角与角的度量-浙教版七年级数学上册

（浙教版）七年级上册数学《第6章图形的初步知识》

6.5角与角的度量

知识点一角的概念

♦1、角的概念：

静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.

两条射线一一角的边

公共端点——角的顶点

动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.起始位置的射线叫

作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边.

0B0A(B)

始边B(3)

（1）

①如图（2）,当射线旋转到起始位置0A与终止位置0B在一条直线上时，形成平角；

②如图（3）,继续旋转，0B与0A重合时，又形成周角；

【注意】我们平时画角时，只画角的一部分，角的两边是两条射线.

♦2、平角与周角的概念：

一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图1所示；旋转

到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图2所示。

一—个周甭是360。

B0\A<04⑹

平角、一个平均是180。周角

图1图2

【注意】

(1)平角的两边成一条直线，但不能说直线就是平角或平角就是直线.

(2)周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线或射线就是周角.

知识点二角的表示方法

__________/

♦角的表示方法：

角的几何符号为“N”，角的表示方法有以下四种：

A,

Bo///

(1)(2)(3)(4)

词乍：(1)ZAOBQ)ZO(3)/1(4)Za

表示方法温馨提示

(1)用三个大写字母表示表示顶点的字母必须写在中间.

(2)用一个大写字母表示以这个字母为顶点的角只有一个.

(3)用一个阿拉伯数字表示在靠近顶点处画上弧线，并写上数字.

(4)用一个小写希腊字母表示.在靠近顶点处画弧线，并写上希腊字母.

知识点二角的单位换篁

\__________✓

♦1、角的度量单位是：度、分、秒.

我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份

就是1度的角，记作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1,；

把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作.

♦2、角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.

♦3、度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下:

160r,1160",1〃1

6060

r°=3600",1"=（就

1周角=360°1平角=180°.

【注意】

它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的.

B题型归纳

题型一角的定义及角的表示方法

解题技巧提炼

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是

角的顶点，这两条射线是角的两条边.

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其

中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个

字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字

母（如Na,NB,NY、…）表示，或用阿拉伯数字（Nl,N2…）表示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当

始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

1.（2024春•聊城月考）下列说法中正确的是（）

A.直线是平角

B.角的大小与角的两边长有关

C.角的两边是两条射线

D.用放大镜看一个角，角的度数变大了

【分析】分析题意，根据“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”即可判断4C选项的正误；放

大镜是将物体整体放大，但不改变角的大小；角的大小只与它的两边张开的大小有关据此解答.

【解答】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误，不符合题意，C正确，符合题意；

角的大小与边的长短无关，只与它的两边张开的大小有关，故8错误，不符合题意；

放大镜是将物体整体放大，所以不改变角的大小，故。错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了角的概念，关键是角的概念的熟练应用.

2.（2024春•南岗区校级月考）下列说法中错误的有（）个

①如果CA=CB,那么点C为线段A8的中点；

②射线AB和射线BA是同一条射线；

③有公共点的两条射线组成的图形叫做角；

④连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；

⑤点C在线段上，点M、N分别是线段AC,的中点.若MN=5,则线段A2=10.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】当点3不在线段上时，点B不为线段AC的中点，据此可判断①；射线中端点相同，延伸

方向相同的射线才是同一条射线，据此可判断②；根据角的定义判断③；连接两点的线段的长度叫做这

两点间的距离，据此可判断④：根据线段中点的定义和线段的和差关系推出MN=据此可判断⑤.

【解答】解：①若AB=2C,当点2在线段A2上时，点8为线段AC的中点，当点8不在线段上时，

点2不为线段AC的中点，原说法错误；

②射线AB和射线BA不是同一条射线，原说法错误；

③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误；

④连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离，原说法错误；

⑤：点C在线段A3上，M,N分别是线段AC,CB的中点，

11

：.AM=CM=^AC,CN=BN=

111

：.MN=CM+CN=^AC+^BC=^AB,

:.当MN=5,AB=10,原说法正确；

错误的有：①②③④，共4个，

故选：A.

【点评】本题主要考查了射线的表示方法，角的概念，线段中点的定义，与线段中点有关的计算，两点

之间的距离等等，熟知相关知识是解题的关键.

3.（2023秋•坪山区期末）如图所示，N1还可以表示为（）

c

A.ZAB.ZCADC.ZBACD.ZBAD

【分析】根据角的表示方法解答即可.

【解答】解：/I还可以表示为/CAD,

故选：B.

【点评】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解题的关键.

4.（2023秋•晋江市期末）如图，下列说法不正确的是（）

A.N8AC和NZME是同一个角

B./A8C和/AC8不是同一个角

C./ABC可以用表示

D./AED可以用NE表示

【分析】根据角的定义解答即可.

【解答】解：A、NBAC和/D4E是同一个角，正确，不合题意;

B、NA2C和/AC2不是同一个角，正确，不合题意；

C、/ABC可以用NB表示，正确，不合题意；

D、NAE。可不以用NE表示，不正确，符合题意；

故选：D.

【点评】此题考查的是角的定义，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶

点，这两条射线是角的两条边.

5.（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（）

A.可用NZMC表示B.NC08也可用表示

C./2也可用/OBC表示D./CDB也可用/I表示

【分析】根据角的表示方法进行判断.

【解答】解：A、/D4。可用/D4c表示,本选项说法正确;

B、NCO8不能用NO表示，本选项说法错误;

C、N2也可用NOBC表示，本选项说法正确;

D、/CQB也可用N1表示，本选项说法正确;

故选：B.

【点评】本题考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表

示.其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，

否则分不清这个字母究竟表示哪个角.

6.（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用/I、ZAOB,N。三种方法表示同一个角的是（）

【解答】解：4、图中的NAOB不能用/。表示，故本选项错误;

B、图中的/I和NA08不是表示同一个角，故本选项错误；

C、图中的N1和NAOB不是表示同一个角，故本选项错误；

D、图中Nl、ZAOB.NO表示同一个角，故本选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力.

7.（2023秋•黄石港区期末）下列图形中，能用和N1表示同一个角的是（）

A.B.

【分析】要是能用Nl，NO表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合判断即可.

【解答】解：要是能用Nl,NO表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合.

选项8、C,。中，/O表示不明确，不符合题意；

选项A符合题意,

故选：A.

【点评】本题考查了角的概念，表示同一个角，必须有共用的顶点，且角的两边重合是本题解答的关键.

8.（2024•惠州模拟）将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（）

A.20°B.2°C.200°D.无法判断

【分析】因为角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形

成的夹角有关系.

【解答】解：由分析可知：一个角度数为20度，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为20度，

故选：A.

【点评】本题考查了角的概念，掌握从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角是解题的关键.

9.（2023秋•湛江期末）如图所示，下列说法：①/I就是/A；②N2就是N8；③N3就是/C；@Z4

就是NO.其中正确的是（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【分析】根据角的表示方法，结合图形对题目中的四种说法逐一进行判断即可得出答案.

【解答】解：和乙4表示同一个角，

...①正确;

不能用来表示，

②不正确；

VZ3不能用NC来表示，

，③不正确；

不能用来表示

.••④不正确；

综上所述：正确的是①.

故选：A.

【点评】此题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解决问题的关键.

题型二角的换算

解题技巧提炼

角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1

分=60秒，即1'=60〃.

1.（2024春•张店区校级月考）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（）

A.2°21'36''B.2°18'36''C.2°30'50''D.2°3'6''

【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案.

【解答】解：2.36°=2°+0.36X60,=2°21'+0.6X60〃=2°2y36”,

故选：A.

【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制.

2.（2023秋•五华区期末）将12.28°转化为度分秒的形式为（）

A.12°20'8"B.12°16'48"C.12°12’48"D.12.28°

【分析】根据1°=60,，J=60〃进行换算即可得到答案.

【解答】解：=60',1'=60",

.•.12,28°=12°+0.28X60'

=12°+16.8'

=12°+16'+0.8X60"

=12°+16'+48”

=12°16'48",

故选：B.

【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟练掌握1°=60',1'=60〃是解题的关键.

3.（2023秋•新乐市期末）若/a=5.12°,则/a用度、分、秒表示为（）

A.5°12'B.5°7'12"C.5°7'2"D.5°10'2"

【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解.

【解答】解：Za=5.12°=5°+0.12X60'=5°+7'+0.2X60"=5°7'12”.

故选：B.

【点评】此题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握1°=60',1'=60".

4.（2023秋•永年区期中）下列各式中，正确的是（）

A.35.5°=35°50'B.15°12’36"=15.48°

C.28°18'18"=28.33°D.65.25°=65°15'

【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断.

【解答】解:A.35.5°=35°30,，不符合题意；

B.15°12'36〃=15.21°,不符合题意；

C.28°18'18〃=28.305°,不符合题意；

D.65.25°=65°15',符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确1°=60',1'=60〃.

5.下列式子中错误的是()

A.38.78°=38°46’48"

B.50°42'=50.7°

C.98°45'+2°35'=101°20'

D.108°18'-57°23'=51°55'

【分析】根据“1度=60分，即10=60',1分=60秒，即r=60〃”进行度分秒的换算和度分秒间

的加减计算.

【解答】解：A、38.78°=38°46'48",计算正确，故本选项不符合题意.

B、50°42'=50.7°,计算正确，故本选项不符题意.

C、98°45'+2°35'=(98°+2°)+(45'+35,)=100°+80'=101°20,,计算正确，故本选项不符合

题意.

D、108°18'-57°23'=(107°-57°)+(78'-23')=50°55,,计算错误，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，

乘以60,反之，将低级单位转化为高级单位时除以60.同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位

和进位的方法.

6.(2024春•张店区校级月考)1.16°=°'"；45°57,18"="

【分析】度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转化为

高级单位时除以60.

【解答】解：①；0.16°=0.16X60'=9.6,，0.6'=0.6X60"=36",

.,.1,16°=1°9'36〃；

②：18"=18+60=0.3',57.3'=57.3+60=0.955°,

A45°57'18"=45.955°；

故答案为:1,9,36；45.955.

【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，掌握相关运算是解题的关键.

7.计算：

⑴8.76°=°'"；

(2)540〃=0.

【分析】(1)根据1°=60，，1=60”进行换算即可；

(2)根据10=3600”进行换算即可.

【解答】解：(1)0.76°X60=45.6',0.6'X60=36",

所以8.76°=8°45'36",

故答案为：8,45,36；

(2)540"4-3600=0.15°,

故答案为：0.15.

【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握单位之间的换算关系是解题的关键.

8.填空：

(1)0.65°='；

(2)32.43°=°'"；

(3)120°36754”=0；

(4)108°4236"=°.

【分析】(1)根据度分秒1°=60,转换，即可求解；

(2)根据度分秒1°=60，，1=60",r=60"转换,即可求解；

(3)根据度分秒i°=6(y,r=60",r=60”转换，即可求解；

(4)根据度分秒1°=60',1'=60",1=60"转换,即可求解.

【解答】解：(1)0.65°=39'；

(2)32.43°=32°25'48〃；

(3)120°36'54”=120.615°；

(4)108°4236"=108.71°.

故答案为：(1)39；(2)32,25,48；(3)120.615；(4)108.71.

【点评】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提.

题型三角度的运算

解题技巧提炼

1、度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与

秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60.

2、度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②

除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

1.(2024秋•永年区期中)计算：

(1)131°28'-32’15"；

(2)58°38'27"+47°42'40〃.

【分析】(1)根据度分秒的计算方法进行计算即可；

(2)根据度分秒的计算方法进行计算即可.

【解答】解：(1)原式=130°55'45"

(2)58°38'27'+47°42'40"=106°21'7"

【点评】此题考查了度分秒的计算，度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1。=60',1

分=60秒，即I'=60".

2.(2024秋•裕华区校级期中)列竖式计算:

(1)80°3525"+79°2435"；

(2)51°37'-32°5539”.

【分析】利用度分秒之间的进率计算即可.

【解答】解：(1)原式=159°59'60"

=160°；

(2)原式=50°96'60"-32°5539〃

=18°41'21".

【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键.

3.(2024春•坊子区校级月考)计算：

(1)47°53743"+53°47'42"；

(2)92°56'3"-46°57'54".

【分析】(1)先度分秒分别相加，再根据满60进1的原则求出即可；

(2)先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可.

【解答】解：(1)47°53'43〃+53°47'42"

=100°100'85"

=101°41'25"；

(2)92°56'3"-46°57'54"

=91°+115'+63"-46°-57'-547

=45°+58'+9"

=45°58'9".

【点评】本题考查了度分秒之间的换算，掌握1。=60,，1'=60〃是解题的关键.

4.(2023秋•孝南区期末)计算：

(1)48°39'+67°31'；

(2)23°53X2-17°43,.

【分析】(1)根据度分秒的进制进行计算，即可解答；

(2)根据度分秒的进制进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)48°39'+67°31'

=115°707

=116°10'

(2)23°53'X2-17°43'

=46°106'-17°43'

=29°63'

=30°3'.

【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键.

5.（2023春•谯城区校级期末）计算：

（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）.

（2）123°24'-60036（结果用度表示）.

【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；

（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）89°35'+20°25'

=109°60'

=110°；

（2）123°24'-60°36'

=123.4°-60.6°

=62.8°.

【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键.

6.如图，48是一条直线，如果/1=65°15',Z2=78°35,，且/1+/2+/3=180°,求/3的度数.

AOB

【分析】根据已知条件可得/3=180。-Zl-Z2；接下来将/I与/2的度数，代入计算，即可解答.

【解答】解：；/1=65°15',/2=78°35',且Nl+N2+N3=180°,

.\Z3=180°-Zl-Z2

=180°-65°15'-78°35'

=36°10/

故/3的度数是36°10,.

【点评】本题侧重考查度分秒的换算.掌握度、分、秒之间的进率和计算方法是解题的关键.

7.(2023秋•罗山县校级月考)计算：

①180°-18°15'X6；

②90°-(78°36'-13°10'4-4).

【分析】①先计算乘法，再计算减法即可；

②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可.

【解答】解：①180°-18°15'X6

=180°-109°30'

=70°30'；

@90°-(78°36'-13°10,4-4)

=90°-(78°36'-3°17'30")

=90°-75°18'30"

=14°4130”.

【点评】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可.

8.计算：

(1)32°17'53"+42°42,7"；

(2)90°-36°12,15"；

(3)25°12’35"X5；

(4)53°4-6.

【分析】(1)1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60〃，依此计算加法;

(2)1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60",依此计算减法；

(3)1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60",依此计算乘法；

(4)1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60",依此计算除法.

【解答】解：(1)原式=74°59'60"=75°；

(2)原式=53°47'45〃；

(3)原式=125°60'175"=126°2'55"

(4)原式=8°50,.

【点评】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、

秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转化为高级单位时除以

60.同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.

题型四钟表中的角度问题

解题技巧提炼

1、钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟

走七格，分针1分钟走1格.钟面上每一格的度数为360°4-12=30°.

2、计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时

针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时

针的夹角的度数.

3、钟面上的路程问题

分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°4-60=6°

时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°4-124-60=0.5°.

.(2024秋•石家庄期中)从如图所显示的时刻开始，经过30分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为

()

A.90°B.95C.100°D.105

【分析】分针每分钟转了6。，时针每分钟转了0.5。，可求得结果，得到时针与分针之间的夹角即可解

答.

360°

【解答】解：分针每分钟转了——=6。，

60

360°

时针每小时转了——=30°,

12

360°

时针每分钟转了------=0.5°,

12x60

图上显示的时刻为2：00,当经过30分钟之后时间为2：30,

此时时针所形成的角度为：2X30°+30X0.5°=75°,

分针所形成的角度为：30X6°=180°,

则分针与时针所形成的角度为：180°-75°=105°,

故选：D.

【点评】本题考查了钟面角，掌握分针每分钟转了6。，时针每分钟转了0.5。可求得结果，得到时针与

分针之间的夹角是解题的关键.

2.（2024秋•卢龙县期中）钟表在12时15分时的时针和分针所成的角是（）

A.90°B.85°C.82.5°D.85.5°

【分析】根据时钟12时15分时，时针在12与1之间，分针在3上，可以得出分针与时针相隔2：个大

格，每一大格之间的夹角为30°,可得出结果.

【解答】解：•••钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°,

.,.时钟12时（15分）时，时针在12与1之间，分针在3上，

3

分针与时针的夹角是2ZX30°=82.5°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°,是解

决问题的关键.

3.（2024秋•滦南县期中）如图，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数

是（)

12

111

A.60°B.65C.70°D.75°

【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30。，借助图形，找出时针和分

针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可.

【解答】解：根据题意可知，钟表上的时间下午3：30时，

时针位于3与4中间，分针指到6上，中间夹2.5份，

・••时针与分针的夹角是：30°义2.5=75°.

故选：D.

【点评】本题考查了钟面角，掌握钟面角的计算方法是关键.

4.（2023秋•鲁山县期末）如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数

是（）

A.100°B.105C.115°D.120°

【分析】时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,由此即可算出10时10分钟时，时针、分针

与12时的夹角，即得答案.

【解答】解：•.•时针在钟面上每分钟转0.5。，分针每分钟转6°,

钟表上10时10分钟时，时针从10时转过10分钟转了0.5°X10=5°,此时时针与垂直线的夹角为

60°-5°=55°,分针从12的位置顺时针转了6°X10=60°,

...10时10分钟时分针与时针的夹角55°+60°=115°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度.

5.（2024春•遂川县期末）上午八点二十五分，钟表上时针与分针的夹角度数是（）

A.90°B.100.5°C.102.5°D.105°

【分析】根据钟表上12个数字，每相邻两个数字之间，即一大格的夹角为30°解答即可.

【解答】解：•••钟表上12个数字，每相邻两个数字之间，即一大格的夹角=筌=30。，

上午八点二十五分，钟表上时针与分针相差大格有（8-5）+余=3+卷=缪

夹角度数=30。x苣41=102.5°,

故选：C.

【点评】本题考查了钟面角，求出时针与分针相差大格个数是解题的关键.

6.（2023秋•重庆期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°,

他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120。，此同学做作业大约用了（）

A.40分钟B.42分钟C.44分钟D.46分钟

【分析】根据分针每分钟转6。，时针每分钟转0.5。，可列方程求解.

【解答】解：设开始做作业时的时间是6点尤分，

.'.6x-0.5x=180-120,

解得xFl;

再设做完作业后的时间是6点y分，

；.6厂0.5y=180+120,

解得y处55,

.•.此同学做作业大约用了55-11=44分钟.

故选：C.

【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每

转动1°时针转动（上）°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.

7.（2023秋•陕州区期末）从8：10到8：30,时钟的分针转过的角度为°.

【分析】由题意可得时钟一共走了20分钟，然后乘以6。求解即可.

【解答】解：•.•从8：10到8：30,

时钟一共走了20分钟,

•.,360°+60=6°,

•••时钟的分针一分钟走6。，

.,.20X6°=120°.

故答案为：120.

【点评】此题考查了时钟分钟转过的角度问题，解题的关键是求出时钟的分针一分钟走6。.

8.（2023秋•鹤山市期末）为了弘扬梁赞咏春文化，某中学在11月25日上午8：30开展“咏春进校园”

系列活动之咏春操比赛活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为度.

【分析】根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数.

【解答】解：时针30分钟所走的度数为30X0.5=15°,

8点3（0分）时刻，分针与8点之间的夹角为2X30=60°,

...此时时钟面上的时针与分针的夹角是60°+15°=75°.

故答案为：75.

【点评】本题考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走

0.5度.

9.（2024•南岸区校级开学）2点40分时，钟面上时针与分针所成的角等于.

【分析】根据时钟上一大格是30°,时针1分钟转0.5。，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：6X30°-40X0.5°=180°-20°=160°,

故答案为：160°.

【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°,时针1分钟转0.50是解题的关键.

10.知识的迁移与应用

问题一：甲、乙两车分别从相距180批的A、B两地出发，甲车速度为36h“〃7,乙车速度为24h〃//z,两

车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），后两车相距120口?？

问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，OB表示分

针（。为两针的旋转中心）.下午3点时，OA与OB成直角.

（1）3：40时，时针与分针所成的角度；

（2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为；

(3)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60。角？

【分析】问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；

问题二：(1)根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份30。，根据时针与分针相距的份数乘以每份的

度数，可得答案.

11

(2)钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30。，分针每分钟转过的角是g分，即gx30。

=6°；时钟的时针每小时转过的角是一份，即30。，可得时针每分钟转过的角度为0.5。；

(3)分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可.

【解答】解：问题一：设x/z后两车相距120加2,

若相遇前，则36x-24x=180-120,

解得尤=5,

若相遇后，则36x-24x=180+120,

解得x=25.

故两车同时出发，同向而行(乙车在前甲车在后)，5或25后两车相距12057；

(1)30°x(5-撒=130°.

故3：40时，时针与分针所成的角度130。；

(2)分针每分钟转过的角度为6。，时针每分钟转过的角度为0.5。；

(3)设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60。角.

①当分针在时针上方时，

由题意得：(3+高)x30-6元=60,

解得：x=器

②当分针在时针下方时,

由题意得：6%-(3+高)x30=60

解得：罂.

答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过二或二：分钟，时针与分针成60°角.

1111

故答案是：5或25；130°；6°；0.5°.

【点评】问题一：考查了一元一次方程的应用，主要利用了相遇问题等量关系，追及问题等量关系，熟练

掌握行程问题的等量关系是解题的关键，难点在于分情况讨论.

问题二：考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数.

题型五角的计数与规律探究

解题技巧提炼

数角的个数的方法类似于数线段的方法，当NAOB内部有〃条射线时，射线的总

数就有（n+2）条,共有（n+；（n+2）个角.

1.（2023秋•青龙县期中）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（）

A.10个B.9个C.8个D.4个

【分析】根据角的定义即可解决.

【解答】解：图中小于平角的角NA。。，ZAOC,ZAOE,ZDOC,ZDOE,ZDOB,ZCOE,ZCOB,

ZEOB,/AOB共10个.

故选：A.

【点评】本题考查了角的概念，是基础题，难点在于计算角的个数时要分单个的角与复合角两个部分查出.

2.（2023秋•泗县期末）如图,已知/MON,在NMON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、

10个角（不大于平角的角）.当内有〃条射线时，角的个数为（）

□

A.

22

n(n-l)(71+1)(71+2)

C.D.

22

【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画〃条时，由规律

得到角的个数的表达式.

【解答】解：画W条射线所得的角的个数为:

1co/1\(n+l)(n+2)

1+2+3+・・・+(n+1)=---------------

故选：D.

【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律.

3.（2023秋•连城县期末）在锐角NA03内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线,

可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角.照此规律，画19条不同的射线，可以画

出锐角的个数为（)

A.165B.186C.199

【分析】分别找出各图形中锐角的个数,找出规律解题.

【解答】解：：在锐角NAO8内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角;

在锐角内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角;

在锐角NA08内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角;

从一个角的内部引出〃条射线所得到的锐角的个数是

1

1+2+3+...+(九+1)=2x(九+1)x(〃+2),

1

・••画19条不同射线，可得锐角(19+1)x(19+2)=210.

故选：D.

【点评】此题考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出〃条射线所得到的锐角

1

的个数是一x(n+1)x(九+2).

2

4.(2024春•莘县期中)如图，在