全国中考数学2023-2025年试题分类汇编：圆（解析版）

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专题19圆

考点01垂径定理及其应用

1.（2025•河南・中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术如图是

研究“割圆术”时的一个图形，48所在圆的圆心为点。，四边形48co为矩形，边C。与。。相切于点E,

连接8万，Z4BE=15°,连接OE交A8于点A若A8=4,则图中阴影部分的面积为.

【答案】2*

【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到0E_LA8,由垂径定理可得A尸=8/=2,由圆周角定理

可得44。e=300,进而证明VAOB是等边三角形，得到»=2#,再根据阴影部分的面积=5藐加「山"求

解即可.

【详解】解：•.•AB所在圆的圆心为点。，边。。与。。相切于点E，

;.OA=OB=OE,OELCD,

•••四边形ABC7）为矩形，

AB//CD,

「.OE_LA6,

\AB=4,

：.AF=BF=-AB=2

2t

•rZABE=15°,

/.Z4OE=2Z4BE=30°,

♦;OA=OB,OF1AB,

:.ZAOB=2ZAOF=(^,

.•.△AQ8是等边三角形，

：.（）A=AB=4,

:.OF=JOA1-AF2=2>/3>

・•・阴影部分的面积=S*o「S“=的禁-；X2GX2=/-25

故答案为：3兀-2途.

【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三

角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键.

2.（2025・新疆•中考真题）如图，CO是。。的直径，A8是弦，AB1CD,ZADC=30P,则NBOC=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理.

先根据垂径定理得到NADC=NBDC=30。，再根据圆周角定理即可得到ZBOC=600.

【详解」解：连接4。.

•••CZ)是。。的直径，人B是弦，AB1CD,

・•・^ADC=ZBDC=30°,

乙BOC=2/BDC=8）。,

故选：C.

3.（2025・安徽・中考真题）如图，四边形A3c。的顶点都在半圆。上，A8是半圆。的直径，连接OC,

Z/MB4-2ZL4^C=180°.

c

(2)若AO=2,BC=26,求A8的长.

【答案】(1)详见解析

(2)6

【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周隹定理和垂径

定理是解题的关键.

(1)由圆周角定理可得NA0C=2NABC,则可证明NZM4+NAOC=18()。，据此可证明OC〃人。.

(2)连接3。，交OC于点E.由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到NAD8=90。，即则

可证明OC_L班＞,由垂径定理可得点E为9的中点，则OE是△曲的中位线，即可得到0E=3A。=1.设

半圆的半径为「，则CE=r-l.由勾股定理知,_]=(26丫-(「1)2,解方程即可得到答案.

【详解】(1)证明：VZA0C=2ZABC,ZmB+2ZABC=18O°,

・•・ZZM«+ZAOC=I80°,

・•・OC//AD.

(2)解：连接8。,交OC于点E.由题意知，

•・•A8是。。的直径，

AZ4DB=90°,即A3_L犯

C

OCA.BD,

・••点£为8。的中点，

又丁0是A8的中点,

0E是△A8D的中位线,

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接3.先证明

A。=加=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解：如图，连接OA，

•••D为A8的中点，。为拱门最直点，线段CO经过拱门所在圆的圆心，AB=\m,

ACDLAB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为「，

OA=OC=r,IB]CD=2.5m,

/.OD=2.5-r,

・•・产=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

・•・拱门所在圆的半径为13i】；

故选B

6.（2024.黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在。。中，直径于点£,CD=6,BE=\,则弦AC的

长为.

A

【答案】3布

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=EQ=gs=3,设。。的半径为,，则OE=O8-所=厂一1,在向△OED中，由勾股定

理得出方程，求出厂=5,即可得出A£=9,在RbAEC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：•・・A8JLCDCD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设的半径为L则OE=OB-EB=-1,

在Rf.OED中,由勾股定理得：即（一+32=",

解得：r=5,

OA=5,OE=4,

AE=OA+OE=9,

在RSAEC中，由勾股定理得：AC=dCE2+AE2=,32+于=3师，

故答案为：3后.

7.（2023•内蒙古•中考真题）如图，0O是锐角三角形A8C的外接圆，ODVAB.OEVBC.OFVAC,垂

足分别为。，瓦尸，连接。E,EE田.若。E+。"=6.5,Z\A3C的周长为21,则所的长为（）

【答案】B

【分析】根据二角形外接圆的性质得H1/"人上、”分别是抽、8C、AC的中点，再由中位线的性质及二角

形的周长求解即可.

【详解】解：・・・OO是锐角三角形A8C的外接圆，OO_LA8,OE_LBC,。/J.AC,

:.点、D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,

・•・DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB

222t

•・•DE+。/=6.5,△ABC的周长为21,

・•・CB+CA+AB=2\^2DF+2DE+2EF=2\,

・•・EF=4,

故选：B.

【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键.

8.（2025・陕西•中考真题）如图，48为。。的直径，BC=BD，ZCDB=24°,则乙4CD的度数为.

【答案】66°

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.先根据相为。0的直径，BC=BD，则NA+/ACD=90。，再根据8C=8C，即NA=NCDB=24。，

代入乙46=90。-4进行计算，即可作答.

【详解】解：•••A8为。。的直径，BC=BD，

AABLCD,

即ZA+ZACQ=90°,

BC=BC，

・•・4=NCDB=24。,

则乙46=90。-ZA=90。-24。=66。，

故答案为:66。.

9.（2025•甘肃平凉•中考真题）如图1,月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞

门''，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟F宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是

中国古代最完整的建筑技术典籍之一.如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计

图，月洞门呈圆弧形，用AC8表示，点。是AC8所在圆的圆心，AA是月洞门的横跨，C。是月洞门的拱高

现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3,已知月洞门的横跨为A8,拱高的长度为

/作法如下：

①作线段AB的垂直平分线"N,垂足为。；

②在射线DM上截取DC=a；

③连接AC，作线段AC的垂直平分线交C。于点。；

④以点。为圆心，OC的长为半径作AC8.

则AC8就是所要作的圆弧.

请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查尺规作图一复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键.

根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可.

【详解】解•：由题意，作图如下，即为所求：

10.（2024.四川凉山.中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点A6,连接/W,作的垂直平分线交/仍于点。，交A8于点C，

测出48=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出3。的长；设圆心为O,连接在

中，可用半径08表示MOD的长，进而可根据勾股定理求出得小轮子的半径，即可得出轮了一的直

径长.

【详解】解：•・•CO是线段4B的垂直平分线，

・•・直线CD经过圆心,设圆心为。,连接08.

根据勾股定理得：

OD2+RD2=OB\即:

(03-10)2+2()2=08：

解得：03=25；

故轮子的半径为25cm,

故选：C.

11.（2023•广西•中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,

主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A.20mB.28mC.35mD.40m

【答案】B

37

【分析】由题意可知，A8=37m,CD=7m,主桥拱半径R,根据垂径定理，得到人。=合四，再利用勾股

定理列方程求解，即可得到答案.

【详解】解：如图，由题意可知，AB=37m,CD=7m,主桥拱半径K,

：.OD=OC-CD=(R-7)m,

•.•oc是半径，且OCJ■八兄

137

AD=BD=-AB=—m

22t

在RlAAP。中，AD12+OD2=OA2,

•・图+

(R-I)2=R2,

解得：R=萼=28m,

56

故选B

C

A<c----Z)p--B

I

R

O

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键.

考点02圆中的角

1.（2023•山东烟台•中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长达与量角器的

外弧分别交于点A,B,C,。，连接A3,则N8AO的度数为

o

【答案】52.5°

【分析】方法一：如图：连接OAO8.OC,OD4D,A8,由题意可得：OA=OB=OC=OD,

408=50。-25。=25。，然后再根据等腰三角形的性质求得NOA5=65。、ZO4D=25°,最后根据角的和

差即可解答.

方法二：连接。8,。。，由题意可得：ZBAD=105°,然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】方法一：解：如图：连接OAOB,OC,OQ,AO,48.

由题意可得：OA=OB=OC=OD,ZAOI3=500-25°=25°,Z4OD=155°-25°=130°,

・•・Z.OAB=1(180°-Z.AOB)=77.5°,ZOAD=^(180°-Z.AOB}=25°,

J/BAD=NOAB-ZOAD=52.5。.

故答案为52.5。.

O

方法二：解：连接。仇。。，

由题意可得：ZZ?AP=155°-50°=105°,

根据圆周角定理，知NBAD=；NBOD=；xl05o=52.5。.

乙乙

故答案为52.5。.

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度

数的一半是解答本题的关键.

2.(2024・海南•中考真题)如图，A。是半圆。的直径，点8、C在半圆上，且A3=3C=CQ，点P在CD

上，若NPC3=130。，贝l」N084等于()

A.105°B.1(X)°C.90°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质.连接08,OC,证明V408和ABOC都是等

边三角形，求得N4PC=30。，利用三角形内角和定理求得NP4c=200,据此求解即可.

【详解】解：连接08,OC,

:A。是半圆。的直径，A3=BC=CD，

Z.ZAOB=NBOC=NCOD=60°,

・•・VAOBfllABOC都是等边三角形，

JZOBC=ZOBA=60°,

,:BC=BC，

・•・ZBPC=-ZBOC=30°,

•//〃C8=i3(r,

・•・乙PBC=180°-130°-30°=20°，

・•・Z™0=600-20°=40°,

・•・/尸84=40。+60。=100。，

故选:B.

3.（2024.黑龙江绥化.中考真题）下列叙述正确的是（）

A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B.平分弦的直径垂直于弦

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析

判断，即可求解.

【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正

确，不符合题意；

故选：C.

4.（2024•云南・中考真题）如图，CO是0。的直径，点A、4在0。上.若AC=BC，ZAOC=36\则/£>=

（）

B.⑻C.36D.45’

【答案】B

【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接08,由人。可得/8OC=4OC=36。,

进前由圆周角定埋即可求解，掌握圆的的关性质是解题的关键.

【详解】解：连接OB,

,•*AC=BC，

・•・/BOC=ZAOC=3$,

：.80c=18。，

2

故选：B.

5.（2023•江苏徐州•中考真题）如图，在。。中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD.连接A/1，过点6

的切线与4。的延长线交于点尸.若NA尸8=68。，则/。殖=°.

【答案】66

【分析】连接80,则有乙4。8=90。，然后可得乙4=22。,48。=68。，则NAOE=44。，进而问题可求解.

【详解】解：连接8。，如图所示：

A

〈AB是。。的直径，且M是。。的切线,

JZADB=ZABF=9O0,

■:ZAFB=6S°,

・•・乙4=22。，

・•・Z4BD=68°,

•:AC=280，

ZAZ）C=2ZA=44O,

/.ZCDB=90°-ZAZ）C=46°,

ZDEB=180°-Z.CDB-ZABD=66°；

故答案为：66.

【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关

系是解题的关键.

6.（2025・湖北•中考真题）如图，VA8C内接于OO,N5AC=30。.分别以点A和点8为圆心，大于《AB的

长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线MN交AC于点。，连接4。并延长交0。于点E,连接04,

OE,则NAOE的度数是（）

A.30°B.50°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是A8的垂直平分线,

可得DA=DB,可得N84D=NA8O=30。，再进一步求解即可.

【详解】解：由作图可得：MN是的垂直平分线，

:,DA=DB,而N84C=30。，

/BAD=ZABD=30。,

/.ZAOE=2ZA8D=60°,

故选：C

7.（2025•山东东营・中考真题）如图，四边形A3CD内接于00,若N8O£>=130。，则NEC。的度数是（）

C.65°D.70°

【答案】C

【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质.根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出N4AO的

度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案.

【详解】解：・・・/8。£）=130。，

・•・NBAD=L/BOD=65。,

2

•・•四边形4BCO内接于00,

，ZBCD+ZBAD=180°且ZBCD+ZECD=180°,

ZECD=ZBAD=65°,

故选：C.

8.（2025・重庆・中考真题）如图，点A,B,C在上，40B=100。，/C的度数是（）

C.80°D.100°

【答案】B

【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是I同心角的•半，即可求解，熟练掌握圆周角

定理是解题的关键.

【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

NC=」/AO3=50°.

2

故选：B.

9.12025•湖南长沙•中考真题）如图，AC,8C为0。的弦，连接3,OB,0c.若408=40。,NOC4=30。,

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出NAC8=gzAOB=20。，即

可求解.

【详解】解：VZAOB=40°,ZOC4=30°,

・•・^ACB=-ZAOB=20°,

2

・•・ABCO=ZOCA+ZACB=300+20°=50°,

故选：C.

10.（2023・湖北襄阳•中考真题）如图，四边形A3CD内接于O。，点E在8的延长线上.若乙M>£=70°,

【分析】首先根据圆内接四边形的性质得N3=NAOE=70。，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出NAOC

的度数.

【详解】解：•・•四边形ABC。内接于。。，ZADE=70°,

4+NAOC=18()。，

又,?ZADE+ZADC=180°,

JZB=Z4DE=70°,

JZ4OC=2ZB=140°.

故答案为：140.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对

角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键.

11.(2025•山西•中考真题)如图，AB为O。的直径，点C、。是。。上位于48异侧的两点，连接4XCD.若

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC,由AB为。。的直径可得NAC8=90。，进而曰AC=8C得

NC4B=NC4A=45。，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：连接AC、BC,

•••为。。的直径,

/.ZACB=90°,

;AC=BC>

・•・^CAB=ZCBA=45°,

故选：B.

12.（2025.甘肃平凉.中考真题）如图，四边形48CQ内接于0。，AB=BC,连接用），若ZABC=70。,

则/BOC的度数为（）

B.35。C.55°D.70°

【答案】C

【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质.

根据圆的内接四边形对角互补可得N4OC的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可.

【详解】解：•・•四功形A8CZ）内接「。0,

・•・乙A8C+ZAOC=180。，

•・•ZABC=70°,

JZA£)C=180o-70o=110%

VAB=BC,

'AB=BC^

・•・ZADC=ZBDC,

・•・ZBDC=110oxl=55°,

2

故选：C.

13.（2025・青海•中考真题）如图，A8是。。的直径，ZC4B=＜）°,则/AZX?的度数是（）

A.80°B.50°C.40°D.25°

【答案】B

【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所

对的圆周角相等是解题的关键.根据A8是0。的直径得出NACB=9O。，即可求解.

【详解】解：:AB是。。的直径，

Z4CB=90°.

・•・ZC4B+ZB=90°,

,?ZC4B=40°,

/.ZB=50°,

/.ZADC=ZB=50°,

故选：B.

14.(2025・四川泸州•中考真题)如图，四边形48CO内接于OO,8。为0。的直径.若A4=4C,N46=70。,

则NC8D=()

A.40°B.50°C.60°D,70°

【答案】B

【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内隹和定理可得

ZMC-400,根据同弧所对的圆周角相等可得N8力C=N8AC=40。，进而根据8。为。。的直径，得出

ZBCD=90°.进而得出NC8O=50°即可求解.

【详解】解：•・•=AC,ZACB=70。，

・・・ZABC=ZAC8=70。，

・•・ZfiAC=180°-ZABC-ZAC5=40°,

;BC=BC，

・•・Z5DC=Zfi4C=40°,

BD为©O的直径，

ZBCD=90°,

Z.CBD=90°-Z«DC-90°-40°=50°

故选：B.

15.（2024•青海西宁•中考真题）如图，四边形ABC。内接于O。，E为直径C。延长线上一点，A8=8C，

Z4DE=110°,^\ZDAB=

B

A

【答案】125。/125度

【分析】本题考查了己知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角

的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识.

连接AC,根据圆内接四边形性质求得NA8C,结合弧、弦、圆心角的关系推出A8=8C,进而得到N84C,

再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到ND4C=90。，最后根据ND4B=ND4C+N阴C求解，即

可解题.

ZADE=110°,

ZABC=180°-ZADC=ZADE=110°，

;AB=BC，

二.AB=BC，

£BAC=NBCA=少吐叱=35。,

2

•・•CD为直径,

.*.ZDAC=90°,

ZDAI3=NDAC+/BAC=90。+35。=125°；

故答案为：125。.

16.（2025・四川宜宾•中考真题）如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,笈。=6.将射线C4绕点。顺时针

旋转90。到CA，在射线C4i上取一点。，连结AZ）,使得AACZ）面积为24,连结8。，则BD的最大值

是.

D

B

C

【答案】2V13+4

【分析】先整理得ACxCO=48,过点C向上作线段CEJ.8C,使得C£=8,则要=绦，结合

CACB

/8。月=/4。。=90。,整理得/4。4=/石8,证明△CEZA^CAB,B|JZEDC=ZABC=90°,运用即定角定

弦，故点。在以CE为直径的圆上，连接03,并延长与。。交于一点，即为R,运用勾股定理得

BO=2+0c2=2713，即可作答•

【详解】解：•・•射线C4绕点C顺时针旋转9()。到CA，在射线C41上取一点。，连结AO,

乙4c0=9()。，

•••AACD面积为24,

ACxCDxl=24

2

/.ACxCD=48.

过点。向上作线段CE_LBC,使得CE=8,

'：8c=6

J5CxCE=6x8=48

即ACxCD=BCxCE

.CECD

''~CA~~CB'

连接。E,

VCE1BC,

NBCE=ZACD=90。,

£BCE-ZACE=ZACD-ZACE,

?.ZACB=NECD,

,,CECD

•~CA~~CR'

••么CED^ACAB，

NEDC=ZA3C=90。，

故点。在以CE为直径的圆上，

VCE=8,

记圆心为直径CE的小点O,

即0。的半径OD=4

连接08,并延长与。。交于一点，即为。…

此时BR为BD的最大值,

故BO=ylBC2+OC2=J36+16=2V13

JBDi=BO+OD、=2713+4

故ir案为：2+4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点。在

以CE为直径的圆上是解题的关键.

17.（2023•重庆•中考真题）如图，。。是矩形A8CO的外接圆，若A8=4,AO=3,则图中阴影部分的面积

为,（结果保留江）

【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到8。=5,再根据圆的面积及矩形的性质即可解答.

【详解】解：连接B。，

•・•四边形488是矩形，

BO是0。的直径，

•••46=4,40=3,

・'・BDndAB'AD?=5,

・・・OO的半径为m，

25

/.QO的面积为二;r,矩形的面积为3x4=12,

4

25

・•・阴影部分的面积为弓乃-12；

4

故答案为二乃一12；

4

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键.

考点03正多边形与|1

1.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形A8C。所的中心，EF//x

轴，点E在双曲线,=§（左为常数，4>。）上，将正六边形A8CDE/向上平移&个单位长度，点。恰好落在

双曲线上，则攵的值为（）

C.2GD.3

【答案】A

【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等

等，过点七作好/_Lx轴于从连接OE,可证明△OED是等边三角形，则=OH=DH=^OH,

进而得到设OD=2/〃，则HE=Rn,则E（〃m励），以2〃?,0）,即可得到点（2〃?,@

在双曲线上，再由点K也在双曲线上，得到〃=2〃>6=〃2.672,据此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点七作轴于”，连接OE,

原点O为正六边形ABCDEF的U'心，

AOE=OD,/E。。=^-=60。，

6

，△。项）是等边三角形，

DE=OD,

,:EH工OD,

・•・OH=DH=-OD,

2

・•・EH=y]DE2-DH2=^-OD,

设O£>=2〃?，则HE=&n,

,力⑵加）），

•：将正六边形ABCDEF向.上平移右个单位长度，点D恰好落在双曲线上，

.•.点（2/〃,后）在双曲线上，

又丁点E也在双曲线上，

k=2m-G=tn-也m♦

解得〃z=2或〃?=0（舍去），

:・k=2m•石=4出,

故选:A.

2.（2023・上海•中考真题）如果一个正多边形的中心角是20。，那么这个正多边形的边数为

【答案】18

【分析】根据正〃边形的中心角的度数为360。子〃进行计算即可得到答案.

【详解】根据正〃边形的中心角的度数为360。子〃，

则〃=360+20=18,

故这个正多边形的边数为18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.

3.（2022•山东青岛・中考真题）如图，正六边形A8CZ）所内接于0。，点M在AB上，则NCME的度数为

C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可.

•・•正六边形ABCDEF内接于OO,

:"COD二学二60。，则NCOEW20。，

:・/CME=yZCOE=60°,

故选：D.

【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正〃多边形的中心角为国是解答的关键.

n

4.（2025•青海・中考真题）活动与探究

解码蜜蜂的“家”一为什么蜂房是正六边形的？

蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿

也不浪费空间.这是数学中的密铺（或镶嵌）问题.平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相

同内一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.

探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？

平面图每个内角度

能否整除能否密铺

形数

正三角

60°360。+€0。=6能

形

正方形©________②________能

正五边

108°3600-5-108°=—不能

形3

正六边

120°360。+120。=3能

形

正七边900。900014

360°4--—=—不能

形775

正八边

135°③________④________

形

•.•••••••♦♦・

(1)请补全上述表格①:②;③;④.

探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？

数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1,当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切

圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.

观察图1,发现。。是正三角形ABC的内切圆，与人C切于点。，OD±AD,NQ4P=30。，0D=\,在

□△ADO中，AD=6,则VA8C的周长为6G.

(2)如图2,正方形/WC。的周长为；

(3)如图3,求出正六边形的周长(写出求解过程).

探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？

数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.

(4)若正多边形的周长都为12,则正三角形的面积为；正方形的面积为；正六边形

的面积为.

【得出结论】

综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.

图1图2

Q

【答案】(I)①90。，②360。+90。=4,③④不能：(2)8；(3)46；(4),9,6』

【分析】(1)根据正方形，正八边形内角性质解答；

(2)根据正方形内切圆半径为1,得正方形边长为2,即得正方形周长；

(3)根据正六边形内切圆半径为1,得正六边形边长为竽，即得正六边形周长；

(4)在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4,边心距为班，积为46；正方形的边长为3,面

3

积为9；正六边形的边长为2,边心距为石，面积为6月.

【详解】(1):正方形每个内角为90。，

/.360°+90°=4,

••・能密铺；

•・•正八边形的每个内角为135。，

/.360^135°=-,

3

・•・不能密铺；

Q

故答案为：①90。；②3600+90°=4；③360。+135。=§；④不能；

(2)设48切0O于点儿连接。七，AC,BD,

则AC,BD交于点O,AC1BD,0E1AB.

r.AE=BE=OE=\,

/.AB=2,

・・・正方形A8CD的周长为8：

故答案为：8；

(3)设AB切。。于点G,连接OG,OA,08,

则0G_L4B04=08,

AG=BG=-AB,

2

360°

•・•/AOB=——=60°，

6

/AOG=4/4OB=30。，

2

・・・0A=2AG,

VAG2+OG2=OA2,

•,•AAGZ-=_—GOG=_—+，

33

・•・AB=—,

3

二正六边形周长为46；

（4）三角形:

“畀,

・•・AD=-AC=2,

2

E30?,

：・OA=2OD,

AD2+OD~二/2,

・&n_2后

♦•OD=—AD=---,

33

；・Ge=3xgAC.°。=4底

正方形：

VAB=­=3,

4

•*,S正方形A/iCD=48=9,

正六i力：

VAB=—=2,

6

AAG=-AB=\t

2

：.OA=2AG=2,

・'・OG=yJo^-AG2=V3»

,•S正六边膨ABCDEF=6xaAB-OG=6M.

【点睛】此题主要考查了平面镶嵌.熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30

度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键.

5.（2025•上海•中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是

该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是____.

【答案】36。或108。

【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如ZA4C,弦为时，

此时/4BC恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即OO交NA”的两边,

截取的两条弦为A£,8时，进行求解即可.

【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如0。交NA8C的两边，截取的两条弦为A仇灰?，此时NA3C

恰好是正五边形的一个内角，

当角的顶点在圆外部，即。。交〃/C的两边，截取的两条弦为A£C。时，

(5-2)x180°

则：NAED=NCDE='——；----=108°,

・•・/FED=Z.FDE=180°-108°=72°,

/.ZF=180o-2x72°=36°；

综上：这个角的大小是36。或108。：

故答案为：36。或］0g。.

6.(2024•江苏镇江・中考真题)如图，A8是。。的内接正〃边形的一边，点。在0。上，N4C8=18。，则

【答案】10

【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键.在圆周角定理

得乙408=36。，再根据正〃边形的边数〃=360。+中心角，即可得出结论.

【详解】解：•.•NAC8=18。，

:ZAOB=2ZACB=2xl80=36°,

.•.刀=360。+360=10,

故答案为：10.

7.（2024.内蒙古•中考真题）如图，正四边形ABC。和正五边形CEFG”内接于。0,4。和所相交于点M,

则ZAA/b的度数为（）

27°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角

形的性质，连接。C、OE、OD,设CD与EF相交于点N,由圆的内接正多边形的性质可得NGOQ=90。，

ZCOE=72°,HPZDOE=ZCOD-ZCOE=18°,即可由圆周角定理得NOCE=g/OOE=9。，进而由三

角形内角和定理得NQWW=NCNE=63。，再由直角三角形两锐角互余得到NAMF=NDMN=27。，正确作

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接OC、OE、设CO与所相交于点N,

•.•正四边形ABCD和正五过形CEFGH内接于O。，

・•・NCOD=360°4-4=90°,NCOE=360。+5=72°,

・•・/DOE=ZCOD-ZCOE=90°-72°=18°,

ZDCE=-ZDOF=-xl8°=9°,

22

7/C£F=（5-2）X18QO=IO8O>

5

・•・^CNE=180°-108°-9°=63°,

・•・ZDW=ZCA^E=63°,

*/ZADC=90°,

・•・/OMN=900-63°=27。，

JZ4MF=Zr>iW=27°,

故选：B.

---

8.（2024・山东济宁•中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDfiF内接于0。，则它的内切【员半径为（）

E/----------、D

D.6

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接OA,OF,作OGJ.A/于G,证明“OF是等边三角形，可得/G=；A/=1,然后利用勾股定理求出

OG即可.

【详解】解：如图，连接OA,OF,作OG_LAFFG,

♦--------f

VOF=OA,NAO尸=360。x4=60。，

•••44。尸是等边三角形,

^OF=OA=AF=2f

,：OGLAF,

FG=-AF=1,

2

••OG=y/2?-1?=\/3'

即它的内切圆半径为G，

故选：D.

9.12023•四川德阳•中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为史，则这个正多边形的边数是（）

2

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如图，A为正多边形的中心，6c为正多边形的边，AB，AC为正多边形的半径，AO为正多边形

的边心距，由丝=且可得空=6,可得/B=60。，而A4=AC,可得VA8C为等边三角形，从而可得

BC2BD

答案.

【详解】解：如图，A为正多边形的中心，8C为正多边形的边，AB,4C为正多边形的半径，AO为正多

边形的边心距，

A

r.AB=AC,ADJ.BC,3=巫,

BC2

BD=CD=-BC,

2

即四=6

2BD2BD

An

・•・tanZ.B=——=V3,

BD

/.ZB=60°,而A6=4C,

VA8C为等边三角形，

ZZMC=60°,

・•・多边形的边数为：啰=6,

故选B

【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

考点04弧长及扇形面积

1.（2025•甘肃兰州•中考真题）如图，黄金矩形A8CD中卫=四•，以宽48为边在其内部作正方形AB庄,

AD2

得到四边形CQEF是黄金矩形，依此作法，四边形OEG",四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,

L为圆心作人尸，FH，"K，曲线AH7K叫做“黄金螺线若AO=2,贝广黄金螺线”4/7次的长

【答案】（君-1卜

【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式/=黑.先根据黄金矩形AB8中组=叵4，旦

180AD2

4）=2,求出4B=逐-1,进而求出LH=HD=2亚-4,再根据弧长公式

即可求出“黄金螺线”4/7水的长.根据黄金矩形的定义求出A8的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关

键.

【详解】解：•・•黄金矩形A8C。中空=避二1,且AO=2,

AD2

；・AB=y/5-\，

•・,四边形4夕正是正方形，

/.AE=EF=BF=AB=y/5-1,

.\FC=ED=2-（x/5-l）=3->/5,

•・•四边形/G”C是正方形，

GF=GH=HC=FC=3-后,

-CD=AB=y[5-],

:.HD=CD-CH=^-\）-（3-yi5）=2y/5-4,

•・•四边形LKDH是正方形，

LH=HD=2亚一4,

「黄金螺线”AF/7K的长为,

90「4E90兀GHLH

180+180+180

=-7r(AE+GH+LH)

=^TT(AE+ED+LH)

=/(AQ+LH)

=^(2+2x/5-4)

=(x/5-l)^.

故答案为：（6-1）4.

2.（2025♦湖南•中考真题）如图，北京市某处A位于北纬40。（即/4OC=40。），东经116。，三沙市海域

某处B位于北纬15。（即N8OC=15。），东经116。；设地球的半径约为R千米，则在东经116。所在经线圈上

的点A和点9之间的劣弧长约为（）

一\力（北纬40。,东经116。）

---/（北纬15。,东经116。）

B.纭