四川省内江市某中学2026届高三年级上册期中考试数学试卷（含答案）

四川省内江市威远中学2026届高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合〃={1,2,3,456},A={136},3={2,3,4},则An(QB)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.设QER,(Q十1)(1—Ql)=2“则Q=()

A.-1B.0C.1D.2

3.已知郎0+x)=g,则cos管一x)等于()

A1口2M厂1p.2/2

A.——B.„C.-D.——

4.函数/(x)=sinx-cosx的最小王周期和最大值分别为()

A.J,2B.n,2C.2TT,72D.

J

5.已知向量五二(0,1通=(2,x),若N_L(石一五),则cos值酚=()

A.|B.噂C.*D

6.若函数/(x)=x—tin%在[2,+8)上单调递增，则£的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(-09,-2]C.(-8,2]D.(0,2]

7.已知Q=logs2,b=log83,c=I，则下列判断正确的是()

A.c<b<ab<a<cC.a<c<bD.a<b<c

8.定义在R上的奇函数y=/(x),满足/(2)=0,且当x>0时，不等式f(x)<—xf'Q)恒成立，则函数

9。)=%/(%)-图％-1|的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列统订量中，能度量样本与,工2，…，丘的离散程度的是()

A.样本勺,不，…/n的标准差B.样本与,工2,…,的中位数

C.样本修,工2,…,的极差D.样本%,％2,…,的平均数

10.已知。为坐标原点，点P](cosa,sina),P?(cos/?,-sin/?),P?(cos(a+/?),sin(a+£)),4(1,0),则()

A.|西|=|西|B.|丽|=|西|

C.赤♦丽3=西•珂D.办函二函•西

[.若a>0,b>0,且e”(b+2)=(a+l)(a+l),则()

第1页，共8页

A.a>bB.a<bC.2a>bD.2a<b

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知［+的二项展开式中的笫4项为常数项，则九=.

13.已知又为数列｛每｝的前71项和,若%=3,0n+i=Sn,则5„=.

14.已知实数a,b,cE(0,1)»设士+-7，T+y-»2+1一这三个数的最大值为M,则M的最小值

''a1-bb1-cc1-a

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在中，角4,&C所对的边分别为a,瓦c,已知8sB=粉。=50

(1)求Q的值；

(2)求sinA的值:

(3)求cos(8-2A)的值.

16.(本小题15分)

已知函数/'(x)=1+%—%2,g(x)=e*.

(1)证明：直线y=%+1与曲线y=/(%),y=g(x)均相切；

(2)从下面①②两个函数中任选一个，记为九。)，使得九(均有最大值，并求九(乃的最大值.

&fM4-g(x)；@f(x)-g(x).

17.(本小题15分)

已知函数/'(x)=/+3%/(九)为数列｛册｝的前八项和.

(1)求｛的｝的通项公式：

(2)记数歹“沈日的前F项和为7；,证明：%.

18.(本小题17分)

已知函数/(%)=(Inx)2+Inx2+Lg(x)=2x3—6x+7.

(1)求以为在［-2,3］上的最值;

(2)求/>(X)的单调递减区间；

(3)若a<0,对e［；，+8),%2W［-2,3］,/(xj+allnxj4-g(x2)>0成立，求a的取值范围.

19.(本小题17分)

第2页，共8页

在数字通信中，信号是由0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为

1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为P和l-p(ovpVI):发送信号1时，接收为1和0的概

率分别为q和1-q(0<P<1).假设发送信号0和1是等可能的.

(1)若p=q=:，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为Z,求Z的数学期望E(Z)和方差。(Z)；

(2)随机变量M的分布列为P(M=叫)=p&=1,2,-,n),记事件M==1,2,…，/)发生后给我们的信息

鼠为X=-log4Pi，则称"(M)=-ZZiPjlog4Pi。=1,2产・,")为M的信息麻设发送信号1次，接收为正确

信号的次数为求Mi的信息燧〃(MJ的最大值；

(3)若p=q=J,发送信号几次，设X为出现0的总次数，V为第九次出现1的次数(0或1次)，记p[%i，yi)表示

发送信号九次，0恰好出现/次且第71次出现1的次数为月的概率，如71=4时，p(0,l)=看对于随机变量

X,Y,记其合并嫡为”(X,y)=-[(羽=1P®,0))log4p(Xp0)+,l)log4P(41)卜且

满=iP8,0)+瑞=1P®,1)=1.证明；当n>3时，〃(X,y)V1/p

第3页，共8页

cos(8-24)=cosBcos2A+sinBsin2A=49乂《1+姜5/7乂3。学=4/7

、'16816864

法。土一：si•no2AA=2nsi-n4AcosAA=2cx-—"x、/-3=-3。—,

448

则cos2A=2cos28—1=2xe)—1=1,

因为B为三角形内角，所以sinB=V1-COS28=卜一二誓，

所以cos(8—2/1)=cosBcos2A+sinfisin2/l=-x—4———x——=——

''16816864

16.【详解】(1)/(%)=1-2%,由1-2%=1得T=0,且/(0)=1,

所以/'(%)在(0,1)处的切线方程为N=x+1.

又。'(%)=e*,由e*=1得％=0,且g(0)=1，

所以g(x)在(0,1)处的切线方程为y=x+1.

所以直线y=x+1与曲线y=f(x),y=g(x)均相切.

(2)若选择条件①：

九(x)=1+x-%24-ex,注意到3T+8时，h(x)->4-00,所以h(x)无最大值，不符合题意;

若选择条件②：

h(x)=(1+x-x2)-ex,则九'(x)=(2—x-x2)•ex,

令〃Q)>0,得一2Vx<1；令K(x)vO,得％<-2或x>l,

所以h(x)在(一8,-2),(1,+8)单调递减，在(一2,1)单调递增.

所以h(x)的极大值为九(1)=e.

又当无<一2时，1+工一工2<0,所以八(%)v0,

所以h(l)=e是九(x)的最大值.

2

17.【详解】(1)由题意知，｛斯｝的前〃项和Sn=n+3n,

当九=1时，/=Si=1+3=4,

22

当九>2时，an=Sn-Sn_1=n4-3n—(n-l)—3(n—1)=2n4-2,

经检验，at=4满足an=2n+2,

｛%｝的通项公式为%=2n+2；

(2)证：v//(x)=4%+3,A=4n4-3

1_=1=1

,aj(2n)=(2n+2)(4n+3)=2(n+l)[4n+3)'

第5页，共8页

又一1—<—1—__」)，

^2(n+l)(4n+3)2(n+l)(4n)8n(n+l)8\n(n+1)/

...1<171__M

8n

anf(2n)\(九+1»

1/11—11111\1/1

:<Q-I1-+7^-----1------z—rrpr)=Q-I

8\22334n(n+1)/8\5+1)

1

「I-所F-

・4(i-岛))4

故-舟)

18.【详解】(l)g(x)=2x3—6%+7,g'(x)=6x2—6,

令，(X)=0,解得x=1或x=-1,

所以当工£[-2,-1]时，."(幻>0,g(x)单调递增；

xe(-l,l)W,g\x)<0,g(%)单调递减:

“E[1,3]时，，g'(x)>0,g(x)单调递增：

所以g(x)极大值=g(—i)=ii，g(”)极小值=g(D=3,

又以-2)=3,9(3)=43,

所以g(x)在[-2,3]上的最大值为43,最小值为3.

(2)函数/(x)定义域为(0,+8),

v、21nx.22(Inx+l)

f«=—+^=—X-，

令「(X)=2(ln%+l)<0,解得0〈无〈工，

xe

所以/•(%)的单调递减区间为(0*).

(3)因为V%€日,+8),工2G[-2,3],fQi)+Q|lnx/+g(%2)>0,

所以V(%1)+a|*|]min>l-g(X2)]max，

第6页，共8页

由(1)知》2W[—2,3]时，[—g(%2)]max=一3,

即右6；+8)时，[/(%i)+a|ln%i|]min>-3,

即(In%])？+21nxi+a|lnx1|>—4,

当右£日,1)时，=\nX16[-1,0),

4

则产+2t-at>-4,即a>'+：+4+7+

又丁=t+；+2在[—1,0)上单调递减，

所以Q>[£+g+2]=—3；

L£」max

当人=1时，0>一4恒成立，此时aWR,

当占e(1,+8)时，令t=当e(0,+co),

则户+2t+at>-4,即a>，4=-G+2)-2恒成立,

又丁=一《+3一23一4-2二-6,当且仅当t=2时取等，

所以a>—2]=-6：

L\I，Jmax

又G<0,综上，-3<QW0.

19.【详解】(1)当发送信号1次时，记发送信号i为事件4(i=0,l),接收为正确信号为事件凡

则P(4o)="，P(4)=4,P(B\AQ)=p,P(B|4)=q,

所以P(B)=P(Ao)P(8=o)+P(&)•P(B|&)=宇

因为p=q=；，所以尸(8)=；.

由题意知Z~B(3,；),

所以E(Z)=3x|=1,D(Z)=3x|xl=1.

(2)发送信号1次，接收为正确信号的次数Mi的分布列为

Mi

0i

P1p+qp+q

122

第7页，共8页

所以双.)=-[(1-*啮(T)+嘤。-阴

令X=空,记/(%)=(1-x)log4(l-%)+xlog4x,0<X<1,

所以/''(%)=log4x-Iog4(l-X)=log4含，

由((%)=0,解得％=g,

所以当OVX<"时，/(x)VO,f(x)在区间(0,乡上单调递减；

当时，f(x)>0,f(x)在区间6,1)上单调递增，

所以当％=：时，f(x)取得最小值，

又H(MJ=-/'(%),所以H(MJ此时取得最大值，

且最大值为一fC)=一Clog4log41)=1.

(3)当1=0时,第n次出现0,前1一1次