椭圆的简单几何性质 专项练习

3.1.2椭圆的简单几何性质

一、必备知识基础

1.已知焦点在X轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是点则此椭圆的标准方程是（）

4+勺

C.-+匕=1

6428D9+9

2.椭圆？+2/之与2f犷M的关系为（）

A.有相同的长轴长与短轴长

B.有相同的焦距

C.有相同的焦点

D.有相同的离心率

3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半

轴长与短半轴长的乘积.若椭圆。的中心为原点,焦点£,£均在x轴上,面积为2V3n,

且短轴长为2V3,则。的标准方程为（）

222

A.二旷=1B.±+-=l

1243

%2y2%2丫2

C.-+匕=1D.-+匕=1

34163

4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准

方程是（）

A,—+—=1B.二旷二1

434

C.D./X=l

24

22

5.以椭圆3+-=1的长轴端点作为短轴端点,且过点（W1）的椭圆的焦距是（）

94

A.16B.12

C.8D.6

22

6.[2023新高考I,5]设椭圆/六1(a)l),G彳+六1的离心率分别为&e2.若

包=曲&,则a=()

k.—B.V2

3

C.V3D.V6

22

7.(2025甘肃高二期末)已知曲线三十。三=1表示双曲线，则实数力的取值范围是

2m~3m~5

()

A.(|,5)B.(5,+2

C.(一干|)D.(-3,|)U(5,+2

22

8.(2025甘肃庆阳高二阶段性检测)若双曲线5=1的右支上一点夕到右焦点的距离

911

为9,则P到左焦点的距离为()

A.3B.12

C.15D.3或15

9.已知椭圆。的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴，。的离心率为右且点月(1,1)到

。的一个焦点的距离为同,求。的标准方程.

二、关键能力提升

10.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近

似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为

20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为（）

A.30cmB.20cm

C.10cmD.10V3cm

11.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦

点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是（）

/222

A.—+匕V=1B.—x+匕v=1

8435

2222

C.x-+匕v=1D.-x+匕v=1

6269

22

12.已知椭圆q+2=1（a»>0）的左、右焦点分别为艮（-c,0）,FAc,0）,点夕在椭圆上，

a/

且/冏£=30°,N阳£40°,则椭圆的离心率等于（）

A.V2-1B.V3-1

13.如图,椭圆的中心在原点0,顶点是4,4,8,&焦点为凡凡延长M与44交于P

点，若/“为2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）

A.（0,宇B.（筌1）

C.（0,学）D.（萼,1）

14.(多选题)若椭圆上存在点已使得点月到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1,则称该

椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()

22

A./-+匕v=1B.%-2+匕V=1

161589

22

C./-+匕v=1D./-+匕v=1

25213336

22

15.如图，椭圆三+2=19乂刈的左、右焦点分别为凡凡过椭圆上的点夕作y轴的

a1

垂线,垂足为Q,若四边形££网为菱形,则该椭圆的离心率为.

16.已知椭圆£的中心为原点。，两个焦点分别为N(T,O),8(1,0),一个顶点为〃(2,0).

⑴求椭圆£的标准方程；

⑵对于x轴上的点Pit,0),椭圆£上存在点M,使得MPVMH,求实数t的取值范围.

三、学科素养创新

17.如图,凡£分别是椭圆的左、右焦点,点月是以££为直径的圆与椭圆在第一象限内

的一个交点,延长用与椭圆交于点a若/郎々/班/，则直线阳的斜率为（）

A.—2B.-1C.-iD.1

2

参考答案

1.A由题意知2a眼解得a4

又冶，即：=I，解得。=3.

444

所以lj=a-c^l.

22

又椭圆的焦点在X轴上，所以椭圆的标准方程为孑十一=1.

167

故选A.

2_

2.D椭圆f+2/之可化为三+7=1,由此可得长轴长为2V2,短轴长为2,焦距为2,离心

率为今且焦点在x轴上;可化为1/I,由此可得长轴长为2,短轴长为鱼,焦

2

距为鱼,离心率为今且焦点在y轴上.可得A,B,C不正确,D正确.故选D.

勘=咨=2,

3.B由题意可得2匕=2卜II

22

因为椭圆。的焦点在X轴上，所以。的标准方程为早+-=1.故选B.

43

22

4.A根据题意,设椭圆的标准方程为今+(aMX),若右焦点到短轴端点的距离为

azbz

2,则D,即aM,则a2

又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=l,则A2=a2-cM-l=3.

22

故椭圆的标准方程为+号=1.故选A.

4D

222

5.D因为椭圆3+-=1的长轴端点为(0,±3),所以可设所求的椭圆的标准方程为今+

94az

^=1.

9

因为椭圆经过点1,1),所以与+衿,解得a?=18,则c=3.

az9

因此,所求椭圆的焦距为6.故选D.

2______________

6.A由题意,在G：管中，a>l,Z?-l,c=\/a2-b2=Va2-1,

CVa^-l

2_________

在Cz：—+y=\,中，a=2,Z?-l,c=>Ja2-b2=V3,

4

V3

・・。2==

a21

今英?a=gx-,解得a

2a吗3

故选A.

7.A解析由题意知，(2必-3)(r甘)。解得|切＜5,所以实数勿的取值范围是(|,5).故选

A.

22

8.C解析因为双曲线方程为［一三二1,所以a?对则a=3.

911

设双曲线的左、右焦点分别为七七

22

又点夕在双曲线卷一±=1的右支上，且/阳/玛

所以/历/~/m/?a=6,则/阳/可4=15.

故选C.

9.解①当焦点厂在x轴上时,设F(m,0),则/必7=J(m-1)2+(0-1)2=V10,

解得mN或m=-2,则cN或c=2.

当cN时，由£=得a阳则84pM8,止匕时。的标准方程为三+詈1;

a26448

当cC时，由£=得aN时,则外a2p2=12,此时,。的标准方程为1+詈L

a21612

②当焦点厂在y轴上时，设F(0,血，则［PF［=\(0-1)2+(m-1)2=V10,

解得片4或勿=-2,则或c=2.

当cN时，由£=得a阳则方4P248,止匕时，。的标准方程为1+;

a26448

当ct时，由£=得aN,则毋4P2:12,止匕时。的标准方程为片+-=1.

a21612

综上,。的标准方程为"+或蔡+^=1或k+/1或工+^=1.

10.B设小椭圆的长半轴长为a小.

因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以为=等，

所以小椭圆的长轴长为20cm.故选B.

11.A因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，所以26?c,即b=c.

A中，因为a2=8,所以c=a2-Z?M,故b=c\

B中，因为a?%，8=3,所以c=a2-Z72^^3;

C中，因为a=6,所以c=a2-6M^2;

D中，因为4对8=6,所以444=326.

故选A.

12.B,:/PFE%0°,/PBF\$0°JRF/Cc,

△阳月是直角三角形，/空/=c,/阳/Sc.

•••由椭圆的定义可得/阳"/空/力a,

.•.居y吟=言=V3-1,故选B.

13.D因为N4出为钝角，所以用瓦•瓦瓦<0,

2

即(-<?,-Z?),(a,-Z?)<0,整理可得Z?<ac=>a~c-ac<Of

可得/加-1%,解得e弯或

又e©(0,1),所以等<e。故选D.

14.BC假设椭圆上存在点己使得/历/?/PF2/,则

/必l+lPF2/?/PF2/+/PF2/=3/阳/与a,

即/坐营,/阳/号.

因为//吗/》a-c,所以年》a-c,即aW3c.

经检验,A,D不满足要求,B,C满足要求.故选BC.

15.亨根据题意可得/0£/=/££/=/9/=。.

在直角三角形鲂。中，因为/仍/tc,出。/=6

所以N/OWO°,

所以/杼;/与X2cXcos30°之/c,所以/郎/〃咫/与/c+2cta,

所以6二=:=且.

aV3+12

16.解⑴由题意可得，c=l,a2：,b=V3.

22

•••所求椭圆£的