简单的三角恒等变换（5大考点+9大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

4.2简单的三角恒等变换

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、两角和与差公式................................................................3

二、二倍角公式....................................................................3

三、降幕公式......................................................................3

四、1升属公式......................................................................3

五、辅助角公式....................................................................4

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................6

题型一:两角和与差的三角函数公式.................................................6

题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用...........................................7

题型三：辅助角公式的多种应用......................................................7

题型四：给值求值型问题............................................................8

题型五：给角求值型问题............................................................8

题型六：给值求角型问题............................................................9

题型七：正切恒等式的综合应用.....................................................10

题型八：三角函数式的化简.........................................................11

题型九：三角恒等变换的综合应用...................................................12

04好题赏析（一题多解）..........................................................15

①数形结合.......................................................................16

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论.......................................................................17

06课时精练（真题、模拟题）......................................................18

基础过关篇........................................................................18

能力拓展篇.......................................................................20

1/21

01课标要求

1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.

2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.

3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的

恒等变换.

2/21

02落实主干知识

一、两角和与差公式

@cos(cr-/?)=cosacosp+s\nasinp；(3)sin(a-fl)=sinacosp-cosasinp；

@cos(a+fl)=cosacos/?-sinasinfi；©sin(a+/?)=sinacos^+cosasinp；

⑤tan(a+/?)=3n"3.变形公式：tana+tanp=tan(a+0)(1-tanatan£)：

1-tanatanp

tan

⑥tan(<7-/?)=,an。_^:变形公式：tana-tan4=tan(a-/?)(1+tanatanp).

1+tanatan0

二、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-I=1-2sin2a:

③tan2a=

1-tan'a

三、降零公式

.1-cos2a

®sin2a=-------------

1+cos2cr

②cos2a=

F

(3)sinacosa=—sin2a.

四、升鬲公式

①l-cos2a=2sin2a,

@1+cos2«=2cos2a：

(3)1+sin2a=(sina+cosa)2,

(4)1-sin=(sina-cosa)2.

3/21

五、辅助角公式

asinx+bcosx=\Ja2+//sin(x+(p).

①其中辅助角9是由方程tan°=2,sin(p=,,CQS(P=,U.决定

a>Ja2+b2>Ja2+b2

②正弦在前，余弦在后(确保系数4,b不会弄反)

③利用系数算出所填角度的正切，正弦(余弦)，决定所填角度的确切象限.

④保证A>0,<y>0.

常用二级结论

1、积化和公式

①sina•cos£=；[sin(a+£)+sin(a一/3)]

②cosa•cosp=；[cos(a+/?)+cos(a-p)]

③sina•sinp=g[cos(a-/7)-cos(a+4)]

2、和化积公式

①sina+sin/=2sin"；"ccs"J

②sina-sinp=2cos"”sin———

22

@cosa+cos/?=2cos18s

.a+p.a-p

cosa-cosp=-2sin-^-sm-

3、化简小技巧：

①l的代换；1-tanq-sin2a十co6。；

4

兀

.…tan—+tanx

cosx+sinx1+tanxA/兀、

@-----------------=------------=-------------------=tan(-+x).

cosx-sinx1-tanx,.4

1-tan—tanx

4

4、两角互组，两角互补，两角互余

①两角互组：。+6=2兀

4/21

sina=-sin0

cosa=cos/7

tan«=-tanp

②两角互补：a+。=R

sina=sinp

-cosa=-cos/?

tana=-tanp

③两角互余：a+/?=]

sina=cos夕

cosa=sin0

I

tana=-------

tanp

5/21

03探究核心题型

题型一：两角和与差的三角函数公式

【典例1-1】（2025•海南•模拟预测）若cos（a-m=Jcos2&=1，且a为锐角，尸为钝角，贝J

13J

cos(a+/?)=()

口5-2472

A.

3939

12+10V212-10V2

cL/•

3939

7T,且表=忸皿总,则（）

【典例1・2】（2025・高三•云南・期中）己知

2

A.2a+°=]B.2a-£=：C.2/?+a=|D.2。-a=%

【解题总结】

⑴使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

3

【变式1・1】（2025•广东深圳•二模）若cos（a+；卜ae0,—,则sina=()

52

B-噜CV2

A历，咚

105

【变式1・2】sin165白cos756cosl5fisinl05的值为()

A.0c女D.1

2

【变式1・3】（2025•山东潍坊•二模）己知角。的顶点与坐标原点O重合，始边与工轴非负半轴重合，其终

（石7

边与圆。交于点力（3,4）.若角a终边沿逆时针方向旋转角氏交圆。于点8-三，、一，则角。可能为

()

A.75°B.105°C.375°D.405°

6/21

题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用

【典例2・1】（2025•广西•模拟预测）己知3cos（2a+0—2cos夕=0,则tanatan（a+0=（）

A.-B.5C.—D.-5

55

【典例2・2】(2025•云南•模拟预测)下列选项中，值为目的是'：)

A.4sinl5°cosl5°B.2(cos46°cos160-sin46°sin16°)

_1+tan15°

C.--------------D.8cos10°cos20°cos400

l-tan!5°

【解题总结】

逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.

【变式2-1］（2025•江西•二模）已知cosa-cos/y=g,sina-sin/y=—,则cos（万-a）=（)

4141,49、49

A.——,B.—C.———D.—

72727272

【变式2・2】（2025•湖南长沙•三模）已知。£（0匕，/?€(),.],且tana=tan6+介，贝U()

L2)cosfl

A.3aT吟B.2a+/=^C.3a+/7=-D.=

【变式2・3】(2025•四川成都•模拟预测)已知sin(a-/?)cosa-cos(4-a)sina=g,尸是第三象限角，则

sin［〃十的值为（）

AOB,逆7x/2

c近D.

10101010

【变式2-4］（2025・河北•模拟预测）V2sin2025°+tan2025°=()

A.2B.1C.0D.-2

题型三：辅助角公式的多种应用

【典例3-1】己知sin，+sin（。-。=1,贝ijsin（2e+］兀J=

6

【典例3-2】己知关于x的方程siM-8立=加在［0,可上有两个不同的实数解，则这两个解的和为

【解题总结】

对asinx+bcosx化简时，要清楚如何求辅助角卬的值.

7/21

【变式3・1]已知sina-cos/a—f]=1,则cos（2a—的值为____.

\6；3I3J

【变式3・2】（2025・高三•河北•开学考试）已知实数为，x2,乂，为满足：才+货=4,考+父=9,

不再+必必+42T，则（阳一再）2+（乂-必产的最大值为一.

【变式3・3】（2025・高三•辽宁•开学考试）已知均为正数，a2+h2=2,则无（2&-旬+2力的最大值

为一

题型四：给值求值型问题

【典例4・1】（2025•黑龙江吉林•模拟预测）己知tan（a+；卜2,则可2a+：J的值为.

【典例4・2】已知口,满足sina=巫，tan/?=2,贝I」cos2a+sin2/?=.

3

【解题总结】

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知凭”的和或差的形式.

（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差.的形式，或者应用诱导公式

把“所求角”变成“已知角”.

【变式4・1】（2025・高三•广东深圳•期木）已知二£（0,九）,8$（。+e）=噜，贝"os（2a-£）=.

【变式4・2】已知。40吟），匹卜去。｝：下手，-半，则的值

为.

【变式4・3】若。和万都为锐角，cos（a+£）=^/osasin/=?■，则sin（a-0=.

【变式44】已知0v尸vav巴，cos（＜7-^）=—,cos«cos/?=—,则一------二=___.

252tanatan/

题型五：给角求值型问题

【典例5・1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比

定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角。的斜边与邻边的比，叫做。的正割，用$6。。表示；

8/21

其斜边与对边的比，叫做。的余割，用CSC。表示；其邻边与对边的比，叫做。的余切，用cote表示，则

cot20°(>/3cot700-l)

see100

A.1B.-1C.2D.-2

如竺二的值为（

【典例5・2】（2025・湖南永州•模拟预测）)

sin10°

A.2B.4C.-2D.-4

【解题总结】

给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.

【变式5・1】（2025・重庆•模拟预测）式子2sml8'c。、：-s"9-1）化简的结果为（）

cos6'+sin6

A.2B.1C.2sin9D.2

【变式3.°°+即

.7t2冗3兀47t5兀

【r变式5-3】求值：cos—cos——cos—cos——cos—=

li1111II11

【变式5-4](1+tan1°)(1+tan2°)-•••(1+tan44°)(1+tan45°)=

题型六：给值求角型问题

14

【典例6・1】已知a,夕w(0,兀)，且tana=—,cos/=—，则a+/?=()

75

7t_3nr2兀

A.-B.—C.-D.——

4463

4

【典例6・2】已知。仁（0.兀），sin(a+/?)=2cos(a-p),tan(7+tan/?=y,则a+尸=()

re冗_45兀-5兀7冗_43冗

A.-B.一或丁C.—D.一或一

444444

【解题总结】

针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为:首先，依据已知条件

计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目

所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等

工具，准确求出该角度的具体数值。

9/21

【变式6-1】设123,1211/?是方程工2+6>/^^+7=0的两根，且名夕©］一,；>则。+4=（）

兀r2兀八兀TX2兀C2兀

A.-B.------C.-或----D.—

33333

【变式6-2】已知等差数列｛qj中，/+%=-|"，«2+^+«ii=-又tan6=%,tan（6一a）=%，其中

a,/e（O,;t）,则2a-6的值为（）

Ait3nn_3兀

A.---fik——B.—C.-彳

4444D.

则

【变式6-3］（2025・高三・河北・期口）已知外/T、吟,cos(a-0)=-^,tana-tan/7=5,a+Q=()

兀r不71D.生

A.-B.一C.

3463

【变式6-4】已知a,力€（0,九），且cosa=—»sin(a+夕)=，则a-夕=()

51()

江门37r71_3n

A.-B.—C.D.--

4444

题型七：正切恒等式的综合应用

【典例7・1】(2025•陕西安康•模拟预测)计算：tan20o+tan40o+J5tan2(nan40o=()

A.—B.IC.冬回D.&

33

【典例7・2】(1+x/3tan80n)(1-^tan20f)=()

A.2B.4C.-1D.-3

【解题总结】

当4+3+C=4兀时，tanJ+tan5+tanC=tanJ-tan5-tanC

【变式74】(2025•江西•一模)化简tan35。+tan100。+tan35。tan800=()

A.tan65°B.-tan65°C.1D.-1

【变式7-2】在A/IBC中，taivi+tan5+taiL4tan5=1,则cosC=()

A.一立B,--C.—D.

222~T

【变式7・3】tanl30+tan320+tanl30tan320=()

A.tan19°B.1C.-tan19°D.-i

【变式7-4](2025•河南•模拟预测)tan80+tan127°+tan80tan233°=(）

10/21

A.-2B.-1C.1D.2

【变式7-5］（2025•全国•模拟预测）已知正项等差数列｛%｝满足tan为tan%+tanas+tan%=l,«6<1,则

卬+%+。6+。8+。”值为（）

题型八：三角函数式的化简

【典例8・1】（多选题）下列式子化简正确的是（）

A.cosl7cosl3-sin17cos77=—B.cosl5cos60cos75=-

28

l±tanl£V3

C.V3cos!50-sinl50=V2D.=

l-tanl5=

【典例8・2】（多诜题）下列诜项化简值为1的有（）

/\if_______

.27T.2兀

A.2cos----sin——B.

I1212；41sin20。cos20。,

3-sin70。

tan200+4sin20°

*4-2COS210°

【解题总结】

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.

（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻

找式子和三角函数公式之间的联系点.

【变式8・1】（多选题）（2025•广东佛山•模拟预测）下列化简正确的是（）

tan480+tan720

A.

l-tan48°tan720

B.cos820sin520+sin820cosl280=-■-

2

QQ

C.sin210+sin220+sin23°+•••+sin289°=—

2

n1V3.

sin10°cosl0°

【变式8・2】（多选题）下列化简正确的是（）

Atan480+tan72°_

'tan48otan720

B.cos82°sin520+sin82°cosl280=——

2

11/21

QQ

C.sin210+sin220+sin23°+•••+sin289°=—

2

D.=4

sinlO0coslO0

【变式8・3】(多选题)下列化简结果正确的是()

A.cos((z+/?)-cos(a-/?)=2sinasinp

B.sina+cosa=5/2cos^a

C.tan500+tan70°-73tan500tan70°=V3

D.cosa-y/3s\na=-2sinla--

I6)

【变式8-4］（多选题）下列计算或化简正确的是（）

1+tan105°_\J3

A.cos495°=-—B.

l-tanl050-T

2

1cos(9cosctsina_

C.若sinecose=：,则tane+%=5D.若。为第二象限角，则,二°

5sin”vl-sin'crv1-cosa

题型九：三角恒等变换的综合应用

tan(a-0)+tan£_sin2a

【典例9-11（1）求证:

1-tan(<z-/y)tan/71+cos2a

(2)已知sin(a+/?)=g,^^-=5,求sin(a-/?)的值.

【典例9-2］已知a=(cosa,sina),书=(cos夕,sin/?),a,夕€(0,习，ab=—,tana-tan/7=-1.

⑴求cos(a-0,cos(a+夕)的值;

⑵求sin2a的值.

【解题总结】

12/21

进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公

式的逆用和变形使用.

【变式9-1】已知cosa=-,ae(-四,0).

52

⑴求sin("-a)的值；

6

⑵若加①+⑶=-*,*“,.，求A的值.

【变式9・2］已知cos(,-a)=-孚,sin/?=罂，且均为锐角.

(I)求sin2a+1)的值；

(2)求a+/的值.

【变式9・3】已知。，?为锐角，sin(a+夕)=；,sinacos/二;.

(1)求证：tana=2tan/7；

(2)求co$(a-/7)的值.

13/21

【变式9-4】己知函数/(x)=sinmx-Vicos5(其中/>0,xwR)的最小正周期为27r.

/⑷

⑴若tana=26，求/的值;

I2)

(2)已知/(。)=,求sin。的值.

14/21

04好题赏析（一题多解）I

1.己知二，夕是函数/(X)=sinx+cosx-；在［0,2外上的两个零点，则cos(a-/)=()

8V2

A.-IB.一一C.-------D.0

92

2.若sin(a+2)+cos(a+£)=2夜cos(a+C)sin£,则()

4

A.tan(ar+/?)=-!B.tan(«+/?)=1c.tan(a-/?)=-!D.tan(c?-/?)=1

3.已知xc0,f,sirw+cosx=,则=()

L4j5I4)

A.3B.-3C.-75D.2

4.已知aw(0,f),2sin2a=cos2a+1,则sina=()

,1R亚2X/5

/1・—B•C-—DN・------

5535

15/21

①数形结合

1.如图所示，cos2408=（）

2.在平面直角坐标系式0中，第一象限内的点4%,切）和第二象限内的点8（看,为）都在单位图。上，

ZAOx=a,Z.AOB=0,其中sind=-，cos0=£,若％=百，则须的值为（）

小

16335663

A.—B.—C.—D.—

65656565

3.已知正〃边形的边长为“，内切圆的半径为厂外接圆的半径为R，则R+〃=U，其中户=（）

2tanp

7T7T

—D.一

3〃4〃

②转化与化归

16/21

11

A.-B.5c2D.3

3

2i

5.已知sin(2a+/?)=§,cosacos(cr+/?)=—,则tana+tan(a+/7)=()

32八34

A.-B.—C.D.

2343

6.若iane=2lana,sin(0--a)=—,则cos2(6+a)=()

4

111\_

A.——B.C.D.

4884

③分类讨论

7.已知cos2a=4sin'/?,sin2a=2sin2/7,贝ijcos(2a+夕)=()

x/3

A.0B.—C.1D.

2~T

8.已知sin2a=2sin2〃，cos2a=4s加尸，则cos(2a+夕)=()

A.0B.@C.1

D.

22

9.已知a,月都是锐角，且tan(ztan/?=l+〃，则()

cosp

A.2a=P+冗B.la-n-PC.3a=冗+0D.3a二兀-B

17/21

[06课时精练（真题、模拟即）Q

基础过关篇

已知0<a<乃,cos4=@,则sin(a-1]=()

1.（2025年高考全国二卷数学真题）

2514j

A."B.也「3夜n7x/2

1()51010

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知cos（a+夕）=/〃,tanatan夕=2,则cos（a-夕）=（

A.—3wB.——C.-D.3m

3

3.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知一C°Sa=V3,则tan[a+：]=()

cosa-sina\4)

A.2百+1B.2出-1C.—D.1-V3

2

4.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知sin(a—p)=±cosasin/?=L,则cos(2a+2£)=().

5.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知。为锐角，cosa=Lu£,则sin[=().

42

A3-石口-1+石「3-V5八7+下

A----------B------------C.---------D.-----------

8844

/\

6.(2022年新高考全国H卷数学真题)sin(cr+/?)+cos(«+ft)=2x/2cosa+—sin/?,则()

I

A.tan(a-夕)二1B.tan(a+夕)=1

C.tan(a-^)=-lD.(an(«+/?)=-!

7.（2024年新课标全国H卷数学真题）已知々为第一象限角，〃为第三象限角，tana+tan//=4,

tanatan/?=\/2+1,则sin（a+〃）=.

8.（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知lana=3,则tan2a=.

9.（2022年新高考浙江数学高考真题）若3sina-sin夕=加,q+夕=?,贝ijsina=,cos2fl=

10.（2025・湖南长沙•模拟预测）若关于X的方程COS2…sinx=（）在（落）上有2个实根，则机的取值范

围是（）

18/21

A.(-1,0)B.[-1,0]C.(0,1)D.[0,1]

,,7t,cos(2tz+-)

11.（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）已知tana=e(0<a则________2__()

乙sin(7t-a)

222c2e

2

后+1°，Ve+IVe2+1Ve2+1

12.(2025•河北秦皇岛•模拟预测)t^tan(a+4)=3,lan(a-£)=l,则sin4/?=()

234

A.-c.D.

545

//\

1=g,则sinc兀

cosa-2a+—

13.（2025•甘肃白银•一模）已知16,J=()

227_7

A.-B.——C.D.

339~9

n、|=7,则sin2a的值是（

14.（2025•吉林长春•模拟预测）已知tana+—)

k4,

1224

Ac.D.

-\2525

用.(25n.q=

15.（2025•安徽蚌埠•三模）已知cos0+，则6)

k2

A..逑B・陪_V2

c.