几何图形 （培优讲义） 附答案-2025年新七年级数学（人教版）

几何图形

Q衔接梭板

小学阶段初中阶段

小学阶段，学生主要学习常见的平面几何图形（如进入初中后，几何图形的学习则更加注重逻辑推理

三角形、四边形、圆）的周长与面枳，以及基本的与证明.学生不再满足于通过实验得出的结论，而

立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表是需要从理论上进行严格的论证.例如，“三角形的

面积与体积.这一阶段的学习币:点在『•建立图形的内角和等于•180。”这一结论，在小学阶段可能通过

直观表象，理解培本特征和简单的计算方法.测量得到，而在初中则必须通过演纬推理来证明.

这一转变要求学牛.具备较强的逻辑思维能力和抽象

思维能力.

衔接指引

为了帮助学生顺利从小学过渡到初中的几何学习，以下是一践有效的策略和方法：

巩固基础知识：在进入初中之前，学生应确保熟练掌握小学阶段的所有几何图形的基本特征和计算公

式.可以通过做练习题和复习笔记来巩固这些知识.

培养几何直观与空间观念：通过观察和操作实际图形，培养学生的几何宜观和空间观念.例如，可以使

用模型、拼图等工具进行实际操作，增强对图形的理解.

提前预习初中内容：利用安假时间预习初中的几何内容，了解将要学习的知识点和难点，做好心理准

备.可以参考相关的预习资料和在线课程.

注重逻辑推理训练：通过解决简单的逻辑推理题，培养学生的逻辑思维能力.可以从小规模、简单的证

明开始，逐步增加难度，让学生适应几何证明的要求.

多做综合练习题：通过做综合性的几何练习题，提高解题能力和思维灵活性.特别是涉及多种方法和思

路的题目，可以帮助学生深入埋解几何知识.

认识*本的平面图形如三角形、正方形、长方形、18形等

几何图形的初步认识I------------------------------------------------------------------------------

-----------认识的立体国形如长方依正方体、18柱、回他球等

学习国形的分类如平面图形和立体图形

图形的分支与特征-------------------------------------------

一了解图形的特征an边的敷鼻、角的大小、面的形状等

学习计真平面图形的局长和面积如长方形、正方形的局长和面积公式

学习国形的平移,艇钱和对税01本交换

国形的变涣----------------------------

通过实际*（K如折五拼匹等，体物国形的交换

深入学习平面国形的?质和定理如三角形的内角和、全等三角彩的判定等

几何即绚进一步认识一一一一

一生登体国形的表面称10体枳的计一如长方体、圆住、圆谯的表面枳和体缺乏

学习几何证明的■本方法如向廖证明、反证法等

几何证明（-----------------------------------------------------

・通过证明,理解几何国形的性医和理理

引入生林系,学习如何在生球系中衰示几何BBB

坐初冬与几何国形।-----------------------------------------------

—T通过坐栩K研究几何曲形的柱族和变换

深人学习全等三角蝌制定io性质，m全等三角形的证明方法

相似与全等（--------------------------------------------------------------

「学习相归学形的性质io列定,理解相愎比的时拿

学习酬9T性族如8K'角、2s周角、花、切任等

BB的性度（-------------------------------------------------------

•ESM周长阳面帜必」以居女

EB知识衔接

I、基本公式

正方形：C=4a：S=axa.长方形：C=（a+〃）x2：S="〃.平行四边形：S=a/i.

三角形：S=a，+2.梯形：S=（a+0）x〃+2.圆：C=/rd=2;rr：5=nr.

正方体S&=axax6；V=axaxa长方体S*=（ab^-ah+hh）x2：V=abh

圆柱体、圆锥体（力:高：S：底面枳：r:底面半径）

圆柱侧面积：S=2*h；圆柱表面积：5=27广〃+27/：圆柱体积：V=S/z；圆锥体积：V=-Sh

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）：2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面枳比）：4）

运用整体思想：5）差不变：6）容斥原理（韦恩图）等.

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算.

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积.还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半.

通过对面积问题的训练可以打开思维.特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升.最后我

写了算两次解决面积问题，来诠葬前面的理论.

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法.

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同•个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成.有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方.

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S，kS乙，则S.+S空门=S5SQSWS-=SLSM.

容斥原理：即承叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法用程的结果，利

用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部

分面积.

Q典例精研I

・・■・■•・•・•■・■•・•・•・♦■・■・■•■♦■・■・■・・・・・・・■・■・・•■・・・■•・•■・■・・•■・■・■・■・■•■・・•■・■・・・・・■・■・・・■・■・«•・・・・・・•••・・・・■・■・■・■・・•■・■・・・■・■・・•■・■・■・・•■・■・・•・・■・■♦■・■・■♦

考点一：割补法求面积-平移与对称

1.（2024•四川绵阳•小升初真题）己知大正方形边长为2机米，阴影部分的面积是（）平方厘米.

【答案】2

【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成•个长等于正方形的

边长，宽等于正方形边长•半的长方形，根据长方形的面积=长、宽，代入数据计算，即可求出阴影部分

的面积.

【详解】2x(2-2)

=2x1

=2（平方厘米）

阴影部分的面积是2平方厘米.

2.（2022•河北石家庄•小升初真题）求如图阴影部分的面积.

【分析】如图:

三角形是等腰“用三角形，所以隅内左边的阴影部分图形等『6边虚线用成的空白弧形部分，所以，阴影

部分的面积也就是整个三角形面积的一半，根据三角形的面积公式：S=ah-2,把数据代入公式解答.

【详解】4X4・2+2

=I6-T24-2

=8+2

=4(cm2)

阴影部分的面枳是4cmL

3.（2024•山东潍坊•小升初真题）求阴影部分的面积.（单位：cm）

,把右边阴影部分移动左边，阴影部分等于长是6cm,宽是3cm的长方形面

积，减去底是女m.高是3cm的三角形面积.根据长方形面积公式：面积=长、宽，三角形面积公式：面积

=底、高"，代入数据，即可解答.

【详解】6x3-3x3^2

=18-94-2

=18-4.5

=13.5（cm2）

阴影部分面积是13.5cm.

4.（2024・四川巴中•小升初真题）求图中阴影部分的面积.（兀取3.14）

【答案】6cm2

【分析】如下图,把上方的两个阴影移补到脩头所示的空白处,这样阴影部分的面积=梯形的面积一移角

形的面积；根据梯形的面枳=（上底+下底）x高+2,三角形的面枳=底、高+2,代入数据计算.求解.

【详解】2+2=4(cm)

(4+6)x2-r2-4x2-r2

=10x2-7-2-4x2-72

=10-4

=6(cm2)

阴影部分的面积是6cm5

5.（23-24六年级下•辽宁•课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我fl学过的图形

运动求出涂色部分的面积吗？

【答案】6.28平方厘米

【分析】

如图所示，以点O所在的水平总线为对称轴,可将卜方的两个涂色部分通过轴对称

变换到上方，则涂色部分可转化为半个网环.连接OA,OB得到三角形AOB,因为三角形AOB的面积=大

网的半径x大阴的半径+2=1X正方形ABCD的面枳，据此求出大阴半役的平方：根据小阴的仃.径=正方形

的边长求出小圆的半径,利用半个圆环的面枳=（大阳的面积一小圆的面积）+2,求出半个圆环的面积也就

是涂色部分的面枳，据此解答.

【详解】

把大圆的半径看作R

在三珀形AOB中，有］XW=I6+4

R2=8

正方形ABCD的面枳为16平方厘米，则正方形ABCD边长为4厘米.

4+2=2（厘米），因此小圆的半径为2厘米.

3.14x(8—22)+2

=3.l4x(8-4)+2

=3.14x4+2

=12.56+2

=6.28(平方厘米)

答：涂色部分的面枳是6.28平方厘米.

【解题技巧】常见模型

转化后的图形秘籍计算方法

S阴影=S正方形卜丁：8(

1.（2024•浙江宁波•小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF垂直广AB,求阴影部分的面

积.

/--------------------------D

【答案】6.56平方厘米

【分析】

如上图割补，则阴影部分的面积=大扇形的面积一梯形BCEF的面积：大扇形的面积等于半径是4厘米的

圆面积梯形的上底和高都等于正方形边长+2,根据S.=标，SM=（a+b）h:2解答即叽

【详解】4-2=2（厘米）

3.14x42+4—（2+4）x2+2

=3.14x16^4-6x24-2

=12.56-6

=6.56（平方厘米）

答：阴影部分的面积是6.56平方厘米.

2.（2223五年级卜江苏扬州期末）下图中阴影部分的面枳是（）平方厘米.

12cm

【答案】144

【分析】观察图形可知，右面的扇形和左面空白的扇形完全相同，把阴影部分的扇形填补到左面，两个阴

影部分组成•个正方形.正方形的面枳=边长x边长，据此解答.

【详解】12x12=144（平方厘米），则图中阴影部分的面积是144平方厘米.

【点睛】把两个阴账部分组成一个正方形进行计算是解题的关键.

3.（22-23六年级下•云南昭通期末）图形探索.

情境描述：五（1）班的小吉在纸上画了一个梯形和一个阴，并给其中的两个部分涂成阴影，如图.接着，

她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？经过深入思考，可她还是不能解决.假如小雪向你请教，

你能用她解决吗？

（1）我向小雪这样介绍思路:

（2）我指导小雪这样列式计算:

【答案】（1）见详解：

（2）4x4=16（平方厘米）

【分析】（I）如图:把圆中右边的阴影部分对称到左边，这样就把所

有阴影部分变成一个底为4厘米，高为4厘米的平行四边形.通过平行四边形的面积公式即可求出阴影部分

的面积.

（2）根据平行四边形的面枳=底乂高，代入数据即可列式求出阴影部分的面枳.

【详解】（I）我向小雪这样介绍思路：通过对称，把阴影部分的面积转化成一个平行四边形的面积，利

用平行四边形的面积公式即可得解.

（2）我指导小雪这样列式计算：

4x4=16（平方厘米）

答：阴影部分的面积是16平方厘米.

【点睛】此题主要考查阴影部分的面积，通过轴对称，巧妙的运用平行四边形的面积公式解决问题.

4.（2024•全国•小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积.

【答案】18.24平方厘米：3.16平方厘米

【分析】（1）连接CD、DB发现ABDC是一个正方形,根据箭头的方向将阴影部分移动到A形里面,则阴

影部分的面积=扇形EF面积一上方形题C面枳,其中扇形是•个圆心角为90。，半径为8匣米的扇

形，则扇形的=为尸正方形的面枳=边氏x边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形行成两个门

角三角形的li根用.则直角三,ACD面枳=底、高4=广1役Xfxg,则正方形的面枳

x2=直径x半径.

（2）连接CO,则阴影部分面枳=平行四边形的面积一扇形AOC面积-：角形BOC面积.平行四边形的而

积=底、高：三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30。，则顶角就是120。即乙BOC=120。，

zBOC和乙AOC合在一起是平角，为180°,则4Aoe=60。.则扇形AOC的圆心角是60。.扇形AOC面积=

—^r2=^pr2,半径是平行四边形底的一半.三角形BOC面积=底乂高x；，底是半径，高是平行四边形

36062

的高.

-X3.14X82-8X(84-2)

4

=-x3.14x64-8x4

4

=3.14x16-32

=50.24-32

=18.24(平方厘米)

则阴影部分的面积是18.24平方理米.

(2)4x1.75=7(平方厘米)

18()-(18()-30x2)

=180°-(180°-60°)

=180°-120°

=60°

—x3.14x(4+2)2

360

=-x3J4x22

6

=-x3.14x4

6

*2.09(平方厘米)

2x1.75x1=1.75(平方匣米)

2

7-(2.09+1.75)

=7-3.84

=3.16(平方厘米)

则阴影部分的面积是3.16平方厘米.

考点二：割补法求面积-旋转

1.（23-24五年级下.河南洛阳.期末）如图所示，三个同心圆中的最大圆的两条宜径互相垂直，最大的圆

的平•径是6cm,第二大圆的半径是4cm,最小圆的半径是2cm.阴影部分的面枳是（).

【答案】28.26cm2

【分析】将阴影部分旋转后可得:

由图可知：除阴影部分的面枳等于大网面积X,将数据带入圆的面积公式计算即可.

【详解】3.14x62+4

=3.14x9

=28.26(cm2)

【点睛】本题主1考查含圆的组合图形面积的计算.

2.（2023•四川成都•小升初真初）求图中阴影部分的面积.（单位:理米）（万取3.14）

【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6座米园面积的"根据S=+，代入数据计算即

4

【详解】3.14x6x1=28.26（平方厘米）

4

即阴影部分面积是28.26平方厘米.

3.（21-22五年级下.山西大同•期末）计算涂色部分的面积.

8座木

【答案】32平方厘米

【分析】由图可知，①和③面枳相等，把涂色部分①转化为③，②和④向

枳相等，把涂色部分②转化为④，此时所有涂色部分组成•个三角形，三角形的面积是整个正方形面枳的

一半，据此解答.

【详解】8x8+2

=64+2

=32（平方厘米）

所以，涂色部分的面积是32平方匣米.

I.（2021•江苏扬州•小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正

方形的中心点匕旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是

）平方厘米.

【答案】20

【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA=OC,AAOB和ACOD形状大小完全相同,

可以将ACOD割补到AAOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面枳的:，正方形面积就是重叠部分的

4

面积X4,即可解答.

【详解】

5x4=20（平方J里米）

【点睛】本题有代正方形的特征，利用割补法将阴彩部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答.

2.（2023•全国•小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm,兀取3.14）

【答案】（1）16平方厘米：（2）22平方厘米

【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕网心顺时针旋转90。然后再平移，阴影部分的面积相当广底

是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底、

高，用8x（84-2）+2即可求出阴影部分的面积.

（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面枳恰好是上底为4,下底为7,高为4的梯形

的面枳，悌形的面枳二（上底十下底）x高+2.

【详解】⑴8x4:2

=32:2

=16（平方厘米）

阴影部分的面积是16平方厘米.

（2）（4+7）X4+2

=444-2

=22（平方厘米）

阴影部分的面积是22平方厘米.

考点三：和差法求面积

1.（2024•江苏扬州•小升初真题）•个零件横截面的形状如图.这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少

【答案】50.24平方厘米

【分析】观察图形可知,涂色部分的面积=大半圆的面积一小圆的面枳,根据圆的面积公式S=-2,代入

数据计算求解.

【详解】16+2=8（阿米）

8+2=4（厘米）

3.14x82+2—3.14x4?

=3.14x644-2-3.14x16

=100.48-50.24

=50.24（平方J见米）

答：这个零件横枝面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米.

2.（2024六年级下•江苏.专题练习）求下面各图涂色部分的面积.

【答案】44dm>9.435dm2

【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8+6）dm,高为8dm的三角形的面

积即可;

（2）用上底为3dm,下底为4dm,高为（3+4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的3,再减去底和高都

4

为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积.

【详解】8x84-6x6-(6+8)侬2

=64+36—14x8+2

=100-1124-2

=100-56

=44(dm2)

(3-4)x(3+4)4-2-3.14x32xl-4x44-2

=7x7+2-3.14x9x1-16+2

4

=494-2-28.26x1-8

4

=24.5-7.065-8

=17.435-8

=9.435(dm2)

3.(24-25六年皴上•河南周口•期中)求卜面图形涂色部分的面枳.

【答案】10.99cm2：20.52m2

【分析】涂色部分的面枳为内直径是6cm,外直径是8cm的网环的面枳的•半：

如下图，空门部分①和②面积相等，等于边长是6m的正方形面积减去半径是6m的;圆的面积，那么涂

色部分的面枳为边长是6m的正方形面枳减去空白部分①、②的面枳，据此解答.

【详解】[3.14x(8+2)2-3.14x(6+2)2卜2

=[3.14x42-3.14x31+2

=[3.14x16-3.14x9卜2

=314x(16-9)+2

=3.14x7+2

=21.98至2

=10.99(cm2)

故涂色部分面积是IO.99cm±

6X6-(6X6-3.I4X62+4)X2

=36-(36-3.14x36+4)x2

=36-(36-28.26)x2

=36-7.74x2

=36-15.48

=20.52(m2)

故涂色部分面积是20.52m2.

4.（2024五年级•全国•课后作业）如图,长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,

F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积.

【详解】试题分析：此即是求图中组合图形的面枳,可以利用辅助线将它转换成规则图形，如图，连接

BH,将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题.利用三角形面积公式进行解

解：如图,连接BH,

A

AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米，

因为F、G分别是四等分点，

所以BF0AB=1X24=6（厘米），

44

DG=4DC=4X24=6（厘米），

44

SABFH+SADHG,

=±BFXAH©DGXHD.

22

=5X6XAH+弓X6XDH,

=3xAH+3xDH.

=3x（AH+DH）,

=3xAD,

=3x26,

=78（平方厘米），

因为E是BC的中点,BE=13廛米,

SABEH=-ixl3x24=I56（丫方匣米），

78+156=234（平方厘米），

答：阴影部分的面积为234平方厘米.

点评：组合图形的面积计算，转化成规则图形的面积计算时解题的关犍.

I.(20-21六年级上•吉林•期末)如图，三知形ABC是等腰H角三角形，A8=AC=8cm,弧AD是以

CA为半径的网的•部分，ZC=45°,求图中阴影部分的面枳.

【答案】18.24平方厘米

【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面枳=百径8厘米的半|用面积+弧

AD半径CA的扇形面积一三角形面积.

45

【详解】3.I4X(8+2)2+2+3.14x8%---------8x8“

360

=3.14xl6v2+3.14x64xl-32

8

=25.12+25.12-32

=18.24（平方厘米）

2.（20-21六年级上.广东深圳•期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，为直角，。是48的中

点，AB=2O厘米，圆弧GO、的圆心分别在A、B两点,求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）

GCH

ADB

【答案】107cm2

【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，WUCAB=zCBA=45°,圆瓠GE和圆弧HF的半径相等，

则这两部分能够组成一个半径是20+2=10理:米，留心角是90。的扇形，根据扇形的面积公式：S=1

x冗凡把数代入即可求解，圆弧ED和圆弧FB中的空白部分能够组成一个正方形，圆弧ED和圆弧FD能

终组合成一个半径是10厘米，圆心角是90。的扇形，用这两个圆弧的面积减去正方形的面积即可求出三角

形内阴影部分的面积，知道正方形的对角线的长度，则面积=对用线x对角线+2,之后两部分的阴影部分

面积相加即可.

【详解】3.14x（20+2）2xl

4

=3.14x|（X）xl

4

=314x^

4

=78.5（平方厘米）

78.5+（78.5-l（）xlO-r2）

=78.5+28.5

=107（平方厘米）

答：图中的阴影部分面积是107平方厘米.

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式以及正方形的面枳公式，要注意正方形的面积可以用两条时角线相

乘除以2即可.

3.（2023六年级•全国・竞赛）如图，直角扇形的半彳仝为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面

22

积为（）平方厘米.（兀取亍）

【答案】32.5

【分析】

阴影部分的面积=扇形的面积+正方形的面积一空白部分的面积.扇形是一个宜角扇形，则扇形的面积=：

X圆的而枳=!灯尸正方形的面积=边长X边长，直角三角形是•条直角边是正方形的边长为4里米，另夕卜一

条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积=两条直角边的乘积;2.

I22

【洋:解】■?x—x7?+4x4—（7+4）x4-r2

47

==x49+4+16-11x4+2

7

=154+4+16-22

—38.5+16—22

=32.5（平方厘米）

则阴影部分的面积为32.5平方厘部

4.（2023•四川成都•小升初出题）如图，在长方形A8CQ中，48=6厘米，"。=4厘米，斑形八8£的半径

AE=6厘米，扇形C7",,的半径b=4厘米，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米.（结果保留

不，不取近似值）

BC

【答案】13L24

【分析】长方形的面枳一扇形CBF的面枳一不规则图形ABFD,阴影部分的面积一扇形ABE一不规则图

形ABFD.长方形的面积=长、宽，圆的面枳=万产.注意：结果保留；r,不取近似值.

【详解】扇形CBF的面积：1X^X42=1X^X16=4^（平方理米）

44

不规则图形ABFD：4x6—4乃=124—44）平方厘米

扇形ABE面积：-X^-X62=-X^X36=9^（平方匣米）

44

阴影部分的面积：9L（24—4加

=97■—24+4%

=（13L24）平方厘米

则图中阴影部分的面积是为（13几一24）平方厘米.

【点睛】因为长方形的四个角都是90。，扇形CBF的圆心角为90。，即它的面枳是以半径为4厘米的圆的

7，同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆.求扇形的面积要先求出所在网的面积.

5.（2021・浙江•小升初真题）数学思考.

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部

分的面积.（单位：平方厘米）

【答案】87.5平方厘米

【分析】如下图所示:连接PB,P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG,则G是AB的中点,所以

PG的长度为正方形的边长加半圆的半径,正方形的边长是10厘米,半圆的直径是10厘米,所以PG的长

度见104-104-2=15厘米,所以三角形PAB的面枳是10x154-2=75平方厘米;Q点为正方形一边的中点,

所以三角形PBQ的面积是5x5+2=12.5平方厘米，据此列式解答即可.

【详解】10x15:2

=15（H2

=75（平方厘米）

5x5+2

=25+2

12.5（平方厘米）

75+12.5=87.5（平方厘米）

答：空白部分的面积是87.5平方匣米.

【点睛】此题考查「三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP,找出这两个白色三角形的高

是解决本题的关键.

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考点四：整体代换法

以

I.（2024•全国•小升初真题）在三角形ABC中,ZC=9O°,AC=BC=10厘米,A为扇形AEF的圆心,

且阴影部分①与②面积相等，求房形所在圆的面积。

【答窠】400平方网米

【分析】根据题意,三角中ABC为等腰宜角三角形,所以4A=ZB=45。,因为阴影部分①与②面积相

等,所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面枳,整个圈面枳的圈心角为360。，可用扇形AEF的面

枳除以4A占整个留心角的几分之几即可得到答案.

45

【详解】10x104-24-360

=1（X）-T24-8

=50+8

=400（平方厘米）

答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。

【点暗】解答此题的关键是利用等最代换计算扇形的面枳，然后再用扇形的面枳除以扇形的圆心角占整个

圆心角的分率即是扇形所在圆的面积。

2.（2023五年级•全国•课后作业）如图：阴影部分的面积是50平方厘米，求图中圆环的面

【答案】157平方厘米

【详解】试题分析：由图意可知：圆环的面积=大圆的面积一小圆的面积，因此只要求得大圆与小圆的半

径的关系，问题即能得解：又因阴影部分的面积等于大等腰直角三角形的面积减小等腰直角三角形的面

积，从而可以求得大小圆半径的平方之差，从而问题得解.

解：设大圆的半径为R,小圆的半径为r,

则：2RXR+2-2*-2=50,

R2・r2=5O（平方厘米）：

圆环的面积:nR2-Ttr2,

（R2-r2）,

=3.14x50,

=157（平方厘米）；

答：圆环的面积是157平方厘米.

点评：解答此题的关键是：利用己知条件求出大小阴半径的平方之星，再据园环面积等广大圈面积减小网

面积，即可求解.

3.（23・24五年级上•全国•课后作业）如图，长方形的长为12厘米，宽为5JK米。阴影部分甲的面积比乙

的面积大15平方厘米。求DE的长。

【答案】2.5厘米

【分析】已知“甲的面积一乙的面积=15平方厘米”，那么如图，（甲的面积+丙的面积）一（乙的面积+

内的面积）=15平方厘米，可得等最关系：长方形ABCD的面积一三角形BCE的面积=15平方厘米，

即：三角形的面积+15=长方形的面积。设DE的长为未知数，根据等量关系列方程，再根据等式的性质

解方程。其中，长方形面积=长乂宽，三角形面积=底又高+2.

【详解】解：设DE的长是x厘米，

12（x+5）+2+15=12x5

6x4-30+15=60

6x=60-45

6x=15

x=l54-6

x=2.5

答：DE的长是2.5厘米。

【点睛】能够结合图示,把甲乙两部分面积的差,转化为长方形与三角形面枳之差,是解题关键。

步骤：

1.识别整体：首先，识别题目中的某个部分或结构，这个部分可以是一个图形、一个长度、一个面

积或一个体积，它能够被看作一个整体.

2.设定变量：将这个整体用•个变量（如a、b、x、y等）来表示.这个变量将代表整个部分的未知

值.

3.建立关系：根据题目中的条件，建立这个变品与其他已知最或未知鼠之间的关系.

4.代入求解：将变量代入到相关的公式或方程中，进行求解.

5.回代验证：求出变量的值后，如果需要，可以I可代到原问题中，验证解的正确性.

【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以宜接求的半径的平方，采用设而不求，整

体代换即可.

1.（2020.湖北十堰.小升初真题）下图中，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等,

图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】37.68平方厘米

【分析】从图中看出，阴影部分的面积=长方形的面积一圆的面积X；,其中长方形的面积=忸的面积=

nr2,圆的半径=圆的周长r+2

【详解】25.12-3.14：2=4（厘米）

42x3.14=50.24（平方厘米）

5O.24-5O.24xl

4

=50.24-12.56

=37.68（平方厘米）

答：阴影部分的面积是37.68平方闻米。

【点睛】“等量代换”是解数学题时常用的•种思考方法，即两个相等的盘,长方形的面积与圆的面积可以

互相代换。

2.（23・24六年级上•河南周口•期末）如图，大正方形的面枳比小正方形的面积多10平方厘米，求阴影部

分的面积。

【答案】5.7平方厘米

【分析】设大iE方形的边长是a,利用大正方形与小正方形面枳的关系求标的值，然后利用圆的面枳减去

小正方形的面积，求阴影部分的面枳。

【详解】设大方形的边长是a

a2—3-a2=10

32=10

a2+=IO+：

a2=10x2

a2=20

阴影部分的面积：

3.14x20x1-^x20

42

=62.8x1-10

4

=15.7-10

=5.7（平方厘米）

答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。

【点睛】本题主I考查组合图形的面枳,关健把组合图形转化成规则图形,利用规则图形面积公式计算.

3.（2025六年级卜.•全国•竞赛）如图,阴影部分的面枳是25平方米.求做I环面积是名少平方米？

【答案】157平方米

【分析】观察图形可知,圈环面积无法直接根据公式求出,题中给出的信息为阴影部分面积,阴影部分面

枳利用整体减空白部分来求.利用AAOB面枳一△DOC面枳,即

-xAOxBO--xDOxCO=-xAO2--xDO2=-x（AO2-DO2）=25.可得AO?-DO?=5（）,观察图形AO

22222v1

为大圆半径，DO为小圆半径。圆环面积公式九（1<2-产），即3.14x50=157（平方米）

【详解】25x2=50（平方米）

3.14x50=157（平方米）

4.（23-24六年级上.辽宁•期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积

是（）平方厘米。

【分析】直.角三角形的面积=底、高+2,刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面枳可以表示为rxr+2=

25,圆的面积=而，求出圆的面枳减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积。

【详解】解：设圆的半径是r。

rxp?2=25

产=25x2

5=50

国的面积：

=nr2

3.14x50

=157（平方厘米）

空白部分的面积：

157-25=132（平方匣米）

空白部分的面积是132平方厘米。

【点睛】此题考行不规则图形面积的计算方法，利川国的面积公式求出网的面积是解题的大键。

考点五：等积变化法求面积（体积）

1.（2025六年级下•西藏•专题练习）如图是•个平行四边形，且AB=BC=CD,DE=EF。则甲、乙两个

三角形的面积比是（）：（）。

甲

E

A8D

【答案】32

,由此可知，甲的面枳一gX平行四边

【分析】连接平行四边形的对角线，如图:

形面积的一半，即:乂;乂平行四边形，即:乂平行四边形面积：乙的面积=;乂平行四边形面积的一半，即

gxgx平行四边形，即gX平行四边形面积；再根据比的意义，进而求出甲、乙两个三角形的仙积比。

326

【详解】根据分析可知，甲三角形面积行四边形面枳；乙三角形面枳=gx平行四边形面积。

46

甲:乙=（Jx平行四边形面积）:（!x平行四边形面积）

46

I1

46

=（-X12）：（-X12）

46

=3：2

甲、乙两个三角形的面积比是3:2。

2.（2022•安徽黄山•小升初真题）如图，三角形A8C的面枳27cm2,CE=,C,8D=；AB,三角形

JD

AED的面积是（）cm\

【答案】12

i2

【分析】由图可知，三角形AEO和：角形BED等高，且比＞=§A5,则AO=§AB,:角形AE。的面枳

212

是：角形A即面枳的葭三角形AEC和三角形A旦等高，且CE=；8C.则=三角形AEB的面

积是三角形ABC面积的：，由此求出三角形AED的面积占三角形ABC面积的分率，最后用乘法求出三角

形A£D的面枳。

1222

【详解】因为则=所以三角形A用的面积=jx三角形ABC面积=,x27=l8

(cm2)：

1222

因为BO=§A8,则AD=§A5,所以三角形AED的面积=§x三角形但面积=§xl8=12（cm?）：

由上可知，三角形的面积是12cm2,

【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。

3.（2023•四川・小升初真题）如图所示，AB是半圆的亘径，O是圆心，AC=CD=DB,M是CD的中

点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多

少？

【答案】2平方厘米

【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH,则酎形AOC、COD、DOB的面积相等，都等「华阴面积的

乂因为三角形COH叮三角形CNH等底等高，则：者的面枳相等，所以阴影部分的面枳等于扇形

COD面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积.

【详解】I2x|xl

=4x；

=2（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。

【点睛】解答本题的关键是作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系。

4.（22-23六年级下•山东前泽•期中）巧求饮料体积：一个饮料精（如图），瓶身呈圆柱形（不包括瓶

颈），容积为250亳升，当瓶子正放时，瓶内饮料液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米,

请你算一算，瓶内饮料的体积是多少亳升？

【答案】200亳升

【分析】因为饮料瓶的容积不变，饮料的体积也不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与

倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面枳不变，高为8+2=10厘米的圆柱的

体枳，那么瓶中的饮料占整个饮料瓶容枳的2=根据求•个数的几分之几是多少，用整个饮料瓶的容

枳乘2，即可求出脑内饮料的体积。

【详解】8子（8+2）

=8+10

=一4

5

4

250x^=200（厘升）

答：瓶内饮料的体积是200毫升。

【点睛】关键是明白饮料粒的两种放法,空白部分的容积是不变的，用倒放时的空白部分替换掉正放时的

空白部分，转化成圆柱体,进而求出瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的几分之几，再根据分数乘法的意义求

解。

5.（22-23六年级上•浙江温州•期末）如图，已知有一块四边形花用ABCD,其中E,F分别为AB,AG

上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且BH=HC,FG=GD,连接EF,BF,BG,HD,

将花阚分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方

米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？

A

二

H

D

【答案】440平方米

【分析】连接BD,如图所示:

三角形面积=底乂高.2,三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE=2AE,那么三角形BEF的面积是三

角形AEF面积的2倍：

FG=GD,那么三用形BGD和三ffj形BFG等底等高,那么这两个三角形的面枳相等：

同理，BH=HC,那么三角形BHD和三角形HCD等底等海，而枳相等。

将空白部分的面枳相加，求出种极佛金香的面枳即可。

【详解】25x2=50（平方米）

50+150+150+90=440（平方米）

答：郁金香的面积是440平方米。

【点睛】本题考1「三角形的面积、组合图形的面积,热记并灵活运用三角形的面积公式,并掌握割补法

求组合图形的面积是解题的关键。

【介绍】等积变换法在小学几何中是一种乖要的解题技巧，它通过保持图形面积不变的前提下，改变