一元一次方程的应用（二）（12大题型提分练）解析版-2024七年级数学上册（浙教版）

（浙教版）七年级上册数学《第5章一元一次方程》

5.5一元一次方程的应用（二）

A知识归纳

知识点一元一次方程的应用

★1、列方程解应用题的步骤：

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数.

3.列：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

★2、设未知数的常见方法

（1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。

（2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。

（3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉,

设而不求。

★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

B题型归纳」

题型一行程问题……相遇问题

解题技巧提炼

相遇问题：

甲的行程+乙的行程二甲、乙出发点之间的距离;

若甲、乙同时出发，则甲用的时间二乙用的时间;

1.（2023•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七

日至长安.今乙发己先二日，甲仍发长安.问儿何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国

出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，

则可列方程（）

x+2xx-2xxx+2xX-2

A.——+-=1B.——+-=1C.一+——=1D.一+——=1

75757575

%—2x

【分析】根据题意设乙出发X日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的;［和］，进而得出等式.

【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（X-2）日，故可列方程为：

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出•元•次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键.

2.（2024•路南区开学）A、8两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、8两地相对开出，经过8小时相

遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（）千米/时.

A.60B.70C.75D.85

【分析】设乙车的速度是x千米/时，利用路程=速度X时间，结合两车经过8小时相遇，可列出关于x

的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设乙车的速度是工千米/时，

根据题意得：50X8+8工=960,

解得：x=10,

・•・乙车的速度是70千米/时.

故选：B.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

3.甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一

只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗

共跑了米.

【分析】根据甲的路程+乙的路程=400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速度

即为小狗跑的路程.

【解答】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒.

2A+3X=400,

解得％=80,

J小狗跑了80-6=74秒，

，小狗跑的路程为74X6=444米，

故答案为444.

【点评】考查一元一次方程的应用，得到小狗跑步的时间是解决本题的突破点.

4.（2023秋•青云谱区期末）甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以每小时50千米的速度从甲站出发开

往乙站.1小时后，一辆快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站.那么快车开出后几小时与慢车相遇？

【分析［设快车开出x小时后与慢车相遇，等量关系为：慢车（x+l）小时的路程+快车x小时的路程=275,

把相关数值代入求值即可.

【解答】解：设快车开出后X小时与慢车相遇.

由题意得:50（1+x）+75x=275,

解得：x=看.

9

答：快车开出后£小时与慢车相遇.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，得到相遇问题中的路程的等量关系是解决本题的关键.

5.小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行.出发后

2人两人相遇.相遇时小刚比小强多行进24包z,相遇后0.5人小刚回到人地.

（I）两人的行进速度分别是多少？

（2）相遇后经过多少时间小强到达A地？

【分析1此题为相遇问题，可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从

而列出方程求出解.

【解答】解：（1）设小刚的速度为工切?/力，

则相遇时小刚走了小强走了（2x・24）小,

由题意得，2.v-24=0.5x,

解得：x=16,

则小强的速度为：（2X16-24）+2=4（km/h）,

答：两人的行进速度分别是16kmJh,4如小；

（2）2X164-4=8（〃）.

答：相遇后经过8〃小强到达A地.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系，列方程求解.

6.（2023秋•泸县校级期末）甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千

米/时：快车开出30分钟M，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时.设慢车行驶的时间

为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题.

（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；

（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程.

【分析】（I）根据快车与慢车相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900,列出方程，求解即可解

答；

（2）当两车之间的距离为315T・米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢

车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；

③当快车到达乙地,快车行驶了7.5小时,慢车行驶了7小时,7X90=630315,此种情况不存在.

【解答】解：（1）由题意得，

120（x+0,5）+90x=900,

解得：x=4,

・•・慢车行驶的时间为4小时；

（2）①两车相遇前相距315千米，

!20（x+0.5）+90^=900-315,

解得：-V—2.5,

此时快车行驶的路程：120X（2.5+0.5）=360（千米）；

②两车相遇后相距315千米，

120（x+0.5）+90^=900+315,

解得：x=5.5,

此时快车行驶的路程：120X（5.5+0.5）=720（千米）；

③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7X90=630>3l5,此种情况不存在；

・•・当两车之间的距离为315「米时，快车所行的路程为360千米或720千米.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目意思，根据题目所给条件，找出合适的

等量关系列出方程，再求解.

7.（2023秋•锡山区校级月考）甲、乙两人分别从相距100k〃的A、8两地同时出发相向而行，并以各自

的速度匀速行驶.甲出发2〃后到达8地立即按原路返回，返回时速度提高了30Am小，回到A地后在A地

休息等乙，乙在出发54后到达4地.

（友情提醒：可以借助用线段图分析题目）

（I）乙的速度是km/h,甲从A地到B地的速度是km/h,甲在出发小时到达A地.

（2）出发多长时间两人首次相遇？

（3）出发多长时间时，两人相距30千米？

【分析】（1）利用路程除以速度得出甲、乙的速度即可；利月路程除以甲返回时速度求得返回时间再加

上从A地到8地的时间即可：

（2）设出发4小时两人相遇，根据两人所行路程和为100k〃列出方程解答即可;

（3）设出发。小时，两人相距30千米，根据相遇前、相遇后、甲返回A地追上乙前、甲返回4地追上乙

后、当甲到达A地后，乙行驶了65km五种情况列出方程解答即可.

【解答】解：（1）乙的速度是100・5=20心〃〃?，甲从4地到B地的速度是100:2=50切汕，甲在出发

2+1004-(50+30)=3.25小时到达A地;

（2）设出发X小时两人相遇，由题意得

5（lv+20x=100

解得：户手

答：出发一小时两人相遇.

（3）设出发。小时，两人相距30千米，由题意得

50。+20。=100-30或50。+20。=100+30或20。・（50+30）-2）=30或（50+30）（«-2）-20^=30

或20Q-65+20)=100-65-30,

或a=竽或a=圣或a=普或

解得：a=。=3.5

答：出发］或亍或式或£或3.5小时，两人相距3。千米.

【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中H勺基本数量关系是解决问题的关键，注意分

类讨论思想的渗透.

题型二行程问题,…”追击问题

解题技巧提炼

追击问题：

快者走的路程一慢者路程=追击路程；

若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间二慢者用的时间；

1.小明跟小亮在400米的环形跑道上进行长跑训练，已知小明的速度为6米/秒，小亮的速度为5米/秒,

他们俩同时同地同向出发，经过多少秒后小明第一次追上小亮：则可列方程为（）

A.6x+5x=400B.6x-5x=400C.6^=400-5xD.6x=5x-400

【分析】设经过x秒后小明第一次追上小亮，小明第一次追上小亮，则小明多走400米，据此列出一元一

次方程.

【解答】解：设经过x秒后小明第一次追上小亮,

根据题意可知，小明第一次追上小亮，则小明多走400米，

即6x-5x=400,

故选：B.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解题的关键是掌握两人第一次相遇，则小明

多走400米，此题难度不大.

2.(2023秋•馆陶县期末)某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以软〃丽的速度从学校出

发，20加〃后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12如力的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上

队伍？设小王要用X"才能追上队伍，那么可列出的方程是()

A,⑵=4(x+20)B.12x=4(-+x)

3

11

C.12A=4X+xD.4x=12(一+x)

?33

11

【分析】由小王比队伍晚出发二队可得出小王追上队伍时队伍出发了(-+.r)h,利用路程=速度X时间.

33

结合小王追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：•・•小王比队伍晚出发孑(20〃而)，且小王要用x/z才能追上队伍，

・•・小王追上队伍时，队伍出发了弓+x)h.

依题意得：12x=4+x).

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关

键.

3.(2023春•泉港区期末)我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驾马日行一

百五十里；鸳马先行一十二日，问良马几何追及之.其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里;

劣马先走12天.问良马几天可以追上劣马？

【分析】设良马x天追上劣马，根据题意列出方程可求解.

【解答】解：设良马x天追上劣马，

由题意可得:240x=150(x+12),

8A=5(x+12),

Ax—20»

答：良马20天追上劣马.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意解题的关键.

4.(2023秋•莘县校级月考)阳光中学七年级学生从学校出发去郊游，带队的老师和学生们以4心血的速

度步行前进，20〃而后，小明骑自行车前去追赶.已知小明骑刍行车速度比队伍步行速度多8kmih,那么

小明要用多少时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？

【分析】设小明要用X。才能追上队伍，则队伍行走的时间是：x+bh.根据他们所行驶的路程相等列出

方程并求得X的值；然后根据路程=时间X速度计算队伍行走的路程.

【解答】解：设小明要用X。才能追上队伍，则队伍行走的时间是(x+1)h,

根据题意，得4(A-4-i)=(4+8)x,

解得x=g.

111

所以4(x+i)=4(-+-)=2.

363

答：小明要用;小时才能追上队伍，此时队伍已行走了2公〃.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系列出方程，再求解.

5.小明每天早上要在7：5()之前赶到距家10()0米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分

钟后，小明的爸爸发现他忘了带涪文课本，于是爸爸立即以18()米/分的速度去追小明，并且在途中追上了

他.

(1)爸爸追上小明用了多长时间？

(2)追上小明时，距离学校还有多远？

【分析】(1)设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明

和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解；

(2)根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可.

【解答】解：(1)先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了(x+5)分钟，

由题意得：80(x+5)=I80r,

解得：x=4,

7180X4=720(米)V1000米，

所以，小明爸爸追上小明用了4分钟.

(2)小明此时已经行走的路程为：180X4=720米，

・•・追上小明时，距离学校的距离为：1000-720=280米.

【点评】本题考查•元•次方程的应用问题，关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行

路程相等，列出方程求解.

6.（2023秋•城阳区期末）4,8两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往8地，速度为每小时15千米，

1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米.

（1）乙出发多长时间后能追上甲？

（2）若乙到达3地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距8地多少千米？

【分析】（I）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程=速度X时间，结

合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设返回途中与甲相遇的地点距8地），千米，利用时间=路程+速度，结合甲比乙早出发1小时，即

可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，

依题意得:40x=15（x+1）,

解得：尸卷.

答：乙出发1小时后能追上甲.

（2）设返回途中与甲相遇的地点距8地），千米，

依题意得：牛嘿=］，

1540

解得：＞'=10.

答：若乙到达8地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地1。千米.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

7.（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒.

（I）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？

（2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由）

【分析】（1）设小亮经过x秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程即可求解；

（2）设小亮经过），秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程可求解），值，即可求解追

上时两人跑过的路程，进而可求解..

【解答】解：（1）设小亮经过）秒追上小明，

依题意得6%+6义3=7.5心

解得x=12,

答：若小明先跑3秒，小亮经过12秒追上小明：

（2）若小明先跑4秒，设小亮经过），秒追上小明，

则6.V+6X4=7.5y,

解得y=16（秒），

A7.5y=7.5X16=120m>100m,

故小亮不能追上小明.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.

题型三行程问题一航行问题

解题技巧提炼

航行问题：

顺流速度二将水速度+水流速度；逆流速度二静水速度一水流速度.

顺风速度=无风速度+风速；逆风速度=无风速度一风速.

往返于A、B两地时，顺流（风）航程二逆流（风）航程

.（2023秋•沙坪坝区校级期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿

问一一洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺

流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时弘“求沿河、洪渡古镇两码头

旬的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为xh〃，则所列方程为（）

XXXXXXXX

A.-+3=-B.-=-+9C.--3=-+3D.-+3=--3

23232323

【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为根据题意，列出方程，即可求解.

【解答】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为人为〃，根据题意得：

XX

一一3=一+3.

23

故选：C.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

2.（2023秋•南岗区校级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2//；从乙码头返回甲码头逆流

而行，用了2.5爪已知水流速度是弘加爪则船在静水中的平均速度是km/h.

【分析】设船在静水中的平均速度是xk〃小，利用路程=速度X时间，结合甲、乙码头间的路程不变，可

列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设船在静水中的平均速度是％切?仍，

根据题意得：2根+3）=2.5（广3）,

解得：x=27,

・•・船在静水中的平均速度是21hn!h.

故答案为：27.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

3.（2024春•阳新县期末）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用

6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为千米/小时.

【分析】设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，利用顺流的速度-轮船在静水中的速度=轮船在静水

中的速度-逆流的速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该轮船在静水中的速度.

【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/小时,

依题意得：了90一尸尸q备n，

解得：x=12.

故答案为：12.

【点评】本题考杳了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

4.（2023秋•金乡县月考）一架飞机在A,B两个海岛之间飞行，无风时每小时飞行2100千米，在一次

往返飞行中，飞机顺风飞行用了1.5小时，逆风飞行用了2小时，则这次飞行的风速为.

【分析】设这次飞行的风速为每小时x千米，根据等量关系：两个城市之间的距禽不变，即逆风速度X逆

风时间=顺风速度X顺风时间，列出方程解方程即可.

【解答】解：设这次飞行的风速为每小时％千米，根据题意得:

（2100+X）X1.5=（2100-x）X2,

解得：x=300.

答：这次飞行的风速为300千米/时.

故答案为：300千米/时.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题需注意：逆风速度=无风速度-风速；顺风速度=无

风速度+风速.

5.一艘轮船在静水中的速度为30k向h,水流速度为2km/h,在某两地之间顺流航行比逆流航行少用2h,

则两地之间的路程为多少km?

【分析】直接利用在某两地之间顺流航行比逆流航行少用24得等式求出答案.

【解答】解：设两地之间的路程为xh〃，根据题意可得：

xx

---=-----2,

30+230-2

解得：x=448,

答：两地之间的路程为448km.

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.

6.一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了2.8小时：从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时.已

知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度.

【分析】设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，逆

风航行时的平均速度为（x-24）千米/时，根据A,B两个城市之间的航行长度不变，即可得出关于x的一

元一次方程，解之即可得出飞机在无风航行时的平均速度.

【解答】解：设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，

逆风航行时的平均速度为（片24）千米/时，

依题意得:2.8（x+24）=3（x-24）,

解得：J=696.

答：飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时.

【点评】本题考查了一元一•次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元•次方程是解题的关键.

7.（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游.一艘船在静水中每小时航行20

千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距

离.

【分析】根据“一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中”可得顺水速度

为20+4=24（千米/时），逆水速度为20-4=16（千米/时），设甲、乙两码头之间的距离为x千米，根

据顺水从甲到乙的时间+逆水从乙到甲的时间=12.5列出方程，求解即可.

【解答】解：•・•一艘船在静水中每小时航行20T・米，在水流速度为每小时4千米的江中，

，顺水速度为20+4=24（千米/时），逆水速度为20-4=16（千米/时），

设甲、乙两码头之间的距离为x千米，

xX

根据题意得：—+—=12.5,

解得：x=120,

・•・甲、乙两码头之间的距离为120千米.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找出题目中的等量关系列出方程是解题关键.

题型四行程问题……环形跑道问题

解题技巧提炼

环形跑道问题：

同相向而行的等量关系：乙程-甲程二跑道长；背向而行的等量关系：乙程+甲程二跑

道长.

2

1.甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000〃?，乙的速度是80加加〃，甲的速度是乙的速度的9且

甲在乙后2400〃?，两人同时出发，同向而行.则两人第一次相遇是在出发后（）

A.120minB.60minC.SOminD.90〃”〃

【分析】设两人第一次相遇是在出发后xmin,利用二人的速度之差x第一次相遇所需时间=二者之间的距

离，即可得出关于工的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设两人第一次相遇是在出发后m而，

依题意得：（80-经80）x=4000-2400,

解得：x=60.

故选：B.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程

是解题的关键.

2.如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，

乙从4以71米/分的速度行走，当乙第•次追上甲时在等边三角形的（〉

B7J~~>

A.AB边上B.点8处C.边上D.AC边上

【分析】首先求得乙追上甲所用的时间，然后求得甲所走的路程，从而确定被追上的位置.

【解答】解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71・65）x=60,

解得：x=10,

故甲走的路程为650米，

76504-90=7-20,

・••甲此时在4B边上.或者按照乙来考虑，乙走的路程为710大，

710+90=7...80,也说明此时乙在AB边上，

故选:A.

【点评】本题考杳了一元一次方程的应用，解题的关键是求得乙追上甲所用的时间，难度不大.

3.（2023秋•市中区期末）如图，电子蚂蚁P、Q在边长为I个单位长度的正方形A8CO的边上运动，电

31

子蚂蚁P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以&个单

位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动.它们第2022次相遇在（）

B.点、BC.点CD.点。

【分析】设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇•次，根据正方形周长=二者速度之和X时间，可求出两只电子蚂

蚁相遇一次的时间，再结合电子蚂蚁。的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、

第4次、第5次……相遇点，根据相遇点的变化规律可得出结沦.

【解答】解：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，

根据题意得：（-+-）x=lX4,

22

解得：x=2.

•・・电子蚂蚁Q从点A出发，以］个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，

2秒后它到达B点，即第一次它为相遇在3点，

・••第2次相遇在C点，第3次相遇在。点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，….

XV20224-4=505……2,

・•・第2022次相遇和第2次相遇地点相同，即第2022次相遇在点C.

故选：C.

【点评】本题考查了相遇问题，计算出相遇时间，得到相遇位置的规律，是解决本题的关键.

4.甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙

多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最题距离是米.

【分析】此题利用环形跑道的相遇问题的数量关系：相遇时间X速度和=环形跑道的长度X圈数（相遇次

数），设乙每秒行x米，甲每秒行（.t+0.1）米，列出方程解答即可.

【解答】解：设乙每秒行工米，则甲每秒行（A+0.1）米，根据题意列方程得，

8X60X（A+.r+0.1）=400X3,

解得x=1.2,

则在8分钟内,乙共行：1.2X60X8=576（米），

去掉乙走过「一整圈400米，还余176米，由于不足200米，是相遇地点沿跑道距A点的最质距离.

故填176.

【点评】此题考查相遇问题的数量关系：相遇时间X速度和=总路程，解答时抓住环形跑道的特点，灵活

运用数量关系.

5.甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前1（X）米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每

分钟135米，若两人同向出发，经过分钟后乙首次追上甲.

【分析】设经过x分钟后乙首次追上甲，根据两人所行的路程差为100米，列出方程解答即可.

【解答】解：设经过x分钟后乙首次追上甲，

由题意得135x-115x=100,

解得:x=5.

所以经过5分钟后乙首次追上甲.

故答案为：5.

【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键.

6.（2023秋•碧江区期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6

米，甲每秒跑8米.

（I）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

【分析】（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据两人行走的总路程为（400-8）或8米，可得出方

程，解出即可；

（2）设经过），秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走（400-8）米，可得出方程，解出即可.

【解答】解：（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得：

8A+6X=400-8,

解得：x=28；

或：8x+6x=8,

解得：工=争（不符合现实，舍去），

答：经过28秒，两人首次相遇；

（2）设经过），秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得:

8v-6^=400-8,

解得：y=196.

答：经过196秒后两人首次相遇.

【点评】本题考查了环形跑道问题，解答本题的关键是仔细审题，埋解每种情况下两人所走路程之间的关

系.

7.周末小明和爸爸在300/〃的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后

两人有如下对话：

（1）请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度:

（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距100〃??

小明：你要两

分钟才能第一

次追上我.

-/

【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，根据爸爸2分钟才能第

一次追上小明，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设在第二次相遇前，再经过），分钟，小明和爸爸在跑道上相距100米，分爸爸又比小明多骑了1（）0

米及爸爸又比小明多骑了（30（）-100）米两种情况考虑，利用路程=速度X时间，即可得出关于），的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为Zt米/分钟,

依题意得：2（2v-x）=300,

解得：x=150.

答：小明的骑行速度为150米/分钟.

（2）设在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸在跑道上相距100米，

①爸爸又比小明多骑了100米，

依题意得：2X150v-150y=100,

解得：y=

②爸爸又比小明多骑了（300-100）米，

依题意得：2义15O.v・150y=300-100,

解得：y=

答：在第一次相遇前，再经过;分钟或;分钟,小明和爸爸在跑道上相距100米.

33

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

题型五火车过桥（隧道）问题

解题技巧提炼

不同情况的分析：

①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度.

②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度.

.（2023秋•长安区校级期末）一列长280/〃的列车过一座长1000〃？的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着

I个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64$,则列车的速度为（）

A.15mlsB.24m/sC.2（）m/sD.25nils

【分析】设列车的速度为x〃心，由题意：一列长280〃?的列车过一座长1000〃?的桥，当列车刖上桥头时，

车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s,列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：设列车的速度为％机/s,

由题意得：64x=1000+280,

解得：x=20,

即列车的速度为20加s,

故选：c.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出i元一次方程是解题的关键.

2.一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，

灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（）米.

400

A.—B.133C.200D.400

3

【分析】设火车的长为x米，根据经过一条长4U0米的隧道需要3。秒的时间，灯光照在火车上的时间是

10秒和火车的速度不变，列出方程求解即可.

【解答】解：设火车的长为工米，由题意得：

400+xX

30-10,

解得：x=200.

答：这列火车的长度是200米.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出

合适的等量关系列出方程，再求解.

3.（2024春•黔江区期末）一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256机隧道（即从车头

进入入I」到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96〃?隧道，则这列火车长（）米.

4.120B.140C.160D.180

【分析】设这列火车的长度为工加，根据速度=路程♦时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的•元

一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设这列火车的长度为负小

依题意得：胃3=整，

2616

解得x=160.

答：这列火车的长度为160/〃，

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式.

4.（2023秋•怀宁县期末）安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江

水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米.现有一列动车从桥上通

过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒.则这列动车长为（）

A.400mB.300〃，C.200加D.100/72

【分析】设这列动车长为x米，根据动车从开始.上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间

3000+x空二，即可解得答案.

是70秒得:

80一

【解答】解：设这列动车长为x米,

30004-X3000-X

根据题意得:

80-70

解得x=200,

二这歹恸车长为2（）（）米；

故选：C.

【点评】本题考杳一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程解决问题.

5.（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一袋长为310〃?的隧道需要18秒，隧道的顶上

有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为।

【分析】设这列火车的长度为山〃，利用速度=路程+时间，结合火车的速度不变，可列出关于x的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设这列火车的长度为山〃,

310+xx

根据题意得:

18-8

解得：x=248,

这歹1J火车的长度为248/〃.

故答案为：248.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

6.一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，

灯光照在火车上的时间是10秒.求这列火车的长度.

小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：

设这列火车的长度是x米，那么

（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是一米，这段时间内火车的平均速度是一米

/秒；

（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度

是米/秒；

（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是：

（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）

【分析】（1）根据火车长度为"〃，根据题意列出代数式即可;

（2）根据题意列出代数式即可;

（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化;

（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果.

【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为笛〃,

X

这段时间内火车的平均速度行〃心.

故答案为…击

（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）办

X+300

这段时间内火车的平均速度为------------Itl/S.

20

故答案为：E3。。）；钾

（3）速度没有发生变化，即火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等.

故答案为：相等;

xx+300

（4）根据题意得：—=—^~

解得：x=300.

答：这列火车的长度300〃?.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题注意理解“完全通过”的含义，完全通过：火车所

走的路程=隧道长度+火车长度.

题型六古代数学问题

解题技巧提炼

调配问题:

调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系.解这类题要注

意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系.

.（2022秋•桂平市期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物

价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人已7元，则少

了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（）

A.6人，52元B.5人，37元C.8人，60元D.7人，53元

【分析】设有X个人，根据题意列方程求解即可.

【解答】解：设有x个人，

根据题意得，8.V-3=7.v+4,

解得x=7,

7X8-3=53（元），

故选:D.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等审关系列方程求解是解题的关键.

2.（2024春•巴南区校级期中）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；

二人共车，九人步.问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆

车，最终有9人无车可乘.问车有几辆？”则该问题中车的数量是（）

A.16辆B.15辆C.14辆D.13辆

【分析】人数是定值，列一元一次方程可解此题.

【解答】解：设有x辆车，则有3（x-2）人,

根据题意得：2r+9=3（x-2）,

解的：x=15,

・・.有15辆车，

故选：13.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键.

3.（2023秋•泊头市期末）唐代大诗人李白喜好饮泗作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇

见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍•，再喝掉其中的5升酒.按照这样的约定，若遇见第3个

朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（）

7535155

A.77升B.7■升C.-fl-D.二升

16842

【分析】设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一

元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设壶中原来有酒x升，

根据题意得：2[2（据・5）-5]-5=0,

解得:X=胃,

35

・•・壶中原来有酒可升.

故选：B.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关犍.

4.（2024秋•蓝田县月考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，

中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3X3表格，其每行、每列、

每条对角线上三个数字之和都用等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则口），的值为（）

【分析】根据“三阶幻方”的知识分别列出关于小），的一元一次方程并求解，然后代入求值即可.

【解答】解:根据题意，可得"0+（-5）=1+（-2）+（-5）,

解得x=-I，

y+（~2）=I+（-I）,

解得＞'=2,

•\x+y=-1+2=1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定ry的值是解题关键.

5.（2023秋•双峰县期末）（古代数学问题）直出七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问

俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契

约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长是步.（一亩=240平方步）

【分析】设此矩形田的宽为x