三角函数的应用（解析版）-高中数学必修第一册题型考点突破

三角函数的应用

知识点总结

考点一、函数y=Asin(ttzr+°)(4>0,t^>0)中，A,(ot。的物理意义

1.简谐运动的振幅就是4

2.简谐运动的周期7=誓.

3.简谐运动的频率》尹善

A.a)x-\-(p称为相位.

5.x=0时的相位(p称为初相.

考点二、三角函数模型的应用

1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、

预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术.

2.建立函数模型的一般步骤

4.运用三角函数模型解决问题的几种类型

(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y=4sin(sx+p),然后根据图象特征确

定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质.

(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性.

(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质

解答数学问题，最后解决实际问题.

题型考点1函数y=Asin(«xr+9)(4>0,”>0)中，A,3,。的物理意义

例1.（1）、（2021上•高一校考课时练习）函数/（x）=Asin（3x十°）（其中八＞0.。＞0,［同＜］）的图象如图所

71

C.(o—\(p——D.g=3,3=一

644

【分析】由函数的图象可得函数的最值和最小正周期，进而可得A与0,再由/=-2可得

(p=--+2hi,keZ,即可求得0.

6

【详解】由函数图象可得函数/"）的最大值为2,且A＞（）,所以A=2,

因为函数的最小正周期T满足・=患-（-*=手，所以7=兀=称，故。=2,

又点卜看,一2）在函数的图象上，所以/（q）=2sin（2x（q）+0）=-2,

即tin（8一百）=-1,所以。一二=一三■十2面,左£Z,所以w=-巴+25.ACZ,

131326

又帆＜?所以夕=_］

2o

故选:A.

（2）、（2021•全国•高一专题练习）函数/（x）=gsin（gx+?）的周期，振幅，初相分别是（）

A.%一B.4/r,—2,C.4万，；，一D.24，2,一

244248

【答案】C

【解析】根据有关公式直接计算即可.

【详解】函数/*）=；sin（；x+?的周期为八十二4乃，

振螭为A=g.

7T

初相为8=：.

4

故选C.

【点睛】一般地，〃力=4加3x+0）（A＞（）⑷＞（））的周期7二21，振幅为A,初相为。

【变式训练1-1】、（2022•湖南•高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是

B.该质点的振幅为-5cm

C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大

D.该质点在0.3s和0.7s时的加速度为0

【答案】D

【分析】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最

小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的

正误.

【详解】对于A、B选项，由图可得知振幅为5cm,周期为2x（0.7-（）.3）=（）.8s,A、B选项错误;

对于C选项，质点在0.1s和0.5s时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误;

对于D选项，质点在0.3s和0.7s时刻，质点的位移为0,则质点受到的【可复力为0,所以加速度为0,D

选项正确.故选D.

【点睛】本题考查简谐运动图象，由简谐运动的图象可直接读出质点的振幅、周期、位移等，同时，耍明

确加速度方向总是与位移方向相反，大小与位移成正比.

【变式训练1-2】、（2023•全国•高三对口高考）已知简谐振动/（1）=人轲（8+9）（网＜?的振幅为去其

2

图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5,且过点［），；），则该简谐振动的频率和初相是（）

A・riB.LNc»ri

66-9?

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点（。，：;

求出初相即可得解.

3(T

【详解】由题意可知，A=j,3?+=52,

5;

则T=8,(0=—=—,

84

3.(it]

v=-sin—x+(p

，2(4J,

因为y=[sin(fx+#)过点(0,；

214)4

331

it]-sin^?=-,得sine=5.

n

因此频率/=4=：,初相为£

1oO

故选：A

题型考点2由图像研究函数的性质

例2.（1）、（2023•浙江宁波・镇海中学校考模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全

等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1,直.角三角形中较小

的锐角为0,且tan^=；,则大正方形的面积为（）

【答案】D

【分析】根据正切函数二倍角公式求得tan。，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边K，即可得大

正方形的边长，可求得面积.

2tan3

n13

【详解】因为tan£=：,所以tan，=--------扁

4

1-tan-

2

由题意小正方形的面积为1,则小正方形的边长为1,设宜角三箱形较短的直角边为。，则较长的直角边长

为4+1、

所以3E岛T解得a=3,所以大正方形的边长为J〃2+lZ+l）'=132+42=5,

故大正方形的面积为25.

故选：D.

（2）、（2021.全国•高一专题练习）如图某地夏天从8〜14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin（s:+8）

+6.

（1）这一天的最大用电量为万度,最小用电量为一万度；

（2）这段曲线的函数解析式为.

【答案】5030y=10sin^x+^+40,xe[8,14]

【分析】根据图象可得最值以及振幅、周期，利用最低点可求初相位，从而可得解析式.

【详解】由图知，最大用电量为50,最小用电量为30,

A+/?=504=10

故八:3"所以

/?=40

2.T71

又由图象可得半周期为6,a）=—,故y=IOsinJx+8+40,

2x66

/2A

8不

乂工=8时，y=30,30=1Osin—x+(p+40.-.sin—+(p=-I,+2k冗,k&Z.

I6yI36

7T冗,

故y=lOsin—XH——+40,X€[8,I4].

(66；

故答案：50,30,y=10sinf%+f)+40,xe[&14].

(66；

【变式训练2・1】、（2023上•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图（1）,筒车是我国古代

发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2）,一个筒车按照逆时

针方向旋转，筒车上的某个盛水筒Q到水面的距离为"（单位：m）（〃在水下则d为负数）、d与时间/（单

位：s）之间的关系是d=3sin（SLg]+：，则下列说法正确的是（）

30o；2

B.筒车的轴心。距离水面的高度为1m

C.盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点

D./w（40,50）时，盛水筒尸处于向上运动状态

【答案】AC

Q

【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用4gx-r可知B错误；根据正弦型函数，令d"由

正弦型函数的值可构造方程求得，，进而得到心”，知C正确：再利用三角函数单调性的判断方法可知D

错误.

【详解】对于A,〃=3sin倭一J7的振幅为筒车的半径，.•.筒车的半径为3m；

o）2

27r

d=3sin值:的最小正周期了二三力，.•.旋转一周用时60s,A正确：

1306）2面

对于B，^nm=3+-=-,筒车的半径，=3一・•筒车的轴心。距离水面的高度为41aB错

误；

兀It3r3.।717T.

+彳=3+彳，/.sin-t--=1,

（30o/22IJUoy

r--=-+2hr（^eZ）,解得：r=20+60^（^eZ）,

3062

乂栏0,••・当左=0时，％,=20s.即盛水筒产出水后至少经过20s才可以达到最高点，C正确.

对干D,当fw（4O,5O）时，'此时d单调递减,

300\,V2/

二盛水筒尸处于处于向下运动的状态，D错误.

故选:AC.

【变式训练2-2】、(2021•全国•高一专题练习)如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数

产Asin((yx+9)+〃，gp＜兀,则这段曲线的函数解析式为.

30

20

10

61014tfh

【答案】y=10sin(-x+—)+20,AG16,14J

84

【分析】根据图像，可求得人，儿。的值，又根据图像过点(10,20),代入数据，即可求得W的值，即可

得答案.

【详解】从题图中可以看出，从6~14时的图象是函数产Asin(ex+9)+/?的半个周期，

所以4=&(30-10)=10,Z?=-x(30+10)=20,

22

又工=14-6=8,T=—,

所以y=10sin(—x+^>)+20,

8

又图像过点(10,20),

所以cX10+尹=2k冗,kwZ、由题意得0〈”兀,

O

故答案为；士心《"3：)+2。，-6,小

【点睛】本题考查函数)，=Asin(s+°)的图像及其应用，解题的关键在于根据条件求出周期，进而可得

0的值，考查计算化简、数形结合的能力，属基础题.

例3.（2019•高一课时练习）某港口水深y（米）是时间，（0WM24,单位：小时）的函数，下表是水深

数据:

/（小时）03691215182124

y（米）10.()13.09.97.010.013.010.17.()10.0

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数），=AsinW+〃的图象.

>13

0

7

39IS“小时)

（1）试根据数据表和曲线，求出y=Asinw+力（A＞（）⑷＞（）e＞0）的表达式;

⑵一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的

距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多

不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

【答案】（l））=3sin3+10（0W，424）

6

（2）：6小时.

【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出4力，由两个最高点的之间的距离可以求出出，从而可

求函数的表达式;

（2）在当0WY24的前提下,解不等式”11.5即可.

A+b=13

【详解】（1）根据数据，

-A+b=7'

.•.4=3,6=10,7=15—3=12,

27rn

：.0)=——=—

T6

.■函数的表达式为y=3sin^r+10(0<r<24)；

6

（2）由题意，水深yN4.5+7,

JT

即3sint/+10211.5(0W/424),

6

二.sin与P,

62

x-兀c,37r

e2履f+:，2"兀+丁,〃=0,1,

6|_66

.Jw[l,5]或f£[13,17]；

所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

【变式训练3-1】、（2022•全国•高三专题练习）一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面1m,

已知水轮逆时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点庶）开始计算时间.

（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度，?（m）表示为时间r（s）的函数;

（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？

【答案】⑴力=2而（争-3+1

I3O7

（2）Is

【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为工轴，以过点O且与水面垂宜的直线为），轴，建立如图所示

的直角坐标系，进而设力=Asin（碗+。）+〃[-?＜。＜0,再求解析式即可；

（2）令2sin（M5f]+l=3,解得f=l+3左，keZ,进而行2=0时，P第一次到达最高点，求得对应值

36；

即可.

【详解】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点。且与水面垂直的直线为y轴，建立如图

所示的直角坐标系，

设力(，)=Asin(诩+*)+%A>0,6y>0,-g<e<0),则A=2,k=l,

2万

vT=3=—,co=——

CD3

2乃)[

.-./?=2sin丁+*J+1,

...sinQ=-g,

••,/=0时,h=0,.-.0=2sin^>+1,

v--乃<Q<(八),:.(p=---冗,

26

/zjz)=2sinf—r--+1.

k36)

(2)解：令2sin当/一看1+1=3,得sin[4p-看)=1,

：.—t--=—+2k7T,keZ,：.t=\+3k,攵wZ,

362

・•.当次=0时,P第一次到达最高点,

••/iP第•次到达最高点大约要1s.

题型考点3三角函数模型的简单应用

例4.（1）、（2021・山西吕梁•一模（理））摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座

舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径

为110m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，

转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为Hm,如图以轴心

。为原点，与地面平行的直线为/轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，，关于，的函数解析式为

()

JJUU.万nI/u

C.H=55sin—/+-+55,x\[0,30]D.H—55sin—i---I+65,xi[0,30]

U52)1152)

【答案】D

【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min,结合摩天轮最高点距

离地面高度为120m,可得广151寸，"-120,再利用排除法可得答案.

【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min,

所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min,

又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m,

所以7=15时，”=120,

对于A,f=15时，A/=55sin^xl5-|j=55sin1=55,不符合题意：

对于B,1=15时，”=55sin11xl5+9=55si吟=-55,不符合题意;

H=55sin|-X15+-1+55=55sin—+55=0不符合题意;

对于C,1=15时,(152)2

对「D,1=15时，〃=55可m15-多+65=55s呜+65=120,符合题意;

故选:D.

（2）、（2022•湖南师大附中高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今

还在农业生产中使用（如图）.假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现

有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度，（单位：米）与转动时

间T单位：秒）满足函数关系式”=2sin+8]+槃”（0再，且/=（）时，盛水筒M与水面距离为

160；4\2；

2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水曲距离为米.

【分析】由题意得2.25=2sine+m，求出8的值，从而可求出函数关系式，进而将/=40代入函数中可求

得结果

【详解】因为/=()时，盛水筒M与水面距离为2.25米,

所以2.25=2sin0+°,g|Jsin,

42

又则0J,

所以H=2sin［》+/)+J

(606)4

.An._冗、59

当Z=40时，H=2sin—x40+—+—,

1606J44

故答案为：49

4

【变式训练4-1】、（2022•北京•高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，

风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形

全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近

的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相

差6分钟.这两名同学在摩天轮卜游玩的过程中,他们所在的高度之和的最大值约为（）

A.78米B.112米C.156米D.188米

【答案】C

【分析】角速度为意=仁，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

/（f）=44sin^/-|j+56=44cos^/+56,（0</<18）t进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度

之和g（，）=（44cos^，+56）+[448s5（，+6）+56,再利用三角函数值域的研究方法求解即可

【详解】因为角速度为得得，

所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

/(f)=44sinl^/-|j+56=44cos^r+56,(0<r<l8),

9

由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和

屋；）=44cos和+6)+56

44COST9+56J+

1n75,n

112+44cos—/+cos112+44—cos—/+——sin—/

92929

=112+44sin-/+-,(0</<18),

【96

因为0WI8,

r*Lhi兀)兀-137c

所以

所以一;Wsi,却+今卜1,-22<44sinn兀

—t+—<44,

9196)

nn

所以90W112t44sintf<156,

96

所以g（/）i=156,即他们所在他高度之和的最大值约为156,

故选：C

【变式训练4-2】、（2023下•黑龙江•高一富锦市第一中学校考阶段练习）水车（如图1）是一种圆形灌溉工

具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时

期.水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是

一个水车的示意图，它的半径为2m,其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水

车轮边缘上取一点P,我们知道在水车匀速转动时，。点距水面的高度/?（单位：m）是一个变量，它是关

于时间/（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点。时开始计时。=0）,则我们可以

建立函数关系式〃（，）=Asin（«f+e）+Z（其中A>0,。>0,<8<。）来反映力随/变化的周期规律.

图1图2

则W）:.

【答案】2"新汐

【分析】根据题意结合正弦函数的性质运算求解.

【详解】由题意可知：点尸距水面的高度”的最大值为3,最小值为T,

A+k=3A=2

则-e=7'解得

k=l；

又因为〃(O)=2sin0+l=O.即sin0=一1,

且一-<°<0,可得8=一一.

26

又因为旋转一周用时60秒，即/（）的最小正周期为r=育,7Z=6°,

/\

且0>0,可得@=二，所以4（i）=2sin+1.

30V3O67

故答案为：2sin值一讣1.

oy

例5.（2023上•湖北•高三随州市曾都区第一中学校联考期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，

游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地

面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时

针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩

天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过1分钟后游客甲距离地面的高度为人

米，己知/?（，）=Asin（6yf+8）+〃.：A>0,。>0,陶<冗）.

图2图1

（1）试求的解析式.

⑵求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.

【答案】⑴〃（，）=-20cosyl+25（0<z<10）.

（2弓S分钟和§05分钟.

【分析】（I）根据题意由〃（。的最大值和最小值可求的根据/（0）的值可求得。的值，根据周期可求得

口的值；

（2）根据题意，列出方程，解出即可.

【详解】（1）力（。慌”=-4+〃=5且/?（。仆=A+b=45

••.A《（W）皿一MA。”？。，6=T（M'）-+M'*n）=25

由f(0)=20sine+25=5得sin°=_]

Ij71271ft

兀，.•.。二一万，r7又①=历=,

h(t)=20sin^y/-^+25=