确定圆的条件 同步练习-2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.3确定圆的条件

一.选择题

1.三角形的外心是（）

A.三角形三边垂直平分线的交点

B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三边高线的交点

D.三角形三条中线的交点

2.若等腰△ABC内接于AB=AC,NBOC=100。，则△ABC底角的度数为（）

A.65°B.25°C.65。或25。D.65°或30°

3.如图，ZkABC内接于。0,ZA=45°,连接。8,OC.若。8=2,则8。的长为（）

4.如图，。0是△回€t的外接圆，小亮和小明只用无亥I度的直尺，分别画出了图①利图②中NP

的平分线.图①中小亮的画法是：连接4P,则A尸即为NP的平分线；图②中小明的画法是：连接40

并延长；交O。于点D,连接PD,则尸。即为NP的平分线.对于以上二人的做法，说法正确的说（）

A.小亮的做法正确，小明的做法不正确

B.小亮和小明的做法都不正询

C.小亮和小明的做法都正确

D.小明的做法正确，小亮的做法不正确

5.如图，。为锐角三角形ABC的外心，四边形OCQE为正方形，其中E点在△48c的外部，判断下列叙

述不正确的是（)

E

D.

\。\

CB

A.。是的外心B.。是ABEC的外心

C.。是△AEC的外心D.。是AAOB的外心

6.如图，。。是△ABC的外接圆,。为比的中点，OE_LAC于E,AB=AE=3,NA8c=60>,则。0的

半径为（）

D

©c

1073

A.3A/3B.4V3C.5D.------

3

7.如图，。0是△ABC的外接圆,ZBAC=45°,若OO的半径为1,则弦BC的长为（）

1=

A.1B.2C.-D.V2

2

8.如图，。0是△ABC的外接圆,已知AB=2,NC=45。，则OO的半径0A的长度为（）

3

A.V22B.1C.近D.2

9.如图，。0是等边△ABC的外接圆，D,E分别为AC,8C的中点，延长£D交。。于点F,若。。的

半径r=孥，则。尸的长度为（）

DE

O

A\-----------------/B

1Vs-i

A.V5-2B.V3-1C.-D.-------

22

10.如图，等边三角形48c边长为1,点。，E,尸分别在边C4,AB,BC的延长线上，AD=BE=CF=\,

连接DE,EF,FD,EC.给出下面四个结论中正确的是（）

①△OEF是等边三角形；©DCLEC；③△A3C的面积为与△尸面积之比为1：6；④的外心

与△A4C的外心重合.

C.®®®D.①②®®

二.填空题

II.数学老师可以用粉笔在黑板上画出一个圆，这个现象说明.

12.如图，A。是△A8C的外接圆。。的直径，AHA.BC,垂足为”.若AB=5,AC=4,AH=3,则直径

AO长为.

13.如图，△ABC内接于。。，NA=45。，BC=6,则。。的直径为

A

O

BC

18.如图，已知RtZkABC内接于O。，过圆心。作8c的垂线交O。于点。，连接CO,CD,BD.

（1）当NA=60。时，求证：四边形CO8D是菱形.

21P

（2）当4=45。时，°D与BC交于点、E,直接写出布的值是

19.如图，三角形4BC内接于圆O,4是弧BC的中点，点尸在圆。上运动，且始终保持连接

PB、PC,作AQ_LPC交尸。于点。，

（1）如图1,当点P在劣弧8C上时，探究3P、PD、CO之间的关系，并说明.

（2）如图2,当点〃在优弧8c上时，请补全图形，探究4巴MC0之间的关系，并说明理由.

20.如图1,是圆内接等腰三角形，其中/W=AC,点P在元上运动（点P与点人在弦8c的两侧），

PB+PC

连接％,PB,PC,设/孙C=a,F—=y,小明为探究），随a的变化情况，经历了如下过程

（1）若点〃在弧4C的中点处，a=60。时，1y的值是.

（2）小明探究a变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据.在如图2平面直角坐标系中以

表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象：

a...30。60°90°120°150°170°

y0.521.731.931.99

（3）从图象可知，），随着a的变化情况是:y的取值范围是

参考答案

一,选择题

题号12345678910

答案ACCCDADCDC

二.填空题

11.点动成线.

20

12.——.

3

13.6V2.

14.66.

15.10.

三,解答题

16.解：（1）如图所示：连接A&BC,分别作A3、8C的垂直平分线，两直线交于点P,

则点尸就是过A,B,C三点的圆的圆心，有图形可知。的坐标为夕（-1,-2）,

故答案为：（-1,-2）；

（2）连接PB,设和过P点的垂线的交点为C,

由勾股定理得PB=V32+I2=V10,

故圆的直径为2m.

17.解.：（1）•・•两腰长恰好是关于x的一元二次方程//-J+3）/6=0的两根,

AA=[-（k+3）f-4x入x6=0,

解得左=3,

3

，一元二次方程为-x2-6x+6=0,

2

，两腰之和为[=4,

2

，AABC的周长为4+3=7；

(2)如图，连接。8,0C,连接A0并延长交8C于。,

•・・A3=AC=2,OB=OC,

：.ADYBC,BD=CD=1BC=1.5,

：.AD=>/AB2-BC2=J22_(|)2=、,

设AO=OB=r,

0D=芋—「，

•・,OB2=OD1+BD1,

.*.r=(--r)~+(-)2,

22

,4；7

・・r=T

・・・。0的半径为4十77.

18.(1)证明：如图1,TN人=60。，OA=OB.

•••△AOC为等边三角形，

/AOC=60。，

'JODLBC,

:.cb=Bb,

・•・ZCOD=ZBOD=I(180°-60°)=60°,

，△。。。和408。都是等边三角形，

・••OC=CD=BD=OB,

・•・四边形COW)是菱形；

(2)如图2,

•••AB为直径，

・・・AC8=90°,

VNA=45。,

•••△ACB为等腰直角三角形,

/.ZABC=45°,

V0D1BC,

•••△OEB为等腰直角三角形,

：.OB=y/2OE,

AB「

—=2A/2.

OE

故答案为2V2.

19.解：⑴CD+PB=PD.

理由如下：

如图1,作于"，连接AP,

VA是弧8C的中点，

：,AB=AC>ZI=Z2,

在△4BH和△AC。中

LAHB=Z.ADC

Z-ABH=/-ACD,

AB=AC

:.XABH9XACD(AAS),

：.BH=CD,AH=AD,

在RtAAPH和RtAAPD中

(AP=AP

14H=ADf

ARtAAPD(HL),

:.PH=PD,

即PB+BH=PD,

:.CD+PB=PD；

(2)CD-PB=PD.

理由如下：

如图2,作A”_L8P于，，连夜4户,

〈A是弧8C的中点，

：.AB=AC,N3=NAC8,

在△A6”和△ACO中

Z.AHB=/.ADC

Z.ABH=Z-ACD,

AB=AC

(4AS),

:・BH=CD,AH=AD,

在RSAPH和RtAAPD中

(AP=AP

\AH=AD"

ARtAAPH^Rt^APD(HL),

:.PH=PD,

：.PB+PH=CD,

即PB+PD=CD,

：,CD-PB=PD.

图1图2

20.解：(1)如图所示：

a=60。时，

'：AB=AC,

•••△ABC是等边三角形，

•・•点P在弧8c的中点处，

AAP经过△ABC外接圆的圆心0,

连接08、OC,贝△0CP是等边三角形，

：,OB=OC=PB=PC=OP,AP=2OP,

PB+PC20P

----------=------=1；

AP20P

故答案为：I;

(2)①a=60。时，点P不在弧BC的中点处，延长BP,截取PO=CP,连接C7),如图2所示:

VZBPC=180°-a=120°,

，NCPO=60。，

•••△。尸。是等边三角形，

；C=3=PD,NPCD=6W,

•・・a=60。时，△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,NACB=60。，

工/ACP=NBCD,

AC=BC

在4ACP和48CQ中，Z.ACP=乙BCD,

CP=CD

:.AACP乌4BCD(SAS),

：,BD=AP,BPPI3+PC=AP,

PB+PC

----------=1

AP

与(1)相同,

,PB+PC

・..a=60。时，------=1

AP

②a=90。时，点尸在弧3。的中点处时，贝IJA尸、3。是直径，28=P。二鱼半径,:.PB+PC=&F,

,PB+PCr-

即------=V