苏科八年级数学上册 第3章《 勾股定理》单元测试卷【含答案】

苏科新版八年级上册数学第3章《勾股定理》单元测试卷

一.选择题

1.直角三角形两条直角边的长分别为3和4,则斜边长为（）

A.4B.5C.6D.10

2.一个三角形三个内角之比为1：2：1,其相对应三边之比为（）

A.1：2：1B.I：V2：1C.1：4：1D.12：1：2

3.已知四个三角形分别满足下列条件：

①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为

7,24,25；④三边之比为5：12：13.

其中能判定是直角三角形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.下列各组数是勾股数的是（）

A.3,4,5B.1.5,2,2.5C.32,42,52D.氏,也，仇

5.两只小穗鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm,另一只朝东面挖,

每分钟挖6c•〃?，10分钟之后两只小频鼠相距（）

A.100cmB.50cmC.140cmD.80。〃

6.在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°,则另一个锐角的度数是（）

A.25°B.55°C.65°D.75°

7.如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直

角三角形两条直角边长分别为。和从若必=8,大正方形的边长为5,则小正方形的边

2C.3D.4

8.如图，中N/C8=90°,CD//AB.NB=60°,则N1等于()

E

9.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）

A.。=2,力=3.c=4B.a=5,b=6,c=8

C.a=5,b=[2,c=\3D.a=7,6=15,c=12

10.如图，在△力8c中，乙4c8=90°,过点C作。8交乙48。的平分线于点。，若

)

C.40°D.50°

二.填空题

11.如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后

的图形，四边形/AC。与四边形小G〃均为正方形，点，是OE的中点，阴影部分的

面积为24,则力。的长为.

12.若一个三角形的三边之比为5：12：13,且周长为60c〃1，则它的面积为

cm2.

13.如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米.

14.如图，每个小正方形的边长为1,则/46c的度数为.

A

15.在中，NC=900,N4=65°,则N4=.

16.在Rt△48c中，ZC=90",ZA=709,则N4=.

17.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为度.

18.把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另

一个的直角顶点重合于点4另外三角板的锐角顶点&C,。在同一直线上，若AB=

V2,l/lijBD=.

19.已知直角三角形的直侑边长为小b,斜边长为c,将满足"+房=/的一组正整数称为

“勾股数组”，记为b,c),其中。W/)Vc.事实上，早在公元前十一世纪，中国

古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为(3,4,5).类似

的勾股数组还有很多….例如:(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),

(11,60,61),(13,84,85),如果q=2〃+l(〃为正整数)，那么6+c=

.(用含〃的代数式表示)

20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7C〃R8c,〃/,则以斜边为

边长的正方形的面积为cm2.

三.解答题

21.如图，ZACB=90°.CDLAB,垂足为O.求证：ZACD=ZB.

22.已知：如图，在RtAJBC中，NA4C=90°,。是8c延长线上一点，AD=AB,求证:

ZBAD=2ZACB.

（1）①请叙述勾股定理:

②勾股定理的证明，人们已经找到了40（）多种方法，请从卜.列几种常见的证明方法中

任选一种来证明该定理;（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、

等边三角形，这三个图形中面积关系满足S]+S2=S3的有个;

图7

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴

影部分）的面积分别为舟,S2,直角三角形面积为冬，请判断S2,S3的关系并证明;

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别

向外作正方形，重及这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的

“勾股树”的某部分图形中，设大正方形用的边长为定值机，四个小正方形

A,B,C,O的边长分别为a,b,c,d,已知/I=N2=N3=Na,则当Na变化时,

回答下列问题：(结果可用含〃?的式子表示)

(l)a2+^2+c2+t/2=；

②人与c的关系为—，。与d的关系为.

图8图9

26.如图，在中，AB=AC,NA4c=90°,0为8C的中点.

(1)写出点。到△RBC的三个顶点4、B、C的距离的关系(不要求证明)

(2)如果点M、N分别在线段48、力。上移动，在移动过程中保持力N=8M,请判断

△OMN的形状，请证明你的结论.

27.定义：如图，点,“、M把线段力8分割成4"、MN、NB,若以AM、MN、NB为边的

三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段48的勾股分割点.

(1)已知V、N把线段44分割成MMNB,若/必=2,MN=4,4N=2近，则

点”、N是线段44的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)已知点M、N是线段力夕的勾股分割点，且4”为直角边，若力4=12,4W=5,

求8N的长.

NB

参考答案与试题解析

一.选择题

1.解：由勾股定理得：斜边长为：732+42=5.

故选：B.

2.解：设三个角的度数分别为x,2x,x,

・•・根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°,45°,90°,

・•・这个三角形是等腰直角三角形，

・•・斜边等于直角边的的倍，

・•・相对应三边之比为1：V2：1.

故选：B.

3.解：①设两个较小的角为x,则2x+2x=18O°,则三角分别为45°,45°,90°,故

是直角三角形；

②设较小的角为3口则其于两角为4x,5x,则三个角分别为45°,60°,75°,故不

是直角三角形；

③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

④因为52+122=132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形.

所以有三个直角三角形，故选：C.

4.解：力、32+42=52,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数：

4、1.52+22=2.52,能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；

C、(32)2+(42)2K(52)2,不能构成直角三角形，故不是勾股数；

D、(,)2+(V3)2=(V5)2,不能构成直角三带形，不是正整数，故不是勾股

数.

故选：A.

5.解：两只露鼠10分钟所走的路程分别为80s?,60cm,

•・•正北方向和正东方向构成直角，

:.由勾股定理得46居W/=io(),

・••其距离为100cm.

故选：A.

6.解：•・•在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°,

・•・另一个锐角的度数是90°-25。=65".

故选：C.

7.解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

_1_1

•・•每一个直角三角形的面积为：2ab=2义8=4,

2

・・.4X2ab+(a-b)2=52,

:.Ca-b)2=25-16=9,

•・•正方形的边长。-力＞(),

*.a-b=3,

故选：C.

8.解：•••△ABC中，N*C5=90°,N8=60°,

AZA=30°,

\'CD//AB,

/.Z1=ZJ,

/.Zl=30°,

故选：A.

9.解：力、・・・22+32#42,・••不能构成直角三角形，故本选项不符合题意;

8、・.・52+62782,・••能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、•••52+122=132,・••能构成直角三角形，故本选项符合题意；

。、・・・72+122#152,・♦•不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：C.

1().解：:BD平分NABC,

:・NABD=NDBC=2G0,

AZJ5C=40°,

VZACB=90°,

AZJ=90°-N/80=90°-40°=50°,

•：CD//AB,

AZACD=ZA=50a,

故选：D.

二.填空题

11.解：由四边形48co与四边形£FG〃均为正方形，点〃是QE的中点，可■知

E、F、G分别为力尸、BG、C”的中点，

且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE,

.o_o_万'正方形EFGH

••'AAEH-、、4CGF-、△BFE-乙»

:'S阴影=3XS正方形EFGH=24,

:、S正方形EFGH=8,

：,E11=D1I=2V2,

:.DE=2EH=4版,

又NAED=90°,

・•.AD-7DE2+AE2=V（4T2）2+（2V2）2=^40=2A/1C.

故答案为：26.

12.解：设三边分别为5x,12x,13x,

贝ij5x+12x+13x=60,

/•x=2,

，三边分别为10cm»24cm,26cm,

Vl02+242=262,

・••三角形为直角三角形，

・・・S=10X24+2=12（W.

故答案为：120.

13.解：根据勾股定理，楼梯水平长度为J132-52=i2米，

则红地毯至少要12+5=17米长，

故答案为：17.

14.解：连接4C,

由勾股定理得：力。2=22+口=5,

8c2=22+p=5,

482=12+32=10,

・•・AC2+RC2=5+5=10=。42.

是等腰直角三角形，ZACB=90°,

/.ZABC=45°,

15.解：VZC=90°,N力=65°,

・•・NB=90°-65°=25°.

故答案为：25°.

16.解：VZC=/?/Z,ZA=70a,

・・・N8=90°-ZA=90a-70°=20°.

故答案为：20°.

17.解：设较小锐角为x度.

由题意：4x+x=90,

解得x=18,

故答案为18.

18.解：如图，过点4作47LL8C于足

在RtZV/AC中，NB=45°,

•••△力8。是等腰直角三角形，

_1

:.BC=^2AB=2,BF=AF=2BC=I,

•・♦两个同样大小的含45°角的三角尺，

:.AD=BC=2,

在中，根据勾股定理得，£>r=VAD2-AF'=V3,

BD=BF+DF=1+V3,

故答案为：I+d^.

BFD

19.解：方法1：观察“勾股数组”（a,b,c）,当。为奇数时，c=b+\,

又。=2〃+1（〃为正整数），

由勾股定理可得：/-从=（2〃+1）2,即（Hl）2-b2=（2〃+1）2,

解得b=2n2+2ib

.,.c=2〃2+2〃+l,

Z>+C=4/?2+4??+1,

故答案为：4/r+4/7+1.

方法2：观察''勾股数组"（mb,c）,当。为大于1的正奇数时，有如下规律:

32=4+5,52=12+13,72=24+25,…，a2=b+c,

.••当Q=2〃+1时，b+c=（2〃+1）2.

20.解：设直角三角形力8。的两直角边是。和人斜边是c,

则由么J股定理得：a2+b2=c2.

则分别以ah为边长的两个正方形的面积之和是a2^=lcm2^cm2=\5cm2,

以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2=\5cm2,

故答案为：15.

三.解答题

21.证明：'：CDLAB,//C4=90°,

ZJDC=90°=NACB.

VZJ+ZJCD+ZJDC=180°,N/+N8+N4C8=180",

；・NACD=NB.

22.证明：\'AD=AB,

：.4B=4D,

设NB=ND=a,

，/BAD=18（r-ZB-ZD=18O/'-2a=2（90、-a）,

*：ZBAC=90°,

AZACB=90°-ZB=90°-a,

:・NBAD=2NACB.

23.解：VZ5=30°,COJ_48于。，

；・/DCB=900-N8=60°.

•・•"平分N4C8,NACB=90°,

_1

AZECB=2ZJC5=45°,

:・/DCE=NDCB-NECB=60°-45°=15°；

(2)VZC£F=135°，NECB=2/ACB=45。,

：・/CEF+/ECB=l80°,

J.EF//BC.

24.解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

xXl+6=2x,

解得：x=6,

即当V、N运动6秒时，点N追上点M；

(2)①设点M、N运动，秒后，可得到等边三角形△/〃双,如图1,

AM=t,AN=6-2t,

VZJ=60°,当4M=/N时，是等边三角形

：・t=6-2t,

解得f=2,

・••点"、'运动2秒后，可得到等边三角形△4UN.

②当点N在上运动时，如图3,

图2

若/AMN=90°,,：BN=2t,AM=t,

:・AN=6-23

VZA=60°,

：.2AM=AN,BP2t=6-2t,

_3

解得/=2；

如图3,着NANM=90°,

12

解得尸5.

312

综上所述，当/为2或5s时，△4WN是直角三角形；

(3)当点M、N在8C边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形,

由(1)知6秒时M、N两点重合，恰好在。处，

如图4,假设△/M/N是等腰三角形，

:./AMN=4ANM,

・•・ZAMC=/ANB,

,：AB=BC=AC.

，△力圆是等边三角形,

：.4C=/B,

在CM和△/BN中，

■:/AMC=/ANB,NC=/8,AC=AB,

:.△ACMQAABN(AAS),

:.CM=BN,

1-6=18-21,

解得f=8,符合题意.

所以假设成立，当运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形.

25.解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为小b,斜边为c,那么次+扇=°2.

(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.)

②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方

形面积的和.

_1

即2=2^X4+(h-a)2,

化简得：

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的

和.

_1

22

即(a+6)=c+2abX4,

化简得：。2+接=/.

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

_1_1_1

2

即2(a+b)(。+6)=2^X2+2c,

化简得：〃2+房=/.

(2)①三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个：

故答案为3；

②结论：5|+S2=S3.

VS1+52=2(2)。2(2)2+53-2(2)2,

_1

2

：.