三角形的外接圆（基础）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

专题26三角形的外接圆（基础）

一.选择题

1.如图，。。是等边△48。的外接圆，其半径为3,图中阴影部分的面积是（）

C.2TTD.3TT

【分析】先根据等边三角形的性质得到/力=60°,再利用恻周角定理得到N4OC=120°,然后根据扇

形的面积公式计算图中阴影部分的面积.

【解答】解：为等边三角形，

・•・//=60°,

・・・N8OC=2N4=120°,

120TT-32

・•・图中阴影部分的面积=———=3TT.

ooU

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.三角

形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

2.如图，。是。。的内接三角形，力8是。。的直径，点。在上.若/BCD=36：则N4c。的

度数为（）

A.36°B.44°C.54°D.64°

【分析】根据圆周角定理得到/力。6=90°,然后利用互余计算出N/1C。的度数.

【解答】解：•••/也是OO的直径，

/.ZACB=90Q,

中考撤号

•:/BCD=36°,

AZJCD=900-NBCD=54；

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

3.如图，已知。。是△/1BC的外接圆，力。是OO的直径，若片D=8,N8=3（T,则彳C的长度为（）

A.3B.4C.4&D.4Vg

【分析】由圆周角定理可得N/1CO=90°,/6=/。=30°,即可求解.

【解答】解：连接。，

丁力。是。。的直径，

AZACD=90°,

又・・・/8=/。=30°,

1

：.AC=~AD=4f

故选：B,

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，灵活运用这些性质是本题的关键.

4.如图，△/BC内接于。0,射线力。交8c边于点。，平分/84C,若40=8c=8,则0。的半径长

为（)

中考撤号

【分析】连接08.由4。平分N8/1C,得4O_L8C,BD=CD=QBC=4,设半径为厂,利用勾股定理列

出方程（8r）2+42=/,从而求出半径.

【解答】解:如图，连接04.

•・,力£>平分N4/C,

：.ADLBC,

1

BD=CD=-BC=4,

设半径为一，

在中，

OD2+BD2=OB2,

即（8r）2+42=/,

解得，,=5

故选：C.

【点评】本题考查了圆的相关计算，熟练运用垂径定理是解题的关键.

5.如图，。。是△力8c的外接圆，连接OC、OB,NBOC=10D°,则N4的度数为（）

中考撤号

【点评】此题考查了三角形外心的知识.注意三角形的外心即是三角形三边垂宜平分线的交点.解此题

的关键是数形结合思想的应用.

7.边长为2的正三角形的外接圆的半径是（）

后2J3J3

A.2,3B.2C.D.二

32

【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的J3倍，据此直接算出答案.

【解答】解：如图，等边△48c中，三边的垂直平分线交一点。，则。是△ABC外接圆的圆心，

1

；・/OBC=/OCB=30°，BF=CF=-BC=\,

乙

：.OF=^BF,

r~~

：・OB=2OF=空.

3

故选：C.

【点评】本题主要考杳等边三角形及其外接圆的性质，知道等边三角形边长与其外接圆半在的倍数关系

是解答关键.

8.如图，是△48C外接圆的直径.若/8=64°,则/。彳。等于（)

中考撤号

A.26°B.28°C.30°D.32°

【分析】根据圆周角定理得到48=90",ZADC=ZB=64°,然后利用互余计算ND1C的度数.

【解答】解：・・【。为直径，

・・・N/CO=90°,

•・・//OC=N8=64",

：.ZDAC=90°-64°=26°.

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

9.如图，正方形"CQ和等边都内接于圆O,EF与BC、CO分别相交于点G、H.若力E=6,则EG

A.&B.3-^/3C.”D.2$一3

【分析】连接4C、BD、OF,4c与EF交于P点,则它们的交点为。点，如图，利川正方形和等边三

侑形的性质得到NCOP=60°,4C_L8O,ZBCA=45°,利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP

11；3LL

=-OF=-OC,OP=*PF=\3,从而得至I|PC=O尸=\，3,然后利用△尸CG为等腰直用三角形得到PG

乙乙3

中考核等

=PC=6,从而得到EG的长.

【解答】解：连接力C、BD、OF,AC与EF交于P点、,则它们的交点为。点，如图,

•・•正方形48CD和等边△力勿'都内接于圆0,

二/CO产=60°，AC上BD,NBC4=45°,

,:EF〃BD,

C.ACA.EF,

1

S

:,PE=PF=乙EF=3,

11

在尸中，OP=-OF=-OC,

RlZXOP乙L

；3-

♦：OP=£PF=g

:・PC=OP=®

•••△PCG为等腰直角三角形，

:,PG=PC=®

:,EG=PE-PG=3-\g.

【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了等边三角形和正方形的性质.

10.如图，点。、E分别是0。的内接△力的48、4C边上的中点，若。。的半径为2,4=45°,则

A.$B.\/2C.1D.4

中考核等

【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理得到N8OC=2N4=9D°,根据等腰直角三角形的性质得到BC=

网）B=2也由三角形的中位线定理即可得到结论.

【解答】解：连接（用，OC,

VZJ=45°，

.\ZBOC=2ZA=90°,

•：OB=OC=2,

:.BC='B=2&,

■:D、£分别是OO的内接△力8。的力8、WC边上的中点，

・・・。七是△/8C的中位线，

11KL

:・DE=58c=万x2\；2=、历，

故选:B.

C

B

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质,

正确的作出辅助线是解题的关键.

11.已知内接于。。连接力。并延长交8c于点。，若/C=50°,则/4月。的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

【分析】连接。从根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题.

【解答】解：如图，连接04,

中考撤号

VZC=50°,

AZJM=2ZC=100°,

'：OA=OB,

；・NOAB=NOBA=40°,

则NAW的度数是40°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质.

12.如图，。。为△力4。的外接圜，已知N44C为130,，则乙40c的度数为()

A.50°B.80°C.100°D.115°

【分析】作前所对的圆周角N/OC,如图，先利用圆内接四边形的性质得到N4。C=5()°,然后根据圆

周角定理得到N/OC的度数.

【解答】解：作位所对的圆周第N4OC，如图，

十/月60=180°,

而N45C=130°,

AZJDC=180°-130°=5(T,

AZAOC=2ZADC=\OO0.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

二.填空题

中考撤号

13.如图，△44。内接于圆O,ZJ=50°,则NQ等于50°

【分析】由圆周角的定理可求解.

【解答】解：•••/力与N。所对的弧都是证，

AZJ=ZD=50°,

故答案为：50°.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键.

14.如图，0。为△4"。的外接圆，ZA=36°,则NAOC的度数为72°.

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：丁。。为△48C的外接圆，/月和/3OC都对面，

・・・N8OC=2NZ=2X36°=72°.

故答案为72.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

15.如图，/。是。的外接圆。0的直径，若N8G4=50°,则乙4。8=50°.

【分析】根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：是△48C的外接圆OO的直径,

中考核等

，点力，B,C,。在。。上，

VZ2?CJ=50°,

:.NADB=NBCA=50°,

故答案为：50.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

16.如图，。。是△力BC的外接圆，/力=45°,则cos/OCB的值是_子_.

【分析】先利用圆周角定理得到/4OC=9()°,则可判断△O8C为等腰直角三角形，所以NOC8=

45°,然后利用特殊角的三角函数值得到cos/OCB的值.

【解答】解：••♦/8OC=2N/=2X45°=90°,

而OB=OC,

•••△O8C为等腰直角三角形，

：.ZOCB=45a,

cos乙OCB——.

2

i12

故答案为？.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

17.如图，△44。内接于OO,4D是。。的直径，/CBD=21：则/力的度数为69”.

【分析】直接利用圆周角定理得出N8CO=90°,进而得出答案.

【解答】解：内接于00,〃。是。。的直径，

：.ZBCD=90°,

ZCBD=2\

中考撤号

/.ZJ=ZD=900-21°=69°.

故答案为：69。

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键.

18.如图，等边三角形力4C内接于OO,点力在OO上，NABD=25°,则/氏蛆=95°.

【分析】根据等边三角形的性质得到N4C8=60°,根据圆周角定理得到//。。=/48。=25°,然后

根据圆内接四边形的性质计算的度数.

【解答】解：•.•△♦夕。为等边三角形，

AZJCZ?=60°,

VZACD=ZABD=25<>,

；・NBCD=600+25°=85°,

•；NB4D+NBCD=18O°,

.\ZBAD=180°-85°=95°.

故答案为95.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和等边三角形的性质.

19.如图，△/4C内接于OO,ZOBC=4(r,则N/的度数为50°.

【分析】根据三角形内角和定理求出N8OC,根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：•••08=0。，

：・NOCB=NOBC=40°,

AZ5OC=180°-40°-40°=100°,

中考撤号

1

由圆周角定理得，ZA=-ZBOC=50°,

故答案为：50°.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键.

4

20.如图,。。是△NBC的外接惧I，ZABC=30°,4c=4,则弧ZC的长为

【分析】连接。4,OC,根据圆周角定理可得,△/OC是等边三角形，利用弧长公式即可求得结论.

【解答】解：如图，连接04OC,

VZJ5C=30°,

/.ZJOC=60°,

'：OA=OC.

r.AJOC是等边三角形，

：,OA=OC=AC=4,

60TTx44

则弧4C的长为：———

lot)3

4

故答案为：铲.

【点评】本题考宣了二角形的外接圆与外心，圆周角定理，孤长的计算，解决本题的关键是掌握弧长计

算公式.

21.如图，△力以？内接于。。，点”，N分别是CO,/出的中点，ZCAB=S0°,ZCBA=40a,则NOMN

一度数是-20°.

中考撤号

【分析】由圆周角定理可求出N4O8=120°,N/iOC=80°,证得△O0N星等功三角形，得出OZ)=ON

=。河，由三角形内角和定理口..得出答案.

【解答】解:如图，连接04OB,0N,取CM的中点。，连接0M

VZCJ5=80°,NCB4=40°,

・・・/4C8=180°-ZCAB-ZC5J=180°-80°-40°=60°,

/.ZAOB=\20°,ZAOC=SOa,

•・•点M是OC的中点，点。是CM的中点，

1

：.OD-OM=-OA,

•・•点N是48的中点，且乙408=120°,

：・ONLAB,ZAON=ZBON=60C,,

•・•点。是O力的中点，旦/。八3=9()。，

:.DN=DO,

•••△OON是等边三角形，

1

：.OD=-OA,

：・OD=ON=OM,

■:/MON=/COA+/AON=800+60°=140°,

180°-140°

：,/OMN=/NOM=--------z-------=20°.

乙

故答案为：20°.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握

中考撤号

等边三角形的判定与性质是解题的关键.

三.解答题

22.如图，△/8C是。。的内接三角形，50=4,ZJ=30°,求OO的直径.

【分析】连接。&OC,根据圆周角定理得到/8OC=60°,根据等边三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接。8,OC,

VZA=30°,

：,ZBOC=60°,

♦：OB=OC,

•••△O4C是等边三角形，

：,0C=BC=4,

・・・。。的直径=8.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关

健.

23.如图，在直角坐标系中，已知点力(0,4),8(・4,0),C(2,0),过4,B,。作外接圆，。为圆

上一动点，求、用DO+D4的最小值.

中考撤号

【分析】如图，设△44C的外接圆的圆心为E连接£0并且延长交力。的延长线于E连接。足则E

E0D0.

(-1,1).首先证明△QEOs△尸EQ,得到懦二年，推出二«5。。，所以会。0+。4=。/+D4,

DEDF

由两边之和大于第三边得，DF+DA2AF,推出当点。和点C重合时，+D4最小，即/D0+D4最小,

求出力产的长即可解决问题.

【解答】修如图，设△力〃。的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交力C的延长线于总连接。尺则

F(-1,I).

・•・直线OE的解析式为》=-x,直线4C的解析式为歹=-2x+4,

由忧二£+4解明：3

：，F(4,-4),

・・・。£=\口0,EO=\!2,EF=5也

DE；10EF5,2

,•宣=至=2茄=菽=西

DEEF

工访二加

・•・△DEOsMFED、

EODO

，，~DE=~DF，

:.DF=y^DO,

:•耶DO+DA=DF+DA,由两边之和大于第三边得，DF+DA2AF,

当点。和点C重合时，。尸"U最小，即非。。+。力最小，

:•小DO+DA最小值=V'42+(-4-4)2=4、后.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题

中考撤号

的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决问题，题目比较难，掌握辅助线

的添加方法是解题的关键，属于中考填空题中的压轴题.

24.已知：如图，△力8C内接于00,4E是OO的直径，4OJ_BC于点。，NA4E与NC4Q相等吗？若相

【分析】首先连接8E,由力石是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得//8£=90°,乂由力。

_L8C,NE=NC,即可证得/8/l£=NdD

【解答】解：ZBAE=ZCAD.

理由：连接4£,

•・》£是OO的直径，

:・NABE=96°,

：.ZBAE=90°-NE,

ADIBC,

AZJDC=90°,

：,ZCAD=90°-ZC,

*：ZE=ZC,

:・NBAE=NCAD.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

25.如图，是△48C的外接圆，CA=CB,连接80并延长交力C于点。.

(1)求证：/C=2/CBD；

中考撤号

3

(2)若4B=6,sinC=",求0。的半径.

【分析】(1)连接C。，AO,可证△CCUq△C08,所以N4CO=N8CO,因为。。=08,所以N8C0=N

CBD,即可得出NC=2NC8D：

(2)作OO的直径4K,连接3K,则N出尔=90°,ZC=ZK,在RtA48K中，利用锐角三角函数的

定义即可得出。。的半径.

【解答】解：(1)如图I,连接CO,AO,

，；CA=CB,OA=OB,OC=OC,

:.△COgACOB(SSS),

・•・ZACO=ZBCO,

*：OC=OB,

:./BCO=/CBD,

(2)如图2,作OO的直径力栽连接8K,

则//8K=90°,NC=NK,

3

•・78=6,sinC=-,

°

中考核等

36

・•・sinK亍族’

・"K=10,

・・・。0的半径为5.

【点评】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义.作OO的直径是解决

（2）问的关键.

26.如图，已知△/AC内接于。。，点。在劣弧上（不与点48重合），点。为弦4。的中点，DEL

BC,。石与力。的延长线交于点E,射线力。与射线E4交于点片与OO交于点G,若N8CU=90°,CD

=3,△ZBE的面积为△48C的面积的4倍，求半径的长.

【分析】根据/804=90°,可得N8CE=45°,/BEC=90：由于△/18E的面积为△48C的面积的4

倍，所以启，根据勾股定理即可求出AE.AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出。。

/IL

妁半径

【解答】解：是8c的中点，DELBC,

：・OE是线段BC的垂直平分线，

:.BE=CE,NBED=NCED,NEOC=9（）°,

,?/BCA=NEDC+NCED,

AZACB=90°+NCED,

；•4CED=4GAB,

：./CED=/OBA,

・・・O、A.E、8四点共圆，如图所示，

：・NBEC=90。,

V^BOA=W,NBCE=45°,

•・•AABE的面积为△/BC的面积的4倍,

中考撤号

AE

•••就=知

CE

•市=3，

设CE=3x,AC=x,

li(1)可知：BC=2CD=6,

VZBCE=45°,

:.CE=BE=3x,

・•・由勾股定理可知：(3x)2+(3x)2=62,

x—A/2,

:.BE=CE=3®AC=、2

:・AE=AC+CE=4也,

(£RtA,4BE中，

由勾股定理可知：AB2=(3^/2)2+14&)2,

：.AB=5\l2,

VZBAO=45Q,

・•・//08=90°,

在中，设半径为八

由勾股定理可知：月炉一2户，

：.r=5,

・・・O。半径的长为5.

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综

合程度较高，需要学生灵活运用所学知识.

27.如图，△/BC内接于O。，AB,C。为。。的直径，DELAB,垂足为E,BC=\,AC=®求/。的

度数.

中考撤号

C.

【分析】山力8是直径，推出乙4(75=90°,由6c=1,V4C=\3,推出ian/6=七：=/，推出/6=

DC

60°,由O8=OC,推出△OBC是等边三角形，由此即可解决问题.

【解答】解：•••4△是直径，

・・・4。=90°,

'：BC=\,JC=\'3,

ACr-

tanZZ?=~=\/3,

oC

AZ5=60°,

•：OB=OC,

•••△O8C是等边三角形，

・・・NOOE=N8OC=60°,

•；DELAB,

・・・NQKO=90°,

AZD=90°・NDOE=30°.

C.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关

源是灵活运用所学知识，学会寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型.

28.如图，△48C内接于00,4D1,BC于D,BE上4C于E,,4D交。0于F,交BE于H,连OE,试探

究DE与直径CG有无特殊的位置关系？

中考撤号

CACDCACB

【分析】结论：ORCG.由女它△加推出潸市推出而=无由皿。=人。，推出

△ECDsgCA,推出NCEO=N48C=NG,由CG是直径，推出NG/C=9()°,推出/G+N%CG=

90°,推出NAC(7+NOEC=90°,即可证明NEKC=90°.

【解答】解：结论：DELCG.

理由：如图，连接力G,DE交CG于K.

'：ADA.BC,BELAC,

・•・ZAEB=/BEC=ZADB=ZADC=90°,

'ZAHE=ZBHD,

・/CAD=NCBE,

.△CADsACBE,

CACD

CB~CE'

CACB

—=—,VZECD=ZBCA,

CDCE

.△ECDS^BCA,

./CED=NABC=NG,

•CG是直径,

・NG4c=90°,

.NG+N,4CG=90。，

中考核等

：.ZACG+ZDEC=90a,

・・・NEKC=90°,

：.DE±CG.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相

似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.

29.如图，在△/BC中，AB=AC,O。是的外接圆，点。在8c上，的延长线交00于点E,

连接CE.

(1)求证：ZADC=ZACE；

(2)若。。的半径为24，疝的度数为90°,DE=2,求/。的长.

【分析】(1)先