平面向量的数量积及其应用（1大考点+8大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

5.2平面向量的数量积及其应用

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、平面向量的数量积..............................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：数量积运算................................................................5

题型二：模长运算..................................................................6

题型三：投影、投影向量运算........................................................7

题型四：夹角运算..................................................................8

题型五：万能建系法................................................................8

题型六：利用向量平行垂直关系求解.................................................9

题型七：实际应用问题.............................................................10

题型八：利用投影法求范围.........................................................11

04好题赏析（一题多解）..........................................................14

05数学思想方法...................................................................15

①数形结合........................................................................15

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论........................................................................16

06课时精练（真题、模拟题）......................................................17

基础过关篇........................................................................17

能力拓展篇........................................................................18

1/20

01课标要求

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

2/20

02落实主干知识

一、平面向量的数量积

(1)基底的定义

如果ere2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量〃，有且仅有一对实数4,

4,使得a=4q+44.我们把不共线的向量弓、4叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.

(2)平面向量的直角坐标运算

特殊基底的应用：非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别

取与x轴、歹轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对平面内任一向量〃，有且仅有一个实数对

(x,y),使得。=浦+方，则实数对(x,y)叫做向量”的坐标，记作。=(x,y),其中X,J，分别叫做a在

x轴、y轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.

①已知点彳区，乂)，B(x,,y2),则48=(匕一%，为一乂)，|1="(马—$)2+(y]——『

②已知4=(凡，乂)，〃=(工2，必)，则a±力=(占±工2，必土必)，2〃=(，内，力必)，

(3)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数A,则：

®ab=ba;

®(Aa)h=A(ab)=a(Ab)：

®(a+b)c=a-c+bc.

(4)数量积的坐标运算

已知非零向量〃=(芭，必)，A=(x,,y2),0为向量〃、力的夹角.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y/aa1a|=旧+y2

数量积a-b=\a\\b\cos0ab=Xix2+y]y2

cos0=&"侬—产+学—

夹角

\M\b\屑+N：・收+必

的充要条件ab=0王超+必为=0

。〃。的充要条件a=Ab（b工0）X归一々%=°

•方凶a||b|(当且仅当

与|〃|网的关系1+%为任也：+y\-7X2+yl

c〃b时等号成立)

3/20

常用二级结论

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量”与6,我们把数量|a|S|cos。叫做〃与方的数量积（或内积），记作即

a-b=\a^b\cosO,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|o|cos。叫做向量〃在〃方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当夕为钝角

时、它是负数；当。为直角时，它是0.

②A的几何意义：数量积等于〃的长度与。在〃方向上射影|"cos6的乘积.

4/20

03探究核心题型

题型一：数■积运算

【典例1-1](2025•四川绵阳-模拟预测)已知同=2,口—囚=1)与[Z的夹角为々，则1心()

A.2B.3C.4D.5

【典例1・2】\F8c中，AB=6,AC=6,BC=4,则说.氏=()

A.6B.-6C.-3D.3

【解题总结】

(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

(2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量7.已

知向量。=(4sina,l-cosa),6=(1,-2),若G.6=-2，贝hana=()

A.vB.2C.-2D.--

22

【变式1-1】在矩形488中，48=6,80=4,七为8c的中点，点/满足方=2斤，则荏.万=

()

A.32B.16C.-16D.-32

【变式1・2】(2025•高二•湖南・开学考试)如图，N为等边二角形月3。的中线力。上任一点，M4=3,

MC—2,则A/C)=()

【变式1・3】已知向量满足|G=|〃H万山=2,则限很=()

A.0B.2C.-2D.2百

5/20

【变式1-4］（2025•高三•河南•开学考试）在矩形”C'£＞中，已知48=2,点E为线段力。的中点，且

BE上AC,则E・赤=（）

A.2B.4C.8D.16

题型二：模长运算

【典例2・1】已知向量£=（1,赤）,|$|=2,|3-6|=2,贝1］［3+51（）

A.1B.百C.2D.2百

【典例2・2】（2025•高三•四川成都•开学考试）已知向量£与坂的夹角为60。，向=1.|；+力卜仃，则恸

等于（）

A.IB.2C.3D.4

【解题总结】

求模长，用平方，|划二后.

【变式2・1】（2025•高三•安徽合肥•开学考试）已知两个单位向量2］满足.+则拒-3%

（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2-2］（2025•辽宁大连•一模）设单位向量源-已知"工=g,则悭-Z+4的最小值为（）

A.0B.1C.73-1D.V3+1

【变式2-3］如图，在平行四边形/18CO中，48=2,NBAD=",上是边4c的中点，F是CD上靠近D

的三等分点，若荏屏=8,则园等于（）

A.4B.4N/2C.4GD.8

【变式24】已知两个单位向量舒满足力人则|4135卜（）

A.5B.4C.3D.2

6/20

题型三：投影、投影向置运算

【典例3-1】已知向量万，B满足向=W=1,\b=-；,则1在6上的投影向量为（）

1_1--1517

A.—aB.——aC.-bD.——b

2222

【典例3・2】（2025•陕西商洛•模拟预测）已知~+可=,-可，则2+在在B上的投影向量为1）

A.hB.—bC・GD.-<i

【解题总结】

设d，B是两个非零向量，它们的夹角是40与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过荔的

起点4和终点8,分别作丽所在直线的垂线，垂足分别为得到彳瓦，我们称上述变换为向量3

向向量B投影，彳瓦叫做向量A在向量5上的投影向量.记为|）|cos距.

【变式3・1】若向量很满足同=6,问=3,且卜+29刀=12,则向量1在向量行上的投影向量为（）

4r4丁-

A.—brB.4bC，一D・—4b

【变式3・2】（2025•高三•甘肃向银•期末）已知两个非零向量嬴7满足忖-2*麻+44则向量而在向

量G上的投影向量为（）

A.3〃B.2〃

C.5〃D.—n

【变式3・3】已知向量1，B满足|2|=|5|=2,且1_1（d-46），则向量值在向量B方向上的投影向量为（）

1一11-If

A.B.—rbC.~aD.-b

4422

【变式3・4】（2025•高三•安徽•开学考试）己知平面向量3=（2,-2）,取=（-1,3）,则向量Z+E在向量方

上的投影向量为（）

A.g，TB.（-1J.C.（-1,|）D.（1-1）

【变式3・5］若向量3）,B=（2J）,C=U，1）,x,yeR,书店，6R，则向量〃+在B方向上

的投影向量为（）

A.（1,-3）B.（-1,3）C.（2,-3）D.（2,3）

7/20

题型四：夹角运算

【典例4・1】己知向量满足值=（2,2）,21+5=（3,4）,则向量。与B的夹角为.

【典例4・2】（2025•高三•湖南永州•开学考试）若向量"=（匕3）,5=（1,4）,3=（2,1）,已知与

"的夹角为钝角，则片的取值范围是—.

【解题总结】

求夹角，用数量积，由■表二|引扬|cos0得cosg二一:「=+产-----进而求得

㈤的后5/^37

向量万,B的夹角.

【变式4・1】（2025•高三•河北保定•开学考试）若向量1=（1刈），3=（2,-1）,且dM，则

cosa-b,b=.

【变式4-2］在V"C中，48=2,/C=l,NMC=60,。为3c的中点，~AC=3AE>4。与8E相交于点凡

则tanZDFE=.

【变式4-3］（2025•广东•模拟预测）已知向量用5满足归+同加/=2瓦则8$卜+尻9=_.

【变式4-4】已知向量£,E满足同一忸"石=2,a-b=VTo,则cos（词=_.

【变式4-5］若„是夹角为60。的两个单位向量，则G=21+］与B=-31+2］的夹角为—.

题型五：万能建系法

【典例5・1】在等腰直角V/14C中，乙48c=90J5=8C=2,M,N为/C边上的两个动点（M,N不与

4c重合），且满足|丽卜加，则丽・丽的取值范围为

【典例S・2】（2025•高三•内蒙百•开学考试）慈，是一种含三个环的稠环芳煌，化学式为CMHO,恿的

三个环的中心在一条直线上，意是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），

将慈的分子结构图中的14个C原子分别记为4民C,Q、E,RG,〃,/JK,L,M、N,如图2所示，设43=2,

则苏•元=一.

【解题总结】

8/20

【变式5・1】已知在VZ8C中，4c=2,〃。=6,。是\,48。内一点，且方+3丽+收;=6，则

OC（5J+25C）=_.

【变式5・2】己知在V48c中，凌.刀=0，闻-阳=2,也是线段8c上的动点，且

Zv7（Z&+JC）=1,贝ij|无可的取值范围为一.

【变式5-3】已知在平行四边形4BCO中，NDAB=g边48,4。的长分别为1,2,若M,N分别是边

BM\CN

8C,CO上的点，且满足=/=昌，则丽.前的取值范围是—.

BC\|CD|

【变式5~4】在V/8c中，AB=AC=2,BC=2+，点〃在线段6c上，若力尸_L3C，则瓦?.丽=

若而=麻，当苏・》取得最小值时，2=.

题型六：利用向■平行垂直关系求解

【典例6・1】已知向量"，否的夹角为45。，同=正，且力=2，若（二+可，九则％=—

【典例6-2］己知aeR,m=（6,a）»n=（a-1,5）,若（/〃+〃）_1_力，则a的值为.

【解题总结】

①已知点彳（X］，乂），8区，为），则48=（%一不，为一乂），I1=46-作'+（J，？-.了

②已知a=（Xi，M）,b=（x2fy2）,则。±b=&±巧，乂±必）,2。=（%芭，孙），

22

a»b=x1x2+y}y2,\a\=yjx}+y1.a//bx^y2-x2）\=0,<?!/><=>xix2+y1y2=0

【变式6・1】已知向量,，B的模相等且夹角为60。，若向量I与向量a垂直，则实数4=

9/20

【变式6・2】已知平面向量)=(2,1),3=(2,x),若1+2B与垂直，且x>0，贝伊=

【变式6・3】已知平面向量£=(2,-1)石=(6,幻，若£_1(£-])，则实数上=.

【变式6Y】(2025•上海嘉定•二模)已知向量〃?=(1,-2),〃=(4,4),若帚J,1，则衣=___.

题型七：实际应用问题

【典例7・1】冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运

动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小华同学在练习冰球

的过程中，以力户=(sina,cosa),awR,作用于冰球，使冰球从点力(1,2)移动到点6(4,6),则力户对冰

球所做的功的最大值为()(动力做的功力=凡而)

A.V5B.3C.4D.5

【典例7・2】(2025•福建泉州•模拟预测〉一条河两岸平行，河的宽度为1.2km,一艘船从河岸边的某地

出发，向河对岸航行.已知船在静水的速度大小为13km/h,且船在航行过程中受水流的影响.当船以路

程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为()

A.1.3km/hB.5km/liC.10km/hD.12km/h

【解题总结】

用向量方法解决实际问题的步骤

【变式7・1】(2025-高三・山东泰安-开学考试)如图，飞机飞行中的地面速度(GS)是指飞机相对于地

面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度(TAS)句量加减风速(股)向量得出，其中风速

顺风为正，逆风为负，。力为偏流角.已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为侬石/0石)，

10/20

地面速度对应的向量为（100石,90万），则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：km/h）为（）

（参考数据：加=224,710=3.16，7305=17.46）

wsz/*^^>/rAS

GS

A.252.8B.349.2C.425.6D.492.8

【变式7・2】某货船执行从力港口到“港口的航行任务，A港口在力港口的正北方向，已知河水的速度为向

东2m/s.若货船在静水中的航速为4m/s,船长调整船头方向航行，使得实际路程最短.则该船完成此段

航行的实际速度为（）

A.2m/sB.2\/3m/sC.4m/sD.2后m/s

【变式7・3】（2025•广东广州•模拟预测）某货船执行从4港口到8港口的航行任务，8港口在4港口的

正北方向.已知河水的速度为向东2m/s.若货船在静水中的航速为4m/s,船长调整船头方向航行，使得实

际路程最短.则该船完成此段航行的实际速度为（）

A.2m/sB.2x/3m/sC.4m/sD.25/5m/s

【变式74]共点力耳=（lg2,1g2）,E=0g5[g2）作用在物体材上，产生位移X=（21g5,l）,则共点力对

物体做的功为（）

A.1g2B.1g5C.1D.2

【变式7・5】（2025•宁夏•一模）如图所示，质点P从点力出发，沿力&BC,CO运动至点。，已知

ABUCD、AB=4、BC=2,CD=3,ABBC=-2>则质点P位移的大小是（）

题型八：利用投影法求范围

【典例8・1】如图所示，弧访是以。为圆心，04为半径的圆的一部分，。8=2,28。。=学,C是。4的中

6

点，力在弧夕。上运动，则而•历的最小值为（）

11/20

【典例8-2】已知尸是边长为2的正六边形力8cOE尸内的一点，则而•刀的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

【解题总结】

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量〃与力，我汨把数量141sleOS。叫做G与力的数量积（或内积），记作即

ab=\a\\b\cosO,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|@|cos。叫做向量a在力方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当6为钝角时，

它是负数；当。为直角时，它是C.

②ab的几何意义：数量积等于〃的长度|a|与力在〃方向上射影181cos0的乘积.

【变式8・1】（2025•全国•模拟预测）如图，已知正六边形48C。防的边长为2,对称中心为O,以。为

圆心作半径为1的圆，点〃为圆。上任意一点，则而•两的取值范围为（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-66。

【变式8-2】邢台一中数学探索馆中“圆与非圆一搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型E勺定宽曲线,

以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形

就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知力8=2,P为弧力。上的一点，且/尸8C=a,则

AA屁的最小值为（）

12/20

A

L-in

T.V/

一；一_-：__】、

C.-2D.2

13/20

041好题赏析（一题多解）

14/20

1.在“5C中，AC=3,8c=4,NC=90。/为48C所在平面内的动点，且PC=1,则方.丽的

取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.如图，在平面四边形48C。中，4B1BC,AD1CD,/胡0=120°,AB=4D=1.若点E为边

。上的动点，则前.诟的最小值为（）

3.在△N8C中，AB1AC,AC=6,亚=；配，点£是BO的中点，贝ij(万+丽)•丽=()

A.-8B.-12C.8D.12

①数形结合

1.在等边“8C中，D、E分别是8C、4。的中点，有以下两个结论：①万.臣=0,

@CEICiI（哨），则下列说法正确的是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②不成立D.①不成立，②成立.

2.已知正方形力8C。的边长为2,尸为正方形48co内部（不含边界）的动点，且满足方.方=0,则

CPDP的取值范围是

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

3.已知1,B，。是平面向量，0是单位向量.若非零向量]与0的夹角为。，向量B满足

户一4。4+3=0，则|。一囚|的最小值是（）

4V3-1从V3-1仁2D.2-百

15/20

②转化与化归

4.已知平面直角坐标系xQy中，|01|二|05|二行，|AB|=2,设。（3,4）,则|+万］的取值范围是

（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

5.A/BC中，AB=无,N4CB=5，。是“8C外接圆圆心，则反.方+E•赤的最大值为（）

6.能使命题”给定，〃个非零向量（可以相同），若其中任意〃（1・〃<〃?）个向量之和的模等于另外〃?一〃个

向量之和的模，则这加个向量之和为零向量”成为真命题的一组小、〃的值为（）①〃7=4,

n=2@rn=5»/?=2@/??=6-〃=3④〃z=7,n=3

A.①②B.③④C.①③D.②④

③分类讨论

7.已知向量2石满足1可=2,仍|=1,且对一切实数x,|2+苏|开|1十月|恒成立，则G,。的夹角的大

小为•

8.如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点2。在正五角星的内部（

含边界），则万•而的最小值为.

9.已知平面向量扇反乙满足|刈=1,।万|=百，G.B=O，1-万与彳的夹角为/，则1•（另一。）的

最大值为.

16/20

［06］课时精练（真题、模拟即）H

基础过关篇

1.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知向量万=（0,1）万=（21）,若BjL（B-4］）,则l=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024年北京高考数学真题）设2,否是向量，贝上伍+粗。-可=0”是=R或£=户的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知向量满足问=中+20=2,且0-2£）_1_几则忖=（）

人IV2

A-2Bn-2C.—D.1

2

4.（2023年北京高考数学真题）已知向量,3满足彳+B=（2,3）万一石=（一2』），则|G『一S『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形力8。力的边长是2,E是力B的中点，则反•丽=（）

A.岳B.3C.2>/5D.5

6.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量£=（3,1）［=（2,2）,则弥5«+31—9=（）

A.工B.姮n2石

1/♦----LJ・-----------

171755

7.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量瓦章满足同=忖=1,同=无，且"坂+己=0,则

cos（a-c,b-c）=（）

4「2C.|D.1

八,一飞B--?

8.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知向量£=（1,1）出=（1,-1）,若倒+阿_L（Z+闻，则（）

A.A+//=1B.2+〃=-l

C."=1D.办=T

9.记向量G=（2,3）方=（0』），设甲：向量。与向量的夹角为锐角；乙：》＞-1，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2025.贵州•模拟预测）已知向量£=（1,1）,（3+2j；）_L伍—2®,贝川@=（）

17/20

.n「拉n及

AA.1B.~LC•—D.—

242

11.（2025•河北衡水•模拟预测）已知向量。=（1,2）,力=（2,3）,则下列结论不正确的是（）

A.=3B.（4+6）＞L（214T3b）

C.恢工卜26D.否在2方向上的投影向量为（沾:

12.（2025•高三-浙江-开学考试）已知向量不=（（）/））=（14）.若向量值+6在向量方上的投影向量为方1，

则4=（）

A.-1B.-C.1D.—

22

13.（2025•全国•模拟预测）已知向量）=（2,0）,a-U（3,-V3）,cos（a-2^5）=（）

A.一直B.正C."D.旦

5577

14.（2025•江苏连云港•模拟预测）已知力。为V的高，且AD=e,则而•而=（）

A.-2B.2C.2&D.-272

15.（2025•陕西西安•模拟预测）已知向量1=（2,）5=（1,T）,若B+B卜卜一，同，则吁（）

A.2B.-1C.2或-1D.3

16.（2025年高考全国二卷数学真题）已知平面向量M=（x,l）石=（x-1,2。若则|止

17.（2023年上海秋季高考数学试题）已知。=（-2,3）石=（1,2）,求万彳=

能力拓展篇

1.（2025年高考北京卷数学真题；在平面直角坐标系中，|以|=|历l=&，I万1=2.设C（3,4）,则

ULXliLA.O

12c4的取值范围是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

2.（2023年高考全国乙卷数学《理）真题）己知。。的半径为1,直线为与相切于点儿直线〃〃与

00交于8,C两点，。为8C的中点，若|?。|=3,则可.方的最大值为（）

A1+V21+25/2

A.-----BD.------

22

C.1+V2D.2+V2

3.（2024年天津高考数学真题）已知正方形力4。。的边长为1,DE=2EC,^BE=ABA+pBC,其中4〃

为实数，则4+〃=—:设/是线段6E上的动点，G为线段力产的中点，则万•丽的最小值为_.

18/20

4.（2023年天津高考数学真题）在8c中，BC=l,乙4=60。，~AD=\jBXE=\cb,记

22

AB=a.AC=b,用仇B表示次=;若丽=；前,则荏.箫的最大值为

5.（2025•黑龙江大庆•一•模）如图，在等腰V48c中，力8=,4C=5,3C=