山东省青岛市某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年高一下学期期末考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I•某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16

人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）

A.3B.5C.6D.10

2.在四边形48CQ中，若二7=7月+7Z，则"77_1_6方一”是“四边形力武。是菱形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要

条件D.充要条件

3.若平面。过点〃（2,3,0）且该平面的一个法向量为,3=（2,1,1）,则点尸（1,1,5）到平面。的距

离为（）

人瓜RGc8D”

69?3

4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分

布的形态有关.在如图的分布形态中，d〃，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，

则下列关系正确的是（•

4

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<h<a

5.若函则*=cos「…•:；（c））在（U.

上单调递减，则⑦的最大值为（）

33l

A.-B.-C.-D.1

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C9M_Lx9轴，c9/39〃1，9轴,

CN石，力沥9=4,则>989c9的原图形的面积为（）

试卷第1页，共6页

歹

D'B'y

A.4v/3B.&RC.SWD.5a

7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三极锥称为鳖脯.已知在鳖瞒力-8C7）中，

BC=CD=AB=2,4811平面8。。，则它的外接球半径和内切球半径的比值为（）

A.石♦及B."JC.3-0D.3+6

8.在正四棱台中，4与=2,44=4,且该正四棱台的体积为28,则异面

直线/小与8c所成角的余弦值为（）

.13师口3M「2拒5>/209

A・15•1lx・1nU・1

20919II

二、多选题

9.已知小，〃是两条不同的直线，。，仅是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若〃?//a,mC/3,a（\/3=nt则〃?//〃B.若“//a,n//ct,则〃?〃〃

c.若小_La,m_Ln,则〃//aD.若〃?_La,w//p,则a-L尸

10.下列说法正确的是（）

A.数据2,3,4,5,6,7,8,9的第75百分位数为7

B.若一组样本数据3,。，7,5,4,8的极差为5,则实数a的取值范围为【3,81

C.X1,x2,冷,羽和外w户，乂的方差分别为S：和贺，若必=2七-3。=1,2,3,4）,则

S2=4s2

21

D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105,方差为24,

抽取女生5人，其平均数为102,方差为21,则这15名学生数学成绩的方差为25

11.已知棱长为。的正方体力8CQ-4&G"中，M是以G的中点，点尸在正方体的表面上

运动，旦总满足MP_LMC,则下列结论中正确的是（）

A.点、P的轨迹中包含力小的中点

试卷第2页，共6页

B.点P的轨迹与侧面4小。Q的交线长为'.

4

C.A〃的最大值为

D.直线CG与直线M尸所成角的余弦值的最大值为印

三、填空题

12.已知i是虚数单位，则

13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度C。，选取与碑基

。在同一水平而内的两个测量点/I.现测得〃MC=30・，〃I4C=105-yAB=120米，在点8

处测得碑顶。的仰角为30”，则该同学通过测量计算出纪念碑高。。为米.(保留

根号)

14.将函数从:sin|2"：：的图象向左平移〃?(〃，＞0)个单位.得到偶函数y=g(A)的图

象.则的最小值是.

四、解答题

15.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随

机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100],

(100,200],(200,300],(300,40()],(400,50()],(500,6()o],并整理得到如图所示的频率分布直方

图：

试卷第3页，共6页

⑴证明：DEA.^ABCx

(2)若尸为线段。8上的动点，当的面积最小时，求3与平面48。所成角的正弦值.

19.材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以

分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数.

事实上，数学中有如下定理：

代数基本定理：任何一元”(〃GN)次复系数多项式方程/tx);0至少有一个复数根.

材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元WN)次复系数多项式/(》)在复数集中可

以分解为〃个一次因式的乘积.进而，一元〃次多项式方程有〃个复数根(重根按重数计).

卜面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的艰与系数之间的关系.

设实系数一元二次方程+axx+*=0(a2#0)

%

02

在复数集C内的根为丫卜4，容易得到.〃

2

设实系数---元三次方程a/'+a>x+a}x+价=。(的。0)①

在复数集。内的根为乐、为、％，可以得到，方程①可变形为a3(x-即)(x-X2)(x73)二0

32

展开得：ayX-a3(X1+x2+A3)X+a3(x,x2+x》+x^x-a内x/3=0②

比较①②可以得到根与系数之间的关系：

a.

A♦石♦/■—1

/

,中：+中,"

Oy

阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：

试卷第5页，共6页

⑴对于方程3.P+2/7+5:0在复数集。内的根为汨、处、勺，求片+4+X；的值;

(2)如果实系数一元四次方程”4父+。口3++即=0(%H0)在复数集。内的根为

.卬以不入，试找到根与系数之间的关系:

(3)已知函数g(x)=/+云+2,对于方程g(x)=Z在复数集C内的根为莺、应、再，当A£［。,1］时,

求X；+4+4的最大值.

试卷第6页，共6页

《山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDADABADADBCD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】由分层抽样的定义即可得解

gn.cn

【详解】女生应抽取的人数是16,丁加一=6.

故选：C.

2.D

【分析】由大前提推得口X8C。，再利用菱形的几何性质即可判断.

【详解】在四边形川冗70中，由+可得四边形力4。。为平行四边形,

若77_L/F，则平行四边形力ACQ对角线垂直，所以口49C。为菱形，反之也成立,

故“7二±£方T”是“四边形/BCD是菱形”的充要条件.

故选：D.

3.A

【分析】根据题意可得Z户=（—1—2,5）,利用空间向量求点到面的距离.

uuur..一，、

【详解】由题意可知；/。=（一1,一2,5）,且平面a的一个法向量为”=（2,1,1）,

在“卜2-27R

所以点P。，1,5）到平面。的距离"

HJ2mt6

故选:A.

4.D

【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方

图计算众数

【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：

由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为左起第二个矩形下底

边的中点值，

直线x=b左右两边矩形面积相等，而直线x=c右边矩形前积大于左边矩形面积，则

又数据分布图右拖尾，则平均数a大于中位数/）,即〃>/>,

答案第I页，共12页

因此有c<b<a.

故选：D.

5.A

【分析】利用余弦函数在（0,冗）上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求

解②的范围，从而可判断选项.

【详解】令"®因为广所以［丁丁

因为函数八I二cos"：>（））在"?；上单调递减，

\x7alex］

所以函数y=cos/在日了二^--［上单调递减，

根据余弦函数y=cos/在（D,兀）上是单调递减的。

Inn33

则有,"，+；，界，解律），了，所以。的最大值为弓.

故选：A.

6.B

【分析】先求直观图的面积，再根据斜二测画法的性质求解原三角形面积.

【详解】因为CHJ_x，轴，所以直观图的面积为S=：・48,・C/=：x4x（5=2、q,

原图形面积为直观图面积的2巨倍，所以原图面积为“鼠k5=J曲

故选：B.

7.A

【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解.

【详解】

根据已知条件可以将三棱港放在正方体中，如图，

，三棱锥力-4c。的外接球即为正方体的外接球，

设三棱锥4一BCO的外接球的半径为R,内切球的半径为〃，

答案第2页，共12页

\2R二二2•解得R-向，

:AB=BC=CD=2,:AC=BD・2日

，三极锥力一ECO的表面积为

6•、，'・'—

D

则它的外接球半径和内切球半径的比值为

r

故选:A.

8.D

【分析】解法一：通过作埔助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合

平面几何知识和余弦定理求解.

解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线

所成角的范围得到结果.

【详解】解法一：过点当作丛交48于点“，则上"&C为异面直线4小与8c所

成的角或其补角.

设该正四棱台的高为/，，则16)/?=28,得6=3.

AA卜♦’层?6.vn.故当H・«L

过点当作so_LAC交8c于点。，则与0J(JR)F

8c■、卜而卜32・加连接。，，易得C"=J2、4J2”

…中，利用余弦定理可/S上它(吗挈臂叽嚼

故异面直线，，印C所成角的余弦值为察.

答案第3页，共12页

解法二：设该正四棱台的高为分，上底面与下底面的中心分别为o,连接oa,由题知

♦^4716416）/?=28,得。二3.由正四棱台的性质知。01_L平面力8C。，

以O为坐标原点，过点。分别与力。,44平行的直线为x轴，y轴，。。所在直线为z轴建立

空间直角坐标系如图所示，

则力(2,-2,0),//,(1-1,3),Z?,(1,1,3),C(T,2,0),

所以力小二（T,1,3）,8/二（7,13）,

可时(-1卜(->"5(7)5题

C3It即

I-11li(JI).l'・3+1+3)209

故异面直线4小与8c所成角的余弦值为入11".

209

故选：D.

9.AD

【分析】利用线面平行的性质判断A；确定线面位置关系判断BC：利用面面垂直的判定判

断D.

【详解】对于A,若根//a,mu0,ar\0=n,则〃〃?〃，A正确：

对于B,若〃?//a,则或〃?，〃相交或〃?，〃是异面直线，B错误；

对干c.若〃7_l_a,JL〃,则〃ua.c错误：

答案第4页，共12页

对于D,由于〃〃/民则乃内存在直线///〃?，而机_La,于是/_La,a_L£,D正确.

故选：AD

10.BCD

【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C

根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断.

【详解】对于A：由Xx75%=6,所以第75百分位数为罕=75,故A错误；

对于B：若一组样本数据3,。，7,5,4,8的极差为5,所以34QW8,故B正确；

对于C：若必=2x—3(i=1,2,3,4)，即十=4S：,故C正确;

对于D：由己知有这15名学生数学成绩的平均数为As-K)5.1।14.

所以这15名学生数学成绩的方差为，：：・丁「“05104|"-"21(102104>

故D正确.

故选：BCD.

11.BCD

【分析】首先根据动点P满足的条件及正方体的结构特征得到动点P的轨迹，然后利用轨迹

的特征判断选项力，B,C,对于选项。，要先将线线角问题转化为线面角问题，再利用空

间向量法求解.

【详解】如图，取小。1的中点E,分别取力/,与8上靠近小，名的四等分点尸，G，连

接EM,EF,FG,MG,

易知/G且EM二尸G,所以后，M,尸，G四点共面.连接GC,

因为血・(9♦(：)'1?,3仁)+-=)Gd•田3T

因此MG?+MC2=GC2，所以MG±MC,易知A/E±MC,所以±平面,

即点尸的轨迹为四边形WEFG(不含点〃),易知点尸的轨迹与侧面力小。Q的交线为E/L

由E尸不过44的中点，所以力选项错误

又EF=MG,垦二8选项正确；

4

根据点P的轨迹可知，当P与尸重合时，最大，易知回G_L平面38GC,则/G_LMG,

答案第5页，共12页

连接M/，所以A"「J，,故。选项正确;

116

由于点P的轨迹为四边形MEFG(不含点M),所以直线CG与直线MP所成的最小角就是

直线CG与平面A/E尸G所成的角,

又向量与平面的法向量Nh-的夹角等于上GCM，

a

且sin上GC"二W=丫,所以直线CG与平面MEQG所成角的余弦值为日，

一

即直线CG与直线用尸所成角的余弦值的最大值等于正，故D选项正确.

故选：BCD

【点暗】关键点暗；本题考杳空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是由条件探索出动

点的轨迹，以及由线面角的定义和性质得到直线CG与直线.”户所成的最小角就是直线CG

与平面A/E尸G所成的角，从而转化为向量CG与平面A/£bG的法向量为的夹角求解，属

于中档题.

12.而

【分析】先由复数除法运律化简工一，再由复数模长公式即可计算求解.

I

【详解】先由题得士=T(3+I)=1—3i,所以==、'正

«I

故答案为：vio

13.20>/6

【分析】V43C中，利用正弦定理求出5C,在©△8CQ中，CD=BC.tan300,代入求值即

答案第6页，共12页

可.

【详解】因为为力。=30\幺8。=105*,AB=120,

初ABC中，±ACB=1800—300—1050=450,

AtiBC120HC

由正弦定理得解得8C打“5,

sinZ.ACBsmZBAC$in4s.sin30°

在RtZ\8C。中，CD=BC.tan300=&)◎x曰=203•

即纪念碑高CO为2(7%米

故答案为：211^6

5K

14—

12

【分析】求出平移后的函数g(x)的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于”的等式,

即可解得小的最小正值.

【详解】将函数«x)=可2"的图象向左平移力(川＞0)个单位长度，

得到函数中)="2卜*例),；।sin；-2m♦；|H勺图象，且该函数为偶函।数，

则2〃件?=履+7),解得加二；;(A,Z),

因为旭＞0,则当A=1时，/〃取最小值;；.

故答案为：;:.

15.(1)0.03

(2)410

(3)免费停车时长为不超过162.5分钟

【分析】(1)根据频率分布直方图中所有频率和为1,列式计算求参，再得出频率即

(2)根据已知得出频率继而得出车辆数即可：

(3)应用频率分布直方图列方程计算频率即可求解.

【详解】(1)根据频率分布直方图中所有频率和为1，

设(40(),500］的频率为x,可列等式为

(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)x10()+x=1.

所以x=0.03,

答案第7页，共12页

所以样本中停车时长在区间(400,500］上的频率为0.03.

(2)根据频率分布直方图可知在区间(200,400］上的频率为

(0.0034+0.0016)x100=0.5,

所以估计该天停车时长在区间(200,400］上的车辆数为：0.5x820=410.

(3)设免费停车时间长不超过y分钟，又因为(0J00］的频率为0.13<33%,并且(0,200］的

频率为0.45>33%,所以y位于(100,200］之间.

则满足0.13+(v-100)x0.0032=0.33,

所以y:162.5,确定免费停车时长为不超过162.5分钟.

16.(1)2兀

(2)证明见解析

【分析】(1)由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

(2)证明平面0。。//平面P8Q,然后根据面面平行的性质可得.

【详解】(I)由题知，上即轴截面尸是等边三角形，故PA=4B=2,

底面周长为27txi=2兀，则侧面积为：1•?­?n?,1

(2)由题知力。-06,则根据中位线性质，QO//PB,

又0。丈平面P8。，PBL平面P8O,则。。//平面P8Q

由于，［二:，底面圆半径是I,则上水纥一：，又CO,则上。CQ哼

又OC=OD,则△OC。为等边三角形，则CD=I,

于是//BO且CO=OB,则四边形。8OC是平行四边形，故OCIIBD,

又OC丈平面PBD,BD「平面尸80，故OC7/平面P8D.

又ocnOQ=o,oc,o。平面。oc,

根据面而平行的判定，于是平而。。。//平而尸8。，

又MGOC,则0ML平面0OC,则QM//平面尸

答案第8页，共12页

p

(2晔

【分析】(1)利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角力；

(2)利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到

方程求解即可.

【详解】(1)囚为O&sinC+acosC=b+c,

由正弦定理边化角得JjsiMsinC+sinXcosC=sinZ?+sinC

利用三角形内角和定理可得sin8=sinQ+C)=sinJcosC+cos^sinC

BP<3sia4sinC=sinCcosJ+sinC

lrri

因为sinC>0所以JisinN=cos/+1,即sinI--=-

kb)2

因为4£(0,兀)，所以

(2)由S,杈.=^csin/1=10、3得be=40①

222

由8c2=ir+c—2bccoJ得49=b+c-be=(b+c)'—ibc②

由①@+c=13

由4。1(AB^n4£>2=-(c+8+2NcosA•

-I444

得4。YR".

18.(1)证明见解析

【分析】(1)利用勾股定理逆定理判断,结合力CJ_QE,利用线面垂直的判定定

答案第9页，共12页

理证明线面垂直.

（2）先根据△力bC的面积最小，确定点尸的位置，再确定3与平面所成的角，利用

余弦定理解三角形，求出线面角的余弦，再利用同角三角函数的基本关系，求线面角的正弦.

【详解】（1）因为七为4c中点，V/4c是等边三角形，所以8E_L/1C,

乂ACJ_DB,DBCBE=B,DB,BEL平面DBE,

所以/C_L平面

又。EL平而。BE,所以/1C_LDE,

已知4C=2,^AE=EC=1,

又08=2,DE=\,在等边8c中，BE=Jj,所以I'+(=2’,

由勾股定理逆定理+BE2=DB2,所以Q£_LBE,

因为力Cn8E=E,AC,8Eu平面/18C,所以OE_L平面力8c.

（2）如图：连接反，

由（1）知力。_|_平面。8E,E产u平面8QE,所以彳C_LEF,

所以S"c="xM，所以当△血的面积最小时，EF最小,

在中，若EF最小,!llUF±DB,

此时即=2*8=四3=9,AF=CF-6屋Jk-^=—

22Nil

因为力DBJ_EF,ACC\EF=E,力。,广£二平面/R7,所以D?_L平面AR：,

又。8匚平面48。，所以平面/8。_1_平面力厂C,

过点C作C〃_L月尸，垂足为〃.

因为平面48£>n平面//C二彳尸，所以C〃_L平面48Q,

所以上片尸。（或其补角）是C厂与平面48。所成的角.

/尸.C--AC*

在中，由余弦定理可得cos上的2；

答案