天津市红桥区2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

天津市红桥区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：___________考号：

一、单选题

I.复数l+i的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

2.复数z=(3+i)(l・4i),赃=()

A.-1+lliB.7+lli

C.-l-lliD.7-lli

3.复数2二的共枕复数是（）

1—?1

3.3.

A.一1B.-1C.-iD.i

5

、

4.设复数z满足（1-\):=242\,则团=(/

A.1B.也c.272D.2

5.已知4R=(1,2),~AC=（4,/M）,若彳右」_斤,则同=（）

A.2B.3C.5D.12

6.要得到函数y=sin2x的图象，只需将y=sin（2x-1）的图象（）

A.向左平移/个单位长度B.向右平移1个单位长度

C.向左平移三个单位长度D.向右平移三个单位长度

66

7.函数/（x）=sinxcosx-cos%的最大值为（）

A.如

B.1

「--+1

D.万

7

函数/（"=85（2不一：］的一个单调递减区间为（

8.)

\6）

'兀3兀）B.(0,7t)'n7c(n5吟

A.Ck12D.

9.设68是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）

A.a,0平行于同一条直线B.CL6平行于同一个平面

试卷第I页，共4页

C.a，8垂直于同一个平面D.。内有无数条直线与6平行

10.如图，卜列正方体中，历，N,P,。分别为所在楂的中点，则在这四个正方体中，直

二、填空题

2+4i

11.-----=

l-7i7

12.已知向量〃=(1,2),石=(3,x),且c/"，则6二

13.已知〃?，〃是两条不司的直线，叫尸是两个不同的平面，则下列命题正确的是.填

写序号.

①若mHa,n//a,则m/ln;

②若mA.a,a邛,则附侬

③若〃?_!_〃，nCZa,则mI«;

④若m1/?,mHa,则a_L£.

14.如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①力4//CQ;②EFilCD,

③CDA_CG,@AB±CG，其中结论正确的是.填写序号.

试卷第2页，共4页

EB

15.三棱锥4-4C。的4个顶点都在球。的表面上，己知△BCD是边长为.、门的等边三角形，

AB±平面5C£),AB=2，则球。的表面积为.

16.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可

近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4兀，体积为述刀，则将此圆锥展开，所得扇形的

圆心角为.

二、解答题

17.已知cosa=q,且Q是第四象限角.

(1)求sin2a和cos2a的值：

/\

(2：求tancz-y的值；

k4J

18.已知〃，b,c分别为锐角三角形力8c三个内角4凡。的对边，且Jic=2"inC.

⑴求4:

(2)若。=我，b=2t求c

2

⑶若cos8="求cos(28+力)的值.

19.如图，在棱长为1的正方体力8C。-mSG"中，E是棱。。的中点，F为GR的中点.

试卷第3页，共4页

《天津市红桥区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADCDCCACBD

I.A

【分析】根据复数的虚部定义直接判断即可.

【详解】因为复数1+i,根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1.

故选：A.

2.D

【分析】化简复数，即可得出结论.

【详解】由题意，

z=(3+i)(l-4i)=3-12i+i-4i2=3-lli-4x(-1)=7-lli,

故选：D.

3.C

【分析】利用复数的乘除运算求出工匚=1,结合共，厄复数的概念求出它的共挽复数即可.

【详解】由题意知，

互ij2+in+2i)=i

一l-2i(l-2i)(l+2i)*

所以复数的共短复数为z?-3

故选：C

4.D

【分析】根据复数的运算求得z,再求其模长即可.

【详解】因为二=迪=:延史0=—拉所以二|=>/17，=2.

I-i7

故选：D.

5.C

【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得机，再利用平面向量线性运算与模的坐标表

示即可求得结果.

【详解】因为4方二。,2)/「二(4*)，

所以1X4+2m=0,得/〃=-2,则就=(4,-2),

所以/?1二力1•酢=(3,-4),

答案第1页，共11页

故|前卜J9+16=5.

故选：C.

6.C

【分析】利用三角函数图象变换判断即可.

【详解】函数歹=sin2（x-J）的图象可由数J=sin2x的图象向右平移/个单位长度而得,

nn

所以函数y=sin2x的图象可由函数丁=sin（2x-¥）的图象向左平移，、单位长度而得.

彳n

故选：C

7.A

【分析】利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为/（工）=旦人+斗，

2I4；2

从而求解函数的最大值即叽

【详解】/(x)=sinxcosx+COS2A=:sin2x+

1+=—sin2;v+—cosZt+-

?9?

r1V2n1

亚cos2.t+—=——sin2xcos—十—cos2,xsin-+-

224242

T/\

>/2.（」1

2I4；2

因为xWR,所以Zr+工eR,

d

当lr+W=T+2E，AwZ时，/（巾乂得最大值，即/（'=①纪.

故选：A.

8.C

【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.

【详解】由2E<2x—4<2加+兀/wZ।+—<x<kn+—,keZ,

61717

的单调减区间为（加而+至）火

故f(x)+2,eZ.

I12\2

对比各选项，只有C符合.

故选：C.

9.B

【分析】利用选项中的条件，数形结合即可判断.

答案第2页，共11页

【详解】若a，6平行于同一条直线，则。与6的位置关系是平行或相交，故A选项错误:

若a,6平行于同一个平面，则。与6的位置关系是平行，故B正确:

/

若a,S垂直于同一个平面，则。与6的位置关系是平行或相交，故C选项错误;

若。内有无数条直线与。平行，则a与S的位置关系是平行或相交，故D选项错误:

故选：B.

10.D

【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断.

【详解】对于A,如图，PQ//CDJ/B//MN,M,N,P,Q四点洪面,A不是;

对于B,如图，MP//GH//EF//N。，M,N,P,Q四点、共面,B不是;

答案第3页，共II页

对于C,如图，MP//K3/NQ,四点共面，C不是:

对于D,如图，PQG平面A"。，NW平面MP。，MG平面MP0,M£直线P。,

则MN与尸。是异面直线，D是.

故选；D

68.

11•---+-1

【分析】利用复数的运算求解即可.

［详解】2141=(2+4i)Q+2i)=-6i8.=_6+8i

1许醉」＞2i(l-2i)(l+2i)555,

故答案为：一g+gi

12.(3,6)

【分析】由向量平行的充要条件可求得x，进而可得否的坐标.

【详解】由题意A=(1,2)3=(3/)，且c"b,

所以lxx-2x3=0,解得i=6,所以否二(3,6).

故答案为：(3,6).

答案第4页，共11页

13.④

【分析】利用空间中线线，线面，面面位置关系逐项判断即可.

【详解】对于①，若加/a,«//«,贝ij加/〃;或〃?，“异面或加，〃相交，故①错误;

对于②，若机_La,小人则〃?/“或〃。?，故②错误；

对于③，若/"_L〃，n(~a,则加_La;或加-a或〃？与a斜交，故③错误：

对于④，m//a,则存在平面。，使，“L(5且=/,则〃?/〃，

又m4,所以/_LS,又…,所以。，从，故④正确.

故答案为：④.

14.②@

【分析】画出正方体，由正方体的性质可得.

【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知力&CD相交，

EDJiAH,ED=AH,AH/)CF,AH=CF,则E。//CF,ED=CF,

则四边形EDC/7为平行四边形，则E产//CQ；

因人COG为等边三角形，则上GCO=60。，

所以直线CQ与CG所成的角为60。；

因，E//CG,则ZB_LCG,则①③错误，②④正确.

EB(D)

故答案为：②④.

15.8"

【分析】设△BCO的中心为。，连接。。，BQ,,可知。。=1,BQ=\tOQA.BQ,

进而求08,即可求球0的表面积.

答案第5页，共11页

【详解】

设^BCD的中心为Q,连接。。，BQ,OB,

由题设易知：30=1,OQA.BQ,

：.0B=6，故球。的表面积为4〃x（女＞=87.

故答案为：877

4乃4

16.—/一万/240。

33

【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图向形的弧长，

再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开

图的圆心角.

【详解】圆锥的底面圆的面积为4兀，设底面圆的半径为，（,＞（））,则“2=4兀，解得”2,

所以底面圆周长为4兀，即圆锥侧面展开图扇形的弧长/=4兀，

又屋顶的体积为勺5兀，设圆锥的高为"，则=%,所以〃二6，

?aa

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径H=丁=J==3

所以侧面展开图扇形的圆心角为a=!=f.

47r

故答案为：彳.

9+42

17.（1）Sin2a=--,cos2a=一（：（2）^.

997

【解析】（1）根据象限和公式sin?a+cos2a=I求出。的正弦，再用倍角公式计算即可

（2）求出角。正切值，再展开代入tana计算即可.

【详解】解：（1）Qcosa=g,由sin?a+cos2a=1得，

答案第6页，共11页

8

sin*a=1"6'

又Qa是第四象限角,

s\na=-

：sin2a=2sinacosa,

4j2

=-----1

9

cos2a=cos2a-sin2a

7

=--->

（2：由（1：可知12111=也色=一2\/1,

cosa

/\tana-tan—

1n4

..tan

a—A=--------------7t.

\7I+tanrr-tan-

-2x/2-l9+4屈

1+（-2板）1

18.⑴1

（2）3

⑶一母

IR

【分析】(1)根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得4=T

(2)利用余弦定理解方程可得c=3；

(3)根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出cos(28+4)=-"俨

【详解】(1：由于所以sinCW(),

由=2asin「根据正弦定理可得百sinC=2sin/sinC，

所以sin4=3,且三角形片8。为锐角三角形，即力

9k2；

所以4

a

(2)在V48C中，由余弦定理知cos'=」+c'_：=4+厂7_J_

2bc4c2

即d-2c-3=0,解得c=3或c=T（舍），

答案第7页，共11页

故。=3.

C3：由cos8=；：可得sin8=延，

所以cos28=cos2B—sin'=~~~=~~~»sin2B=2sinBcosB=2x-x^-=

999339

c.c.,114,5J3I+4V15

cos(2B+A)=cos24coM-sin25sinA=—x-------x——=

9297IX

即cos(28+A)=一1+：^^

19.（1）证明见解析

【分析】（1）作出辅助线，得到四边形EF8J为平行四边形，故B、F，｛PE,乂PE-平面小BE,

8万丈平面小8E,所以8尸〃平面小5E；

（2）先计算出匕和％材=3,从而得到G到平面出腿的距离为八I,再计算出

△小GE边小E上的高为力=我，利用回计算出平面48E与平面小GE夹角的正弦值，根

Sh

据同角三角函数关系得到平面48E与平面小GE夹角的余弦值.

【详解】⑴连接即，g,48Q48=尸，连接“，其中8/=：力4，

因为E是棱。。的中点，F为GQ的中点，&EF//CQ,且EF=；CZ，

又g=GD,且/BJ/CQ,所以EFNABrEF=B1P,

所以四边形E/凶尸为平行四边形，故B、FHPE,

又PfL平面片出£,8/丈平面小8£,所以84〃平面46£：

答案第8页，共11页

(2)正方体"CQ-小卅G。1的体积为1'=],

其中匕氏(8=-X-xlx1x1=一，V.DE=-x-xlx—x1=一,

八14-邸/R26q-4斗？2)p

4pf=-x—xlxlx1=—.V=-x-xlxlxl=—,

£T同326Ccl-BRCrDn326

VE-ARD

?71?B-K&，，717

1-1/-IZ一/

所以匕T座1丫「fr，

CgEE-\BACrBCD%ECQ=1

其中48二也,"=4,BE=dBl+DEJ3

7

r95

,.A.B~+BE2-A.E22+----0

由余弦定理得8s上4跖=2』廿BE44：

2x应x3~2~

?

故sinBE=

2

所以S^E=；WBEsinZ4BE=卜瓜?舁!

设G到平面力产后的距离为d,则%_叱=；&毋£1

444

解得d=1,

设△4GE边小E上的高为力，

其中4G=&,£14=GE=手,