三角形的外接圆（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

专题26三角形的外接圆（提优）

一.选择题

1.如图，。。是△48。的外接圆，连接08,若NOBC=30°,则的度数为（）

【分析】连接040C,根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接04,OC,

•・•点。是△力BC的外心，

：.OA=OB=OC.

：・NOAB=NOBA,NOBC=2OCB,NOAC=NOCA,

•；NOBC=30°,

・・・NOC8=30°,

1

：（）

.ZBAC=-乙180°-30°-30°=60°,

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

2.如图，ZUB。为圆O的内接三角形，48为圆O的直径，点。在圆。上，N8力C=35°,则乙4。。的

度数为（）

中考撤号

A.45°B.50°C.55°D.65°

【分析】由圆周角定理得出N/1C8=9O°,由直角三角形的性质求出N4=50°,再由圆周角定理得出N

ADC=ZB=550即可.

【解答】解：是。。的直径，

・・・4C8=90°,

VZ^C=35°,

：.ZB=90°-35°=55°,

AZADC=ZB=55°.

故选：C.

【点评】此题主要考第了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是

解题的关键.

3.如图，是△48C的外接圆，半径为2c〃，若BC=2c，〃,则N力的度数为（）

【分析】连接和。。证明△O8C为等边三角形，得到N8OC的度数，再利用圆周角定理得出/

A.

【解答】解：连接04和OC,

・・•圆。半径为2,BC=2,

：,OB=OC=BC,

•••△O8C为等边三角形，

:.NBQC=60°,

中考撤号

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线.

4.如图，点。，E分别是OO的内接正三角形/8C的相，/C边的中点，若DE=l,则OO的直径为（）

C.泊

3。•等

【分析】连接06、OC,作Ob_L6C丁尸，根据三角形中位线定理求出6a根据圆周角定理得到Z5OC

=120°,利用余弦的概念计算即可.

【解答】解：连接04、OC,作。＜L8C于E

1

则BF=CF=5BC

•・•点。，£分别处?，4c边的中点,

：.BC=2DE=2,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=\20°,

：・NOBF=3G0,

BF12J3

・.OB=-------------=3=----

cosZ-OBFY3

,.413

；・。。的直径为»

◊

故选：D.

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【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正

确的理解题意是解题的关键.

6.如图，△/8c是0。的内接三角形，AB=BC,NH4c=30°,力。是直径，4D=8,则AC的长为（）

A.4B.代阿C.萨D.2播

【分析】连接C。，根据等腰三角形的性质得到乙1C'8=N8/C=30°,根据圆内接四边形的性质得到N

D=180c-N8=60°,求得/。。=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接8,

•：AB=BC,ZBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30a,

AZ^=180°-30°-30°=120°,

AZD=1800-ZB=60°,

•・Z。是直径，

Z.ZACD=90°,

VZCJZ)=30°,AD=8,

1

：.CD=~AD=4,

乙

,\AC=yiAD2—CD2=、/82—42=4、行，

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理,

正确的识别图形是解题的关键.

7.如图，△.48。是的内接三角形，已知圆心。在边上，。平分N.4C8交圆于点连接8D,若

中考撤号

BD=BC,则N/出。的度数为（）

A.30°B.42.5"C.45“D.60u

【分析】易证48为。。的直径，ZACB=90a,由角平分线的性质得出N4CQ=N8CZ）=45°,由等腰

三角形的性质得出N4C0=N8QC=45°,再NQBC=9（F,由圆周角定理得出乙400=45°,

却可得出结果.

【解答】解：是OO的内接三角形，圆心。在力B边上，

・・・力4为。。的直径，

/.^ACB=90°,

•••CO平分N力C8,

/.ZACD=ZBCD=45°,

'：BD=BC,

：.ZBCD=ZBDC=45<>,

:・NDBC=90°,

VZABD=ZACD=45°,

AZJ5C=90°-45°=45°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、角平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形

内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角形外接圆与外心性质是解题的关键.

8.如图，圆。是△/出C的外接圆，连接0/1、OC,NO4c=20°,则N/l8c的度数为（）

A.140°B.110°C.70°D.40°

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【分析】在优弧4MC上任取一点2连接力P，CP,易求N1OC的度数，则/尸的度数可得，再根据圆

的内接四边形定理即可求出N/4C的度数.

【解答】解：在优弧4”。上任取一点P,连接力P,CP,

'：OA=OC,

：,ZOAC=^OCA=20°,

，N/0C=18(T-2X20"=140”，

/.ZP=70°,

VZJi?C+ZP=180o,

AZABC=\\0<>,

故选:B.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键.

9.如图，AABC,AC=3,BC=A®N4C'8=60°,过点力作8C的平行线/,。为直线/上一动点，。。

【分析】如图，连接CE.首先证明/8EC=12(T,由此推出点E在以。，为圆心，08为半径的比上运

动，连接ON交贷于歹，此时4E'的值最小.

【解答】解：如图，连接CE.

■:AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=6()<>,

：・NCEP=NC4P=60°,

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：.ZBEC=\200,

・••点E在以。为圆心，O归为半径的位上运动，

连接。力交位于E'，此时力上’的值最小.此时。。与。O'交点为£.

•・・/8£C=120°

・••仑所对圆周角为60°,

，N8OC=2X6(T=120",

•••△80'。是等腰三角形，50=473,

：・O'B=O'C=4,

VZACB=60°,N8S=30°,

,ZACO'=9()°

・・.O'A=J。/+4c2==5,

：,AE'=O'A-O'Er=5-4=1.

故选：D.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系

等知识，解题的关键是添加常川辅助线，构造辅助圆解决问题.

10.如图△48c为圆。的内接三箱形，。为8c中点，E为OA中点,ZABC=40°,N8C4=80°,则/

OED的大小为()

/-------

BD

中考核等

A.15°B.18°C.20°D.22°

【分析】如图，连接OC,取。C中点凡连接ERDF,根据圆周角定理得到/力。。=2乙4&?=80°,

OE=OF,求得NOEF=NOFE=T(1800-80°)=50°,连接08,推出△。底。为等边三角形，得

到OD=OF=OE,于是得到结论.

【解答】解：如图，连接OC,取。。中点尸，连接EGDF.

，//。。=2/48。=80°,OE=OF,

1

AAOEF=ZOFE=T(1800-80°)=50°,

乙

连接OB,

•；D为BC中点,

:,BD=CD,OD±BC,

1

・•・NDOC=s乙BOC,

乙

1

/BAC=/BOC,

・•・NDOC=/BAC,

：.ZDOC=ZBAC=\SO°-40°-80°=60°,

•・•/为CC中点,

：・OF=FD,

•••△O氏。为等边三角形，

：，OD=OF=OE,

：・O、E、F、。四点共圆，

1

.•./FED=-^FOD=30°,

：・/OED=50°-30°=20°.

故选：C.

【点评】木题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线

中考撤号

构造等腰直角三角形是解题的关键.

11.如图，的外接圆。。的直径8E交/C于点。，已知弧8c等于120°,cotC=^/3,则关于x

的一元二次方程X2-、,"BDX+BDDE=0根的情况是（）

A.没有实数根

B.有两个相等的正实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的正实数根

【分析】BD为直径,连接CE,构成直角三角形.过。点作OF_L3C.在RlZ\C。/中，运用锐角三角

函数求边长：在RtABCE中，因为弧8c等于120°,可求其两锐角分别为60°、30°,根据锐角三角

函数可求8。、OE的长，代入判别式中，确定判别式的符号.

【解答】解：过。点作OF_L3C,垂足为点凡连接CE.

在RtZ\CO厂中，cotC=-V3.

设6=2,则。/=\区

已知弧〃。等于120°,BE为直径,

所以N£=60°,ZhC^=90°,N£3C'=30°.

在RtZ\3O尸中，BD=2DF=2器,BF=3.

5]om

在Rt^8CE中，BC=BF+CF=5,BE=——=

cos3003

43

DE=BE-BD=—.

3

•・•△=（$8。）2-4・4Q・QE

中考核等

lr-r-4'3

=(-\/3x2\回)2-4义2\,3x—-

=36-32=4>0,

又X]+x2=、百RD>0,x1“2=BD•DE>0,

・•・方程有两个不相等的正实数根，

故选：D.

【点评】本题是圆的问题、锐用三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化

到直角三角形中，利用锐角三用函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况.

二.填空题

12.如图，△力8c是。。的内接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,力。是直径，40=8,则4c的氏为

【分析】连接CQ,根据等腰三角形的性质得到N/C8=NR4C=30°,根据圆内接四边形的性质得到N

.0=180°-N〃=60°,求得NC/O=30°,根据宜角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接C。，

•:AB=BC,NBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30°,

・・・N8=180°-30°-30°=120°,

AZZ?=18O0-ZB=60°,

*•AD是直径，

AZJCD=90°,

VZCAD=30°,力0=8,

1

：.CD=~AD=4,

/.AC=\'82—42=4y/3,

故答案为：4w.

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【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理,

正确的识别图形是解题的关键.

13.如图，48为△4QC的外接圆。。的直径，若/必10=50°,则N4CZ)=40°.

【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出/力。。的度数.

【解答】解：如图，连接4。，

'：AB为△4。。的外接圆。。的直径，

工NADB=90°,

•；NB4D=50°,

:・/ABD=90°-50°=40°,

/.ZACD=ZABD=40°.

故答案为：40.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心.

14.如图，是。。的内接正三角形，点O是圆心，点。，E分别在边4C,力4上，若D4=EB,则

4DOE的度数是120度.

中考撤号

【分析】连接04,OB,根据已知条件得到N4O4=120°,根据等腰三角形的性质得到N0/18=NO比1

=30°,根据全等三角形的性质得到NQO4=N4O£,于是得到结论.

【解答】解：连接04,OB,

,:N4BC是。。的内接正三角形,

工408=120°,

，：OA=OB,

:.NOAB=NOBA=30°,

VZCJ^=60°,

：.ZOAD=30°,

：,/OAD=NOBE,

•；AD=BE,

：./\OAD^^OBE(SAS),

：.^DOA=^BOE,

・•・ADOE=ZDOA+ZAOE=ZAOE+ZBOE=ZAOB=\20°,

故答案为：120.

【点评】本题考杳了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作

出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

15.如图，已知0为坐标原点，点力的坐标为（0,8）.点8的坐标为（6,0）,过4B,O三点,C

-4

为优弧OAB上一点（不与点。重合），则cosC的值为_E_.

中考撤号

【分析】连接4B,由勾股定理可求力3的长，由圆周角定理可得NC=NZMO,由锐角三角函数可求

解.

・"O=8,BO=6,

:.AB=、,力。之+B。？=464+36=10,

,:/C=/BAO,

力。84

cos。—cos乙BAO=_7K=~==，

AB105

4

故答案为：--

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解

决问题是本题的关键.

16.己知：如图，在中，D是AB边上一点、,圆O过。、B、C三点，NDOC=2NACD=90".如

果N/1CB=75°,圆。的半径为2,则的长为2.

【分析】可以连接。氏根据/QOC=2N4CO=90°.得N4CQ=45°,进而得N3CO=30°,ZBOC

中考撤号

=150°,ZDOB=60°,证明△80。是等边三角形，即可求得8。的长.

【解答】解：如图，

连接OB,

VZDOC=2ZACD=90°.

^ACD=45°,

VZACB=75°,

：.ZBCD=ZACB-ZACD=30°,

'：OC=OD,ZDOC=90a,

：.ZDCO=45O,

：.ZBCO=ZDCO-ZBCD=\5°,

•：OB=OC,

:・/CBO=/BCO=\50,

：.ZBOC=\50°,

：.ZDOB=ZBOC-ZDOC=150°-90°=60°,

♦：OB=OD,

•••△8OQ是等边三角形，

：.BD=OD=2.

故答案为2.

【点评】本题考查了二角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握二角形的外接圆的性质.

17.如图，等边三角形48C内接于OO,点Q,E是。。上两点，且NOOE=120°,若00=2,则图中阴

47r「

影部分的面积为

中考撤号

【分析】连接08,OC,过。作O〃_LBC于〃，根据等功三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结

论.

【解答】解：连接。氏OC,

•••△/8C是等边三角形，

・・・N8OC=120°，

・・・NZ)OE=120°,

：*S扇形DOE~^曲形BOC，

过。作0HVBC于H,

：・N0BH=3()°,NOHB=90',BC=3BH,

；31

:.BH=^OB=SOH=-OB=\,

:.BC=25

120-TTX221厂4TT一

・•・图中阴影部分的面积=———-Tx2A/3x1=--V3,

3oU/o

47r_

故答案为："T--v13.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的

关键.

18.如图，△力BC是。。的内接正三角形，弦F尸经过8C边的中点力，且EFV/4B,若力B=6,则EF=3

中考撤号

F

E

【分析】由相交弦定理可得£D•。尸=&9・QC=9,EG・FG=4G*GC=9,DG=》B=3,由此可得结

果.

【解答】解：设/C，£产相较于G,

。是。。的内接正三角形，AB=6,

：,AC=BC=AB=6,

•.•弦E尸经过月。边的中点。，且EF〃4B,

:.BD=CD=3,AG=CG=3

由相交弦定理可得ED・DF=BD・DC=9,EG・FG=AG・GC=9,

：.DE*C3+FG)=9,FG・(3+DE)=9,

—3+315

:.DE=FG=口，

2

：・EF=3册,

故答案为：34.

E

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够

证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键.

19.△N8C内接于OO,48为的直径，将△力8c绕点C旋转到△EQC,点F在0O上，已知力月=2,

10

(anD=3,则

中考撤号

【分析】根据圆周角定理得到//£9=/力。4=90",根据旋转的性质得到力。=。£；8。=。。，ZJCE=Z

BCD,NECD=N4CB=90°,设CE=3x,CD=x,由勾股定理得到。f=、口优，根据相似三角形的性

2

质得到4。二可根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：・・・45为O。的直径,

：.NAEB=NACB=90°,

•・•将。绕点C旋转到△EDC,

：.AC=CE,BC=CD,NACE=/BCD,NECD=N4CB=90",

CE

*/tan£>=—=3,

Lz

・••设CE=3x,CD=x,

/.DE=

VZACE=ZBCD,ZD=ZABC=ZAEC,

・•・AACE^ABCD,

ACCEAE

,氤=而=而=3,ZCBD=ZCAE,

■:AE=2,

2

/.BD=~

o

VZE/iC4-ZC5£=180°,

：・NCBD+NCBE=T80°,

；.D,B,月三点共线，

—2

：.BE=DE-BD=V10A-,

,:AE2+BE2=AB2,

—2

22+(Vl^rw)2=(^/10x)2,

・r-叵

••X~,

中考撤号

10

：.AB=DE=—,

10

故答案为：y.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，

正确的识别图形是解题的关键.

20.如图，内接于。。，过点。作CQ_L/14于点E,交。。于点。，延长力C交。4延长线于点F,BF

15

=—.连接力。、CO.CO与47?相交于点G./CGF-y/CAB,OC=]0,将圆心。绕着点/?旋转得

到点O',若点。恰好落△/OR某一边上时，则OO'的长度为4A后或2\也.

【分析】延长/O交4。于〃，连接08,根据全等三角形的性质得到/出=/1。，推出力〃垂直平分

BD,根据平行线分线段成比例得到弁=诉=于根据勾股定理得到OOr=加2+0砂=4下,过O

DnnrJ

作。O'工AB于K交AF于O',根据菱形的性质得到O'B=OB=5,再根据勾股定理即可得到结

论.

【解答】解：延长/O交4。于，，连接(加，OD,

111

VZADC=-ZAOC=-(1800-ZOAC-ZOCA)=~(I80Q-4ZCAB)=90°-2ZCAB,

乙乙乙

:・NDAB=900-NADC=24CAB=2NOAB,

,

：・/OAD=/OAB,：OA=OB=ODf

；・AOBA=ZOAB=ZOAD=N.ODA,

...ZAOB=ZAOD,

中考撤号

(0A=0A

把4OAB与△0/。中｛44。8=Z.AOD,

[OB=0D

MOABgAO/ID,

：.AB=ADt

•：NOAB=NOAD,

/垂直平分8Q,

*.*ZOBA=ZOAB=ABAC,

：.OB〃AF,

OHOA4

••丽=而二『

令O〃=4a,则B〃=3a,OB=5a=\0,：.a=2,

:.BD=2BH=V2,

当(T在8。上时，O'H=O'B-BH=4,

：.OO'=W，2+O,2=44,

过。作。O'LAB于K交于O',

则四边形040,8是菱形，

：・O'8=08=5,BK=;AB=3匹,

乙

：，OK=ylOB2-BK2=^.,

2

：.OO'=2OK=2\师

故答案为：4A向或2ym.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出

辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三.解答题

中考撤号

21.如图，是的内接三角形，为。。的直径，/出=8,BD平分N/1BC,交4c于用、E,交。O

于点，连接力。.

（1）求证：NDBA=NCAD；

（2）若位的长度为2m求/ZE〃的度数.

【分析】（1）根据角平分线的性质可得NC8D=NO4/1，由圆周角定理可得NZMC=NC4D,继而可得

出结论：

（2）连接0C,根据弧长公式得到〃=90,根据圆周角定理得到N4力C=45°,根据角平分线的定义和

三角形外角的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：平分N48C,

：・4CBD=/DBA,

•••ND4C与NC8。都是弧CO所对的圆周角，

:./DAC=NCBD,

：.ZDBA=ZCAD；

（2）解:连接。C,

•・Z8为的直径，4B=8,

：.OB=OC=4,

丁威的长度为2TT,

设N8OC=〃°,

n-yrx4

•••180=2m

・・・〃=90,

：.ZBOC=90°,

••・N84C=45°,

为OO的直径,

中考撤号

/.ZJC5=90°,

・・・N44C=45°,

•.•8。平分N48C,

1

AZCBD=-^/lBC=22.50，

乙

AZAEB=ZCBD+ZACB=112.5°.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算公式，正确的理解题意是解题的

关键.

22.如图，△48。为。0的内接三角形，ZACB=60°,弦CO平分N4O8.

（1）求证：AABC为等边三角形;

（2）若40=3,41）=5,过。点作AQ的平行线交D4的延长线于点£,试求面枳.

【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；

（2）作CM_LEZ）于点M,结合（1）可得△（?£沱是等边三角形，然后证明△力CE,可得BD=4E

=3,根据等边三角形三线合一可得0M的长，根据勾股定理得CM的长进而可得△口£面积.

【解答】解：⑴・・・。平分N4Q8,

•・NBDC=NADC,

•.fc=AC,

•・BC=AC,

：ZACB=60°,

•.△.48C为等边三角形:

中考撤号

-CE//BD,

：・/DCE=NBDC=60°,

•••△CDE是等边三角形,

:・CD=CE,

：ZZ?CD=600-ZACD=NACE,

在△BCO和△4CE中，

BC=AC

乙BCD=Z.ACE,

DC=EC

:.l\BCD9XACE(SAS),

：.BD=AE=3,

:.DC=DE=DA+AE=8,

YCMLED,

1

：,DM=-DE=4,

CM=\DC2—DM2=4、%

1「

•••△C4E面积为：-AE*CM=6^.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练

掌握圆周角定理是解题的关键.

23.如图，Rt△力8c中，ZC=90°,M为上一点，过M,C,8三点的。0交4c于P,过点尸作尸。

//AB,交。。于点O.

(1)若知是中点，连接A〃)，求证：四边形/PDW是平行四边形：

1

(2)连接尸当PM=PC,且4c=4,taM=,求线段尸。的K.

中考撤号

【分析】（1）连接CM,PB,DM,证N8MP=90°,8尸为。0的直径，证〃。为。。的直径，由直角

1——

三角形的性质得出CM=54则CM=8M,得出QM套直平分8C,则PC〃MD,即可得出结论；

（2）连接80、CD、BP,由圆周角定理得出N。尸M=NPMB=/PD8=90°,则四边形PD8”为矩形,

则PM=AO,证尸。=80,证（/北），得出在RtZ\/C夕中，由三角函数

定义求出4c即可.

【解答】（1）证明：连接CW，PB,DM,如图1所示：

VZC=90°,四边形ACPM为圆内接四边形,

/.ZC'+Z^Wr=180°,

：.ZBMP=90°,8尸为。。的直径，

又,：PD〃AB,

AZDP.W=1800-ZZ?MP=90°,

."WO为。。的直径，

VZC=90°,M为的中点，

中考撤号

1

:,CM=3AB=BM,

乙

.•・&=痂，

又・・・M。为。。的直径，

・・・。〃垂直平分4C,

：.PC//MD,

・•・四边形/刊)历为平行四边形；

(2)解：连接4。、CD、BP,如图2所示:

•；MD和BP均为0。的直径，

・•・/DPM=4PMB=/尸。8=90°,

・•・四边形为矩形，

:.PM=BD,

,:PM=PC,

:.PC=BD,

在RtA5PZ)和RtAP5C中，%;黑，

ARtA^PD^RtAP^C(//£),

：,PD=BC,

BC1

在RtZ\4C4中，AC=4,tanJ=yr=

/ICz

^C=4tanJ=2,

：,PD=BC=2.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定

与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的

中考撤号

关键.

24.如图，己知RtZ\/44C中，N/C8=90°,BD平分NABC,BD与4c交于E点、,AD上BD,过。作。尸

_1_44于凡交力。于G,尸。与BC的延长线相交于点，.

（1）求证：点G是△力OE的外心；

（2）若FG=2,DH=5,求EG的长.

【分析】（1）证得NQEG=N以必，得出。G=EG,由/力。£=90°可证得QG=4G=EG,则结论得还

DHDM

（2）过点。作于点M,过点E作EN工4B于点、N,证明△“ZM/S/V/GC,得出丁二言，

nGuC

设石G=x,则。G=x,DF=DM=2+x,可得出CG,则CE可用x表示出来，证得EN=2FG=4,由角

平分线的性质可得出EN=EC=4,则可得出方程，解方程即可得出答案.

【解答】（1）证明：'CADLBD,DFLAB,

/.ZJDE=90°,NO产8=90°,

YBD平分2ABC,

:・/CBE=/FBE,

■:/FDB+/FBE=90°,NCEB+/CBE=90°,

/FDB=NCEB,

又/CEB=NDEG,

・•・/DEG=/FDB,

；,DG=EG,

•・•ZADG+ZGDE=ZDAG+ZDEF=90a,

・•・/ADG=NDAG,

:.DG=AG,

:.DG=AG=EG,

，点G是△4OE的外心;

中考撤号

(2)过点。作。M_LB〃于点"，过点、E作ENHB于点、N.

•・・8。、卜分N/18C,DF1AB,DMA.AH,EN1AB,EC1BH,

:.DF=DM,EN=EC,

*：DM±BH,NACB=90°,

:.DM〃GC,

：AHDMsRHGC,

.DHDM

••丽二记

设EG=x,则。G=x,DF=DM=2+x,

52+x

**5+x=CG*

x24-7x+10

：.CG=-----------------，

x2+7x+10x2+2x+10

・•・CE-CG-EG=-------------.v=---------------，

JJ

GFA.AB,EN.LAB,

:.GF//EN,

又•：AG=EG,

:・AF=FN,

:・EN=2GF=4,

x2+2x+10

-5=4,

解得x=Vn-i,x=(舍去).

:.EG=g-l.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定

与性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键.

25.如图，ZUAC内接于。0,AB=AC,4。为OO的直径，过点4作/if_L4O于点£延长4。交/C延

中考撤号

长线于点F.

(1)若力后=4,AB=5,求。。的半径;

(2)若BD=2DF,求sinN/C§的值.

【分析】(1)连接04求施=3,设CM=x，则OA=x,OE=x-3,得出(x-3)2+42=x2,易求出半

25

径工

O

(2)连接CQ,先证。1_LBC,再得04〃CD,设OA与BC交于点H,OH=a,CD=2a,OA=4a,

得比4H=3〃.由勾股定理得8，=\宿〃,求出力Z?=2\后〃.则可得Hlsin/=也.

【解答】解：(1)如图1,连接。月,

图1

■:AEtBD,

；・N4EB=90°,

'：AE=4,AB=5,

22

JBE=%iAB-AE==3,

设。4=x,则O8=x,

.\OE=x-3,

在Rt△。力E中，OE2+AE2=OA2,

:.（X-3）2+42=，，

,，25

,W^x=—,

o

25

・・・OO的半径为T；

o

（2）如图2,连接CQ,,设ON与BC交于点、H,

中考撤号

'：AB=AC,

：.O心BC,

：.ZBHO=90°,

•••8。为。。的直径，

；・/BCD=90°,

:・/BHO=/BCD,

：.OA//CD,

设OH=a,则C£>=2a,

•:BD=2DF,BD=2OD,

：,DF=OD,

：.OA=2CD=4a,

:・AH=3a,

・•・BH二«0B口）H2=J（4a）T=屏a,

:.AB==2般a,

AH3a3

sinZ^C5=sinZ=-TT=JT=——.

AB2O、16a4

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，税角三角函数，勾股定理等知识,熟练掌握

员1的性质是解题的关键.

26.如图，在对//灰？中，ZC=90°,5。平分N/8C交4c于点。，DE人BD交AB于点、E,作△8OE

的外接圆.

（1）判断直线4C与△用儿外接圆的位置关系，并说明理由;

(2)若lanN/lBD=2,AD=6,求4C的长.

中考撤号

【分析】（1）取8E中点0,连接。。，根据已知条件证明OD_L4C,即可得结论；

（2）结合（1）证明△4）E〜△川?。，利用锐角三角困数川得AE=3#,AB=6平，再证明

ABC,对应边成比例即可得结论.

【解答】解：（1）直线4c与△OAK外接圆相切.

理由：•:DE1BD.

:・BE为ABDE外接圆的直径，

；・NODB=Z0BD.

•••8。、平分N/18C,

：.4CBD=4OBD,

：・40DB=4CBD.

VZC=90°

:.NCBD+NBDC=90。，

；.NODB+NBDC=90。,

即OD±ACt

又点。在力。上，

工直线AC与4BDE外接圆相切;

(2)ZODIAC,

/.ZADE+ZODE=90a,

■:DE工BD,

中考撤号

：・/ODB+/ODE=9C,

・•・ZADE=ZODB.

・•・ZADE=NABD,

乂N4=N4,

:.4ADE〜AABD,

AEADDE(2

=tanZABD=

ADABBD2

AE65

即石=布=/

解得AE=3在，AB=6",

.•.()[)=OE=-EB=37%

乙

:・AO=AE+EO=9&,

VZJ=ZJ,/力。O=/C=90°,

・•・AAOD〜AABC,

ODAO

~BC=~AB

OD^B_3^2X6>2_

一80-9枢_

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解

决本题的关键是综合运用以上知识.属于中考题型.

27.如图，已知点。是△力8C外接圆。。上的一点，力。_1_8。于G,连接力。，过点山作宜线8F〃/。交力C

于E，交O。于凡若点尸是弧CO的中点，连接OG,OD,CD

(1)求证：NDBF=/ACB；

(2)若AG=*iE,试探究/GO。与//OC之间的数量关系，并证明.

中考核等

【分析】(1)根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论.

(2)作于点"，连接0C先证明N/1C8=NC4尸=NO8P=30",再根据力G与G£的关系

推出OG=OD,然后可得出结论.

【解答】(1)证明：:A/〃4),

・•・/ADB=/DBF,

■:/ADB=/ACB,

:.NDBF=NACB；

(2)NGO。与N/iQC之间的数量关系为：2NGO0+N/1QC=24O°.

理由如下：

作OM_LO。于点M,连接OC.

•:AD"BF,

:.AB=DF,

・"为CO中点，

：,CF=DF=AB,

工ZACB=/CBF=/DBF,

•・7CJ_8。于G,

:・/BGC=/AGD=90Q,

：・NDBF+NCBF+NACB=90°,

:・/ACB=/CBF=/DBFS,NDBC=60",

:.NADB=NACB=30",NDOC=2NDBC=120°,

♦：OD=OC,

・・・NODW=30°,

设GE=x,则46=鸟，

中考撤号

.•.DG=2x,BG=GC=3x,DC=^-x,DM=^v,0。二空x,

2242

：,DG=OD,

・・・2NGOZ)+NOQG=180°,

VZADB+ZODC=60a,

A2ZGOD+ZODG+ZADB+ZODC=240°,

即2ZGOD+ZADC=240°.

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30°的直角三角形的

性质、勾股定理等知识点，判断出N4C8=NC8尸尸=30°以及证明QG=OO是解答的关键.

28.如图，。是△49C外接圆上的动点，且8,。位于4C的两侧，DEA.AB,垂足为E,QE的延长线交此

员1于点足BGL4D,垂足为G,BG交DE于前H,DC,所的延长线交于点P,且PC=PB.

(1)求证：BG//CD；

(2)设△/BC外接圆的圆心为O,若AB='H,/OHD=80：求N8OE的大小.

【分析】⑴根据等边对等角得：ZPCB=ZPBC,由四点共圆的性质得：NBAD+NBCD=180°,从

而得：ZBFD=ZPCB=ZPBC,根据平行线的判定得：BC//DF,可得N/18C=90°,力。是。。的直

径，从而得：N4DC=NAGB=90°,根据同位角相等可得结论：

(2)先证明四边形灰刀，是平行四边形，得〃C=OH,根据特殊的三角函数值得N/CB=60°,/BAC

=30°,所以。〃=54。，分两种情况：

①当点。在。月的左侧时，如图2,作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性

质得：/AMD=N4BD,则N,4力并由。H=O。，可得结论；

②当点。在OE的右侧时，如图3,同理作辅助线，同理有N4QE=/8Z)N=20°,NODH=20°,得

结论.

【解答】(1)证明：如图1,":PC=PB,

中考极号

图1

：・4PCB=/PBC,

•・•四边形48CQ内接于圆，

：.ZBAD+ZBCD=\^,

•；NBCD+NPCB=18O°,

:・NBAD=NPCB,

•：/BAD=NBFD,

・•・ZBFD=/PCB=ZPBC,

:.BCIIDF,

*：DE±AB,

:.NDEB=90°,

：.ZJ^C=90°,

・・・4C是oo的直径，

AZADC=90°,

VBG1AD,

AZAGB=90°,

/./ADC=/AGB,

：.BG//CDi

(2)由(1)得：B