山东省日照市莒县某中学2025-2026学年高三清北班开学考试模拟（二）数学试题（含解析）

山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高三清北班开学考

试模拟(二)数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={目£|"°}，8={也2-3]<0},则4U8=()

A.{x\x<2«£x>3)B.{A-|-2<X<31C.{A(0<X<2}

D.{x\-2«gx>3|

2.设函数(。>0且a")在区间(1,包)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(1,2]B.[2,+oo)C.1,D.U[2,-HX)

X}

3.己知等差数列{6}前〃项和为S.,若"当，则9(

)

9「12-74

A.—B.—C.D.

131353

4.已知函数f*)=log2(x一词,aeR,则“。工2”是“函数八刈在(L+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TTY

5.设函数/(x)=a(x-l)2-l,g(x)=co:嚎-23若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(T1)上存

在零点，则实数〃的取值范围是()

,十小“\(cosx)-lnLrl

6.函数〃.r=二~在-兀0)50.九]的图象大致为()

lx+sinx

，I

7.若〃幻的图象上存在两点A,8关于原点对称，则点对［AB］称为函数，（x）的“友情点对”

（点对［A8］与［用A］视为同一个，友情点对”.）若/（幻=『?芭丫°恰有两个“友情点对”,

ax~,x<Q

则实数a的取值范围是（）

（1

A.（—1,0）B.（0,1）C.—,0

ke

8.已知等比数列｛q｝的公比为其前〃项和为S”，且《，胃，生成等差数列，若对

JJ

2

任意的〃eN.，均有AKS“一不44恒成立，则8—A的最小值为（）

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.命题p:DxeR,A2-2X+1>0,则命题〃的否定为玉WR,X2-2X+1<0

B.“a2>儿2”是成立的充要条件

的最小值是逑

函数/。）二

2

D.是“函数/（幻=心-|1咆,印勺零点个数为2”成立的充要条件

10.直角VA8C中，斜边ZB=2,P为VA8C所在平面内一点，AP=-sin20-AB+cos26-AC

2

（其中6ER）,则（）

A.揩花的取值范围是（0,4）

答案第2页，共22页

B.点尸经过V/WC的外心

C.点P所在轨迹的长度为2

D.夕。•（雨+PB）的取值范围是一最。

11.已知函数“X）及其导函数/'（"的定义域均为R，若/（X）是偶函数,

/（。）=0暗）=0，喑>7,且由蚱1</（中）=，3/（），）一八“，（），），则（）

22

A./（O）=2B.[/（x）]+[r（A-）]=l

2024/\

C./（X+2JC）=/（X）D.£/不+2桁=-2024

ho12）

三、填空题

12.曲线），=e'在x=0处的切线恰好是曲线y=ln（x+a）的切线，则实数〃=.

13.若方程sin卜x-g=-磊在（0,兀）上的解为不修，则sin（x+X2）的值为

14.函数〃%）的定义域为（-co,—）,其导函数为八防,S/（x）=/（-x）-2sinx,且当;rNO

/\

时，/,（x）>-cosx,则不等式/x+g>/（x）+sinx-cosx的解集为.

乙）

四、解答题

15.定义域为R的函数〃“=就!是奇函数.

⑴求实数。，力的值：

⑵若存在此（-2,0）,使得/（/+3太）+/（：-/卜0成立，求实数攵的取值范围.

〃4-0

16.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin(A+玲=csin---

⑴求A；

⑵已知c=3,b=l,边BC上有一点。满足LQ=3SW，求AD.

17.已知数列｛《,｝,也｝,%=(-1)"+2”,包=a川—阳。＞0),且也“｝为等比数列.

(1)求4的值；

(2)记数列｛b„-叫的前〃项和为7；.若7；•兀=15兀(iGN*),求i的值.

答案第4页，共22页

18.已知函数/(幻=产"+公2-30¥+1,acR.

⑴当。=1时，求曲线y=F(x)在x=l处切线的方程;

⑵当时，试判断/(心在口，十⑼上零点的个数，并说明理由;

⑶当XNO时，/。)20恒成立，求〃的取值范围.

19.设函数/(x)=ln[%+，,xe(O,l).

⑴试判断r(力的单调性；

(2)证明：对任意而«0,1),有/3”'(与)。」.％)+/(%),当且仅当x=x0时等号成立.

⑶已知XjtRp=l,2,3,…,〃),£%=1,证明："I(其中

，=i/=iIxi)\n)

n

……%)

《山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高三清北班开学考试模拟（二）数学试题》

参考答案

题号12345678910

答案BADBCDDBACABD

题号11

答案BC

1.B

【分析】根据分式不等式和一元一.次不等式得解法解出复合A4,再按照集合的并集运算即

可.

【详解】言"O’则（x—2）（x+2）«0,且x+2w（）,解得—2vxW2,

则集合A={X|-2VX42},8={x\X（X-3）<O}={A|O<X<3}

贝IJAU8={X_2<X<3}

故选：B.

2.A

【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.

2x-a,x>—

【详解】易知y=|2x-4=,显然y=|2工一《在+8）上单调递增,

a-2x,x<—

2

在上单调递减'

因为“X）在区间（1，+8）上单调递增，结合复合函数的单调性可知4>1,且£石1，

所以〃w0,2].

故选：A

3.D

【分析】利用等差数列前”项和的计算公式结合等差数列的性质可求薮.

13/

$3_5⑼+43,1]3%_13%_4

【详解】

S，施+%)%加3-

故选：D.

4.B

【分析】根据给定条件，求出函数/"）在（L-）上单调递增等价条件，再利用充分条件,

答案第6页，共22页

必要条件的定义判断即得

—<1

【详解】由函数/(X)在(L”)上单调递增，得2一，解得

1-«>0

所以“aV2”是“函数/(*)在(1,+a))上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B

5.C

【分析】利用函数零点的定义，转化为函数"3=以2+〃_1,G(x)=cos葭在(T1)上的图

象有公共点求解.

【详解】由/?*)=/*)一身(X)=。，得。(工一1)2-1=烟¥-2",

依题意，ad+a-1=cos：在(一1,1)上有解，记“(x)ua»+a-i,G(x)=cos写，

22

因此函数尸(x),G(x)在(-1J)上的图象有公共点,0<G(x)<l,如图,

当a«0时,尸。)=尔+~14-1,显然函数户(x),G(x)在(TD上的图象无公共点,

当〃>0时，函数/a),Ga)图象都关于y对称,

M⑼即〃一1411

得2加1>。,解A得5<h2,

F(1)>G(I)

所以实数。的取值范围是;<。工2.

故选：C

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)宜接法：直接求出_/U)=0的解；(2)图象法：

作出函数人幻的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出

这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

6.D

【分析】根据奇偶函数的对称性排除A,再根据犬=兀1<1<5对应的函数值符号排除BC

即可求解.

【详解】/(X)=(8SX)“叫,XG[-7C,O)U(O,7U]定义域关于原点对称,

2x+sinx

cos(-x)In|TcosxIn|x|

=-/(A),

-2x+sin(-x)2x+sinx

,“x)=(c°N)"nN是奇函数,排除A；

2x+sinx

当工=兀时，/(兀)=萼<。，排除C；

27r

当1<X<2时，/("=(c°s凶中COSx>0,InW>0,2x+sinx>0,故/(x)>0,排除B.

22x+sinx

故选：D

7.D

【分析】要求“友情对点”，可把xWO的函数图象关于原点对称，即研究对称过去的图象和

x>0的图象有两个交点即可.

【详解】)，=a/(xK0)关于原点对称的解析式为尸-加。之0).

y=x3Inx(x>0)的图象与y=-ax2(xN0)的交点个数即为方程VInx=-ax2(x>0)根的个数,

BP-6/=xln.r»

设y=xlnx,于是，=lnx+l.

当xe0,：)时，y'<0,y=xlnx单调递减：

当xe(1,+8)时，y'>0,y=xlnx单调递增:

当x=1时，函数)，=xlnx取最小值

ee

于是作出V=Aln.r的图象如图所示：

所以V0,即0<4时y=_a与y=xlnx有两个交点,

ee

原函数有两对“友情对点故实数。的取值范用是(。，:|.

故选：D

答案第8页，共22页

8.B

【分析】由已知可求得工=3-3（-』丫，〃为奇数时，s„=-+-.f-!-T,根据单调性可

n23）"22⑶

3443

得：不<S〃KS]=2,〃为偶数时，5“二9一9；，根据单调性可得：-=S2<S„<-,

可得s”的最大值与最小值分别为2,p考虑到函数y=在（0,+8）上单调递增，即

可得出结论.

【详解】等比数列｛&｝的公比为-因为6,胃，％成等差数列，所以

=解得4乜

3191

当〃为奇数时，S„=-+-/-T，易得S”单调递减，且•丫>3,所以]<S"WS1=2；

"22⑶22⑶22

当〃为偶数时，5"=?工曾"，易得S。单调递增，且3-2.f"”<2,所以卜SzVS/].

221.3J22l3j232

4

所以S”的最大值与最小值分别为2,

9d/c21_42_1

函数尸在（。，+8）上单调递增，所以A&鼠=I_4=_6.

f\〃Zuin—

3

（2）2<1\7

BNS,--=2--=1,所以8—A的最小值1一一工卜工.

ISJgx2I6；6

故选：B.

【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前〃项却通过分类讨论并利用函数单

72

调性求得S“的最大值和最小值，再由函数），=/-，在（0,+8）上单调递增且AWS“一晨W8,

可求A8取值范围.

9.AC

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A,根据必要条件的定义和不等式的

性质判断B,

设，=在石，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C,根据零点的定义，结合指数函

数和对数函数图象判断D.

【详解】对于A,-./?：3X（1GR,xJ-2x0+l<0,故A正确；

对于B,若a>b,/=0，则ac2=be2，

所以“a/>/它”不是成立必要条件，故B错误；

对于C,设公庐^，则公庐^之及，+

设丫=/+；，r>V2»

由对勾函数的性质可得,函数）口+；在［&，+动上单调递增,

所以），之J5十%-乎，当且仅当x=时取等号,

所以当x=0时，/3）取最小值，最小值为逆，故C正确;

2

对于D,令f（x）=胪fogax|=o,则=|log„乂,

当Ovacl时，作出函数），=#,），=|log“R的图象,

由图可知函数y=。国,y=|log〃x|的图象有两个交点，

所以当。va<I时，函数J（A）=a"一|log“M的零点个数为2；

当时，作出函数），=/,y=|log'|的图象,

由图可知函数），=m，y=|k>g,4的图象有1个或2个或3个交点,

所以当a>1时，函数/（x）=»"Tlog“H的零点个数为1或2或3,

答案第10页，共22页

所以“Ovavl”是“函数/。)=胆-|1.4的零点个数为2”成立的充分不必要条件，

故D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】由向量数量积的儿何意义有髭.泥=震'，结合已知即可判断A；若。为A5中点，

根据已知有O，P，C共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得

PC(PA+PB)=-2\PC\\PO\,结合基本不等式求范围判断D.

inninminnu、,,uutiuuumau

【详解】^AB-AC=AC»乂斜边4H=2，则|AC|w(O,2)，则A8-ACw(0,4),A正确;

UL1T]unn

若。为AB中点，则人。=548,故/1户=$也20/1。+8§2。43，又$访2。+80::。=1,

所以O,P,C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1,又。是V/WC的外心，B正确，C错误;

P

AB

由上尸>4+P#=2PO，则pc(px+p*)=2pepo=-2ipciipii,

X|PC|+|PO|=|OC|=I,则|PC||司区("'CMP°I)2=L,当且仅当|尸口=1网力=:等号成立，

242

所以PC.(/<4+PB)=-21PC\\P()但l-^oj,D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：若。为A8中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数

iniiuuti

量积的几何意义和运算律判断?轨迹，求A8-AC、PC(PA^PB).

11.BC

【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，

利用C的结论可判定D项；法二、构造函数/(x)=cosi,利用正、余弦函数的性质一一判

定选项即可.

【详解】法一、由题意可知r(»为R上奇函数，即r(o)=o,r(x)+/'(T)=o,

令x=y=0n/(0)=/⑼./(0)-r(0)r⑼=/(0)/(。)=>/(0)=1

或0(舍去)，故A错误；

令)-f(O)=/(x)/(r)-r(Hr(r)=[/(x)了+[/(力了=1，

故B正确；

由条件可知小+升/(X)喝-〃3伺5”,

(呜卜/㈠)佃_r(_"针尸(川，

贝IJ有/X+]=-/卜，+5)，

所以/'(X+兀)=一/'(一五)=一/(X)，则f(x+2兀)=/(%),故C正确;

由C：/(x+2兀)=/(x)=r"+2兀)=/"(X)，即r(x)的一个周期为2兀,

所以S$+2〃兀)=2025r0=-2025,故D错误.

法二、由题意可设〃x)=8sx,则r(x)=-sinx,显然符合条件，

对于A项，/(0)=1,故A错误；

对于B项,[/(x)y+[r(x)}=cosA+sin2x=l,故B正确：

答案第12页，共22页

对于C项，/（戈+2兀）=8S（X+2TI）=/（X）,故C正确;

对于D项，/'（二+2E]=一5皿（n+2也]=-1,所以（二+2E）=一2025,

（2）\2/2024I2）

故D错误.

故选：BC

【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令x=y=Qx+y=o及构

造了1+9小工+外并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶

性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更

快捷的得出结果.

12.2

【分析】求出），=e、在x=（）处的切线方程，设出y=ln（x+a）的切点联立方程组可解得。=2.

【详解】对于），=/，易知），'=e\切线斜率为〃=e°=l,切点为（（）」）；

则曲线y=e'在x=0处的切线为y=x+l,

显然g'（x）=；g，设切点（与11】（%+4））,

1,

=1%=T

由天+〃，解得管=2,

ln（x0+«）=x0+l

故答案为：2

13.g/0.5

2

【分析】根据题意，得到不，/关于4=工对称，得到须+再=乎，即可求解.

126

【详解】令2x-[=E+±ZwZ,即“x）=sin（2x-』对称轴为x=工+”入Z,

因为XG（O.JT）,可得2工-；e，

JJJ

因为sin,q）=-2在©兀）上的解为小石，可得X，W关于x=*'j称，

所以X]+%=葛，则sin（石+&）=sin•.

故答案为：

【分析】构造Mx)=〃x)+sinx,得到其在R上为偶函数，且在42)上单调递端

fX+/>/⑴+sinx-cosx变形得到〃(若)>/心・)，从而得到x+］>N，求出答案.

【详解】令力(x)=/(x)+sinx,则〃(T)=f(r)-sinx,

又/(X)=/(T)-2sinX,所以得/(*)+sinx=/(-x)-sinx,

即h(-x)=h(x),所以//(r)为R上的偶函数，

又xN0时，〃(x)=r(x)+COSX>0,所以h(x)在［0,+00)上单调递增,

又刈同为R上的偶函数，所以〃(X)在(e,0］上单调递减,

得小+升

由/x+—>/(x)+sinx-cosx,COSA>/(.v)+sinx,

所以小+理

>/(x)+sin.v,

即所以得x+?>|x|，解得：X>-^,

\2724

所以不等式/1+/)>/3+5由％-85%的解集为,：收

故答案为：

【点睛】利用函数“X)与导函数r(x)的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的

单调性解不等式，是高考常考题目，以卜.是构造函数的常见思路:

比如：若〃x)+r(x)>0,则构造g(x)=e*./(%),

若〃“一:(”>0,则构造g(x)=《D,

若f(x)+xf\x)>0，则构造g(X)=xf(x),

若.二(力>0,贝IJ构造g(.r)=#.

15.(l)fl=2,Z?=l

⑵1<女<2

【分析】(1)方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等

式，进而求解；

(2)利用奇函数、减函数的性质结合题意可得/+:>公一3k在/«-2,0)上有解，进一步可

得—2>&2-34,由此即可得解.

答案第14页，共22页

【详解】（1）方法一：是奇函数，.•.〃0）=0,即大了二°，解得》=1，

又由/（1）=一/（一1）知：①1=一卫士1,解得。=2.

4+aI+a

L，,“\___2A+1f（x__2-A+1_（一2+1）2_—1+2'_w（、

此时»f（x）=+2J（-"）=2-'+,+2=（2，,"+2）2,=2+2•川=一/（"），

且/（戈）的定义域（全体实数）关于原点对称，

所以是奇函数.

故"=2力=1.

方法二：•••/（力是奇函数,

-2-x+b-2x+h-\+b-2'

.・J(%)+/(r)=^T^+-----；=—；1---------=--0---,

乙ICc2一叫。2川+〃2+。2

/.(2VIZ?)(2Ia2X)»(1I〃2、)(22\a)=0,

即（2/?—4）・22'+2（々。-2）,2'+2〃一々=0恒成立.

2b-a=0a=2a=-2

ab-2=0"lb=l或1=-l'

当,:二:时，/（x）=9■三的定义域为何"（）｝，舍去，

当〃=2/=1时，/⑴二^±1J（r）;^±1二片:+乎；Zl±^.=一/⑺,

1+,J+X

口HJ，,\，2+2八2+2（2~+2\22+2八八

且/（x）的定义域（全体实数）关于原点对称，

所以/（“是奇函数.

故〃=2力=1满足题意.

（2）由（1）知/（x）=Z^±L=—_L+_^_,

则由复合函数单调性可知/（戈）在R上为减函数，

又/（“是奇函数，由〃，+3女）+/（；-公卜0得:

（\\（i\

f（t+3k）＜-f--k2=fk2--,

[fJtJ

_1即/+；＞犬一32在/e（—2,0）上有解,

t+3k>k2

•・・/€（-2,0）,/+；=-1—/+5）4一2'-/.5=一2当且仅当-/=9，即/=—1时等号成立,

--y=/+；在，w(-2,0)上的最大值为-2,

:.-2>k2-3k,即伏-1)伏-2)vO,「.lvNv2.

16.⑴4=^

(2)AD=—

4

【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求

解即可;

（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】(l)tasin(A+B)=csin,由正弦定理，WsinAsin(A+B)=sinCsin

22

A

即sin4sinC=sinCcos—,

2

AAAA

又sinCoO,即有sinA=cos—,2sin—cos—=cos—,

2222

Ait.A八.A1Anxz471

V—e(0,-),cos—*0,所以故人=二.

(2)设N3AA=a,ZJ\DC=n-a,由(1)知A=],

在△ABC中，由余弦定理/=〃+c2一窈ccosA,可知

802=9+1-2x3x1x1,:・BC=不

2

乂SJBD=3SMDC，可知3D=3QC=」一，

4

在△AB。中，AB1=BD1AD1-2BDADcosa,

g|J9=—+AD2-AD-cosa,①

162

在AACZ)中，1=2~+人厅--AD-cos(^-a)，

162

即1=工+A。?AOcosa,②

162

联立①②解得A。=空.

4

答案第16页，共22页

A

(2)2

【分析】(1)计算出6=1,%=5,火=7,4=17.,进而得到々也也，根据等比数列得

到方程，求出2=2,验证后得到答案；

(2)求出"H=_3X(T)”・〃2,分〃为偶数和〃为奇数时，得到7；,7；•小＞0,又

(•兀2=157；“故7；讨＞0,所以，•为偶数，从而得到方程，求出i=2.

【详解】(1)因为%=(T)"+2",则q=l,应=5,%=7,%=17.

又"=%一也,则a二%一之％=5-4,by-ay-Aa2=1-5A,b3=a4-=\1-1A.

因为也｝为等比数列，则片=仇也,所以(7-5团2=(5-团(17-7幻，

整理得万一九―2=0,解得丸=—1或2.

因为4＞0,故4=2.

当4=2时，b,=—2a.=(-l)rt+,+2向一2[(—1)"+21

=(-1)x(-1)°+2"*—2x(-1)"-2'川=-3x(-1)".

b_Qxf—11d+l

则券==f故也｝为等比数列，所以2=2符合题意・

勿-；3x(,-1)"”

(2)〃"=-3x(-1)”./,

22222222

当"为偶数时，Tn=-3X[-1+2-3+4-5+6----m-l)+/z]

3

=-3x(1+2+…+〃)=--n(w+1)；

323

当〃为奇数时，Tn="be(n+=--(«+1)(〃+2)+3(〃+\)=-n(n+1).

3

—n(n+\),n=2k-1,2wN*

2

综上，4=

3

——〃(〃+1),〃=2k,keN*

2

因为小心＞0,又工•小=15J,

故加＞0,所以i为偶数.

所以一3却+叶,奥+2)(i+3)=l5x|(z+l)(/+2),

22

整理得尸+3"10=0,解得i=2或，=-5(舍)，所以i=2.

18.(l)y=0

(2)1个，理由见解析

⑶(51

【分析】(1)根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可求解;

(2)根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算,

即可判断;

(3)根据题意,分与讨论,利用导数判断函数的单调性，然后再由八0)=e"-3a

的正负分情况讨论，代入计算，即可求解.

【详解】(1)当《=1时，/(x)=eA-1+x2-3x+l,则#x)=ei+2x—3,

所以曲线＞=/(A)在x=I处切线的斜率k=/'⑴=0.

又因为/(1)=0,所以曲线产/(幻在x=l处切线的方程为产0.

(2)/⑴=ej—2a+l,令〃z(x)=/'(x)=/一"+2以-3.,贝1」/()=e5—a,

当〃＞1时，/(6=。~+为＞0,则/'(X)在(1,+8)上单调递增.

因为/71)=e〜-a<eM-1=0,f\a)=\+2a2-3a=(2a-1)(a-l)>0,

所以存在唯一的小€(l,a),使得/(%)=0.

当工«1,飞)时，所以/")在［Lx。)上单调递减：

当工£伍,+8)时，所以/(力在(％,+00)上单调递增.

又/(l)=e~—2a+lve°—2+l=0,所以/(%))v/(D〈。，又.〃3)=+1＞0,

所以当a＞1时，在口,内)上有且只有一个零点.

答案第18页，共22页

(3)①当时，/(l)=e〜—2〃+l<e°—2+1=0,与当x20时，矛盾，a>1不

满足题意.

②当时，/(())=e-w+I>(),f\x)=&x~a-3a,

令向司=/'(X),则〃?'(力=产"+2。，«/(())=e-a+2a.

Tv

记函数<7(.r)=e+2xtx41,则q'(x)=-e+2,

当xe(-ln2,l)时,当x)>0,所以虱幻在(Tn2,1)单调递增;

当xw(-oo,-ln2)时,q(x)<0t所以式x)在(一》,一加2)单调递减,

所以式6N虱一In2)=2-2In2>0,所以加(0)>0.

乂因为加(同在)上单调递增，

所以加(力>77/(0)>0,所以r(力在10,+8)上单调递增.

(i)若/,(0)=e-<,-3a>0,

则f\x)>尸(0)>0,所以/(%)在[0,-KO)上单调递增，

则/。)”(0)>0,符合题意;

(ii)若/'(())=/。-3。<0,可得〃>(),则OvaWl.

因为/'⑴=e'--«>(),且/'(工)在[0,-KO)上单调递增，

所以存在唯一的内£(。,1],使得f(xJ=O.

当xe(0小)时，/'(x)<0,所以/(x)在(0小)上单调递减，

当。«%,+0。)时,r(x)>o,所以/⑶在(％,+oo)上单调递增,

其中X《(0,1],且炉-“+2时-3a=0.

所以fM2/(z)=炉一"+ai；-3axl+1

=3a-2ax}+ar；-3ar1+1=滤-5axt+3a+1=a(x；-5%+3)+1,

因为内w(0,l],所以x；-5内+3w[-1,3).

又因为ae(O,l],所以〃卜；—5X1+3)N—1,

所以/（x）NO,满足题意.

结合①②可知，当。41时，满足题意.

综上，。的取值范围为（TO1］.

【点睛】关键点点睛：第三间，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间

函数值符号为关键.

19.（l）/'（x）在（0」）上单调递增.

（2）证明见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）利用二次求导即得；

⑵令g（x）=/3-［/'（/）"一题）+/（/）］,则g'（x）=r（x）-/'（/），由（】）得&㈤在

（0,1）上的单调性,进而g（%）Zg（%）=0,即可证明;

〃1>/?•In(zz+—

（3）将原不等式转化为£l