期中解答题（40题）原卷版-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

期中解答题（40题）（第21-24章）

一.解答题

1.（2025春•肥城市期中）按要求解下列方程:

（1）4X2-8X+I=0（用配方法）；（2）（X-I）2-3（.V-1）-10=0（自己喜欢的方法）.

2.(2025春•杭州校级期中)解方程：

(1)/+4x-1=0：(2)(3x+l)2=2(3x+I).

3.(2025秋•银川校级期中)解方程：

(1)(x-1)=Zv-2；(2)3『-4工+1=0；(3)x2-4x+l=0(配方法).

4.（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程而『+3）x-3=0（〃/翔）.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）如果加为正整数，且方程的两个根均为整数，求加的值.

I

5.（2025春•拱堂区期中）如果关于x的一元二次方程”2+加叶c=（）（存°）有两个不相等的实数根，且其中

•个根为另一个根的2倍，则祢这样的方程为“2倍根方程”.

（I）若一元二次方程x2-6x+c=0是“2倍根方程”，求出c的值.

（2）若（x-3）（ax-b）=0（存0）是“2倍根方程”，求代数式恒承的值.

ya-b

6.（2025春•瑞安市期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台

商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.

（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.

（2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动,已知玩偶每个成本30元，售价为每个50

元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可

达到5940元？

2

7.（2025春•金安区校级期中）随着货州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河.暑期

来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然

景观，最后在九龙镇汇合.甲队走4路线，全程120千米；乙队走4路线，全程160千米.由于4路线

的路况没有8路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的;，最终甲队比乙队晚2天到达九龙

镇.

（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地：

（2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元.甲队最开始计划有8个人同行，计划

每人每天花费300元，后来又有〃?个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费

将减少30元.若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致.两队共需花

费17640元,求加的值.

8.（2025春•诸暨市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.己知该模型

平均每天伐出20个，每个盈利40元.为了扩大销伐，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个

模型每降低1元，平均每天可以多售出2个.

（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？

（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价

多少元？

3

9.（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销

量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元.

（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利1（）元，每天可售出500千克，经市场

调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利

6000元，同时乂要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

10.（2025春•杭州校级期中）已知关于x的方程--（4+2）x+2〃-0.

（I）求证：A取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若Rt△48c斜边长。=3,另两边长爪c恰好是这个方程的两个根，求的周长.

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11.（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料：

已知方程f+x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为八则j=2x,所以x=3

把X=与弋入已知方程，得击2+；3=0.

化简,得炉+2y・12=0,故所求方程为炉+2y・12=0,

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法

（1）已知方程，+4-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程

为：;

（2）已知方程2/・7%+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；

（3）已知关于x的一元二次方程以2+云+°=（）（分0）的两个实数根分别为3,-2,求一元二次方程即2-

（2。-b）y+a-b+c=0的两根.

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12.（2025春•张店区校级期中）己知内，/是关于x的一元二次方程（“+2）/+2（〃?-2）x+m+10=0的

两实数根.

（1）求加的取值范围；

（2）已知等腰△力8c的底边BC=4,若“，力恰好是^8。另外两边的边长，求这个三角形的周长.

（3）阅读材料•：若入出。三边的长分别为a,b,c,那么可以根据秦九韶■海伦公式可得：S-BC=

____________________a+b+c

Jp（p—a）（p—b）（p—c）,其中〃=-----，在（2）的条件下，若NZL4C和N，"C的角平分线交于点

f,根据以上信息，求的面积.去

13.（2025春•竦州市期中）已知关于x的一元二次方程f-（m+1）/2〃?-2=0（加为常数）.

（1）若方程的一个根为1,求〃，的值及方程的另一个根；

（2）求证：不论“为何值时，方程总有两个实数根.

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14.（2025春•滩溪县期中）设修，出是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的

值.

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(1)5+1)6+1)；

15.（2025春•珠海期中）已知关于x的一元二次方程2（〃L1）x+阳2・5=0.

（I）当方程有两个实数根时，求〃?的取值范围.

（2）当方程的两个根修、必满足好+蜡=阳工2+根时，求〃?的值.

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16.（2025春•宜昌期中）阅读下列材料：把形如〃y+版+。的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的

方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。2±2岫+庐=心）2.配方法可以解决

代数式值的最小（或最大）问题.

例如：当x取何值时，代数式/+2x-4有最小（或最大）值？

^+2x-4=（『+2x+I）-5

=（x+1）2-5

•・,（x+1）2>0,:、（x+1）2-5>-5

・•・当x=-1时，代数式『+2x-4有最小值-5.

【直接应用】

（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式*-4x+5有最小（或最大）值：

【类比应用】

（2）已知必=〃2・〃,N=〃-2为任意实数）,判断“与N的大小关系,并说明理由：

【拓展应用】

（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成.

①请直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；,

HIzzz^zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz/yzz/

②当X为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？

XX

y

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17.（2025春•东台市期中）某商店决定购九8两种“冰墩墩”纪念品进行销售.已知每件4种纪念品比每件

B种纪念品的进价高30元.用1000元购进4种纪念品的数量和用400元购进8种纪念品的数量相同.

（1）求心8两种纪念品每件的进价分别是多少元？

（2）该商场通过市场调查，整理出力型纪念品的售价与数量的关系如表，

售价X元/件50<A<6060V烂80

销售量（件）100400-5x

求当x为何值时，售出力纪念品所获利润最大，最大利润为多少？

18.（2025春•陕西期中）乡村振兴关键在产业.近年来，呆县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗

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旺斯西红柿、草莓等，让大棚生业照凫农业转型升级致富路•实现村民稳定增收.如图2,某农户的大

棚截面上半部分可近似看作抛物线4E。，下半部分可看作矩形/OCZ）,以OC所在直线为工轴，CM所在

直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点£到地面OC的距离为7米，米，棚

宽OC=12米.

（1）求抛物线力EO的函数表达式；

（2）为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁PQ（点P、。均在抛物线上），且尸。

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//AD,若横梁PQ与地面OC的距离是彳米，则横梁PQ的长度是多少米？

19.（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6

元时，平均每小时的销售数量为30.细心的小凫发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减

少2,但售价不能超过10元.

（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分

率均相同，求涨价的百分率是多少.

（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元.

（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额.

20.（2025春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点。坐标为（x,y）,当时，点0坐标为

（-x,・y）：当xV。时，点0坐标为（・x,・>3）,则称点。为点P的。■变换点（。为常数）.

例如：点（2,0）是点（-2,3）的0-变换点，点（-5,-7）是点（5,7）的1-变换点.

（1）点（b-1,3）的1-变换点在直线），=.什3上，求力值：

（2）点M在函数y=/-4x+3的图象上，点N是点M的2■变换点.

①设点N（/〃，〃），求〃与m的函数关系式；

②点/（-4,c）,B（1,c）,线段48与①中的函数图象只有一个公共点，请直接写出c的取值范围.

21.（2025春•资中县期中）果商店决定购甲，乙两种商品进行销售.已知每件甲商品比每件乙商品的进价

高30元.用2000元购进甲商品的数量和用800元购进乙商品的数量相同.

（1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表，

售价X（元/件）504旺6()60〈烂80

销售量（件）100400-5x

①当x为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？

②该商场购进甲，乙两种商品共200件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于50件.若乙商

品的售价为每件〃？（〃?>30）元时，商场将甲，乙商品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写

出〃？的值.

22.（2025春•滩溪县期中）已知抛物线），一x2+以+c经过/（-2,«）,B<3,«）两点.

（I）求6的值；

（2）当-2姿2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（3）若方程/+反+6=0的两实根X],初满足1Vxi-*2拦，且p=*+2/，求p的最大值.

23.（2025春•海口期中）已知抛物线y=x2+/）x+c•交K轴于力（7,0）,B两点,交》轴于点。（0,-3）.

(1)求该抛物线的表达式和史称轴.

(2)若抛物线歹=『+及+，与直线有两个不同交点，求用的取值范围.

(3)设点尸是抛物线的顶点，求四边形比1CP的面积.

0/Bx

24.(2025春•石景山区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，点(-1,力)、(1,及)、(3,为)是抛物线y

=『+及+1上三个点.

(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；

(2)当乃=力时，求。的值：

(3)当心时，求b的取值范围.

25.(2025春•漳州期中)如图，在平面直角坐标系中，A48C的顶点坐标为4(-2,-4),B(0,-4),

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C(1,-1).

(l)画出△力4c绕点C逆时针旋转90。后的图形△小由C,尹写出小的坐标；

(2)将△小与C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△山82。2,直接写出C2的坐标

26.(2025春•夷陵区校级期中)如图1,将边长为位和3的两个止方形放置在直线/上，连结力。、CF,经

观察分析，发现△/I。。g△COR从而可进一步证出力。=。尸，ADVCF.

（1）如图2,将正方形石尸绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：AD=CF,ADLCFi

（2）如图3,将正方形OQEb绕。点逆时针旋转，使点E旋转至直线/上，直接写出b的长.

27.（2025春•吴江区期中）如图，AJ8C的顶点都在边长为I的小正方形组成的网格格点上.

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（1）将△/8C向左平移4格，画出平移后的对•应△小SG；

（2）将△ABC绕点力顺时针旋转90。，画出旋转后的对应

（3）第（2）问中旋转过程中边/出“扫过”的面枳为

28.（2025春•成都期中）如图，在平面直角坐标系中△J4。二个顶点坐标分别为力（5,4）,B（1,2）,C

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（3,（））.小聪把△力8c平移后得到了△小々G，并写出了它的三个顶点坐标小（-1,5）,0（-4.3）,

。（-3,1）.

（I）小明认为小聪写的三个顶点坐标中有一个出错了，请帮小明画出正确的△小SG并确认哪个点坐标

写错了，将错误的点坐标改正确；

（2）画出将△48C绕原点。顺时针旋转90。后得到的“282c2，并写出彳2,人的坐标.

y

29.（2025春•成都期中）已知ZM8c中NBAC=m°,过点。作直线/〃44,。是4c边上一点

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连接力。，将射线D4绕点。顺时针旋转〃广交直线/于点E，7为线段EC延长线上点.

(1)求证：8c平分N/C7：

(2)求证：AD=DE；

(3)若48=8,AD=3V7,CD=y/7,求△OEC的面积.

30.（2025春•梅县区期中）如图，点。是等边。内一点，将80绕点8逆时针旋转60。得到80,连接

OD,AO,BO,AD.

(1)求证：ABCO且ABAD.

(2)若。1=10,04=6,OC=8,求N4OC的度数.

31.（2025春•海州区期中）作图题:

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(1)在图1中画四边形/4CQ关于点/对称的四边形力SCOi；

(2)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：如图2,在98。中.

①作ABAC的角平分线交BC于点D；

②作AC边上的垂直平分线/交/I。于点G：

连结GC,若N8=55。，N8C4=60。，则N4GC=

32.(2025春•丹阳市期中)如图，将△48C绕点。顺时针旋转得到△QEC,使点彳的对应点D落在边8C

<1)若N/=60。，求NNOE的度数；

(2)若力C=5,CE=7,求8D的长度.

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33.（2025春•三元区期中）如图，在中，ZC=90°,将RtZVlBC绕点力逆时针旋转a。，得到

RtA4夕C,点C的对应点C恰好落在斜边AB上.

（1）用直尺和圆规作出9C（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接若/4=1（）,BC=6,求89的长.

34.（2025春•余江区期中）将两块全等的含30。角的直角二角板按图1的方式放置,已知/C=//?］小。=

30°,AB=2BC.

（1）固定三角板小©C,然后将三角板力8c绕点。顺时针方向旋转至图2的位置，43与AC、小Bi分

别交于点。、E,/C与小由交于点尸.

①填空：当旋转角等于20。时，NBCB、=度;

②当旋转角等于多少度时，与小8］垂直？请说明理由.

（2）将图2中的三角板/8C绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使与山。交于点。,

试说明小0=8.

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35.（2025春•中山市校级期中）如图，8E是。O的直径，点力和点。是。。上的两点，过点力作。。的

切线交8E延长线于点C.

（1）若NC=40。,求N/1OE的度数；

（2）若AC=2厄,CE=2,求阴影部分的面积.

36.（2025春•淄川区期中）如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3.

（1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形:

（2）若圆的半径为20〃，请求出这四个扇形的面枳.

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37.(2025春•滩溪县期中)如图1,在。。中，直径4C垂直弦8。于点G,AB=BE,连接/E交8。于点

F.

(1)若力G=l,AE=4,求。G的长；

(2)连接OF,OE,