期中复习【6大类型38个考点】（解析版）-2025-2026学年九年级数学上册（沪教版）

期中复习【6大类型38个考点】(前3章)

【沪教版】

题型归纳

【基础概念易错篇】..............................................................................2

【考点1成比例线段】..........................................................................2

【考点2平行线分线段成比例】.................................................................4

【考点3相似三角形的判定】...................................................................8

【考点4相似三角形的性质】..................................................................II

【考点5平面向量的线性运算】................................................................15

【考点6正弦、余弦、正切的定义】............................................................18

【考点7特殊角的三角函数的值】..............................................................21

【考点8锐角的三角函数间的关系】............................................................24

【考点9解直角三角形的相关计算】............................................................26

【考点10二次函数的定义】....................................................................30

【考点II二次函数丫=@乂2的图象与性质】.......................................................32

【考点12二次函数丫=2*2+1＜的图象与性质】....................................................33

【考点13二次函数y=a(x-h)2的图象与性质】..................................................36

【考点14二次函数y=a(x-h)?+k的图象与性质】..............................................39

【考点15二次函数丫=ax2+bx+c的图象与的性质】............................................42

【考点16二次函数丫=ax?+bx+c图象与系数的关系】..........................................46

【考点17二次函数图象与几何变换】...........................................................51

【考点18二次函数与一元二次方程】...........................................................54

【计算篇】.....................................................................................57

【考点19含特殊角的三角函数值的计算】.......................................................57

【实际应用篇】.................................................................................59

【考点20相似三角形的应用】.................................................................59

【考点21解直角三角形的应用】...............................................................64

【考点22二次函数的应用】....................................................................69

【作图篇】.....................................................................................75

【考点23在网格中作相似三角形】.............................................................75

【几何计算与证明篇】...........................................................................79

【考点24利用平行线分线段成比例求线段长度】................................................79

【考点25证明相似三角形】....................................................................84

【考点26利用相似三角形的判定和性质求值】...................................................88

【考点27利用相似三角形的判定和性质证明】...................................................93

【考点28求锐角三角函数值】.................................................................96

【考点29三角形中解直角三角形】.............................................................103

【考点30在四边形中解直接三角形】..........................................................108

【压轴篇】....................................................................................114

【考点31利用相似求坐标】.................................................................114

【考点32相似三角形-动点问题】..............................................................119

【考点33相似三角形-最值问题】.............................................................126

【考点34相似三角形-综合与实践】............................................................135

【考点35向量与相似的综合】................................................................146

【考点36构造直角三角形解直角三角形】......................................................151

【考点37利用二次函数的性质求最值】.........................................................156

【考点38二次函数中的存在性问题】..........................................................166

举一反三

【基础概念易错篇】

【考点1成比例线段】

1.（24-25九年级上•河南郑州•期中）已知2=&那么牛:（）

ac5a+c

A.《B.7C.；D.（

OO4O

【答案】D

【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值.根据：=△=£可得

d=|a,d=|c,代入求值即可.

【详解】解：；^=7=i

ac5

22

b--a,d--c,

.b+d1a+1c2

•，Q+c-a+c/，

故选：D.

2.（24-25八年级下•山东烟台•期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（）

A.2cm,2.5cm,3cm,3.5cmB.V3cm,3cm,3cm,45/3cm

C.2cm,4cm,8cm,18cmD.V2cmcm,V3cm,2cm,V6cm

【答案】D

【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键；

根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘枳等于中间两段的乘枳，则它们成比例，逐项判

定即可.

【详解】解：A.2X3.5=7,2.5x3=7.5,因为7H7.5,所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题

意；

B.百X4疗=4X3=12,3x3=9,因为12H9,所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意：

C.2x18=36,4x8=32,因为36H32,所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意；

D.V2xV6=A/12=2X/3，百x2二2百，因为&X遍=遮乂2,所以这四条线段成比例，故此选项符

合题意；

故选:D.

3.（25-26九年级上•广东•阶段练习〉大自然是美的设计师，即使是•个小小的盆景，经常也会产生最具美

感的黄金比.如图，点8为力C的黄金分割点（A8>3。），若AC=100cm,贝必8长为（）cm

A■■■—一―――.rB一一一一一C，

A.150-50遥B.100V5-100C.5075-50D.50\/5+50

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割.熟练掌握黄金分割是解题的关键.

由题意知，篇=*=亨，即益=喘=要，然后计算即可解答.

【详解】解：由题意知，隼*年，即第=^=年，

解得：AB=50（75-1）=5075-50,BC=50（75-1）X=150-5075.

故选C

4.（24-25九年级上•安徽宿州•期末）如图，已知点上是平行四边形4BCD边4D上一点，CE、B力延长线交

于点R下列结论中错误的是（）

r…——DE=一EC

BCFC

【答案】D

【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，掌握相似三

角形的判定与性质是解题关键.根据平行四边对角相等和对边平行，得到相似三角形，再利用平行线分线

段成比例和相似三角形的性质逐项判断即可.

【详解】解：•••四边形48CD为平行四边形，

AB\\CD,zF=zD,AD=BC,

,.-AEWBC,

.・第=喋，该选项说法正确，故不符合题意;

/irJLL

vBFHCD,

△AEFDEC,

••爷=差，该选项说法正确，故不符合题意;

LDCD

C、VCDHFF,

LBFC=乙DCE,

又vZ.B=Z.D,

:,色DCEFBFC,

.噌=霹，该选项说法正确，故不符合题意;

D.-AEWBC

△FAE-△FBC

：'"BC~诉’

-AD=BC,

嚷=有=募=卷方工弟该选项说法错误，故符合题意.

故选：D.

【考点2平行线分线段成比例】

1.（25-26九年级上•上海•阶段练习）如果用线段“、机&求作线段x,使Q：b=c:x,那么下列作图正确的

【答案】B

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

根据平行线分线段成比例，逐项分析即可.

【详解】解:A、由平行可得加c=a:%,变形为a:b=x:c与已知。山=。戊不符合，故选项A不正确；

B、由平行可得a:c=b:x,变形为=c:x,与已知a:b=c:x符合，故选项B正确；

C^由平行可得b:c=%:a与已知=c:%不符合，故选项C不正价；

D、由平行可得a:b=%:c与已知a:b=c:x不符合，故选项D不正确；

故选:B.

2.（25-26九年级上•上海•阶段练习）平行四边形ABC。的对角线相交于点O,0E||48,则与aBOE相似的

三角形有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由CEII/B得到NBOE=4BDC,乙BEO=LBCD

即可得至由平行四边形得到448。=N80C,乙BAD=LBCD,进而得至BOE〜OBA.

【详解】-0E||AB

;/BOE=乙BDC,Z.BEO=乙BCD

:.△BOEBDC

•••四边形4BCD是平行四边形

.-.Z.ABD=乙BDC,/.BAD=乙BCD

:.乙ABD=乙BOE,乙BAD=Z.BEO

:.△BOEDBA

与△BOE相似的三角形有2个.

故选:A.

3.（25-26九年级上•上海•阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角

形中，与△力8C不相似的是（）

A.ABDEB.ABCDC.AFGHD.ABFG

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关

键.根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即

【详解】解：设每个小正方形的边长为1,则在△ABC中，AB=ltAC=&,BC=yf5,

A、在△BOE中，0E=2,BD=2丘,BE=25

AC1BCV51

***'DE=2f诟=坊=5，靛=忘=5，

.AB_AC_BC

''DE~~BD~~BEf

.♦AABCFDEB,故A选项不符合题意；

B、在△BCD中，CD=1,BC=®BD=2瓜

_d£-^2_VToVTo

•五一正一方5~,说一市一~

AB,AC,BC

—工R—.

CDBCBD9

4BC和△BCD不相似，故B选项符合题意；

C、在△FGH中，HG=V2,FH=2,FG=V10,

竺_L_日-4C_V2BC浜&

..•而=0=1■，而=下，而=而=1-'

:.AB=—AC=—BC.

HGFHFG

：4ABCMHGF,故C选项不符合题意：

D、在中，BF=V5,FG=V10>BG=5,

,.AB__2__4S__5/2__Vs££_Vs

''BF~V5~~5r而一而~~5r~~5,

AB_AC_BC

•，~BF~'FG~诟’

•••△ABC〜△FBG,故D选项不符合题意；

故选:B.

4.如图在△ABC中，Q为力B上的一点，在下列条件中：®^ACP=zfi；②乙4PC=/4CB：@AC2

=AP-AB-@AB-CP=AP-CB,能满足△APC4C8的条件是（）.

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案.

【详解】①44cp=NB，=

△4PC〜△4CB.

@-Z-APC=Z.ACB,Z.A=Z/1,

.-.hAPC^^ACB；

@-AC2=AP^AB,

ACAB

=痫

又•.乙4=乙4,

△4PC〜△4CB：

④•••48・CP=4P・C8,

・•噌=会，力P是△APC的最短边，是△4C8的最长边，4P和48不是对应边，不能判定与△力理

相似:

所以①②③能判定④不能.

故选：D.

【考点3相似三角形的判定】

1.（25-26九年级上•辽宁•阶段练习）如图，点。，E分别在△48C的边48,4C上，且△4ED,

若芯=3,S&40E=1,则S△/18c值为（

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的

关系来求解△力8c的面积.

【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方，

设△ABC与△AED的面积分别为Sa.Bc和相似比为k,

则有件£=攵2,

3△/IDE

由题可知k=3,已知S&4DE=1,

将其代入到受些=42中，可得¥=32,

'△ADE1

即S&4BC=9.

故选：A.

2.（24-25九年级上•陕西咸阳•阶段练习）已知△4BC〜凡若△ABC和△D"•的面积之比为充，则

△46C与•的对应角的先平分线之比为（）

4-16-9-1

A-?B.元C,-0,-

【答案】A

【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平

分线）之比等于相似比是解题的关键.

根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可.

【详解】解：••・△4BCY0EF,面积比为患.设相似比为女,

-k2--

,出~25

：.k=!

与△DEF的对应角的角平分线之比=k=l

故选：A.

3.（2020・安徽合肥•二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且

ZBGC=90°,延长BG交CD于点E,延长CG交AD于点F,当CD=4,DE=1时，则DF的长为（）

A.2B.1C.V5D.I

【答案】A

【分析】延长AD,BE相交于点M,可得4DFG〜△HCG,△DMG〜△HBG,根据相似三角形的性质可得

DF=DM,由aMDE〜ZkCDF可得索=鬻，进而得出喘=雾，再根据比例的性质解答即可.

UrLuDrCD

【详解】解：如图，延长AD,BE相交于点M,

vDFHCH,

.-.△DFG-AHCG,

DF_DG

五=而’

vDMHBH,

•••△DMG-AHBG,

DM_DG

''BH~GHf

vCH=BH,.-.DF=DM,

又••矩形4BCD,

Z.CDF=乙EDM=90°,

vZ.BGC=90°,

“GE=90。，

vLCEG=乙MED,

:.乙FCD=NM,

AAMDE-ACDF,

DE_DM

而一五，

L'b_Uh

~DF~"CD'

：.DF2=DE・CD=1x4=4,

.-.DF=V4=2.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、

相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.（24-25九年级下•湖北黄冈•期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点。

为位似中心，在网格中画△。4/1，使△041%与△O4B位似，A,4的对应点分别为A，Ri，且△。4々

与△048的位似比为2：1,则下列说法不正确的是（）

OBx

A.点名的坐标为（4,0）

B.力向IMB

C.△。力/1与△0A8的周长之比为2：1

D.△。力道1与△。/18的面积之比为&:1

【答案】D

【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键.

根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可.

【详解】解：如图，

A.点%的坐标为(4,0),原选项T确，不符合题意；

B.根据位似性质可知：必/11/8,原选项正确，不符合题意；

C.由△04%与△。4B的位似二匕为2：1,则△。4科1与△O,4B的周长之比为2：1,原选项正确，不符

合题意；

D.由与△048的位似比为2：1,则△04/与△OAB的面积之比为4：1,原选项错误，符合

题意.

故选:D.

【考点4相似三角形的性质】

1.如图，正方形04RC和正方形DEFG是位似图形(其中点0,A,B,C的对应点分别是点D.E,F,G),

点B的坐标为(1,1),点F的坐标为［4,2),则这两个正方形的位似中心的坐标是()

匕卜

GF

C—^

OAD

A.(-2,0)B.(2,0)C.(-4,2)D.(4,2)

【答案】A

【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接尸B并延长勺x轴交于点P,

根据位似变换的性质，点P即为位似中心，然后设0P=x,表示出/M、PE,再根据和尸相似,

利用相似三角形对应边成比例列式求出乜再根据点P在％轴负半轴上写出坐标即可.根据对应点的连线所在

的宜线经过位似中心是解题的关键.

【详解】解：如图，连接尸B并延长与％轴交于点P,则点P即为位似中心，设。P=x,

•••点B的坐标为(1,1),点尸的坐标为(4,2),

又•.正方形。力BC和正方形。EFG的边48、EF都与％轴垂直，

：.PA=x+1,PE=x+4,AB=1,EF=2,Z.PAB=zPEF=90°,

又MBPA=乙FPE,

:.4PAB~4PEF,

PAABx+l1

・%二带即nn不=5，

解得：x=2,

经检验，%=2是原方程的解且符合题意，

•.•点「在》轴负半轴上，

•••点P(-2,0).

故选：A.

GF

一一HIL

POADEx

2.如图，在2L48。中，乙4C8的内、外角平分线分别交34及其延长线于点0、E,BC=2.SAC,则黑+喋二

/1LZ/1C

【答案】5

【分析】根据CD是WACB的平分线，由三角形的面积可得出黑二器可得出照二朕”①；由CE是ZACB

Z1tz/1UziC

的外角平分线，得出整=骼进而得出桨=与卢②，两式相加即可得出结论.

/iC/tG/iC/1C

【详解】解：:CD是/ACB的平分线,

SA31)CRDSABDCBC

Ss.wcADyS^ADCAC

BD_BC

~AD~~AC

BD+DABC+AC„ABBC+ACxr\

FT=k，即nkM①；

•••CE是/ACB的外角平分线，

：'~AF.一~AC

I3E-AEBC-ACABBC-AC

•••.4E="^，即an=②；

Z7X小ZQ/lfi.ABBC+AC,BC-AC2BC。匚

①+②，得而+石=^^+k=7F=2x2.5=5c.

故答案为：5.

【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键.

3.（25-26九年级上•河北石家庄•阶段练习）如图，BD=CD,AE.DE=1.2,延长BE交4C于K且4尸=4

【答案】20

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键.过。作B尸的平行线交4C于G,利

用平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】解：过。作8尸的平行线DG交力。于G,

•：BD=CD,DGWBF,

.•.累=AF:FG=AE-.ED=1:2,

ouru

.,.CG-FG,

•••/F—4cm,

:.FG=2AF=CG=8(cm)»

：.AC=4+8+8=20(cm).

故答案为：20.

4.(2025•浙江杭州•一模)如图，在菱形/BCD中，乙4为锐角，点E,F分另U在边4D,"上，且满足

AD=3AE,BC=3".将菱形沿E尸翻折，使点4B落在平面CDEF内的点A8处.若菱形力BCD的周长和面

枳分别为12和6,则4D=____.

【答案】(

«3

【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理,

熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

连接44,B夕，过点。作。”_L48于点〃，交A所于点G,交EF于点、I,由题意得可得菱形边长为3,DH=2,

由勾股定理求出AH=通，由菱形的性质以及折舂的性质可证明四边形448万是矩形，以及四边形A4G”为

矩形，则4G=<"=遮，由平行线分线段成比例定理可得若=需=与再结合折叠可得以；=防0=全

ADnU5J3

最后在中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：连接444所，过点D作DHJ.AB于点H,交4用于点G,交EF于点/,

菱形力BC。的周长和面积分别为12和6

^AD=AB=3,ABxDH=6,

：.DH=2,

­•AH='AD?-DH2=瓜

；菱形ABCD,

.'.AD=BC,AD||BC,

-AD=3AE,BC=3BF,

.-.At=BF,

••・西边形48FE是平行四边形,

：.EFIIAB,EF=AB

•・•折叠,

.••四边形ABFE是平行四边形，

.•.EFII4B',EF=AE

.•MBIIAB',AB=A'B'

•••四边形TUBB是平行四边形，

••浙叠,

.•.£7144,

二四边形448万是矩形，

.•.乙4'力〃=ZLAA'G=90°,

vDHLAB,

:.Z-A'AH=Z.AA,G=Z.GHA=90°,

•••四边形为矩形，

：.A'G=AH=V5»

vEF||AB,

•AEHI---1

"ADHD3'

.-.H!=^HD,

•.•折叠,DHLAB,

=IG=；HD,

:・DG=^HD=I，

-DH1AB,AB||A'B'

.-.DG1A'B',

•••4D=14(2+DG2=J(VS)2+Q)2=|

故答案为：

【考点5平面向量的线性运算】

1.（25・26九年级上•上海嘉定•阶段练习）如图，在梯形4BCD中，E、尸分别是腰4。、BC的中点，如果

AF=5a,EF=3a,那么向量而可以表示为（）

A.CLB.—ciC.2aD.-2a

【答案】B

【分析】本题考查向量的线性计算，根据梯形的中位线定理，得到4B+CO=2E凡根据向量的线性计算,

求出而即可.

【详解】解：在梯形力8。。中，E、6分别是腰力。、8C的中点，

：.2EF=AB+DC,

.-.2EF=AB+~DC,即：2x3a=5a4-DC,

:.DC=a,

—♦

:.CD=­a：

故选B.

2.（2025九年级上•上海•专题练习）如图梯形A8CD中，AB\\CD.AC交BDF点。，AB=2CD.已知而，

而，如用而，而表示而，那么而=.

【答案】一副力一，1。

【分析】本题考查向量的计算，熟练掌握三角形法则，是解题的关键，根据向量的三角形法则可知而=而

+DO,根据平行线的性质和相似三角形的性质可知而=一冠，DO=^DB.根据向量的三角形法则可知

DB=-AD+AB,代入即可求解.

【详解】解：-ABIICD,AB=2CD.

：.CD=-^AB,△OOC〜△80.4,

DOCD1

"''0B=~AB=21

.•.DO=纱B,

.--DO=癖.

ACO=CD+DO=-^AB+^DB=-^AB+^-AD^-AB）=-^AB-痴.

故答案为：一看而一也厉.

3.（2025九年级上•上海・专题练习）已知△力BC中，AB=AC=5,BC=6,点/为△力BC三条内角平分线

的交点，若万=p而+q阮，则p,q的值分别为（）

A.P=?q=lB.p=1,q=lC.「=亮,q=VD.p=亮,q£

【答案】A

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、向量的线性运算、平行线分线段成比例定理等知识，熟练

掌握全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是关键.

过点/作/H1力8于点H,/TIIBC交A8尸点T.证明△B/H三△B/D（AAS）,得到8H=BD=3,则

AH=AB-BH=2,4/=4"=装证明喘=2=条=4则"=/氏/=射。=》配即可得到结

论.

【详解】解：如图，过点/作/”_L4R于点从/7II8C交于点T.

-AB=AC,4。平分匕BAC,

AD1BC,RD=CD=3,

-IH1AB,8/平分/ABC,

A/D=IH,

设0=IH=x,

在和△B/D中,

(乙1HB=乙IDB=90°

乙IBH=乙1BD,

IBI=BI

:.BH=BD=3,

：.AH=AB-BH=2,

在RgA/H中，AH2+IH2=AI2,

224-x2=(4—%)2,

3

二x=-f

•••Al=4—-=

乙乙

VIT||BD,

.AT_IT_Al_5

•,布一而一而一丁

•••〃=豺B,IT=1BD=^BC,

vl\i=AT+T1,

...Ai=^AB+

55

...p=『q=而

故选:A.

【考点6正弦、余弦、正切的定义】

1.如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项正确的是（）

b

A.si.n/1A=-bB.cosB=-C.tan?l=/D.tanB=，

【答案】D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握

锐向三角函数的定义是解题的关键.

【详解】解：在△48C中，LC=90°,BC=a,AC=bfAB=c.

aaab

•••sin/1=cccosB=二，ctanA=v,atanF=

故选：D.

2.（24-25九年级上•上海松江•期中）已知，在以。为坐标原点的直角坐标平面内有一点尸（3,1）,如果。。与

y轴正半轴的夹角为％那么乙。的余切值为一.

【答案】3

【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义

是解题的关键.

先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可.

【详解】解：如图：过点尸作y轴的垂线，垂足为

:.MP=3,MO=1.

在RgMOP中，cokPOM=器=：,即cota=J.

Mr33

故答案为:

3.（24-25九年级上•陕西咸阳・期末）如图，在菱形48co中，_L力8交48于点E,连接8D,若。£=遥

【答案】里

O

【分析】本题考查了勾股定理.、解直角三角形等知识，推导出8D二遍BE是解题的关键.

由DE1AB交AB于点E,得上BED=90°,因为OE=遥BE,所以BD=VDF2+BE2=遍BE,则cos匕。8E=

需=,，于是得到问题的答案.

DU6

【详解】解：,:DEJ.AB交AB于点E,

：.ABED=90°,

•••DE=遥BE,

•••BD=y/DE2+BE2=+BE2=瓜BE,

ccLBEBE=渔

cosWBE二茄二瀛6，

故答案为：华.

O

4.（2025•河南•模拟预测）在等腰直角△4BC中，44cB=90。，AC=BC=lt。在直线8c上，旦6=2,

连接4D，将线段"D绕点。按顺时针方向旋转90。得线段ED,连接CE.则siMECD的值为.

【答案】喑或学

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质.分两种情况讨论：过点E作EM1C8

于点〃，求出EM,CE即可.

【详解】解：如图，当。在C8的延长线上时，过点E作EM1CB于点连接CE,

由旋转，得力。=。&Z-ADE=90%

：.LADC+乙EDM=90°,

又“CB=90°,

.'.Z.ACD=ADME,Z/4DC+ZC/4D=90°,

^.Z-CAD="DM,

:.△ACD^△OME(AAS)，

：.CD=EM,AC=DM,

.,Dyj=AC=i,EM=CD=2,

.,.CM=CD+DM=3,CE=VCM2+EM2=V13»

0•siMECD=等=a=符；

当D在8。的延长线上时，过点E作EM_LCB于点"，如图，连夜

同理可得：&ACD三4DME,

.'.DM=AC=1,ME=CD=2,

:.CM=2—1=1,

:・CE=V22+12=V5.

：.smz.ECD=77=~^=等：

CLV55

故答案为：誓或等.

【考点7特殊角的三角函数的值】

1.(2025・湖南长沙二模)在△皿。中，小8都是锐角，sia4=坐，tanF=V3,下列说法E确的是

()

A.Z.A=30°B.乙B=30°

C.△48。是等边三角形D.△力3c是直角三角形

【答案】C

【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。角的各种三角函数值是解题的关键.

根据特殊角的三角函数值分别求出41、乙B,根据等边三角形的判定定理判断即可.

【详解】解：,•*sinA=tanfi=V3,

二乙4=60°,Z.B=60°,

.%zf=180°一乙4-M=60°.

・•・△48C是等边三角形.

故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意.

故选:C.

2.（24-25九年级下•甘肃平凉・期中）计算一1+121160。+7^^45。―28530。+兀°结果是（）

A.2B.V2C.1D.V3

【答案】C

【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数寤的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可.

【详解】解：-1+tan600+V2sin450-2cos30°+n0

LL五V3

=-l+V3+5^x---2x—+1

乙乙

=-l+V3+l-V3+l

=1»

故选：c.

3.（2025•福建龙岩•二模）如图，80是菱形/BCD的对角线，AEJ.BC于点E,交BD于点F,且七为的

中点，则tan/AF。的值是（）

A.今B.9C.浮D.V3

44«3

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函

数等；连接4C由线段垂直平分线的性质得力。=力从结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得△力8C

是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形

的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键.

【详解】解：连接/C,

BD

■:4£，8。于点£,£为BC的中点，

:.AC=AB,

••・四边形48CD是菱形，

•••AB=BC,

Z.E8F=^ABE,

AB=BC=AC,

.♦・△48C是等边三角形，

：.£ABE=60°t

.•.zFM=1x60°=30°,

WE=9()o-30。

=60°,

•••^AFD=60°,

:.tanZTlFD=tan60°=>/3,

故选:D.

4.(24-25九年级上•山东烟台・期中)如图，已知直线48分别与x轴和y轴相交于点4和点8,巨直线48的解

析式为、=一争+苧，0Pl力奸点P,OP与%轴正半轴的夹角为a,则cosa等于.

【分析】本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，根据题意，直线的解析式为y=—争+字求出4

8的坐标，得到。4。8的值，根据tan〃二/，得到〃的角度，根据乙。加二90。，三角形的内角和，求

U/i

出a,即可.

【详解】解：直线AB的解析式为y=一争+冬

当％=0,y=哼；当y=0,x=1,

”(1,0),9(0,号)，

：.OA=1,OB=华,

vtanz/1=OB__y[3

OA~

山=30°,

•:OPLAB,

..^OPA=90°,

：.a=APOA=180°-Z,OPA一乙4=180°-90°-30°=60°,

.-.cosa=cos60°=

故答案为：；.

【考点8锐角的三角函数间的关系】

1.(24-25九年级上•江苏扬州•期末)已知RtaABC中，ZC=90°,cosB=苧，则sinB的值为.

【答案】;

【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：sin2B+cos2B=l,据此即可求解.

【详解】解：然也28+COS2B=1,cosB=乎，

•••sin2B=1—cos2/?=1—(茅)=I，

“B为锐角,

.'.smB>0,

：.sinB=

故答案为:亲

*5

2.同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式:sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin^,sin(a+/?)

=sinacos/?+cosasin/?,cos(a—/?)=cosacos/?+sinasin/?,cos(a4-/?)=cosacos/?—sinasin/?.例:sin

15°=sin(45°-30°)=sin450cos300-cos45°sin30°=匹衿.若已知锐角a满足条件sina=则sin

2a=.

【答案】竽

【分析】先根据sina=g求出cosa,把sin2a变为sina+a,然后根据sin(a+0)=sinacos夕+cosasi邛计算

即可.

【详解】解：如图，在RtZiABC中,

••・siM/i+cos12/3l=与+"=牛=1.

C2C2C2

1

••,sina=

.,.ccs2a=1—sin2a=1.

••,a为锐角，

-,.ccsa=平.

3

vsin(a+夕)=sinacos/?+cosasin/?

.••sin2a=sina+a

=sinacosa+cosasina

12V22V21

=3X—+-X3

_4V2

一丁.

故答案为：竽.

【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键.

3.如果。是锐角，且cosa=g,那么sin（90°-a）的值等于（）

Dc16

A,卷-I-云

【答案】B

【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键;

在直角三角形中，44+乙3=90。时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值,

即sinH=cos（90。一乙4）；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cos力=sin（90。一乙4）,即可解答;

【详解】sin(90°—a)=cosa,cosa=-

4

•••sin(900-a)=7;

故选:B.

4.已知：a为锐角，且等泮吧=1,则tana的值等于（

jsjna十/co5a)

A.B.2C.3D.2.5

【答案】D

【分析】根据锐角的同角三角函数之间的关系进行化简可得答案.

Ssina

【详解】解：昵鬻鬻=1,得鼻o=1.

cosa

所以微篝|=1.

解得tana=2.5.

故选D.

【点睛】本题考查了锐角的三角函数，熟练掌握同角三种函数之间的关系是解本题的关键.

【考点9解直角三角形的相关计算】

1.（2025•四川攀枝花•中考真题）如图,△A8C中，A3=AC=5/C=6,D为8c的中点，CE148于点E/D

与CE相交于点。，则器二（）

c24

A-IB-Ic-KD-云

【答案】B

【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得BD=CD=沏?=3,AD1BC,导角得到

乙BAD=△BCE,根据sin48CE=sin乙BA。得至1」穿=穿，即可得出结果.

C/CLJ

【详解】解：•MB=5,8。=6,。为8c的中点，

...BD=CD=；BC=3,AD1BC,

：.£3AD+4B=90°,

,:CE1AB,

.•ZBCE+NB=90°,

.-./.BAD=乙BCE,

.'.smz.BCE=sinzF/lD,

在Rt^CDO中，sin£BCE=在心△408中，sin£BAD=

（zCZtD

ODBD3

,・京=而，；

故选B.

2.一个三角形的两边之长分别为5、2VL这两边夹角的余弦值为等，则这个三角形的面积是（）

A呼B.警C.2历D.瞎

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形.根据题意画出图形，如图，B