一元二次方程、不等式-2026年高考数学一轮复习基础梳理（原卷版）

■第5讲一元二次方程.不等式

------------------------图知识点目录/---------------------------

【知识点1】求解一元二次不等式........................................................2

【配识点2】一元二次方程根的分布......................................................3

【知识点3】三个二次之间的关系........................................................5

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题.................................................6

@基础知识/

1.二次函数v=e*+6x+c(a>0)与一元二次方程3必+。*+。=0(3>0),不等式a*+6x+

c>0(a>0)的解的对应关系

方程的判别式/=

/>04=0/<0

\Ly

二次函数3

的图象~0

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根b没有实数根

数根M,必(%〈再)才艮xy=x2=——

不等式

b

{x|内4或Xx*FaR

的解集

2.分式不等式与整式不等式

尸(x)

(1)—>0(CO)=>Hx)g(x)>0(CO);

g(x)

f(x)

(2)——20(W0)oHx)g(x：20(W0)且g(x)*0.

g(x)

3.简单的绝对值不等式

|x|(a>0)的解集为(-8,—j)U(a,+8),|x|<石(a>0)的解集为(—a,a).

【常用结论】

1.一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式a2+6x+c>0(W=0),x£R恒成立且/<0；

⑵不等式占乎+1+*0(3j0),*£R恒成立=水。且/<0：

⑶若，可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑3=0的情形.

2.对于不等式，f+6x+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形.

电知识点1/

知识点

【知识点1】求解一元二次不等式

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式，与。的关系判断根的个数.

⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

典型例题

【例1】(2025•开远市校级开学)已知avO,则关于x的不等式x?-4〃、一5a?<0的解集是()

2

A.{x|x>5a或x<-a]B.{x|x<5a或x>-a}

C.{x|-a<x<5a}D.{A,|5a<x<-a]

【例2】(2025•广东学业考试)不等式/一2工<0的解集是()

A.(-oo,2)B.GO)

C.(0,2)D,(f,0)U(2,+刈

【例3】(2024秋•中山区校级期末)关于x的一元二次方程外2+云+°=0他儿<0)的解集为{-2,

3},则不等式c/+反+〃”0的解■集为()

C.(Y,—JU[；，+8)D.(-O0,-2]|J[3,+8)

【答案】A

【分析】由方程的解集和根与系数关系得a,b,c的关系，并由abe<0得”的正负，代人不等

式ex?+hx+a„0后即可求解.

【解答】解：•.■关于工的一元二次方程尔+bx+c=0的解集为{-2,3},

――=—2+3=1

a，即力=-〃，e=-6a,：.ahc=6ay<0,即a<().

—=—2x3=-6

a

ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)„0,

即6/+工一1”0,即(2x+l)(3x-l).0,解得

23

故选：A.

【例4】(2例4秋•深圳校级期末)已知函数/")=加-(6+1卜+1(〃€氏).

3

（1）若/（X）在区间（-O0,1］上单调递减，求4的取值范围.

（2）求关于X的不等式/（x）>0的解集.

【例5】（2024秋•海淀区校级期中）解关于X的不等式：ad—（〃+2）x+2.0mcR）.

庭知识点2一/

知识点

【知识点2】一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方

面建立关于系数的不等式（组）进行求解.

⑴判别式」的符号.

b

⑵对称轴x=一—与所给区间的位置关系.

2a

⑶区间端点处函数值的符号.

典型例题

【例6】（2025•台湾四模）已知王，当是关于x的一元二次方程/+外+2/>=0的两个实数根，且

x,€（0,l）,X2G（1,2）,则实数6的取值范围为（）

A.（0,+8）B.（0,1）C.（0,1）D.（0,1）

【例7】（2025春•杭州期中）已知关于x的不等式x2-4』x+3/<om<o）的解集为（入，与），则

4

$+x,+也的最大值是()

'中2

A.妪B.-幽C.逋D,—迪

3333

【例8】(2024秋•毫州期末)已知”0,且2是方程/+云_8=0的一个根，则方+色的最小值

aa

是1)

A.8&B.4C.2D.8

【例9】(2025春•辽宁月考)若关于x的一元二次方程3/一6戈-5=0的两个实数根分别为玉和士，

则J_+_L的值是()

国工2

A.-B.--C.-D.--

5566

【例10】(2024秋•青海期末)若二次方程『+("6口+2"4=0在(0,3)上有两个不相等的实根,

则。的取值范围是()

A.(10+46,+oo)B.(y,6)C.(y,10-4VJ)D.(2,10+46)

.知识点3/

知识点

【如识点3】三个二次之间的关系

已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可

以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负

典型例题

5

【例11】（2023秋•信阳期中）已知关于x的不等式a（x+0（x-3）+l>0的解集是干，工2）（为〈42），

则下列结论正确的是（）

A.X）+x2=2B.x）.v2<-3C.-1<x（<x2<3D.x2-X）>4

【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式尔+云+。<0的解集为“"〈-I或x>3},则下列结

论正确的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex?一加:+a<o的解集为一g<x<l}

【例13】（2023秋•云南期末）已知关于x的不等式--如+儿0的解集为{x|2.x,,3},则关于x

的不等式V-Zzr+avO的解集为（）

A.{x|2<x<3}B.{x11<x<3}C.{x12<x<5}D.{,v11<x<5}

【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于x的不等式加+加+c>0的解集为（-8,-2）U（3,

■FOO）,则下列选项中正确的是（）

A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>Q

D.不等式ex?-bx+a<0的解集为（-oo,-,-Ko）

6

【例15】（2024秋•大理市期末）若关于实数x的不等式f+bx+c>。的解集是{X|K<-5或x>2},

则关于x的不等式c/+Ar+l>0的解集是（）

A.(-OO,-y)|J(-,+OC)B.,+co)

£1知识点4/

知识点

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题

恒成立问题求参数的范围的解题策略

⑴弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，雄就是参数.

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式■；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不

能用判别式』，一般分离参数求最值或分类讨论.

典型例题

【例16】（2024秋•武强县校级期末）玉w{x|l”x”2}时，不等式x?-x0成立，则〃?的取值

范围是（）

A.{m|m„2}B.{m\nt..2}C.{in11<zzz<2}D.{m\m...0）

【例17】（2024秋•中牟县期末）设xwR,不等式尔+2“x-3<0恒成立的一^充分条件可以是

（）

A.-3<tz<0B.-3„a<0C.-3<«<1D.-3„a<I

7

【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式分+3h+2>0对任意xeR恒成立，则实数〃

4

的取值范围是（）

A.（）<A<1B.0”k<lC.k<0D.0<k„1

【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式（以-2）（工-/>）...（）对任意的工£及恒成立，则。+2人的最小

值为（）

A.3B.2>/2C.4D.3&

【例20】（2025•山东模拟）已知不等式”2+伍-2口+4...0对任意的工6（0,+8）恒成立，则实数a

的最小值_2-473_.

鹿牛刀小试/

8

第5讲一元二次方程、不等式

一,选择题（共10小题）

1.（2025春•临泉县月考）不等式一丁+3..2<0的解集为（）

A.{x[x<-2或x>-1}B.{x|x〈l或x>2}

C.（x|l<x<2}D.{x|-2<x<-1}

2.（2024秋•鹤山市期末）一元二次不等式_4/一》+14…。的解集为（）

77

A.{x|-2<x<—}B.{x|x<——或xN2}

44

77

C.{x|——<x<2}D.{x|x<一2或x>—）

44

3.（2024秋•吕梁期末）已知关于x的一元二次不等式-2/+m_儿.0的解集为则

竺的值为（）

n

7575

A.-B.-C.-D.--

5252

4.（2024秋•金山区期末）当0<avl时，关于x的不等式。-3）[（1-如+（"3）]<0的解集为（

）

A.（-8,----）|J（3,+oc）B.（-8,3切（---,+℃）

5.（2024秋•大兴区期末）关于x的不等式62+加+以0（心0）的解集不可能是（）

A.RB.[-1,1]C.0D.[-1,+O0）

6.（2024秋•佛山期末）若关于x的方程Y-次+4=0有两相异实根演，x2,且0<玉<々<4,

则实数〃的取值范围是（)

9

A.(-00,-4)U(4,+8)B.(0,5)

C.（4,5）D.（4,8）

7.（2024秋•固镇县期末）关于x的不等式m+i）x+”0的解集中恰有1个整数，则实数〃

的取值范围是（）

A.（-1,0]|J[2,3）B.[-2,-1）0（3,4]

C.[-1,0）52,3]D.（-2,-1）U（3，4）

8.（2024秋•屯溪区期末）若关于x的不等式X2-（〃?+I）X+9.0在0,4]上有解,则实数〃?的最

小值为（）

A.9B.5C.6D.—

4

9.（2024秋•宿迁期末）设a,b,C为实数，不等式+bx+c>0的解集是{x|x<l或x>3},

则b-4的最大值为（）

c

A.B.日「4百n4G

3333

10.（2024秋•济南期末）若MwR,mx2+2(,H-3)x+4„0.则实数〃?的取值范围为()

A.（1,9）B.(一8,0)

C.（-oo,1）59,+00）D.(一8,1111[9，+oo)

二.多选题（共4小题）

（多选）11.（2025•余姚市模拟）关于x的一元二次不等式班+1>0的解集为则下

列成立的是（）

A.a2+b2=5B.a+b=-3C.ab=-2D.—=2

b

（多选）12.（2024秋•西峰区期末）关于x的不等式/+*+34>0的解集为H的充分不必要条

件有（）

10

A.Iga=1B.0<a<12C.l<a<llD.-1<a<15

（多选）13.（2024秋•南昌县期末）己知关于入的不等式分，+Zxv+c...0的解集为{x|-3”％,4},

则下列说法正确的是（）

A.a<0

B.不等式ex2-bx+a<0的解集为{x\--<x<-}

43

C.a十人+c<0

D.二一+£的最小值为-4

3b+42

（多选）14.（2024秋•日照期末）己知关于x的不等式ad+8x+c...O的解集为{x|-3”x”4},则（

）

A.a<0

B.a+b+c<0

C.不等式ex?-6x+a<0的解集为{x|--<x<-}

43

D.上+£的最小值为6

3"12

三.填空题（共4小题）

15.（2025春•宝山区月考）已知不等式/+26+5<0的解集为"|一2<、<3},则实数

ab=.

16.（2025•南通模拟）已知二次不等式/一人+2〃-3<0（|勺解集为（中士），-+—<2,则力的