浙江省金华十校2024-2025学年高一年级下册期末调研考试数学试题（含答案解析）

浙江省金华十校2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合力={f,0,2,4,6},8={x0<xW4},则4()

A.{f,0,2,4}B.{0,2,4}C.{2,4}D.(0,4]

2.已知复数z=i(2-i),则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某次测量中得到的总样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若8样

本数据恰好是4样本数据都加2后所得，则力、4两样本的下列数字特征对应相同的是()

A.众数B.平均数C.中位数D.方差

4.已知a,4表示两个不同的平面，/〃为平面a内的一条直线，则是"?的•：)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设样本空间Q=含有等可能的样本点，且力二;伍,e},C={a.d],则

P(ABQ=()

11八11

A.-B.—C.-D.—

>4X1A

6.以下说法正确的是()

A.a2>a+\B.tr<a-\C.sin1-cosl<—D.sin1-cos1<

42

7.如图是某函数/(x)的部分图象，则该函数最有可能的解析式是()

%

I\t、

-2TT\y°\2

.sinJ.

A./(x)=------B..Ax)=sinx+x

Y

C.j[x)=x.cos.vD../(x)=sinx+sin2x

8.如图，已知正方体力8CD一小4GR的棱长为1,点P是上底面力产内的一个动点.设

试卷第I页，共4页

平面力。2与平面3c尸的夹角为a,平面彳8P与平面CO尸的夹角为。，若a之/3,则下图中

阴影部分表示P点轨迹的是()

二、多选题

9.已知点力则以下说法正确的是()

A.\OA\=4B.(OA-OB)±(OA+OB)

C.0力.=2JiD.'6A在6T上的投影向量是

\

10.已知事件48,且尸。)=0.4/e)=0.5,贝IJ()

A.事件A与事件8互为对立事件

B.若事件4与事件6互斥，则尸。1①)=0.9

C.若事件力与事件4互斥，则“48)=0.2

D.若尸网=0.3,则事件4与事件6相互独立

11.若球。的半径为2,,48为直径，0/中点为P,则下列说法正确的是()

试卷第2页，共4页

A.球面上任意一点到户距离的最大值为3

B.过尸作球。的截面，则截面面积的最小值是4兀

C.若某正方体的外接球是球0,则点。到该正方体各面距离的最大值是

D.若某正四面体的外接球是球。，则点。在该正内面体上的轨迹长度是8国

a

三、填空题

12.计算：］gg+21g2=.

11

13.已知甲，乙两个投篮命中率分别是③，2，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则

恰好有一个人命中的概率为.

14.已知函数/'(、)=12-4"4卜在(0,4)上恰有2个零点，则a的取值范

围是___________.

四、解答题

15.2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点.为了提升人们体重管

理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识''宣传活动.举办了“体重管理”

知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(成绩均为不低于40分

的整数)进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，得到如图所示的频率分布直方图.

八频率/组距

a.......................—

0.025----------------------------

0.020------------------

0.010--------------------------------

0.005-1-

。“405060708090•数

(1)求图中a的值与该样本数据的第60百分位数：

(2)根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上.

16.已知二次函数/(x)=ad・(2。+l)x+2.

(1)若“=1,求/(x)>0的解集；

试卷第3页，共4页

《浙江省金华十校2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CADABDDBBCDBD

题号11

答案ACD

I.C

【分析】由交集的概念可得结果

【详解】由题意可得月n8二{2,4}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数乘法运算化简，结合复数的几何意义幽定z在复平面内对应的点的坐标，

由此可得结论.

［详解】因为z=i(2-i)=1+2i,

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),

故复数z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

3.D

【解析】利用平均值和方差的定义和公式，即得解.

【详解】设样本力的平均值为:，方差为。(x),

则样本8的平均值为f+2,

D(x+2)=D(x),样本4B的方差相同.

故选：

【点睛】本题考查了样本的平均数和方差，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础

断

4.A

【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.

【详解】因为相若a//6,则由线面平行的性质可知〃故"or//。“是“〃邛”的

充分条件，

设an6=〃，mIa,m/,n,显然〃「。，从而有成立，但此时a,B不平行.

故选：A.

答案第1页，共14页

5.B

【分析】根据题意可得〃(。)二4,n(ABC)=1,利用古典概型概率公式即可求解.

【详解】因为样本空间C={。,洋,A={a,力,8={a,c},C={a,d},

/、/、八n(ABC)1

则〃(Q)=4,〃(力BC)=1,所以P(48C)=〃

故选：B.

6.D

【分析】举例说明判断AB；利用二倍角的正弦及正弦函数单调性比较判断C；利用辅助角

公式，结合5亩/<耳0</<；域解判断口.

【详解】对于AB,取a=I,a2=1<2=6r+1,a2=I>0=a-1»AB错误；

对于C,sin1-cos1=—sin2,而:<2<勺，sin2>sin—=—»sinIcosI>—»C错误；

对于D,单位圆。交x轴正半轴于4,点尸在圆0上，且上力OP=xe(0,£),尸朋_1_。4于"，

2

1,.1,

则二sinx,劣弧4P长为x,由Sa/op<S均形4“，--1-sm^<--1x,因此sinx<x,

sinl-cosl=V2sin(l--)<^(l--)<1.42x(l-i)<l,42x(1-3.144-4)=0.3053<-,I：正确.

444，

故选：D

7.D

【分析】A中函数定义域不符合图象排除：B中函数为增函数不符合图象排除：C中函数的

正负不符合图象排除.

【详解】对于A,函数/。)=侬的定义域为{xxW0|}，不符合图象，排除A；

Y

对于B,.©)=sinx+x,#Q)=COSX+130,火x)在R上为增函数，不符合图象，排除日

对于C,当xw[0,；]时，f(x}=x.cosx>0,当一番时，义x)=x・cosx<0,不符合

答案第2页，共14页

图象，排除c.

故选：D

8.B

【分析】根据线面垂直，结合面面角的定义可得上二。，上BNC=B,进而根据全等,

将问题转化为在正方形内考虑anB，结合对称性以及平面几何的知识即可求解.

【详解】如图.取正方体为卜底面的各动中点及r.G.〃,

过P作PA/_L4自于作PNJ_SG于N,

则PM平面ABBA,PN''平面C88C,

AM,8ML平面力BB，I,则PM±AM,PM±BM,上4/8=a

同理可得上8NC=P.

由于DM=CN=JcC，AN=BN=西炉+用解,4"=BC,

因此MOV三故上BNC=上媪VR=B.

同理可得上4W8=上GM%=a,

因此只需要在正方形48GR内考虑a2S,即上GA〃）；取皿

等价于2到叱的距离比到EG的距离大，所以P在如图所示的阴影范围内.

故选：B.

9.BCD

【分析】先求出345八，再求出即可判断A：求出弄及山+3,，验证

是否等于0即可判断B；求出演.51的值，即可判断C：根据公式

OAOBOB_

,何下q求出。唯5A上的投影向量，即可判断D.

答案第3页，共14页

【详解】因为加石）：所以苏=（6必无=化6）.

因斗明=画+12=2：故A错误；

因31一0月=（6—1,1一方），OA+OB=（y/3+\,\+43）,

所以（oN-oA）（oN+oA）=（6—1）（占+1卜（1-G）|+£卜2+（2>o:

所以（04-OB）±（OA+04）,故B正确；

因为汤・。月二JJxl+lx®=2，L故C正确：

因40q=J%㈣2=2，

所以37在石％一-上的投影向量为

OAOB0B2后八百）A「百]（百3]

故D正确.

故选：BCD

10.BD

【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判

断作答.

【详解】由于对立事件的概率和为1,但尸Q）+。（8）=0.9W1,A错误：

若事件力与事件8互斥，则PQ_8）=pQ）+。（8）=0.9,B正确：

若事件力与事件4互斥，则4B不可能同时发生，即尸二0,C错误；

因为尸（彳）尸（月）=0.6、0.5=0.3=尸（1月），所以事件力与事件8相互独立，

则事件*与事件8相互独立，D正确.

故选：BD.

11.ACD

【分析】对于A,分析出球面上一点到球内一点的最大距离为R+。。即可判断：对于B,

分析出当OP垂直于截面时，截面的面积最小即可判断；对于C,设正方体的极长为。，分

析出?到该正方体各面距寓的最大值为q+0P即可判断：先求出正四面体的高人即球心O到

7

答案第4页，共14页

正四面体一个面的距离。。一再判断出点P与正四面体的每个面的交线是一个圆，并求出截

面圆的半径，即可求出点尸在该正四面体上的轨迹长度，即可判断.

【详解】

对于A,如图所示球。的半径&=2,48为直径，04中点为尸，则有0P=；CM=L

根据球的性质可知，球面上•点到球内•点的最大距离为球的半径

加上该点到球心的距离，即R+0P=2+1=3,故A正确；

对于R,过户作球。的截面,当。尸垂直于截面时,截面圆的半径厂最小.

由勾股定理可知厂==xll2-\2=A/3

所以截面面积的最小值为S=7rx(JJ)~=37t故B错误:

对于C,如图所示:

若正方体的外接球是球。，设正方体的棱长为。，

「4

则有2A=&：由R=2可知。二方.

a2

已知球心。到正方体各面的距离为］=耳，又因为。尸二1.

所以点p到该正方体各面距离的最大值是1+。尸=2%+1=32百+L

故C正确:

对于D,如图所示

答案第5页，共14页

A

若正四面体4-SCO的外接球是球O,取8c的中点为R,连接力凡。/?,

设力在底面的射影为则。在。R上，旦OQ=2DR=乙义&x=Sx，

设正四面体的棱长为K,

则正四面体的高力=/4Q2—OQ2=一与x=与

又因为外接球半径火=AO=-h=—X,

44

由R=2可垢=勺色，//=2^x^=-,00]=h-R=^-<\.

a?a?3

所以点p与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径

r=J"OO；¥周长为2W=2TTX半二与售

所以点P在该正四面体上的轨迹长度是还Sx4=）反，故D正确.

故选：ACD

12.1

【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.

【详解】解：lgg+21g2=lg5+lg22=|g.lg4=lg工4lglO=l

故答案为：1

【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属丁基础题.

13.—/0.5

?

【分析】恰好有一个人命中包含以下两种情况①甲投中，乙没投中②甲没投中，乙投中，由

此能求出恰好有一个人命中的概率.

【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为:和今,并且他们投篮互不影响.

现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况：

答案第6页，共14页

①甲投中，乙没投中，概率为：=

326

211

②甲没投中，乙投中，概率为：>

所以恰好有一个人命中的概率〃=0|+〃2=；+!=；

故答案为：y

兀

14.0<«<—

1?

【分析】令g(x)=--4x+。，h(x)=sin^aj-j:讨论在(0,4)上的零点个数，确定”

的取值范围，分析g(x)在(0,4)上的零点个数，最终确定/(Q在(0,4)上的零点个数.

【详解】设g(x)=x2-4x+o,x€(0,4),h(x)=s\n>0),xw(0,4)则

/W=g(x)h(x).

二次函数g(x)=f-4.T+a,x£((),4)图象开口向上，对称轴为直线x=2,

g(x)m=g(2)="4，g(0)=g(4)=a・

兀，71,兀、

因为x£(0,4),所以如一彳^-T^Ti-

3(33)

①当人(x)在(0,4)上没有零点时，4"^£°故0<a«2，

此时g(2)=。-44$4<0,g(0)=g(4)=a>0,

所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点，故/{x)在(0,4)上恰有2个零点.

②当〃(x)在(0,4)上有1个零点时，0<4。一色£兀，故

jfcHtg(2)=a-4<--4<0,g(0)=g(4)=o>0.

所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点，故/'(x)在(0,4)上有3个零点，不合题意.

③当力(x)在(0,4)上有2个零点时，兀<4〃-]£2兀故聆，

此时g(2)=a-4«^^-4<0,g(0)=g(4)=a>0.

所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点，故/(X)在(0,4)上有4个零点，不合题意.

综上得，

答案第7页，共14页

故答案为：0<QW2.

1?

235

15.(1)0.030：—；

(2)850

【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，求得4=0.030,设样本数据的第60百分位数为

x，根据百分位数的计算方法，列出方程，即可求解：

<2)根据题意，求得得分在60分以上的参赛选手所占的比例，进而求得1000个参赛选手

中得60分及以上的人数，得到答案.

【详解】(1)由频率分布直方图，可得10x(0.005+0.01+0.02+4+0.025+0.01)=1,

解得。=0.030,

可得数据在[40,50)的频率为0.05,数据在[40,60)的频率为0.15,数据在[40,70)的频率为0.35,

数据在[40,80)的频率为0.65,所以第60百分位数在[70,80),

设样本数据的第60百分位数为戈，可得。・70)x0.03=0.6-0.35,解得》=言，

所以第60百分位数为23专s；

(2)样本数据中，得分在60分及以上的参赛选手所占的比例为1-0.05-0.1=0.85,

所以可估计1000个参赛选手中得60分及以上的人数为10()()x0.85=85().

6(1)(-%l)i，(2,+«>)

(2)[1U

【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求解即可；

(2)用换元法令2,则｛/)=0在/£[4,8]上有解，求出方程的根，根据题意列式即可求

解.

【详解】(1)当1时，<x)=x2-3x+2=a-l)(x-2)>0,解得x<1或x>2,

故解集为(-8,1)(，(2,+°0)

<2)令/=2,,/为增函数，

因为x£[2,3],所以/£[4,8],

即/«=0在fW[4,8]上有解,

/(/)二(川一1)(/-2)=0,解律2=7或％=2:舍去)：

答案第8页，共14页

所以34,8],即可言.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)连接"，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.

(2)作Q/；工/1C于F,结合余弦定理求出。尸，再利用几何法求出线面角的正弦.

【详解】(1)连接8E,由4?=为AC中点，得8E_LlC,

由±480=90。，得BE=、AC=-y[^T^=26,BE2+DE2=\3=BD2,

22

因此BE_LED，而力CT!ED=E,AC,EDJ平面/CD,则BE_L平面AC。，

又"Eu5?面/8C,所以平面/8C_L平面力CO.

(2)在平面/CO内过点。作_Z/4C于广，连接就

由平面/13CJL平面4CO,平面48Cn平面4CO=4C,于是。户1平面48C,

上。8厂即为直线8。与平面48C所成角，在V4)E中，AE=2x/2,JD=VH,DE=>/5；

则C“心吟嘿产有

因此。b=4QsinN£UE二扬x4=百，sinZDBF=—=4^=—

V7DBJ1313

所以直线夕。与平面力所成角的正弦值为叵

1?

18•⑴

。小nu25an。373

(2)(1)DM=-------f=:(11)—!—

tanO+j34

【分析】(1)在△8CZ)中，利用余弦定理可得结果.

(2)G)由上=8得上儿仪)=」-氏在△/£)“中，利用正弦定理可得结果.

3

答案第9页，共14页

(ii)在中，利用正弦定理用tan。表示8N,结合三角形面积公式将问题转化为求

QM+&M的最大值即可得解.

【详解】(1)在△8CQ中，由余弦定理得,

BD2=CB2+CD2-2CB-CDcosC=622^-2x6x^3xy=1

所以8。=2丁3.

(2)(i)由(1)可知上OBC=上480=上C=?

n

所以上48c二三上B4C=N,故AD=、BD=C,AB=-BC=3,±ADB=-.

R2224

因为上。4必=6,所以上JMQ二名一夕

3

DMJ3

DMAD

在△/£>,“中，由正弦定理得,，即sin。加信.0

sin/DAMsinZAMD

VJsin0_5sin92Stan9

所以0河=

tan。■

sin\--G—cos^+-sin^

3,22

(ii)因为上,上MAN=JU)AM=6t月f以上氏1N二'一夕

)3A

又上=所以上/NB=§+。，

63

BN3

BNAB

在。8N中，由正弦定理得,sin(竽十夕

sin/RANsin/ANR

3a3也.

3sin^-0a

(6.-cost/--------sint/3-35an。

所以BN=「22

2n八GnJ•/>枢-tan0

sin——+9——cos。——sin。

I322

力8拢。3J33

设点力到8。的距离为d,则d二

~BD2？F-21

所以§△皿、二;MNd斗BD-DM-B2-DM-BN”

要求三角形面积的最小值，即求。M+8N的最大值,

,防4俎八uD\r273tan03-3\/3tan^®\2\[3

由题意得DM+BN=-------尸+—j=------------=5V3...............-

tanO+j3V3-tan3-tan'0

1273

因为0?:所以3Tan?0eQ，

63-tan26>

答案第10页，共14页

56-I2，w,故0M+8N的最大值为“3,

3-tan'6?|_2

所以△M4N面积的最小值为』x（26-J5）=侦

44

&加44

19.（1）W巫=3；（2：证明见解析；G）—

\ARCyis

【分析】（1）不妨设过V48C重心的直线/与8C平行，且与48,4C分别交于。，E两点,

jnAp2

由重心性质及平行线性质可得一="二三，结合面积公式求结论；

ARAC?

一4B一AC一

（2）根据向量线性运算法则可得力。=〃（1-⑼丝力。+，加'■4E,结合条件。，O,E三

ADAF.

点共线，证明结论；

（3）证明上SEC为二面角力・。£・8的平面角，过S点作”所在直线的垂线，垂足为L

求［二怨，设点=/元$0=），砺，结合（2：证明2+1=冬2,结合体积公式证明

SE-vxZ

4=L42x+y）：再结合基本不等式，二次函数性质求其最小值.

I?

【详解】（I）不妨设过V力8c重心的直线/与8c平行，且与。分别交于。，E两点,

/八,匚ccsinc。力

则生=四二，所用3=^—-A-D----A-E--*----A-

ARAC"S△次^-ABACsinA339

2

(2)证明：由AO=nAF=n(AB+BF)=nAB+nmBC

-nAB+nm(AC-AB)=zz(l-m)AB+nmAC

=n(\-m)—AD+nm—AE

AHAF

ARAC

因为£),O»E三点共线，所以〃(1—/w)---Fnm---=1.

AHAR

即（1—〃7）任+加生=」

4DAF”

（3）不妨设等腰直角V48C两条直角边长为2,则月£二J5,

答案第11页，共14页

因为上C=T，DE分别为的中点，

所以DE"BC,DE[SE,DE_1_CE,

所以上SEC为二面角/-QE-8的平面角，

记二面角力-QE-8的所成角为①则夕€y,y,

因为。£_1_5£,。七_1。后，5瓦。£匚平面5",SEC]CE=E,

所以QEJ_平面SCE,DEr平面BCED,

所以平面SCE_L平面5CEO,平面SCEI平面9CEO=CE,

过S点作CE所在直线的垂线，垂足为7,则ST=sinaCT=l-cos6

因为S7L平面SCE,所以S7j_平面8"。，BTL平由BCED,

所以ST-L4T

=-j22+(|-cos9)2+sin20=•、，6-2cos。，

由8M是上S8£的平分线，所以格=黑=展-2g色

MEBEV5

ME,ME+SMSE节,6+B2cos8

m以+1=--------==.=+1=---]=—

SMSMSMj6-2cos9#-2cos。