山东省威海市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

山东省威海市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

学校;姓名:班级:.考号:

一、单选题

1.一丝丸是

6

A.第一象限角B.第二象限角c.第三象限角D.第四象限角

2.已知角a的终边经过点P（—3,2），贝kina)

A243R2/13「3yli33V13

D.---------D.

3.已知sina二一8加，且aw3,则⑶+（

)

10I2,4J

J

A.2c-TD.

?

sinasin3二一《，则cos(a+J3)=(

4.己知cos(a-=)

1112

，B.cID.

A34

5.已知曲线Ci:y=sinx,C:y=cos(2.r--),则()

2n

A.把G上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的;倍,再把得到的曲线上的所有

点向左平移二个单位长度，得到曲线a

6S

B.把Ci上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的;倍,再把得到的曲线上的所有

点向右平移1个单位长度，得到曲线G

C.把G上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的圻有

点向左平移£个单位长度，得到曲线a

D.把G上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有

点向右平移刍、单位长度，得到曲线G

I?

6.一个圆台上、卜.底面的半径分别为1,2,母线所在直线与轴的夹角为45。，则该圆台的

侧面积为（）

A.3nB.6兀C.3仿1D.6缶

7.记VABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,若£=cos8=J5sinA,则角C=()

7/1

>一一>.T—►

8.已知P是VABC所在平面内一点，满足尸A+PB+PC=0,若A8_£AC,A8=6,则

_rL_

AB.CP=()

A.-12B.12C.-18D.18

二、多选题

9.已知万工为非零向量，贝IJ()

A.若用+力二,一回，则B.若万+1=＜日—8)，则方

C.若万力＞0，则〈方,»为锐角D.若卜/=匕〃,则方//〃

10.已知函数小)=2sink+.)，则()

A.)，=/(%)的图象关于直线X=彳对称

B./«)在JEF上单调递增

k33;

c.y=/(x)的图象关于点(一”,0对称

I3)

D.当x£［。,4兀］时，仙线y=sin—A/y=f(x)的交点个数为4

11.在正三楂柱ABC—A区G中，AB=AAt=2,P,Q分别为棱CG,A向上的动点，则()

A.AA/P的周长为定值B.三棱锥B-APQ的体积为定值

C.若AQ=2P。，则PQJ_AGD.若eC7/平面4GQ，则4Q=QS

三、填空题

12.己知向量石二(1,1),b=(2,x),若〃〃(〃一4万)，则大=.

13.函数/G);Asin(3+9)(⑦＞0,0＜夕＜H)的部分图象如图所示，则

试卷第2页，共4页

14.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在表面积为12兀的球面上，PAj_平面ABC,PA=AB,

BC=Js,上3AC=45•，则该三棱锥的体积为

四、解答题

(兀、

15.已知函数/(x)=4sinx+—sin3.

I3；

(1)求/Q)的单调递减区间；

(2)当xe0,斗时，求/(/)的最值.

4

16.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，AC±BC,E、尸分

别为AB、BC的中点.

(1)证明：石?〃平面PAC：

(2)证明：平面尸£尸JL平面PBC；

(3)若AC=3,二面角P-8C-A的大小为30”，求PA.

17.如图，在五面休ABCDEF中，平面ABCD1平面。£F，DC//EF,ABA_BE,ADA-DC,

AB=DC=2,AD=

(1)证明：ABHDC：

试卷第3页，共4页

《山东省威海市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABAACCBBDABD

题号11

答案BCD

I.D

【详解】分析：根据终边相同的角的表示方法找到在（-2九0）内与其终边相同的角，然后可

判断所给角的终边所在的也置.

详解：由题意得--r乃=-4〃-二，

66

/,~n的终边和角-3的终边相同，

66

・•・-乡25九是第四象限角.

6

故选D.

点睛：所有与a角终边相同的角（连同角a在内），可以表示为6=2k7T+a,&£Z；在确定a角

所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论.

2.A

【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解.

【详解】由题意有一=O"=J（-30+22=

-y22Vl3

所以sincr=—=—==-----.

rx/1313

故选：A.

3.B

【分析】根据同角三角函数的基本关系求cosa.tan。，再利用两角和的正切公式即可求解.

【详解】由sina二_a叵且aw（工，兀\所以c8a=_JJT5*°=-叵，

10I2）10

it

\tana+tan-.

。+T=----------=,,,=-2

[4）l-tanatan71"3x1:

4

故选：B.

4.A

【分析】由题意利用两角差点余弦公式先求cosacos6，再根据两角和的余弦公式即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】由cos（a-8）=cosacos0+sincrsin6二一;।又sincrsin6=，所以

cosacos/?=---.

1?

51

所以cos®+8）=cosacosB-sinasin=--

12；3

故选：A.

5.A

【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断.

【详解】对于A,所得曲线为)，=sin2(x+工)=sin(2x-¥+')=cos(2x-N),A正确;

对于B,所得曲线为y=sin2(工一；)=sin(2x-2-g)=-cos(2x-,).B错误：

对于C,所得曲线为)，=sin,(x+K)=sin(Lx-^+N)=cos(Lx-^),C错误；

7A71??7I?

对于D,所得曲线为y=sin_L(x-工)_sin(_L；v+U巴+D错误.

917?9477?4

故选：A

6.C

【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面枳公式可得结果.

【详解】设圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,母线长为/，则「=1,R=2,

由题意得，/=旦:=后，所以该圆台的侧面积S=〃"+/?)=3及葭

cos45

故选：C.

7.C

【分析】由c=2acosB,利用正弦定理得sinC=2sinAcosB,根据两角和的正弦公式得A=B,

又cosB二J§sinA即可求4,进而得C

【详解】由£=cosB有c=2acos8,由正弦定理有sinC=2sinAcosB,

Da

又sinC=sin[n-（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB-cosAsinB=sin（4-B）=0,又A,B为VABC的内角,所以A-B=0,即

A=B,

乂由cos3=V§sinA,所以cos4=/sinA—>tanA=—,

又0vAv兀，所以A=2,所以C=冗-2A=71-2>色=型.

f\A1

答案第2页，共13页

故选：c.

8.B

uur2U"-.—.2—•一

【分析】若。是A8的中点，根据已知得CP=：C。，则=结合向量数量

枳的几何意义求数量积.

-iuiruuron-iuir

［详解］设。是45的中点，由+PB+PC=0,则PC=-（PA+PB）=-2PD,

uur2lIlu

所以CT=-C£J,又AB_LAC,

0］/I5.CP=-.CD=-p+）=-/8=I">2.

故选：B

C

ADB

9.BD

【分析】对于A利用向量数量枳的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，

对于C当；=0时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断.

【详解】对于A：由勿+”二卜・21得

（羽+。）~二例-2万）,-4力+能力+/-n-4万2+4〃—3H+8方.0-3方2=0

一（3方-“.伍+3。=0,所以（3方-。，,+3力，故人错误；

对于B：由于刁工为非零向量，由三+与二可知人不等于1,故a=所以X），

故B正确；

对于C当万工=0时，二口q>0,但方工不是锐角，故C错误：

对于D：因为方』二“|,所以C，屋百同=±1,所以刁工=0或方］二兀，所以方/晨

故D正确.

故选：BD.

10.ABD

答案第3页，共13页

【分析】应用代入法验证时称轴和对称中心判断A、C,整体法判断函数的区间单调性判断

B：根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D.

【详解】A：由=2smfF+A=2:则y=/(A)的图象关于直线x=f对称，对：

B：由题设，=%+四£(一2,N),结合正弦函数性质知/(2二"⑺=2sin/单调递增，对：

C：由(—曰)=*,一1+，)=2sin：_5=_2,则)，=/G)的图象关于直线\=一个对

称，故’-生,0、不是对称中心，错：

、3)

y

D：由)，=sin,在［0,兀］上单调递增，在［兀,3兀］上单调递减，在［3兀,4兀］上单调递增，

且y=sin5在［0,兀］、5,37(］、［3%4初上对应值域依次为［0JJ、［-1,1］,［-1,0］,

由题设f=x+令/Q)=h«)=2sint,

nnn

则M-在患、苧争、借停止单调递增,对应值域依次为"孙匕2］、⑶］,

在耳，争、耳，争上单调递减,对应值域均为［22］，

所以/(x)在［0,中、、［―^―,4兀止单调递增，对应值域依次为［1,2］、［-2,2］、［-2,1］,

在g，?］、，华北单调递减，对应值域均为1-2,2］，

所以y=s吟与f(x)分别在［*3］、白，守、咛,华］、［竽,4冗］上各有一个交点，即

共有4个交点，对.

故选：ABD

II.BCD

【分析】对于A,设PG=x,PC=2■工，计算AP,PC即可判断；对于B,由匕一八改二九也

即可判断；对于C,取4G的中点M，连接5M,过。作。N//SM交AG于点N,连接PN,

证明AG•1•平面PQN,即可判断；对于D,由线面平行的性质定理得OQ//8C,进而即可

判断.

答案第4页，共13页

【详解】对于A：由点。为CG上的动点，设PG=x,PC=2-x(0WxW2),

所以A1P=J4++PC=j4+(2-A)2,4毋=26，

所以4乃+4尸+尸3=26+”77+，4+(2-%『不为定值,故A错误；

11rrr

对于B：S.ABQ=-AB.AA=yx2x2=2,

因为CG//平面ABQ,所以点P到平面A8Q的距离为仃，

所以力加Q=VP-ABQ=1X/J=1X2XX/3=故B正确：

对于C：取AiG的中点用，连接用M,过。作QN//81M交AG于点N,连接PN,

A.QA.NItAN

设尸C=[,所以4]。=2PC=2f,因为:"^■=777，所以＜=1—，

4D)4A77I

所以AN=PC:/,所以PN//AC，

又4CJ_AG，所以PN_1_AG，

在正三棱柱A3C・A6|G中，AA_1_平面人向G，

因为B|ML平面AI£,所以/见_L3IM,

又CA_LB",八人①人(尸儿，A4"CL平而A4CC，

所以"A/_L平面A41G。，因为QN//B|A/,所以QN工平面44。。，

又AGU平面AAiGC，所以QN1.AG，

又QNCIPN=N,QN,PN「平面PQN,

所以4G_L平面尸QN,因为尸Q「平面PQN,所以PQ_LAG，故C正确;

对于D：连接AC交AG于点。，连接OQ，由BC//平面4GQ，

答案第5页，共13页

且平面Afcn平面AGQ=OQ,8c「平面A8C，

所以OQ//&C,又。为AC中点，

所以。为A1四中点,即A1Q=QB，故D正确.

12.2

【分析】根据向量坐标的线性运算先求万・4不，利用共线向量的坐标运算即可求解.

【详解】由题意有石-4fl-=(2,x)・4(l,l)=(-2,x-4),

因为b//(/?-4/-),所以-2r=2(x-4)一x=2,

故答案为：2.

於3

2

【分析】根据图像先求/(Q的解析式，再求彳一(兀；即可.

3_In(nA3TT2n.

【详解】由图可知A=3,-r=—---=-^T=l砺中=2,所以

4121614T

f(x)=3sin⑵+0),

又稽｝对2喑++—3所以得+0=,+2〃兀k£Z,

所以0二t，所以/(x)=3sin2x+g

*IJ

所以

/f--nl=3sin2xf--=3sinf--^l=3sinf-4rr--1=3sinf=-3sin-=

3JI3)3I3J3)[3)32

答案第6页，共13页

故答案为：一空.

2

14.

92

【分析】设三棱锥尸一A5C的外接球半径为R,VA8C外接圆半径为「，圆心为O1，由题意

先求R,利用正弦定理求，，利用勾股定理求。。|,进而得尸4,利用余弦定理求AC,最后

利用三棱稚的体积公式即可求解.

【详解】设三棱锥P—A8C的外接球半径为R,YABC外接圆半径为「，圆心为01,

所以4冗足=12冗―/?二劣又BC=」5,±BAC=45°,

BC二石一J=叵

由正弦定理有sinN84c一正一r-r~~：

?

过Oi作O。±平面ABC,则001〃尸A,OQ二-PA,所以勿=[后也

/?

所以A8=PA=2a^=G：

VABC中，由余弦定理有8C2=A外+AC2—2AB.ACcos450,

即5=2+AC2-2X6XACX"：化简整理有AC2-24C-3=0,解得AC=3,

?

所以STSC-yxABxACxsin45°=—x>/2x3x=—；

所以Vp-ABC=~^-ABCxPA=­x—x&"=

故答案为：立.

9

(2)最小值为1—劣，最大值为3

答案第7页，共13页

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数/'（X）的解析式，结合正弦型函数的单调性可得出

函数/（X）的单调递减区间；

（2）设f=由xw0,与求出f的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得/（工）

的最大值和最小值.

【详解】（1）

1^coSAin.=2sin2x+25/3sinjrcosj=2x--竺上+石sin2)

/(x)=4-sinx+

22

=2—sin2A:--cos2A+1=2sinf2A-—^+1

122JI6J

令”乃+92》一专42履+与(AeZ),解得E+<kjt+^-(keZ),

所以/（x）的单调递减区间为ATT+£,E+J（AeZ）-

36

7i八3兀~加47r

(2)设，=2^-二，pjijy=2sin/+1,因为xw0,--,所以蚱

A463

所以sin”_等所以/（x）的最小值为1.Jj,最大值为3.

16.（1）证明见解析

（2）证明见解析

⑶2

【分析】（1）证明出EF//AC,利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出4CJ_平面/EF,再利用面面垂直的判定定理可得出结论：

（3）由二面角的定义可矢I上PFE为二面角尸・BC・A的平面角，则上尸尸七二3（?,利用余弦

定理求出PE的长，结合勾股定理可知上P£6=90・，分析出E为A3的中点，即可得出PA的

长.

【详解】（1）因为E、尸分别为八8、BC的中点，所以七户〃AC,

又因为石尸丈平面PAC,ACC平面P4C,所以£»/平面PAC.

（2）因为P8=PC,广为BC的中点，所以Pb_L8C,

因为ACJ_8C,EF//AC,所以EFJ_BC,

又PFCEF;F,PE、EFC平面PEF,所以BC_L平面PM,

因为8CC平面PBC,所以平面抬尸_1_平面P8C.

答案第8页，共13页

(3)因为PFj_BC,EF±BC,所以上尸庄为二面角户一8C—4的平面角，则上/¥E=30*,

由题意知，PF=Jj,EF=-f

在4PFE中，由余弦定理用P£=PF2+EF—2PF.EF.cos上P庄,

所以於=3+2-2xM"x或=：可得PE=^,

49747

在直角VA5C中，八8=凶+4=后,

又因为PB=2,BE=巫，PE=®,所以P#=PE2+BE2,所以上PE8=90・，

2)

即PE_LA8,因为E为八8的中点，所以PA=PB=2.

17.(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)由DC//EF,利用线面平行判断定理得QC〃平面A8FE,再利用线面平行的

性质定理即可得证：

(2)由A8〃Z)C,则上朋£为直线4E与。。所成的角或补角，再证8C平面CDEF,则

上CEB为直线防与平面COE”所成的角，即可计算破.最后在RtAABE中计算即可.

【详解】(1)因为DCHEF,。。丈平面AB/E,EFc~平面ABFE,

所以0c〃平面A3/方，

又因为0cL平面A8CO,平面48con平面ABbE=AB,

所以4B〃OC；

(2)因为A6//QC,

所以上8AE为直线AE与0c所成的角或其补角，

因为A8=OC=2,AB//DC,所以4BCQ为平行四边形.

所以AQ〃8C,

因为平面A8CQ上平面CDE”，平面ABCDCI平面CDEr=QC,A£)J_QC,ADL平面

ABC。，

所以A。_L平面COE尸，则8C_L平面。。叫"

连接CE,所以上C仍为直线8E与平面。E尸所成的角，

则tan上CEB=；,可得sin上CE3=吗:

因为8C=A。=1,所以3E=加，

因为A8=2,所以4E=JiW,

答案第9页，共13页

可得cos上RAE=-X-r=

x/147

所以直线AF与。。所成角的余弦值为巫.

7

18.（l）EF=-JD--/lfi,EG=-AB+-AL

i,3223

八AB2

⑵就”

⑶L匠17"

【分析】（1）根据平面向量的加减法即可求解：

（2）由印_LEG得E/T£"=0,利用平面向量数量积的运算律即可求解;

⑶设上刚。=&6£（0,冗），又行+函=；而，利用数量积的定义得

3（£#+EG）BD+pc|=2（l-cos（9）+^+2co^,利用二倍角公式化简得

3（F#+EG）5D+plc|=-4cos:-+2cos-+4,令cos*=r,利用二次函数即可求解.

niriiRTHIT1miriuiir

【详解】（1）由题意知，EF=AF-AE^-AD--AB,

EG^EB.BG^AB^AD

⑵若印JL田，则EF.E"=0,

所以;力力一；力可｛$4万+（/月=0,

可得,而荔『=0，

4AB2

所以-

9AD3

⑶设上6£（0,兀）,

因为而+函=；而-；而+；而+领=领

所以3（EF+7Z）8fj+kd

答案第10页，共13页

=2疝豳一码+J(而痛丫=2(商一疝回+\AB2+2ABAD+AD'

=2(,邛T回网cose)+J|J^2+2|J^|COS6>-1

=2(l-cos^)+S+2cos夕=2x2sin2'+^2x2cos2争=4I-cos2，｝2cos，

=-4,c2os®*—+2■cose—+4、.

77

羯2=，，则3(EFn+pr=^v2+2/+4,/G(O,I),

因为Tp+Zf+duT/£(0，l)，

I4J4

可得-4『+2/+4€(2,=,

AEB

19.(l)/ID=->/3

(2)sinB=—,尸8=坐

d7

(3)证明见解析

【分析】(1)由〃=4,得A。为角A的角平分线，由邑枷=即可求解;

(2)由a+c=2b,利用正弦定理得$访4+&11。=25理3,利用三角恒等变换得sin—,利用

9

二倍角的余弦公式得cosB,进而得sinB,在APEG中，利用余弦定理解得EG,进而求得

PB；

一”.门.c、psin8+gsinCpsinJ+rsinC

(3)先1正““之〃$祐8+,/$抽。，即PA—;——,同理尸822^————,

3n43nR

PC>rsinB+clsinA.最后利用基本不等式即可得证.

cm(

【详解】(I)因为〃=。，所以A。为角A的角平分线,

因为上A=60-,所以上朋O=1.CAD