江西省南昌市某中学2025-2026学年高一年级上册开学考试数学试卷

江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期开学考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（）

A.三角形B.正方形C.扇形D.圆

2.若在实数范围内有意义，则实数上的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

x<3

A.

B.

-1012345X

C.

D.

-1012345x

5.一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3

个球，下列事件为必然事件的是（）

A.至多有I个球是红球

B.至少有1个球是红球

C.至多有1个球是黑球

D.至少有1个球是黑球

6.若点A（-3,y都在反比例函数），=-2的图象上，则户,户办的大小关系

Y

是（）

A.y,<<兄B.月<M<X

c•y<.v3<必D•乃<其<凹

7.如图，在6x7的网格口，每个小正方形的边长均为1若点A,B,C都在格点上，则sinB

2折R3行「26

I，1234

8.如图，在V48c中，±/iCB=90*,上C4B=3。，A。平分上C48,BE±ADfE为垂足,

An

则一的值为（）

RF

力----------、B

A.2、八B.邛

C沙>当

二、多选题

9.传统纹样作为中华传统文化的一部分,具有深厚的底蕴.我国出土汉代玉器的下列纹样,

是轴对称图形或中心对称图形的有（）

A（77^

试卷第2页，共6页

c[5l£]d\Q

10.如图为二次函数），=加+以+c的图象，下列代数式的值为负数的是（）

11.如图,在平面直角坐标系r0y中,A.区分别是横、纵轴正半轴上的动点,四边形O/ta?

是矩形，函数y='（x>0）的图象与边4C交于点M,与边BC交于点N（M,N不重合）.给

出下面四个选项，则正确的有（）

A.△COM与△CON的面积一定相等

B.△MON与△MCN的面积可能相等

C.△MON一定是锐角三角形

D.△MON可能是等边三角形

三、填空题

12.分解因式：3丁丁-12）：=.

13.如图，将三角形纸片4BC折叠，使点A落在边8c上的点。处，折痕为C£.若VA3C的

面积为8,6BCE的面积为5，则8。：DC=.

试卷第3页，共6页

14.如图，在平行四边形ABC。中，48=3,AD=4,点E在AO的延长线上，且OE=2,

过点E作直线/分别交边CD,AB于点M,N.若直线/将平行四边形人BCD的面积平分，则线

段CM的长为.

四、解答题

15.某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A,6两款材料包，购买3份A款材料包和

2份B款材料包需84元，购买2份八款材料包和3份8款材料包需86元.

(1)问购买一份4款材料包和一份。款材料包各需多少元？

(2)该社团打算购买A,8两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买人款可料

包多少份？

16.某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长(简

称：停车时长)的情况.超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据(单位：

分钟)，并将数据整理，绘制了统计图表：

组停车时长x/分组内平均停车时长/分

别钟钟

40<x<3015

B3()<x<6()47

C60<x<9080

D90<A-<120105

Ex>120200

试卷第4页，共6页

根据以上信息，解答下列问题：

(1)请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组；

(2)求本次采集的这60个数据的平均数；

(3)如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内100()辆车

中，有多少辆车免收停车费？

17.如图，LMPN=30•，点。在PM上，G。与PN相切于点4,与PM的交点分别为8,C.

作CDHPN,与G。交于点。，作CE」,PN,垂足为E,连接E。并延长，交C。于点F.

⑴求证：C。二尸八；

(2)若PA=4,求EF的长.

18.如图1,招RtV/AOB充直角顶点O旋转至△CO。，点八，9的对应点分别为C,。.连接

AD,BC,AC,BD,直线AC与交于点E.

图1图2

("△4OO与WC的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)如图2,连接OE,若4tCD,OE的中点分别为P，0，R.求证：P，Q，R三点共线;

(3)已知A3=5,随着OA,05及旋转角的变化，若存在以A,B,C,。为顶点的四边形，其

面积为S,求S的最大值.

试卷第5页，共6页

19.已知二次函数)，=〃(xf了(〃>0)过点/1(0,1),8(1,1).

(1)求二次函数解析式；

⑵己知知(孙〃?)4(.忆〃?)在二次函数图象上不同的两个点.

(i)若用<1,求证：ki-X2|<I：

(ii)若空二4五的值为整数.求〃？的所有可能取值.

与再

试卷第6页，共6页

《江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CDCCBDAAABCBD

题号11

答案AD

I.C

【分析】利用圆锥侧面展开图特征判断即可.

【详解】将圆锥的侧面沿母线OA剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是眼形.

故选：C

2.D

【分析】利用二次根式的定义求出x范围即可.

【详解】式子有意义，则X-INO,解得xN1,

所以实数x的值可以是2,D正确，ABC错误.

故选：D

3.C

【分析】由积的乘方法则进行计算.

【详解】-.&2)")=-36y3•

故选：C.

4.C

【分析】分别在数轴上表示两个不等式，取其公共部分.

【详解】由x-120得X21,数轴上I处是实心点，对应数轴上1右侧的数：

-1012345X

X<3,数轴卜3是空心点,对■应数轴卜3左侧的数：

_I__II___I—i_I_L—>

-1012345X

x-\>0

所以不等式组.的解集表示正确的是C.

x<3

故选：C.

5.B

答案第1页，共12页

【分析】根据摸球的可能结果判断.

【详解】从袋中任意摸出3个球，可能的情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个

黑球：③恰有1个红球和2个黑球.

所以摸出的3个球中“至少有1个是红球”是必然事件.

故选:B.

6.D

【分析】根据反比例函数驾象上点的坐标特征求解即可.

【详解】因为反比例函数的2=—9＜0,

所以反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，

因为点人（一3,以）在第二象限，所以》＞0,

又因为在第四象限，且1＜3,所以必＜以＜0，

所以先＜yy＜y.

故选：D

7.A

【分析】作出辅助线，由勾股定理求出48=寂.4。=20,从而得至UsinB

【详解】由勾股定理得人8=川复国二底

在8c上取点。，使得8。二3C。，连接4。，格点。的左边格点为产，

因为上4。广二上肘加=45。，故上408=45。+450=90。，即AOJ.BC,

由勾股定理得八。二后淳=2/，

答案第2页，共12页

【分析】设出3C,利用角平分线的性质可得CD3。，结合三角形相似和勾股定理可得答

案.

【详解】设8。=1,由题意则A8=2,AC=J\t

因为AQ平分上CAB,所以空二以，即8=迫区。；

ARRD7

因为CO+6Q=4C=1,所以3。=4-2a，CD=2x/3-3.

因为上C=±E=900,上COA=上BDE,所以MCD与4BED相似，

所以丝=W£,整理得人。.BE=AC.80=4Ji-6，即8E=4/-6

RnRFAH

在直角三角形ACO中，AD2=AC2+czy=3+(2V3-3)：=24-12>/3,

mJDACT24-12V3

所以H=—7=—=—r——2x/3.

BE4V3-64V3-6

故选：A

9.ABC

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断.

【详解】对于A,沿中间竖直直线折叠，直线两旁部分完全重合，故为轴对称图形：

对于B,沿多条直线（如水平、竖直、两条对角线方向）折叠，直线两旁部分完全重合，故

为轴对称图形，绕图形中心旋转180。后，能与自身重合，也是中心对称图形；

对于C,绕中心点旋转180。后，能与自身重合，是中心对称图形；

对于D,既不是轴对称图形也不是中心对称图形，

故选：ABC

【点睛】

1（）.BD

【分析】由抛物线与），轴的交点位置可判断c的符号：由抛物线的开口结合对称轴的位置可

判断B；由抛物线与1轴的交点个数可判断4ac的符号：由图象上横坐标为-1的点的

位置可判断的符号.

【详解】根据图象得：

当X=0时，y=c>0.故A不正确；

当x=-1时，y-a-b+c<0.故D正确；

由图象与轴有两个交点，得〃-4ac>0.故C不正确：

答案第3页，共12页

由抛物线的开口向下'又因为对称轴“二-少

~b>2a,即2a+〃<0.故B正确.

故选：BD.

II.AD

【分析】通过设点坐标，利用反比例函数表达式求出相关线段长度，进而计算三角形面积来

判断各选项的正确性.

【详解】设点"坐标为(qL),点N坐标为(6二),

ab

则A(a,0),3(0，)C(J)

：OB=AC=-,OA=BC=a,BN=b,AM=-,CN=a—h,CM=---,

bnba

Sc=_CMxQ/4=-x(------)XQ=-----------,

AftOtWKI22ba2b2

SCON=-CNxOB=-x(a-b)x-=——

式。N22b2b2

♦S4coM-S"ON»故A正确:

।「A/GA/1(AJI(。一

Sc八=—CN-CM=—x\a-bX-----)=----------

皿22balab

I("Ba2-b2

SA.MQN=S()ACB一S4LsQV-SJN=t?x—/bx--xax

0a1CbL0Zalablab

当△MCW与△例CW的面积相等时，、即。=力，

lablab

当4=b时，M,N重合，与题意不符，故B错误;

当M,N在y=x的同侧时,△M0N可能是钝角三角形，C错误;

\等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当上NOM=60.且

对称轴都为直线了;%，AMON可能是等边三角形，D正确:

如图：

答案第4页，共12页

故选：AD.

12.3y(x-2)(x+2)

【分析】利用提取公因式和平方差公式因式分解即可.

【详解】由3。I2y=3y(f4)=3y(x+2)(A2),

故答案为：3y(x+2)(x2)

【分析】根据题意，由折叠的性质可得S%C£=S/eE=3,所以VBDE的面积为2,由面积

关系可求解.

【详解】由题意，V48C的面积为8,ABCE的面枳为5，

所以△人，£：的面积为3,

因为将三角形纸片A8C折叠，使点A落在边8c上的点D处，折痕为CE,

所以“ACE=S3ME=3,所以V'BOE的面积为2,

所以8Q:DC=SXBDE:&乂£=2:3.

2

故答案为：

9

14.-

4

【分析】连接AC交/于点0,根据平行四边形的性质依次证明得到~TNE和

△帅。三AMC。，进而得到等式需=会，将题目所给条件代入，即为一个关于CM的方程,

解方程即可得到答案.

【详解】如图所示，连接AC交/于点0,

答案第5页，共12页

因为AC为平行四边形ABC。的对角线，旦直线/将平行四边形A8C。的面积平分,

所以。为AC的中点，为平行四边形的中心，即OA=OC,

因为四边形A6C。是平行四边形，BPABHDC,

DMED

所以&DME~^ANE,=—

ANFA

又因为±M4。=上WC。，±AON=±COM,AO=CO,

所以^NAO三&MCO，AN=CM,

DMED

可得

CM~EA

因为OE=2,AE=AD+DE=4+2=6,DM=DC—CM=AB—CM=3—CM,

3-CA/219

所以、J'=W=」,即CM=9—3CM,解得CM二二.

rwAl4

9

故答案为：

4

15.（1）一份A款材料包需16元，一份3款材料包需18元

⑵35

【分析】（1）设出未知数，从而列出方程组，求出答案；

（2）设购买A款材料包。份，从而得到不等式，结合。为整数，得到。最小为35.

【详解】（1）设购买一份A款材料包和一份3款材料包各需x元和y元，

3x+2y=84x=16

解得＜

2x+3y=86y=18

答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需16元和18元.

（2）设购买A款材料包，份，贝IJ16a+18（5O—a）4830,

解得a235,Ta为整数，・•・“最小为35,

答：至少购买A款材料包35份.

16.⑴作图见解析，B

（2）65分钟

（3）600辆

【分析】（1）先算出8组的频数即可补全条形统计图，再根据中位数的定义求解即可;

答案第6页，共12页

（2）根据平均数的定义求解即可;

（3）根据60个数据中不超过60分钟的车辆所占比例求解即可.

【详解】（1）4组的频数为60—16—11—8—5=20,

补余条形统计图如F：

个个数

206r

15n11

10n8中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数,

^[|1111111n.

ABCDE组别

第30个和31个数据都在8组，

:这60个数据的中位数落在8组.

（2）iX60个数据的平均数为--------------------------------=65（分钟）.

nil

（3）估计该停车场内1000辆车中，有1000x"乎2=60€辆车免收停车费

nlJ

17.（1）证明见解析

⑵⑨

【分析】（1）将问题转化为证明ACBDgAPOA即可；

（2）过点。作。〃J_CE于点〃，首先证明△CO〃S^CP£,求出CE,再证明△CO/SAPOE,

求出CF,最后利用勾股定理求出

【详解】（1）如图，连接BDOA,

•一。0与PN相切于点A,：OA_LPA，:上OAP=90O，

•&T是◎。的直径.：±BDC=900.：,tOAP=±BDC=900

•.CDWPN,:上MPN=上BCD=300，\BD=-BC=OA，

9

:△CBO/APOA(AAS),,CD=PA；

(2)如图，过点。作OH_LCE于点H,

'：CEJ_PN,OAPA,：上。HE=±HEA=±OAE=9()0f

:四边形OAE〃是矩形，：。4二二AEOHIIAE,

答案第7页，共12页

•±MPN=300.%=4,,OA=tan3()0.PA=，：.EH=OA=—,

•・•上P=30O.Q4j_P4,：.PO=2OAt

OA=OC,・•・CP=OC+PO=3OC,

'：OHWAE,・•・△COHs^CPE,

.OHOC

PF-rp

■:OH\\AE/.±.COH=上MPN=300,

同上可得：CH=^OH=与瓦

:.CE=EH+CH=2y[3-.

\CDWPN,:.4cOFS^POE,

CFOCOC1CF1

----=-----=------=—,------=—,:.CF=3,

PEOP7OA74+2?

•CD11PMCE上PN,：CE±CF,

EF=JCE2+CF2=X/12+9=后.

18.(1)S^AOD=S^BOC，理由见解析

(2)证明见解析

⑶25

【分析】(1)过4作4MJ_OO于M,过点。作CN_LBO的延长线于N,求证

△4OMgaCON(AAS)即可证明：

(2)延长OP至“，使得OP二P”，求证O,E,/),C四点共圆，进而得出

1AEB=DEC=DOC90。，再求证四边形EPOQ是菱形，四边形QEHP是平行四边形,

最后得出E〃〃PQ,结合E////RP即可求证：

(3)化简得S=AO.O6+08.CN,进而放缩为SW2A0.08,利用不等式

2AO.OB<AO2+。*即可求出最值.

=

【详解】(1)S"oD0c,理由如卜：

由旋转的性质可得80=OD.AO=OC,

过A作4MJ_。。于M,过点C作CNJ_8O的延长线于N,

则上4Mo=上0NC=90,

因±/1。3=妙，贝iJ±40N=±AOB=9(?,则？。可=上COM=90，

答案第8页，共12页

故上AOM=上CON,

又因。4二OC,则△AOM9ACON（AAS）,则AM=CN,

1I

则S&AOD=5。。.AM=严.CN=5ASOC；

(2)延长OP至“，使得OP=PH,连接EH,RP,AH,BH,

因R,P为OE,OH中点,则RP为△OE”的中位线，则RP〃EH,

由旋转的性质可得60=OD.AO=OQAB=CD,±AOB=上COO,

,OAOC

则上A0C=_/W£),—=—,

ORon

则△BOQsz^OC,则上0。8二上0cA,则O,E,DC四点共圆，

故上AEB=DEC=DOC9(?,

连接EQ,OQ.PE,

因在RlZXOEC中，点。是CO的中点，则EQ=4CD,同理可得O0=」CD,

?7

又在RSAEB中，点尸是A8的中点，则EP=148,同理可得OP=LW,

7?

则EQ=EP=0Q=OP=-AB=-CD,则四边形£P。。是菱形，则EQ/OP,

97

则£Q〃P",“Q=PH,

则四边形是平行四边形，故£〃〃PQ,

又EHHRP,故P,Q,R三点共线：

答案第9页，共12页

（3）由（1）得=S&BOC»由旋转的性质可得S.AO8=SA8D»

则S=2（S，ACB+SA80c）=2；AOOB+夕BCN}AO.OB+OB.CN

<AO.OB+OB.CO=2AO.OB,等号成立时COJ_08,

因。。一。8了>0,则240.08<AO2+OB',等号成立时AO=OB,

\Rl^AOB中，AO2+OB'=AB-=52=25,则240.08<25,

则S的最大值为25.

1Y

19.(I)y=4x--

⑵(i)证明见解析(ii)5,3,2

【分析】(1)由40J),仇1,1)关于直线x=g对称，可得。=:，再代点即可求得。=4,进而

求解即可；

|—m

(2)G)结合韦达定理可得〃？>0,且用+不=1，司,々二——，进而求证即可；

d

(ii)化简得出1+9=丁*--3进而结合题设分析求解即可.