得力生产线生产的100件产品中一等级产品数有20,8生产线生产的

100件产品中一等级产品数有30,

所以2x2列联表如下：

答案第7页，共12页

一等级非一等级合计

A生产线2080100

B生产线3070100

合计50150200

零假设”。：一-等级产品与生产线无关,

由列联表得K=迎空2叱理出£=i<3841

50x150x100x1003

所以依据小概率值。=0.05的独立性检验，没有充分证据可以推断为不成立,

则可以推断从成立，即没有95%的把握认为一等级产品与生产线有关.

（2）设A,8两条生产线单件产品获利分别为X,Y元，

则由频数分布直方图可得X的分布列为

P201816

X0.20.60.2

所以E（X）=20x0.2+18x0.6+16x0.2=18,

所以O（X）=（20-18》xO.2+（18-18）?x0.6+（16-18）?x02=1.6,

由频数分布直方图可得y的分布列为

P201816

Y0.30.40.3

所以£（0=20x0.3+18x0.4+16x0.3:18,

所以。（丫）=（20-18）2x0.3+（18-18）2x0.4+（16-18）：x03=2.4,

因为。（X）<D（Y）,所以A生产线的获利更稳定.

1

7⑴'

答案第8页，共12页

（2）分布列见解析，£（%）=—

【分析】（1）分第一次“交换”从甲箱开始与从乙开始两种情况讨论，利用相互独立事件的概

率公式计算可得；

（2）首先分析现在箱子中各种颜色球的数量，列出X的可能取值，求出相应的概率，即

可求出分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为g,从乙箱开始的概率为《，且每次

“交换”后箱子总球数仍然为9个，

要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的

都是白球，乙箱中摸出的都是红球,

若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为

1521

-X-X=：

AQ97

若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为

2252

—X—x—=——

2Qm07

设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件A,

121

所以.PW=-+-=-

（2）因为第一次“交换”后,甲箱中红球多于白球,

所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球,

所以X的可能取值为7,8.9

1582854

P(X=7)=—X—X—+—X—X—=—

?910，9109

p(y=8)=1x168523

，2+2〉—x—+—x—

910910；391091045

2142

p(%=9)=-x-x—+-X-X—=—,

了''彳91。？9I。4s

X789

4232

P

045

423238

E(X)=7x£+8x言+9x八一彳

18.（1）答案见解析

答案第9页，共12页

(2)最小值是、砥，无最大值

(3)证明见解析

【分析】(I)求得导函数£5),对方进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可:

(2)求导得g(x),利用导数研究函数的单调性，即可得出最值:

(3)要证明/(x)>2,等价于$>2+2叫］>0)刎>=2+2当%>0),利用导数

JxX\lxXy/x

求〃(%)的最大值，结合(2)知g(x)26e,证g(x)min即可.

2

【详解】(1〉”=0时，..W=-21n.r+bx,x>0,〃x)=——Tb,

x

当〃40时，f,(x)<0,兀0在(0,+8)上单调递减;

2

当方>。时，由/(©=0得/二一，

b

22

0<x<:时，fM<0,7U)在(0,f上单调递减;

bb

22

x>:时，f.(x)>0,j[x｝在(一,十»)上单调递增，

bb

综上，当£>W0时，/(x)在(0,+8)上单调递减；

22

当〃>0时，人外在(0,1)上单调递减；在(工,内)上单调递增.

bb

eerX——n

(2)因为以工)=及■彳>0,所以？(工)=I2J,

X\lx

当xw(0,J)时，g,(x)<0,g(x)单调递减;

当“E(g,+8)时，g,(x)>0,g(r)单调递增,

故g(x)的最小值是"e,无最大值.

(3)4=1力=0时，y(.v)=xe'-21nx,(x>0)»

要证明/(x)>2,需要证明xe'>2+2lnx,(x>0),等价于；=>21半o)①,

\lxX\lx

设汽幻=2+%x(x>0)可得分x)=一|；%x,

X、/XX~、lY

由九(X)=0得X二J,

戈£(0,一；)时，九。)>0，出工)单调递增；

x6(/；+8)时，九(幻<0，h(x)单调递减，

答案第10页，共12页

则力（r）的最大值是牡；）=半，即心）<中，

由