苏科版八年级数学上册《勾股定理的探究》培优训练

苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优训练

一、折叠问题

1.如图，RtAABC,4A=90。，将4ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB=6,AC=8,则

折痕DE的长为（）

2.如图，在RtaABC中，448。=90。，AB=4tBC=3.将△4BC折叠，使点C与边的中点。重合,

折痕为EF,则线段BF的长为（）

7

2D6-

3.如图，三角形纸片中，AB=AC,BC=24,4c=30。，折叠这个三角形，使点B落在AC的

中点D处，折痕为EF,那么BF的长为.

4.如图，正方形力BCD的边长为8,将正方形折叠，使顶点D落在8c边上的点E处，折痕为GH,若

点E恰好是的中点，则线段CH的长为.

5.长方形ABCO中，48=4,BC=3,P为40上一点，将△ADP沿BP翻折至△EB匕BE与CO相交

于点G,PE与C0相交于点。，且OE=°D.

①求证：OP=EG②求4尸的长

6.如图1,在RCA48C中，乙4cB=90。，BC=4,点D在力8边上运动，△COB沿着C。折叠得到

dCDB',直线CB'与直线48相交于E点.

图1图2备用图

（1）如图2,若力。=3,CBLAB,求CE的长度；

（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求力。的值；

（3）若AC=3,△EOB'为钝角三角形，直接写出80长度的取值范围.

7.已知在直角三角形4B0中，%=8,08=6,D为斜边4B中点，C为边％上一点.

(1)0D=

(2)如图1,连结BC交007点E.当NCB0=4B40时:

①求证；0D1BC.

②求ABE。的面积.

(3)如图2,连结。。，将沿着CO折叠得到△/C“当人》与△4B0的一边平行时，求

4c的长度.

8.如图，在△49C中，24cB=90。，AB=5cm,BC=3cm,若点p从点力出发，以每秒lcm的速

度沿射线力C运动，设运动时间为/秒(亡＞°).

备用图

(1)把A/BC淋着过点P的直线折叠，使点力与点8重合，请求出此时/的值.

(2)是否存在，值，使得为等腰三角形？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

(3)现把△力8C沿着直线6P翻折，当f为何值时，点。翻折后的对应点C’恰好落在直线A8上.

二、全等构造法(一线三等角、旋转手拉手)

9.(1)如图1,AABC与△CDE中，/.B=/-E=Z-ACD,AC=CD,B、C、E三点在同一直线上，

加=8,ED=4f求BE的长.

图1

(2)如图2,在△ABC中，乙48c=60。，BC=6,以AC为边在△外部作等边△/CD,连接

BD,求△8C0的面积.

图2

(3)如图3,四边形ABCO中，^ABC=^CAB=^ADC=45°t若△面积为21且。。的长为

8,求△480的面积.

10.如图1,P是等边△48C内一点，连结4P,8P.将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到线段BP：连

结CP'.

图1图2备用图

(1)求证：。。台三△CP'B.

(2)如图2,连结CP,PP’.

①当乙4P8=130。，且△以‘P为等腰三角形时，求出乙CP8的度数.

②当P8=2/8=6,且P8IICP'时，请直接写出点A到点P'的距离.

11.如图，△ABC中，/8=90,BC=8,8C上一点。，使8。£0=3:5.

(1)若40平分48AC,求点。到AC的距离；

(2)若点。恰好在AC的垂直平分线上，求△480的周长.

三、手拉手构造

12.已知P为等边内一点，。力=1/8=2/4。8=15。°,则。。=

13,如图，P星等功三角形ABC内一点，将线段AP绕点4顺时针旋转60。得到线段AQ,连

接®Q.若P/=6,=&PC=10,则四边形APBQ的面积为,

四、等腰三角形分类讨论

14.如图，在△4BC中，乙48。=90。/。=13,84=5,点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速

度沿折线C-4-B运动.设点P的运动时间为出>0）.

C

（1）BC=.

（2）求斜边4c上的高线长.

（3）①当P在上时，AP的长为,t的取值范围是.（用含I的

代数式表示）

②若点P在乙8以1的角平分线上，则t的值为.

（4）在整个运动过程中，直接写出△PR?是以为一腰的等腰三角形时t的值.

15.如图，己知A/BC中，Z-B=90°,AB=8cm,BC=6cm,p、Q是△4BC边上的两个动点，其

中点P从点A开始沿A-B方向运动，旦速度为每秒1加，点Q从点B开始沿B-C-A方向运动,

旦速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.

备用图备用图

（1）出发2秒后，求PQ的值；

（2）从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？

（3）当点Q运动到CA上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值.

16.如图，在^ABC中，44。8=90°,4B=5,BC=3,点p从点A出发，沿射线4c以每秒2个单

位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒（1>0）.

C/PC/P

A4------------------------、BA乙--------------、B

备用图

(1)当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为_；(用含t的代数式表示)

(2)若点P在的角平分线上，求t的值；

(3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值.

五、新定义三角形

17.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”.

(1)如图，在△力8C中，AB=AC=ylStBC=2.求证：△A8C是“梦想三角形，，.

(2)在长△ABC中,4c=90。，AC=6,若△是“梦想三角形”,求BC的长.

18.定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等

腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等.那么这条线段称为原三角形的“和谐分

割线”，例如：如图1,等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线

图1图2图3

(1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是命题；(填“真''或“假”〉

(2)如图2,在RSABC中，"=9。°,=30。，AC=yj3f试探索Rt/kABC是否存在“和谐

分割线”？若存在，求出“和谐分割线''的长度；若不存在，请说明理由；

(3)如图3,在△4BC中，4=42。，若线段CD是△从口。的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三

角形，求出所有符合条件的乙8的度数.

19.根据以下素材，探索解决问题.

如何作出“倍角三角形

如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三

素材

角形”

问题解决

如图1,△48C中，AB=AC,44=36。，请将△/WC分成两个小三角形，使得其

中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数.

A

A

项目操作

图1

项目探索若△A8C是倍角三角形，LA>LB>ZC,£8=30。，AC=4呢,求△A8C面积.

如图2,△力8c的外角平分线40与C8的延长线相交于点0,点E在C4延长线上，若

AE=ABfAB+AC=BDf请你找出图中的倍角三角形，并进行证明.

E

项目拓展

DBc

图2

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

28

3.【答案】3

4.【答案】3

5.【答案】证明：①•・•四边形ABCD为矩形

・•・4A=4D=90。，AB=CD=4,AD=BC=3

由翻折可得：zA=zE=ziD=90o

VOD=OE,zDOP=zEOG

.,.△PDO=AGEO

ADP=EG

@VAPDO=AGEO

・・・OG=OP

VOD=OE

，DG=PE=PA

设AP=x,则PD=EG=3-x,DG=AP=x

:.BG=BE-EG=1+x,CG=DC-DG=4-x

在RtABCG中，BC2+CG2=BG2

即32+(4-x)2=(l+x)2

解得：x=2.4

，AP=2.4

6.【答案】(1)解：・.ZCB=90。，,.・BC=4,AC=3f

22

;.45=^C+5C=5>

・.・C8'1AB,

AC-BCAB-CE

・・.F=F,

.・.CE=2.4

(2)解：根据翻折可得BC=BC,BD=B'D,当△力B'C为等腰直角三角形时,

如图，当点「在4c的右侧时,

贝小4c2=AB7+CB?=2CB，?^AC?十AB7=CB'?,

;tAC=也B,C=yl2BC=4隹或4c=2BC=\BC=2^.

当点炉在4。的左侧时，

222，222，2

IJ1IJ.4C=AB'+CB=2CB^AC+AB=CBt

(2,12

.・.AC=h2BC==2、历或=^.BC=y^BC=4、2

综上所述，4,=2、2或甸2

(3)解：如图，当时，过点C作则ZHCO=/HOC=4S。,

0<^£><0.8

：.HD=CH=24,

I.HB=^BC2-CH2=(42-2.42=3.2,

,-.BD=3.2-2.4=0.8,

.••当0cBOV0.8时，△B'DE为钝角三角形.

如图，当时，△EDB’是直角三角形,

B'

A

3b^x

C4B

(3.2-x)2+1.62=/

x=2

则CE=2.4,~^BC2—CE2=^42—2.42=3.2^BE=4—2.4=1.6,

设BO=x,则8。=x,EO=3.2-%

;,x2=(3.2-x)2+1.62,

解得：％=2,即8。=2；

如图.当8D=3.2时，点°、E直合，翻折后8’、D、E不能构成二角形，即△EDB,不存在.

"。二3.2

三角形不存在

如图，当80=4时，BD=BC=BC=BD=4,

“BCD=乙BDC=乙BCD=/.BCD,

・・・C8’|M8,不存在点E,交点E不存在,

AB〃B，C,BD=4

△BED不存在

在此之间，△©DE为钝角三角形，即2VBOV3.2或3.2VBDV4.

、、/

如图，当点D运动到点A时，30的长为5,aEOS为钝角三角形.

・・.△E08'为钝角三角形时，8。长度的取值范围为0VBDV0.8或2<BD<3.2或3.2V80<4或

4<BD<5

7.【答案】(1)5

(2)①证明：•・•△4°8=90。

•••乙ABO+Z.BAO=90°

YD为斜边A8中点，

：.0D=BD=ADt

;,LDOB=Z.DBO.

,:乙CBO=iBA。,

"OEC=乙DOB+Z.CBO=乙DBO+乙BAO=90°,

即OOJ.8C：

②解：由(1)知，0D=BD=5；

设0E=x,贝ijDE=5-x；

由①知，0D1BCt

由勾股定理得：B^2=BD2-DE2=52-(5-X)2,BE2=OB2-OE2=62-X2,

/.52-(5-X)2=62-X2,

18

x=---

解得：5,

c_ln/7oc._l1824_216

：^BOE-^E-BE=-K—X—=—

(3)解：当/OIIOA时，如图，则乙4'DC=Z4C。,

由折叠知,^ADC=Z-ADCf

;,LADC=LACD,

：,AC=AD=5.

则乙。瓦4=乙BOA=90°.

1

0D=AD=-AB=5

•・•2,

.AE=OE=^OA=4

由勾股定理得：OE=｛标二店=3；

由折叠知，AD=AD=5,AC=ACf

,\AE=AD-DE=2.

设AC=4C=%贝ijCE=AE-AC=4一与

在中，由勾股定理得：22+(4-X)2=X2,

_5

解得："=2,

AC=1

5

综上，4c的长度为5或2

8.【答案】(1)解：根据勾股定理，可得：ACf%82—BC2=、仁守=4,

由折叠性质知；DP垂直平分AB,

.・.AP=BP=t,CP=4-t,

在直角三角形BCP中：BP2-CP:=BC2,

At2-(4-t)2=32,

25

图1

(2)解：存在，△A8P为等腰三角形分三种情况：①当AP=AB=5时，t=5；

25

②当PA=PB时，由(1)知：t=8；

③当AB=BP时：AP=2AC=8

At=8,

25

综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或9或8；

(3)解：分成两种情况：①当点P在线段AC上时，如图2,由折叠性质知:

PC=PC\ZACT=ZACB=9O°,BC,=BC=3,

VAP=t,

APC=PC,=4-t,BC'=BC=3,

・・・AC=5-3=2,

在直角三角形APC'中：AP2-PC，2=AC，2,

At2-(4-t)2=22,

5

图2

②点P在AC的延长线上时：如图3,由折叠性质知：PC=PC,ArC=AC=4,A'B=AB=5,

VAP=t,

・•・PC=PC'=t-4,AC=AB+BC=5+3=8,

在直角三角形A'CP中：A'P2-PC2=AC2,

At2.(t.4)2=82,

解得：t=10.

5

综上，t的值为5或10时，点C翻折后的对应点。‘恰好落在直线48上.

9.【答案】解：(1)•.•△8==ZJ1CZ),Z.B+Z.ACB+z.A=Z-ACB+Z.ACD4-Z,DCE=180°,

J.LACB+Z-A=Z.ACB+Z.DCE,

.•.乙4=4DCE,

在△ABC和ZkCED中

/乙4=Z.DCE

)乙B=£E

\AC=CD

三

/.△ABC△CED(AAS)t

,\AB=CE=S,BC=ED=4,

.・.BE=BC+CE=12.

(2)延长BC,作乙OFC=60。，过点D作。，工BC于H,如图所示：

图2

•••△4CD是等边三角形，

：,LACD=60°=乙ABC=Z.DFC,AC=CD,

.•.乙AC8+Z.BAC=LACB+乙FCD=120°,

：,LBAC=LFCD,

在AABC和ZkCFD中

/BAC=乙FCD

乙ABC=4DFC

AC=CD

.・.AABC^△CFD(AAS),

・,.BC=F0=6,

V^DHF=90°zDFC=60°,

HF=1DF=3

J2,

...DH=^DF2-HF2=^62-32=3强

.S△BCD=]BC,DH=2x6X=9#.

(3)分别过点A、B作4M_LCD,BNJ.CD,垂足分别为M、N,如图所示:

\-LABC=Z.CAB=乙ADC=45°,

.・.△ACB,△4Mo都为等腰直角三角形，

AC=CB,AM=DM/ACB=90°,

:•△AC。面积为21且CO的长为8,

…2x2121…

：.84,

CM=CD-DM=8-=¥

44,

•JLACM+Z.BCN=AACM+Z.CAM=90°,

工人BCN=^CAM,

在AACM和^CBN中

乙CAM=乙BCN

Z.AMC=Z.CNB

AC=BC

.・.△ACM二△CBN(AAS),

AM=CN=—,CM=BN=—

44,

22222

BC=BN+NC=(^)+(^)=S^BCD=^CDBN=^X8X^.=11

SXACB=^BCAC=^BC2=瑞

s_Q.._281_617

)四边形力8C0-3a/ICB十3△4C。一石石"十Z1一万石"

s-cc_61711_441

.〉^ABD~)四边形)△BCD~■—11--77~

•••

10.【答案】(1)由题意可得：PB=PB.LPBP=60°,

是等边三角形，

•••AB=BC/ABC=60°,

LABC=乙PBP,

•.LABP=Z.CBP\

在△4P8和△CP8中，

AB=BC

/-ABP=ACBP

PB=PB9

•••△APB三△CPB(SAS),

(2)(1)VPB=PB.Z.PBP=60°,

•MBPP'是等边三角形，

:•乙BPC=LBP'P=60。，

由(1)知：ABAPedBCP',

•••乙CP'B=^APB=130°,

LCPP=130°-60°=70°,

・•・ACPP为等腰三角形，

PC=PP'或PC=PC或PP'=CP：

当PC=pp'时，Z-PCP=Z.CPP=70°,

ALCPP=180°-70°-70°=40°,

•••LCPB=40°+60°=100°.

当PC=PC时，Z.CPP=Z.CPP=70°,

LCPB=60°+70°=130°.

1800-70°

Z-CPP=乙PCP'==55。

当PP'=CP'时,~17

.••乙。尸8=55。+60°=115。♦.

综上，当△CP'P为等腰三角形时，乙CP8的度数为100。或130。或115。；

②图+1

1L【答案】(1)3

(2)12

12.【答案】

13.【答案】24+9G

14.【答案】（1）12；

（2）解：如图1,过点B作BD1.4C于点D,

图1

'0'S△力BC=2AB,BC=—/IC,BD

ccAB-BC5x1260

AC1313,

60

•••斜边4c上的高线长为

13_26

(3)①3£-13,,②£=可

(4)解：•・•是以4B为一腰的等腰三角形，

，分以下两种情况：

①如图，当=40=5时，^CP=AC-AP=13-5=8,

图3

CP8

.*.t=—=—

33.*

②如图，当力8=80=5时，过点8作80J.4CF点。,

图4

由(2)知13,

•••AD=^AB2-BD2=忸一偿＞=登

JLOJLD

•:AR=RP,BD±ACt

AP=2AD=

1J,

CP=AC-AP=13-52=111

CP119

8119

综上所述，△P4B是以/IB为一燃的等腰三角形时t的值为W或利.

15.【答案】（1）解：出发2秒后，AP=1x2=2cm,BQ=2x2=4cm,

所以8P=AB-AP=8-2=6cm.

因为乙8=90°,根据勾股定理，PQ=廊2+BQ?=忖+42=V52=2yil3cm

（2）解：设从出发t秒钟后，AP08第一次能形成等腰三角形.

此打BP=8BQ=2t.

=8

当BP=8Q时，8-t=2t,解得t一3秒.

（3）解：①当CQ=BQ时（图1）,则“="BQ,

.♦•乙CBQ+/ABQ=90。，44+乙C=90。，AC=^BC2+AB2=^'6+82=10cm,

LA=ZJ1BQ,

・・.BQ=4Q,

:.CQ=AQ=5cm,

;,BC+CQ=11cm,

./=11+2=5.5秒，

②当CQ=8c时（如图2）,则BC+CQ=12cm,

③当BC=BQ时（如图3）,过B点作BE1"C于点E,

E

Q

B'A

“ABBC6x824

BE=----------=--------=——cm,

则AC105'

所以但麻G=18

~5

故CQ=2CE=7.2cm,

所以BC+CQ=13.2cm,

•••t=13.2+2=6.6秒,

由上可知，当£为53秒或6秒或6.6秒时，△8CQ为等腰三角形.

16.【答案】(1)21

5

(2)4

255

(3)£的值为正或2或4

17.【答案】(1)证明：如图，过点A作力0,8C于点。，

-AB=AC,ADIBC,BC=2,

“D是BC边上的中线，BD=；BC=：X2=1

乂•.•AB=AC=衽,

AD2222

由勾股定理得：=\^B-BD=X'Q5)-1=2,

：.AD=BC,

••・△ABC是“梦想三角形，，；

(2)解：如图，若是•，梦想三角形，，,

A

;直角三角形斜边中线等于斜边一半，

・•・只能是宜角边的中线等于对应的宜角边,

有以下两种情况：

①当4c边上的中线BD=4C=6时，C°=24C=2X6

此时，BC=[BD,2—CD?=、辰―二3、3,

CE=—RC

②当BC边上的中线4E=8c时，-2

62=8c2_侬邛

222

此时,AC=AE-CEf即

解得：BC=4平（负数值舍去）,

综上所述，BC=3«3或8C=4、8.

18.【答