一元二次方程（期中复习讲义）-九年级数学上学期（华东师大版）含答案

专题02一元二次方程（期中复习讲义）

■

■卜明•期中考情,

核心考点复习目标考情规律

理解一元二次方程的定义，能够正确

一元二次方

的判断是否为一元二次方程以及求基础必考点，经常出现在选填题中

程的定义

参数的值.

一元二次方掌握一元二次方程的解，并能够利用常考题，常出现在选择题和填空题

程的解一元一次方程的解求参数中

熟练的使用直接开平方法、因式分解解答题高频考点，作为计算题出现

解一元二次

法、配方法以及公式法解一元二次方在解答题第一道或者作为计算桥

方程

程梁.

一元二次方熟练的使用一元二次方程根的判别

高频考点，常常出现在选择填空题

程根的判别式判断一元二次方程的根并求参数

中，是考试常考知识点

式的取值范用

一元二次方常考题，一元二次方程根与系数的

熟记根与系数关系的公式，正确使用

程根与系数关系作为考试中的重点题型出现，

根与系数的关系求解

的关系难度中等.

一元二次方

准确的将一元二次方程运用在实际期中常考题，一元二次方程的实际

程的实际应

生活中,将数学与士际生活联系起来应用往往用现在解答题中

用

.记•必备知识.

国知识点01一元二次方程的定义

①只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.

②一元二次方程的一般式为ax21bxic=0,其中（存0,b、c为常数），ax2是二次项，bx

试卷第1页，共20页

为一次项，C是常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数.

国知识点02一元二次方程的解

①直接开平方法

一般地，对于方程x2=p

（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x】=-亦，X2=/

<2）当p=O时，方程有两个相等的实数根Xi=X2=0

（3）当pVO时，方程没有实数根.

②配方法

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为（x+n）2=p的形式，那么就有：

（1）当P>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=-n-诉，x2=-n+Vp：

（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根Xi=X2=-n,

（3）当pVO时，因为对于任意的实数x,都有（x+n）2之0,所以方程尢实数根

对于任意的一元二次方程ax?+bx+c=O（。川），配方的方法都是先将二次项系数化为1后，

在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

③公式法

任何一个一元二次方程都是可以写成一般式ax?+bx+c=O（。0）,

［・（）

X=b+&2Yac,b2.4ac>o

2a2a

④因式分解法

把一个一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（存0）后,如果能够较简便地分解成两个

一次因式的乘积，则一•般用因式分解来解这个一元二次方程.

回知识点03一元二次方程根的判别式知识点

b2«ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断一元二次

方程ax'+bx+c=O和）的实数根的情况；

（1）当△>（）时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=（）时，方程有两个相等的实数根；

（3）当△<（）式，方程没有实数根.

区知识点04一元二次方程根与系数的关系

X］、x2是i元二次方程ax:+bx+c=O（行0）的两个根，则Xi+x2=］，x/X2=；

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注意：使用•元二次方程根与系数的关系公式时，前提是此方程要有根即△出

国知识点05一元二次方程实际应用

①一元二次方程实际应用之增长率问题

公式：a（l±x）2=b（其中。表示增长（下降）前的基数，b表示增长（下降）后的基数，x

表示增长（下降）率）

②一元二次方程实际应用之利润问题

总利润=单件利润x总销售量=（一件的售价-一件的成本）x总销售量，利润率TlxlOO%

③一元二次方程实际应用之握手、球赛问题

公式：握手次数二啜，其中〃代表参与握手的人数.

・破二重难题型.

等题型一判断是否为一元二次方程

解I题I技I巧判断是否为一元二次方程的方法

①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程（分母不含字母）；④如果

方程不是一般形式，需要进行化简后再判断.

【典例1】

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

22

A.x+2xy=1B.x+x+\C.JT2+4=0D.ax2+bx+c=0

【变式1］（24-25九上•广西柳州鹿寨县•期中）

2.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.y=4x2-5B.（x+5）（x+6）=x2-4

2

C.x2=0D.X2--=8

【变式2】（24-25九上•福建漳浦道周中学,期中）

3.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=OB.7x2+6=3xC.x3-2.r-4=0D.2x2-5y=0

■题型二根据一元二次方程的定义求参数

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解I题I技I巧①求值:找出所给方程中最高次数并让它等于2,从而求解出未知数的值；

②验证：将①中求出的未知数的值代入方程中检验，看是否满足为一元二次方程.

【典例2】

4.已知关于x的方程（相-1）/'-》-2021=0是一元二次方程，则〃?的值为.

【变式1】（24・25九上•山东潍坊潍城区•期中）

5.若（〃?一3）/叫+（〃?+l）x+4=0是关于x的一元二次方程，则用=.

【变式2】（24・25八下•黑龙江哈尔滨德强学校•期中）

6.当〃=时，X--5》=3是关于"的一元二次方程.

国题型三由一元二次方程的解求代数式的值

【典例3】

7.已知，〃是一元二次方程/+4x-l-0的根，则〃r+3/_5m+l的值为.

【变式1］（24-25九上•福建漳州长泰区•期中）

8.若一元二次方程有一个根是1=1,则这个方程可以是（）

A.（x+1）（x+2）=0B.x2-1=0

C.--21-1=0D.x2+x=0

【变式2】

9.已知。是方程——20261+1=0的一个根，贝1一2025。+警的值为（）

a'+1

A.2023B.2024C.2025D.2026

2题型四一元二次方程解的估算

解I题I技I巧对照表格找出ax?+bx+c的取值所在的范围，再对应找出x的值即可

【典例4］（24-25九上•浙江温州•期中）

10.根据下列表格的对应值，判断方程队+c=0（QW0，。，b,。为常数）一个解

的范围是（）

X3.13.23.33.4

ax1+bx+c-1.3-0.6-0.30.5

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【变式1】（24-25九上•山西运城临猗县多校•期中）

11.己知关于x的二次三项式ad+加+°的部分对应值如表:

X3.13.23.33.43.5

ax2+bx+c-0.69-036-0.010.360.75

据此可估计关于x的一元二次方程aP+云+。=0的一个根的取值范围为（）

A.3.1<x<3.2B.3.2<x<3.3C.3.3<x<3.4D.3.4<x<3.5

【变式2】（24-25九上•福建漳州台商投资区•期中）

12.如表是某同学求代数式ad+bx（&6为常数）的值的情况.根据表格中数据，可知关

于x的方程云-6=0的实数根是（）

X•••-2-10123・・・

ax2+bx•••620026•••

A.^=2,X2=-3B.X]=-l,x2=O

C.N=O,x2=1D.X]=-2,x2=3

⑭题型五一元二次方程的一般式

解I题I技I巧一元二次方程的一般式为“+6+c=（）,其中。为二次项系数，b为一

次项系数，c为常数项.

注意：在找一元二次方程各项系数时，需要先将一元二次方程化简为一般形式后再进行求

解.

【典例5】（24-25九上•辽宁沈阳•期中）

13.一元二次方程3（/-3）=5X的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.3,-5,9B.3,-5,-9C.3,5,9D.3,5,-9

【变式1］（24-25九上•广西钦州灵山县青云中学•期中）

14.将方程Y-2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1,一次项系数,

常数项分别是（）

A.-2,-10B.-2,10C.2,-10D.2,10

【变式2】（24-25九上呐蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学•期中）

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15.已知一元二次方程/-3x=5的二次项系数为1,一次项系数、常数项分别是()

A.3、5B.-3、5C.3、-5D.-3、-5

【变式3】(24-25九下•河北邢台内丘县•期中)

16.若一元二次方程3x-5=2/化成一般形式后二次项的系数是2,则一次项的系数是

()

A.3B.-3C.5D.-5

官题型六解一元二次方程(计算题)

【典例6)(24-25九上•湖北襄阳・期中)

17.解下列方程：

(l)5x(x-l)=2-2x

(2)x2-i0x+16=0

【变式1】

18.按要求解方程：

(1)X2+8X=9(配方法).

=；(一♦】)(因式分解法).

【变式2】(24-25九上•宁夏银川灵武五校・期中)

19.选用适当的方法解下列方程：

(1)49X2-36=0

(2)(.r+4)2-l6=0

(3)(2X-5)2-(X+3)2=0

(4)(X+2)2-10(X+2)+25=0

等题型七特殊值解一元二次方程

【典例7](24-25九上•福建漳州台商投资区•期中)

20.已知关于x的方程++力=0(。，b,m为营数,。工0)的解是玉=2,

x2=-l,那么方程。(.丫+川+2『+8=0的解为()

A.^)=2,x,=-3B.^=4,X2=12

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C.*=0,x2=-1D.x】=0,x2=-3

【变式1］（24-25八下・浙江温州•期中）

21.若关于1的一元二次方程尔+云+。=0（"工0）有一根为》=〃?，则关于x的一元二次方

程0?一8+4=0（如工0）必有一根为（）

A.-mB.—C.wD.--

mm

【变式2】（24-25九上•山东烟台龙口（五四制）•期中）

22.若关于x的一元二次方程。/+&+2=0（。工0）有一根为x=2024,则一元二次方程

〃(x——1)+2=0必有一根为()

A.2024B.2025C.2026D.2027

【变式3］（24-25九卜•山东烟台蓬莱区期中）

23.若关于x的一元二次方程&+c=0（acw0）有一根为彳=2025,则关于y的一元二

次方程+»+。=0（"/0）必有一根为（）

A.2025B.-2025C.」一

20252025

【变式4】（24-25九下•江苏徐州邳州实验中学等多校联考・月考）

24.若关于x的一元一次方程V+bx+c=。的解为$=3,/=-4,则关于y的一元一次方

程（…2+5］）+。=0的解为（）

A.弘=3,y2=-4B.v=2,y2=-5

C.J1=2,D.y=4,y2=-i

2题型八利用配方法判断变形是否正确

解I题I技I巧解题方法：①先将所给一元二次方程化为二次项系数为1,②在再等号

两边同时加上一次项系数一半的平法即可.

【典例8］（24-25九下•北京海淀区・期中）

25.用配方法解一元二次方程r-6x+3=0时，下列变形正确的是（）

A.（X-3）2=3B.（X-3）2=6C.（X+3『=6D.（X-3）2=I2

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【变式1］（23-24九上•江苏南京玄武区•期中）

26.一元二次方程/-4），+1=0配方后可化为（）

A.（y-l）2=OB.（y-2）2=\C.（y+2/=3D.（y-2）：=3

【变式2］（24-25九上•广西钦州灵山县青云中学•期中）

27.把/-以+1化成。-力『+左（其中〃水是常数）形式的结果为（）

A.（x-4）2-15B.（X-2）2-3

C.（X-2）2+3D.（X-2）2+15

3题型九利用配方法求参数的值

【典例9】

28.用配方怙解一元二次方程/+2H-2024=0,将它转化为*十二A的形式，贝的

值为（）

A.45B.46C.2026D.2025

【变式1】（24-25九上•四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试・期中）

29.若一元二次方程（x+〃『=8（a,/）为常数），化成一般形式为/一6.丫+5=0,则。，b

的值分别是（）

A.3,4B.-3,4C.3,-4D.-3,-4

等题型十利用配方法求最值

解I题I技I巧一般地，代数式ad+云+c,可以通过配方法配成a（x+九＞+上的形式；

当a＞0时，代数式有最小值，x=d时取的最小值2：

当。＜0时，代数式有最大值，x=1时取的最大值

【典例10］（24-25九上•甘肃酒泉第二中学•期中）

30.代数式V+4y+8的最小值是.

【变式1】（24-25九上•江苏宿迁沐阳县南湖初级中学•期中）

31.已知实数“，人满足a+〃=l,则代数式/一4〃+12的最小值是.

【变式2】（24-25九上•湖南永州京华中学・期中）

32.新定义：关丁人的元二次方程十斤=。与%（八一,〃『+&=0称为“同族二次方

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程”，如2（x-3『+4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程

+1=0与（。+2）/+他-4）工+8=0是“同族二次方程”，那么代数式双2+取+2035

能取的最小值是.

等题型十一利用求根公式求参数的值

解I题I技I巧一般地，一元二次方程如2+以+。=0有两个根'，吃，则

-b+Vb2-4ac-b-vb2-4ac

X尸2a，乂2二

解此类题型只需要对照所给的等式与一元二次方程的求根公式，找出对应的八aC即

可还原一元二次方程.

【典例11］（24-25九上山东淄博•期中）

33.若2士m2-4x（-1"可以表示某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程为（）

2x3

A.3X2+2X-1=0B.2X2+4X-1=0

C.-x2-2x+3=0D.3x2-2x-1=0

【变式1］（24-25八下•山东烟台招远•期中）

34.以x=力士木’+20为根的一元二次方程可能是（）

2

A.x2-+10=0B.x2--10=0C.x2+bx-5=0D.『-加-5=0

【变式2】（24-25九上•河南商丘虞城县•期中）

35.下列一元二次方程的根可以根据丫=一3±J'-4x2x（-1）计算出的是（）

2x2

A.2X2+3X+1=0B.2X2+3X-1=0C.3X2+.X-2=0D.-2X2-X+3=0

2题型十二根据根的判别式判断根的情况

解I题I步I骤①将一元二次方程化简为一般形式or*云+。=0：

②正确的找出。、机c的值，注意需要带上前面的符号；

③代入一元二次方程根的判别式进行判断即可.

【典例12】

36.一元二次方程/一40*+8=0的根的情况是（）

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A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【变式1】（24-25九下河南周口商水县・期中）

37.定义运算：a※/）=/一2"-b.例如：4^2=42-2X4X2-2=-2.则方程冰2=-4的

根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有实数根D.无实数根

等题型十三利用根的判别式求参数的取值范围

【典例13]（24-25九上•黑龙江佳木斯•期中）

38.若关于x的一元二次方程（左-1）.--万市x+l=O有两个不相等的实数根，则上的取值

范围是（）

A.k<6B.A<6且心1

22

C.--<k<6D.一§42<6且koi

【变式1】

39.若关于x的一元二次方程（。+。）/+瓜+亍=。有两个相等的实数根，则以。，4c

为三边的三角形是（）

A,以b为斜边的直角三角形B.以c为底边的等腰三角形

C.以b为底边的等腰三角形D.以。为斜边的直角三角形

【变式2】（24-25八下•山东烟台牟平区（五四制）•期中）

40.若关于x的方程〃清+2x+l=（）有实数解，则实数切的取值范围是（）

A.W1B.〃？W1且〃？工0

C.论一1且〃?工0D.论一1

等题型十四利用根与系数的关系进行直接求解

解I题I技I巧①先将一元二次方程化为一般形式，准确的找出。、b、c的值

②根据根与系数的公式：①Xi+X2=-g；②Xi，X2=g；③％/+刈？=（%i+%2）2—2%62

注意：在使用根与系数的关系进行求解的前提是一元二次方程要有解，即△*.

【典例14）

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41.若〃，，〃是一元二次方程一一3、-1=0的两个根，则〃?+〃的值为.

【变式1】（24-25九上•广东揭阳惠来县・期中）

42.%/是一元二次方程炉-3.丫-2=0的两个实数根，则演入=.

【变式2】（24・25九上•广东茂名博雅中学・期中）

43.已知X],/是方程/-2x-3=0的两个根，则（玉+1）0+1）=.

【变式3】（24-25九下•四川眉山洪雅县•期中）

44.已知用、々是方程》2-2》-4=（）的两个实数根，贝1卜；+々2+3中2=.

3题型十五利用根与系数的关系间接求解

解I题I技I巧常见题型及其处理方法

①分式形式：只需要对分式进行通分后，再利用根与系数的关系进行求解；

②高次形式（大于等于2次）：需进行降次处理，那个变量出现高次就先对这个变量进行

降次.

【典例15】

5n

45.若是关于x的方程一一工一3=（）的两实数根，则2+?的值为一.

ab

【变式1】（24・25八卜・•安徽宁国城关四校联盟期•调研）

46.己知a,〃是一元二次方程/十工一5=。的两个实数根，贝曙尸一〃十2020=.

【变式2】（24-25九上•黑龙江绥化明水县第二中学•期中）

47.若不，七是关于x的一元二次方程/一3》-2022=0两个实数根，则代数式为2-2%+0

的值为.

官题型十六利用根与系数的关系求参数的值

【典例16）

48.已知实数底小、〃（力工〃），且满足mJ2加=3%+1,/一2〃=3左+1,则相+〃的值为

【变式1】（24-25九上•江西吉安万安县•期末）

49.已知关于x的一元二次方程/一.+左一3=0的两个实数根分别为X/x2,且

/2+/2=5，则%的值是.

【变式2】（24IS九上•湖南株洲•期末）

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50.关于x的方程.一一2〃吹+/—4=0的两个根%,超满足*=2占+3,且不>々，则机的

值为•

官题型十七根与系数的关系综合应用

【典例17](24-25九上•四川泸州•期中

2

51.已知关于x的方程：X+(/M-2)X-,M=0.

(1)求证：无论〃，取何实数，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设%,w是方程的两个根，且x；+*=7,求〃?的值.

【变式1](24-25九上•四川泸州合江县•期中)

52.已知关于x的一元二次方程一一2(1-〃?)x+〃?2=0.

(I)若该方程有实数根，求用的取值范围.

(2)若％,W是方程的两根，且玉+工2=4时，求"+土的值.

X]x2

【变式2】(23-24九上•浙江宁波镇海区仁爱中学•期中)

53.已知关于x的一元二次方程/-2(〃?+1)"疗+5=0有实数根.

(1)求”的取值范围；

(2)方程的两个实数根凡、X?满足(内-1)卜-1)=3〃?，求实数小的值.

【变式3](24-25九上•湖南益阳益阳师专附属学校•期中)

54.已知关于x的一元二次方程(c+a)/+2反+(c-〃)=0,其中。，b,c分别为△力5。三

边的长.

(1)若△43C是等边三角形，求方程的根；

(2)若△力8c是直角三角形，且c为斜边长，试判别方程根的情况.

包题型十八配方法的实际应用

【典例18](24-25九上•贵州黔南・期中)

55.阅读卜.列材料：

配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮

助.所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的.例如:

解方程/一4x+3=0,则有、2_4x+4—4+3=0，.•«-2>=1,解得芭=3,x2=1.已知

试卷第12页，共20页

X2-2X+/+4J+5=0,求x,y的值，则有(/-2x+1)+(/+4j，+4)=0,

.•.(If+(y+2)2=0,解得x=],y=-2,

根据以上材料解答下列各题：

(1)若犬+6》+/-8歹+25=0,求(x+y严24的值；

(2)若c分别表示△/SC的三边长,且满足。2+8从+，2一4"-4儿=0,试判断△力8c的

形状，并说明理由.

【变式1】(24-25九上•河南驻马店上蔡县•期中)

56.我们定义：一个整数能表示成/+〃(。、是整戮)的形式，则称这个数为“完美数”,

例如，5是“完美数”，理曰:因为5=22+尸.所以5是“完美数”.

解决问题：

(1)已知10是“完美数”，请将它写成〃2+力2(“、〃是整数)的形式：

(2)已知x2+y2-2x+6y+10=0,则x+y的值是多少？

(3)数学学习的本质是“再创造”.周末，小明同学在复习配方法时，对代数式/+4x+6进行

了配方，发现/+4x+6=/+4x+4+2=(x+2)?+2,小明发现(x+2>是一个非负数，即

(X+2)2>0,他继续探索，利用不等式的基本性质得到(X+2)2+2N0+2=2,即

(X+2)2+2>2,所以，他得出结论：(》+2产+2的最小值是2,即d+4x+6的最小值是

2.请你解答，求代数式加2-6加+13的最小值.

【变式2】(24-25九上•河南南阳唐河县•期中)

57.【方法学习】

把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用A。，，这一性质解决问题,

这种解题方法叫做配方法.配方法在今后的学习中有着广泛的应用.

例如：求如十4"5的最小值.

解：+4a+5=。2+4,7+2?-2?+5=(。+2)2+1,

•••(4+2)220,

.-.(«+2)2+1>1,所以当(°+2『=0时，即当。=一2时，/+4。+5有最小值，最小值为1.

【问题解决】

(1)当x为何值时，代数式》2-6.丫+7的最小值，最小值为多少？

试卷第13页，共2()页

（2）如图1,是一组邻边长分别为7,2a+5的长方形，其面积为S”图2是边长为。+6的正

方形，面积为Sz,«>0,请比较£与S2的大小，并说明理由.

国题型十九一元二次方程实际应用之传播问题

解I题I技I巧（1）明确变量：

①设每轮每个传染源传播给x人；②注意题目描述是“每轮新增人数”还是“总人数”.

（2）建立方程：根据题目描述的总人数或新增人数关系列方程.

（3）解方程：整理为一元二次方程标准形式，通过因式分解、配方法或求根公式求解，

舍去负根.

（4）验证实际意义：x必须为正整数（人数为整数）.检查是否满足题目条件（如传播轮

数、总人数等）

【典例19]（24-25九上•广东江门台山•期中）

58.近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾

短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从

小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信.

（I）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？

（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？

【变式1】（24-25九上四川宜宾兴文县•期中）

59.有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感.

（1）每轮传染中平均一人传染了几人？

（2）如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此

流感？

【变式2]（23-24九下•山东威海环翠区实验中学•期中）

60.近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾

短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从

试卷第14页，共20页

小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信.

（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？

（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？

【变式3】（24-25九上•天津河西区•期中）

61.某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、

支干和小分支的总数是111.求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干.请根据

相关信息，解答下列问题：

⑴填表：

X（主干长出支干的个数）234

主干、支干和小分支的总数

（2）填空（用含x的代数式表示）：

①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；

②在每个支干又长出了数F1相同的小分支后，小分支的个数为；

③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；

（3）请继续完成本题的解答：

3题型二十一元二次方程实际应用之增长率问题

解।题।步।骤（1）设未知数

①设增长率为x；②明确初始量〃和变化后的量力

（2）列方程（两种常见模型）

①连续两年增长：。（1+“2=。；②先增后减相同比例：a（l+x）（l-x）=b

（3）解方程：选择适合的方法解一元二次方程（最常用直接开平方法）

（4）验根取舍：①舍去负增长率；②舍去大于100%增长率.

【典例20］（24-25九上•江苏苏州・期中）

62.“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已

成为网红打卡地.据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人

次，第三天游客人数达到11.52万人次.

（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；

（2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元.根据销售经验，每把

试卷第15页，共20页

扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可

多售出30把.设每把扇子降价工元.请解答以下问题：

①填空：每天可售出扇子把（用含x的代数式表示）；

②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每

把扇子应降价多少元？

【变式1]（24-25九上•陕西宝鸡2第一中学.期中）

63.暑期奥运点燃了我们的运动热情,某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥

运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件.该商品十分畅销，销售量持续走

高.在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件.

（1）求每天销售量的平均增长率；

（2）“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙彳口降

价销售.经调杳发现，每降价1元，在第三天的销售量基础卜每天可多售2件，将钥戕扣的

销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？

【变式2]（24-25九上•河南郑州金水区经纬中学•期中）

64.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易

的名句“江南忆，最忆是杭州“，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.吉祥物-

开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的

价格出售.经统计，4月份的销仕:后为256件，6月份的销仕:后为400件.

（I）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式,

调查发现，该吉祥物每降价I元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，

月销售利润达8400元？

且题型二十——元二次方程实际应用之与图形有关的问题

【典例21】

65.学校打算建立•块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，•面利用学校的墙（墙的最大可

用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏

因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）.设种植田为〃?米.若该

种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽”

试卷第16页，共20页

墙

Bc

实验组对照组

A-----1D

【变式1】

66.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）,另外三边用木栏闱成,

木栏长40m,若养鸡场面积为150m"求鸡场两边的长分别是多少？

墙

C

【变式2】

67.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用

竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.

12m卜

（1）若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？

（2）围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？

（3）若墙长为。米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？

【变式3】（24-25九上•河南郑州第十一初级中学・期中）

68.电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着

火、爆炸，将造成非常严重的危害.“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段.阳光小区

为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙

（可利用墙长为45111）,其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长

的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形.

A45m

4墙

BC

试卷第17页，共20页

⑴若车棚占地面积为384m2,试求出电动车车棚的长(4C)和宽(相)；

(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450〃?2的电动车

车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

秀题型二十二一元二次方程实际应用之营销问题

解I题I步I骤(I)设未知数

通常设：①售价变化最(设“涨价x元”或“降价x元”)：②销售变化最(如：每涨1元，

少卖10元)

(2)列方程

模型①：利润最大化

利润=单件利润x销售量，单价利润=售价-成本

例如：某商品进价40元，售价60元时每天卖100件.每涨1元，少卖5件.设涨价x元，

利润为y；

y=(60+.r-40)(100-5x)=(20+x)(l()0-5x)

模型②总收入问题

总收入=售价x销量

例如：某书定价30元时卖200本，每降价I元多卖20本.设降价x元.总收入R：

R=(30-x)(200+2x)

(3)解方程

【典例22】

69.某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均

每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的箱售量可

增加40千克.

(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：

①每千克茶叶应降价多少元？

②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的儿

折出售？

(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理

由.

试卷第18页，共20页

【变式1】(24-25九下•重庆万州中学教育集团期中)

70.2025年春节联欢晚会吉祥物”巳(si)升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型

参考甲骨文中的，，巳，，字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如

意”，在市场上一度走红.

(1)某商店销售力，4两款“巳升升”吉祥物，已知力款吉祥物的单价比8款吉祥物的单价高20

元，若顾客花80()元购买4款吉祥物的数量与花600元购买8款吉祥物的数量相同，则力,

〃两款吉祥物的单价分别是多少元？

(2)若4款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能

销售力款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出力款吉祥物2件，为了推广宣传,

商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则力款吉祥物售价

应降低多少元？

【变式2】(24-25九匕甘肃天水武山具百泉初级中学•期中)

71.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案『恤

衫.已知每件丁恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段

时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件.

(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？

(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大,则每件丁恤衫的销售价应降多少元？

【变式3](24-25九上•重庆合川区合阳中学•期中)

72.今年今月份,某商场购进了一批丁恤和衬衣,商家用16000元购买7恤，12000元购

买衬衣，每件丁恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进丁恤的数量是衬衣的2倍.

(1)求商场购买7恤和衬衣的进货单价；

(2)商场在销售过程中发现，当「恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元

时，平均每天可卖出50件7恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每

人可以多卖出5件.为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情

况下，想使7•恤和衬衣平均每天的总获利为400()元，则每件衬衣的售价为多少元？

等题型二十三一元二次方程实际应用之握手、循环问题

解I题I步I骤场景：若有〃个人，每两人之间握一次手，求总握手次数

公式：握手总次数=此二D

2

试卷第19页，共20页

【典例23】

73.某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)，共比赛了21场,

设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是()

A.x(x-1)=21B.x(x+1)=21C.；x(x-l)=21D.；x(x+l)=21

【变式1】(23-24九上•青海西宁第十二中学教育集团•期中)

74.在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的

有人.

【变式2](24-25九上•广东江门杜阮镇杜阮中心初级中学•期中)

75.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航

线，求航空公司共有多少个飞机场？

试卷第20页，共20页

1.c

【分析】本题考杳一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：(1)

含有一个未知数，含未知数的项的最高次数是2：(2)整式方程.

根据一元二次方程的定义求解，即可解题.

2

【详解】解：A.x+2xy=\,含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

B.V+x+l,不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意；

C.X2+4=0,是一元二次方程，符合题意；

D.ax2+bx+c=0,当。=0时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意；

故选：C.

2.C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含

有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一兀二次方程.

根据一元二次方程的定义进行求解即可.

【详解】解：A、方程》=4/一5中含有两个未知数，不是一元二次方程：

B、方程(x+5)(x+6)=/-4整理可得1卜+34=0,未知数的次数不是2,不是一元二次方

程；

C、方程/是一元二次方程，符合题意；

D、方程/-±=8不是整式方程，不是一元二次方程.

x

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的美键在于熟知只含有一个未知数，并

且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

【详解】A、泼+6x+c=0：当〃=()时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程,

不符合题意：

B、7X2+6=3X：移项整理为7/_3X+6=0,满足只含一个未知数x且最高次数为2,二次

项系数7工0,为一元二次方程，符合题意：

C.X3-2X-4=0：未知数最高次数为3,是三次方程，不符合题意；

D、2x2-5y=0：含有两个未知数x和V,是二元方程，不符合题意；

答案第1页，共36页

故选:B.

4.-1

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m-1工0且

1川+1=2是解此题的关键,注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2

的整式方程，叫一元二次方程.

根据一元二次方程的定义得出且1m1+】=2,再求出，”即可.

【详解】解：根据题意得

机一1/0且|5|+1=2,

解得：m=-\,

故答案为：-1.

5.-1

【分析】本题考杳的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并口未知数的最高次

数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键.根据定义可得帆-1|=2且〃-3/0,

进而求解即可.

【详解】解：•••(〃L3)/T+(〃?+1)X+4=0是关于x的一元二次方程，

-=2且〃？一3w0,

解得〃?--1,

故答案为：-1.

6.4

【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次

方程的定义是解题的关键.

【详解】解：“"筌­、=3是关于x的一元二次方程，

a-2=2,

•••a=4,

故答案为：4.

7.0

【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键.根据方程的

解代入方程得出川+4m-1=0,即/+4m=1,再整体代入计算求值即可;

【详解】解：加是一元二次方程/+4工一1=0的根，

答案第2页，共36页

•••nr+4m-1=0»

m2+4m=1,

•••加'+3〃/-5m+1

=+4m2-m2-5m+1

=ni(nr+46)-nr-5m+1

=ni-m2-5m+1

=-m2-4m+1

=+4/〃)+1

=-1+1

=0,

故答案为：0；

8.B

【分析】本题考查的是•元二次方程的解•，能使•元二次方程左右两边相等的未知数的值是

一元二次方程的解.根据一元二次方程的解的定义判断即可.

【详解】解：A、当x=l时，。+1)(1+2)=0,则工=1不是方程(x+l)(x+2)=0的根，本选

项不符合题意：

B、当x=l时，I21=0,则x-1是方程/1=0的根，本选项符合题意；

C、当x=l时，『-2-1工0，则x=l不是方程丫2-2》-1=0的根，本选项不符合题意；

D、当x=l时，『+]*(),则x=l不是方程/+》=。的根，木选项不符合题意；

故选：B.

9.C

【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求