上海某中学2024-2025学年九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2024・2025学年上海交大二附中九年级（上）第一次月考数学试卷

一,选择题（每题3分，共18分）

1.（3分）二次函数），=/+4\+。的最小值是2,则。的值是（）

A.4B.5C.6D.7

2.（3分）抛物线y=（x-2尸+3可以由抛物线），=/平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

3.（3分）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形

4.（3分）菱形A8C。的边长为1,4E垂直平分4c于点E,则4。的长为（）

A.6B.—C.-D.以上均不对

22

5.（3分）下列命题中，正确的是（）

A.若NA=26。，ZB=92°,NO=62。，ZE=92°,则△ABC与△尸不相似

B.△A8C三分别为6、18、21,△£）£：/三边之比为7:2:6,则△A3C与△OE/不一定相似

C.三角形三边中垂线交点即三角形的重心

D.两个等腰三角形腰上的高和腰对■应成比例，则这两个三角形不一定相似

6.（3分）如图，正方形A8CO的边长为2,点石为/W的中点，点F为8C的中点，人/分别与OE,BD

相交于点M,N,则MN的长为（）

百

C.->75-1D.

3

二.填空题（每题3分，共36分）

7.（3分）方程％4-4=0的根是

8.（3分）当切=时，函数＞=（，〃+是二次函数.

9.（3分）已知直线），=履-1与工轴交于点（3,0）,当），＞0时，x的取值范围是.

10.（3分）如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线I上，且只有一个公共顶点A,则NZMC的

大小为度.

11.（3分）在平行四边形488中，N8:/A=6:3,那么/C=°.

12.（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形A4CO对角线的交点正好与坐标原点重合，且点月、8的

坐标分别为（2,2）、（-3,1）,则点。的坐标为—.

13.（3分）如图，菱形ABC7）的对角线AC、8。相交于点O,过点。作。〃_L人8于点，，连接，

若。4-6,“形488=48,则。〃的长为.

14.13分）一个等腰梯形的周长为50,如果它的中位线与腰长相等，它的高为10,那么这个梯形的面积

是—.

15.（3分）平行四边形邻边的长分别为5c/〃和6a〃，两条高的夹角是60。，则它的面积是an2.

16.（3分）二次函数），=加+队-c的图象如图所示，下列结论：①"＜0；②3a+c=0；③4〃c-/v0；

④当人＞7时，y随X的增大而减小.其中正确的编号有—.

17.（3分）已知梯形人68中，AI3//CD,AO=I3,6c=15,八6=3,且梯形的高为12,那么梯形的

面积为一.

18.（3分）在矩形A4c。中，AB=12,4c=8,点七是边A8的中点，联结DE,将△OAE沿直线QE翻

折，点A的对应点为点A,那么点4到直线8C的距离为

三.简答题（19〜22题每题7分，23题8分，24题10分，共46分）

19.（7分）用配方法把函数解析式y=-■!■/+%-4化为y=〃（x+〃?）2+k的形式，并写出函数的开口方向、

4

对称轴和顶点坐标.

20.（7分）解方程组：卜:一肛一2）：=0.

厂+2xy+y-=1

21.（7分）如图，在平行四边形A6CO中，点E、尸分别在边AB、CO上，且AE=2EB,CF=2FD,

联结EF.

（I）写出与。产相等的向量

(2)填空：AD+EB-EF=

（3）求作：入4+rE.（在原图上保留作图痕迹，不要求写作法）

22.（7分）如图，隧道的截面由抛物线A£D和矩形43CO构成，矩形的长3。为8〃z,宽A8为2/〃，以8c

所在的直线为x轴，线段8c的中垂线为），轴，建立平面直角坐标系.），轴是抛物线的对称轴，顶点E到

坐标原点。的距离为

（I）求抛物线的解析式；

（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高42%宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通

过计算说明你的结论.

23.(8分)已知：如图，在四边形A8CO中，AB//DC,对角浅AC、8。交于点O,过点C作CE1AB

交AB的延长线于点E,联结OC=OE.如果。8平分NAQC,求证：四边形A3CO是菱形.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系xQv中，直线/经过点M(3,0),且平行于y轴.给出如下定义：点尸(x,y)

先关于y轴对称得点再将点《关于直线/对称得点产，则称点P'是点夕关于)，轴和直线i的二次反射

点.

(I)己知4-4,0),8(-2,0),C(-3,l),则它们关于y轴和直线/的二次反射点4,夕，C的坐标分别

是—;

(2)若点。的坐标是5,0),其中a<0,点。关于)，轴和直线/的二次反射点是点。'，求线段。。的长；

(3)已知点E(4,0),点"(6,0),以线段E”为边在x轴上方作正方形EFG”，若点尸Q(a+l,l)关

于y轴和直•线/的二次反射点分别为广，Q',且线段PQ'与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围.

四.附加题(第25、26题5分，第27题10分，共20分):

25.（5分）已知实数。，b,C满足。+/?+C=10,且」一+」一+」一二匕，则」一+±+，

a-\-bb+cc+ci17b-¥cc+aa+b

的值是.

26.（5分）如图，在直角△ABC中，NC为直角，/A=30。，并且正方形。EFG和正方形GHMN各有三

个顶点（如图所示）落在△ABC的边上，那么髀上的值为—.

S四GHMN

27.（10分）如图所示，二次函数），=攵（X-1）2+2的图象与一次函数y=6-Z+2的图象交于4、B两点,

点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于。、。两点，其中攵＜0.

（I）求A、B两点的横坐标；

（2）若AQ4B是以OA为腰的等腰三角形，求大的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数3使得NOOC=2N8EC,若存在，求出k的

值；若不存在，说明理由.

参考答案

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案cDBADB

一,选择题（每题3分，共18分）

1.（3分）二次函数），=/+4x+。的最小值是2,则。的值是（）

A.4B.5C.6D.7

解：二次函数y=x2+4x+a可化为y=（x+2）2+«-4,

当*=-2时有最小值，

即）'鼓小但="4=2，

所以a=6.

故选：C.

2.（3分）抛物线y=（x-2尸+3可以由抛物线），=/平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

解：抛物线y=/向右平移2个单位可得到抛物线），=（x-2）2,

抛物线），=（x-2尸，再向上平移3个单位即可得到抛物线＞，=（/-2尸+3.

故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位.

故选：D.

3.（3分）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形

解：如图所示，

根据三角形中位线定理，EF=GH=-BD,FG=EH=-AC,

22

•.•A8CO为等腰梯形，/.AC=BD,

EF=GH=FG=EH,

/.EFGH为菱形.

4.（3分）菱形A5CO的边长为1,AE垂直平分4c于点E,则8。的长为（）

A.6B.C；D.以上均不对

四边形4BC。是菱形，

AB=BC,B。平分/ABC,AC1BD,

・"E垂直平分BC于E,

AB=AC,

\B=AC=BC,

「.△ABC是等边三角形，

/A8C=60。，

/ABD=NCBD=30。,

：.AO=-AB=-,B()=43A()=—,

222

BD=2B0=6

故选：A.

5.(3分)下列命题中，正确的是()

A.若NA=26。，ZB=92°,NO=62。，NE=92。，则△ABC与△。所不相似

B.△ABC三分别为6、18、21,△DE/三边之比为7:2:6,则△A8C与△DE/不一定相似

C.三角形三边中垂线交点即三角形的重心

D.两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形不一定相似

解：A..ZA=26°,NB=92。，

ZC=180°-26°-92°=62°,

「.△ABC与△。石尸相似，故本选项不符合题意；

B.•••△ABC三分别为6、18、21,

.•.△48。三边之比为6:18:21=2:6:7,

而△/）£：广三边之比为7:2:6,

则△48C与△OEF相似，故本选项不符合题意：

C.三角形三边中垂线交点即三角形的外心，故本选项不符合题意；

D.两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，

等腰三角形的形状还与顶角的大小有关，仅腰上的高和腰对应成比例，不能确定顶角相等，

二.这两个三角形不一定相似，故本选项符合题意.

故选：

6.（3分）如图，正方形A8CO的边长为2,点七为A8的中点，点b为8C的中点，A/分别与。E,BD

相交于点M,N,则MN的长为（）

B.2石C.|^-1D.当

解：正方形A8C。的边长为2,,点E为AB的中点，点尸为8c的中点,

如青，过点尸作4。的垂线交AO于点H,交OE于点G,

则A8="r=2,AB//HF,H,G分别是AO、QE的中点,

:.HG=-AE=-

22

VGF//AE，

/.△AEMs△FGM,

AEAM\2

"GF~~MF~l~3,

2

由勾股定理得，AF=y/22+l2=45,

一”2_26

..AM=—AF=---,

55

•・・BF//AD,

：.△ANDs△FNB,

BFFN1

「・---=----=一,

ADAN2

AKI226

33

LAMxw2有2645/5

:.MN=AN-AM=---------=----,

3515

故选：B.

二,填空题（每题3分，共36分）

7.（3分）方程％4-4=0的根是_工=&或x=_&_.

解:由题意，*/x4—4=0»

/.X2=2,

二.X=正或X=-y/2.

故答案为：x=6或.

8.（3分）当〃?=1时,函数y=（〃?+l）W”是二次函数.

解：根据题意得:/w2+1=2且,〃+1w0,

解得加=±1且”2w-1,

所以/〃=I.

故答案为：1.

9.（3分）己知直线丁=区-1与/轴交于点（3,0）,当），＞0时,x的取值范围是_x>3

解：•.•直线丁=履-1与x轴交于点（3,0）,

二.34一1=0,

解得A=L

3

/.y=—x-1,

3

当），>0时，-x-l>0,

■3

.v>3；

故答案为：x>3.

10.（3分）如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线I上，且只有一个公共顶点A,则/ZMC的

大小为18度.

解:由题意可得NA8C=90。，Z4C8=3600+5=72。，

则NBA。=90。-72。=18。，

故答案为：18.

II.(3分)在平行四边形A8CO中，NB:乙4=6:3,那么NC=6()°.

解：•••四边形4NCD是平行四边形，

BC//AD,ZC=ZA,

ZA+ZB=180°,

'：ZB:ZA=6:3,

:ZB=2NA,

/.ZA+2ZA=180°,

ZC-Z/A-60°,

故答案为：60.

12.（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形人BC。对角线的交点正好与坐标原点重合，且点A、B的

坐标分别为（2,2）、（-3,1）,则点。的坐标为_（3,-1）_.

解：••・平行四边形48C。对角线的交点正好与坐标原点重合,

・•・顶点D与顶点B关于坐标原点对称，

•/B(-3,1),

0(3,-1)>

13.（3分）如图，菱形48co的对角线AC、BD相交于点0,过点。作D”_L48于点，，连接。”，

若0A=6,S箜形.〃=48,则CH的长为4.

0A=0C=6,0B=0D,ACLBD,

..AC=12,

・,DHLAB,

ZBHD=90°,

OH=>BD,

2

菱形八AC。的面积=LAC4。=12•AO=4X,

22

/.BO=8,

0H=-BD=4；

2

故答案为：4.

14.（3分）一个等腰梯形的周长为5（）,如果它的中位线与腰长相等，它的高为10,那么这个梯形的面积

是125.

解：设中位线是x，则4x=50,

解得x=12.5,

那么这个梯形的面积=12.5x2x10+2=125.

故答案为：125.

6（3分）平行四边形邻边的长分别为5cm和6c〃?，两条高的夹角是60。，则它的面积是_15、行_cm2.

解:如图，CE、。尸是.ASC7）的两条高，AB=5cm,BC=6cm,ZECF=6On,

vCELAB,CFLAD,

:"BEC=ZAEC=Z.AFC=90°,

/A=360°-ZAEC-^AFC=AECF=120°,

BC3AD,

ZB=180°-ZA=60°,

...zLBCE=9U°-N4=30°,

BE——BC-3cm>

2

CE=VBC2-BE2=V62-32=3疯c〃?），

2

SABCD=/W•CE=5X36=15^3（cm），

故答案为：156.

16.（3分）二次函数'=*+版-c的图象如图所示，下列结论：①碇<0；②3〃+c=0；③4“°-/<0；

解：①•.抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，

.,.〃>（）,cv0,

ac<0,结论①正确；

②.抛物线对称轴为直线.1=1,

--±=1,

"2a

b=-2a,

・・•当x=-l时），>0,

（7-Z?+c>0,

:.a+2a+c>0f即3a+c>0,结论②错误；

③，抛物线与工轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,即4ac-b2<0,结论③正确；

④抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=l,

.•.当X<1时，），随X的增大而减小，结论④错误；

故答案为：①③.

17.（3分）已知梯形4BCO中，AB//CD,4。=13,8c=15,AB=3,且梯形的高为12,那么梯形的

面积为60或120.

解：如图所示，过点A作A广_LCO于点尸，过点B作BEICD于点、E,

•.•睇形A4CO中，AB//CD,

四边形A“£/3是矩形，

:.EF=AB=3,AF=BE=12,

：.CE=yjBC1-BE1=>/152-122=9,

DF=y/AD2-AF2=V132-122=5,

:.CD=CE+EF+DF=9+3+5=17,

_(^+CD)B£(3+17)x12

此时又=120；

KiABCD一22

如弱，过点A作A/J.CO于点尸，过点B作8E_LC。于点E,

•.•睇形A3CO中，AI3//CD,

二.四边形AF仍是矩形，

EF=AB=3,AF=BE=12,

:.CE=>!BC2-BE1=V152-122=9,

DF=JAD2-AF2=Vl32-122=5,

CD=CE+EF-DF=9+3-5=7,

此时与3=R*誓26。.

故答案为：60或120.

18.（3分）在矩形/WCO中，AA=12,BC=8,点七是边A8的中点，联结。E,将△D4E沿直线QE翻

折，点A的对应点为点A,那么点4到直线6c的距离为_鹿_.

解：联结4V交DE于点、G,作AF_L48于点/，A'H1BC于点H,则ZAFA1=ZA'FB=ZA'HB=90°,

•・•川边形ABC。是矩形，AB=\2,8c=8,点E是边的中点，

.,AD=BC=S,AE=BE=-AB=6,/OAE=/3=90。，

2

DE=y/AE2+AD2=762+82=10,

将△D4E沿直线OE翻折，点A的对应点为点4,

1.DE垂直平分/VT,SrDx/.t.=£=Srmx+£u=-2x6x8=24,

.../AGO=90°,S四边形皿任=万OE•=S.+S/M,=2s.=48,

-xlOA/\f=48,

2

解得"，=g,

."AA'+NOAG=90°,Z/1DE+ZD4G=90°,

/./LFAA!=^ADE，

V/AFA'=zLDAE,

△AEA's△DAE，

48

E4=A4^=T=24

AD~~DE~7O~25

昨以八巴8二四

252525

.4ATB=乙KHD=NA=90u,

.•・四边形/V尸8〃是矩形,

f=AB-*l2一翳二槃

•••点)至镇线时的距离为翳'

108

故答案为:

-2?

三,简答题(19〜22题每题7分，23题8分，24题10分，共46分)

19.(7分)用配方法把函数解析式丫=-1/+%-4化为)，=〃(1+〃?)2+攵的形式，并写出函数的开口方向、

4

对称轴和顶点坐标.

解：y=--X2+x-4=-

-4

a=—<0>

4

.•・函数图象的开口向下，对称轴是直线x=2、顶点坐标是(2,-3).

故答案为：y=-L(x-2>-3,开口向下，对称轴是直线x=2、顶点坐标是(2,-3).

4

x2-xy-2y2=0

20.（7分）解方程组：

x2+2xy+y2=\

x2-xy-2y2=0©

解：

x2+2xy+y2=1②

由①得(x+.v)(%-2.v)=0,

二.工+y=0或x-2y=0

由②得(x+.»=l，

.v+y=1或x+y=-1

x+y=0卜+尸°或后2y=0或x-2y=0

所以原方程组化为,或《

If=1U+)'=T[x+y=lx+y=—1

22

勺工2=--

所以原方程组的解为J■3

11

J1=3

3

21.（7分）如图，在平行四边形A8CO中，点E、尸分别在边AB、CD上，且AE2EB,CF=2FD,

联结EF.

(I)写出与。尸相等的向量EB

(2)填空：AD+EB-EF=

(3)求作：A4+/E.（在原图上保留作图痕迹，不要求写作法）

:.ABHCD,AB=CD,

AE=2EB,CF=2DF,

...DF=BE,

.•.与。尸相等的向量是E8.

故答案为：EB；

(2)连接CE.

四边形A8C。是平行四边形，

..AD//BC,AD=BC,

AD+EB=EC，

AD+EB-EF=-CE-EF=-CF=FC.

故答案为：FC；

（3）如图，AG即为所求.

22.（7分）如图，隧道的截面由抛物线和矩形ABCZ）构成，矩形的长8c为8根，宽AB为2m,以BC

所在的直线为x轴，线段8C的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.丁轴是抛物线的对称轴，顶点E到

坐标原点O的距高为6m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高42〃，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通

过计算说明你的结论.

解：（1）设抛物线的解析式为y=o?+/u-+c（awO）,

由对称轴是），轴得。=0,

EO=6,

・・c=6,

;矩形的长为8〃?，宽A8为2m，以BC所在的直线为x轴，线段的中垂线为），轴，建立平面直角

坐标系

.­.0（4,2）,

又抛物线经过点。（4,2）,

16“+6=2,

解得一L

4

所求抛物线的解析式为：），=-Ld+6.

4

（2）取工=±2.4,代入（1）所求得的解析式中，得

y=-—x（±2.4）2+6,

4

解得：y=4.56>4.2.

故这辆货运卡车能通过隧道.

23.（8分）已知：如图，在四边形48co中，AB//DC,对角线AC、8。交于点O,过点C作CEJ.AB

交AB的延长线于点E,联结OC=OE.如果。8平分/AQC,求证：四边形是菱形.

【解答】证明：•.在四边形4BCD中，AB//DC,对角线AC、BD交于点O,

?./ABO=ZCD0,

:CE工AB交AB的延长线于点E,

/AEC=90°,

OC=OE,

:.乙OCE=4OEC,

/OAE+ZOCE=90°,ZOEA-ZOEC=90°,

;"OAE=ZOEA,

OA=OE,

OA—OC，

在△AOB和△CO。中，

£AOB=NCOD

<Z.ABO=ZCDO，

OA=OC

.♦.△4O3=Z\COO(A4S),

OB=OD，

二.四边形A8CO是平行四边形，

vDB平分ZADC,

/ADB=/CDB,

./ABD=ZCDB,

/./ADB=NABD,

AB=AD，

二.四边形ABC。是菱形.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系戈0)，中，直线/经过点"(3,0),且平行于y轴.给出如下定义：点P{xyy)

先关于F轴对称得点4,再将点《关于直线/对称得点〃，则称点P'是点P关于)，轴和直线i的二次反射

点.

(I)已知4-4,0),8(-2,0),C(-3,l),则它们关于y轴和直线/的二次反射点A,夕，C的坐标分别

(2)若点。的坐标是(a,0),其中a<0,点。关于y轴和直线，的二次反射点是点少，求线段。。的长；

(3)已知点E(4,0),点尸(6,0),以线段E广为边在x轴上方作正方形EFG”，若点P(/l),Q(a+l,l)关

于>-轴和直线/的二次反射点分别为P,Q"且线段PQ'与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围.

5-I

4-

3-

2-

1Vf

II]III]III]I.

.5.4.3.2AO12345678x

-f

-2-

-3-

-4-

解：⑴vA(-4,0),

・••点A关于)，轴点的对称的坐标为(4,0),

(4,0)关于直线/对称得点4(2,0),

.•.点4-4,0)关于)，轴和直线/的二次反射点4(2,0)；

8(-2,0),

.•.点B关于)，轴点的对称的坐标为(2,0),

(2,0)关于直线I对称得点夕(4,0),

.•.点倒-2,0)关于)，轴和直线/的二次反射点夕(4,0)：

vC(-3J),

.••点C关于y轴点的对称的坐标为(3,1),

(3,1)关于直线/对称得点C'(3,13

.•.点。(-3,1)关于y轴和直线I的二次反射点C(3,l)；

故答案为：H(2,0),9(4,0),C(3,l)；

(2);点。的坐标是(40),a<0,

.•.点。关于y轴对称的点的坐标为(-“,())，

.•.(-〃,())关于直线1对称得点〃(6+“,())，

DDf=6+a-a=6.

(3)•,•点尸

.•.点P(a,l)关于y轴和直线/的二次反射点为产(6+a,l),

Q(a+1/)，

Q(a+1,1)关于y轴和直线/的二次反射点为0(7+a,l),

当P'Q'与EH有公共点时,

7+6/>4

6+a<4，

-3效b-2,

当产Q'与fG有公共点时，

6+a<6

7+〃26

啜h0,

—3xx'h—2或一1轰出0>

四,附加题（第25、26题5分，第27题10分，共20分）：

25.（5分）已知实数。，b,C满足。+方+c=10,且一!一+」一+二一二上，则‘一十〃一+」一

a+hh+cc+a17b+cc+cia+b

“89

的值是—.

~n~

【解答】解・・・a+〃+c=10,

a=10-(/?+<?),b=10-(Q+c),c=\0-(a+b),

b+cc+aa+b

10b+c10c+a10a+b

=---------1----------1----------

b+cb+cc+ac+aa+ba+b

10,10,10,

=-----1+------1+------1

b+cc+aa+b

101010)

=----+----+------3,

b+cc+aa+b

11114

,/---+----+----=—,

a+bb+cc+a17

原式二—x10—3=----3=—.

171717

…古89

故填：一•

17

26.（5分）如图，在直角△ABC中，NC为直角，44=30。，并且正方形OEFG和正方形GHMN各有三

个顶点（如图所示）落在△ABC的边上，那么6g的值为_上_.

S四GHMN13

解：由44=3()。可知8C:AC:48=I:JJ:2,

过N作NP_LAC于点P,

四边形G〃MN为正方形，

/GHM=90°,GH=MH,

:"MHC=NHGF=900-ZGHF,

在AFGH和ACHM中，

NGFH=/HCM=90。

<ZFGH=NMHC，

GH=MH

△FGH三△CHM(AAS),

同理可得aCHM=△PMN,

△FGH二△CHM二△PMN,

，设PN=CM=FH=x,PM=CH=GF=1,

：.BC