弦图模型巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

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弦图模型巩固练习

1.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你

来解一解：如图，将平行四边形力8CQ的四边AB.BC、CO分别延长至E、F、G、H,使得力七=

CG,BF=DH,连接月/，FG,GH,HE.求证：四边形EFG”为平行四边形.

【分析】根据平行四边形的性质得到＜8=CO,/BCD=/BAD,根据平角的定义得到/〃CG=N£4凡根

据启动建设性的性质得到£尸=。〃，同理于是得到结论.

【解答】证明：••,四边形是平行四边形，

：.AB=CD,ZBCD=ZBAD,

VZHCG=180°-NBCD,NE/尸=180°-NBAD,

：./HCG=/EAF,

•:BF=DH,

:・AF=CH,

丁•△HCG公AFAE（SAS'）,

:・EF=GH,

同理EH=GF,

・•・四边形£FG〃为平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和

性质定理是解题的关健.

2.勾股定理是一条古老的数学定理，它由很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进

行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”

进行第一次“谈话”的语言.

（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）.

（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a,〃为底，以"〃为高的直角梯形（如图2）,请你利

用图2,验证勾股定理.

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(3)利用图2中的直角梯形中线段8c与力。的大小关系，可以证明请完成其证明•

【分析】(1)根据勾股定理即可求解；

(2)利用S悌形ABCD=SR4BE+SRI&DEC+SR-ED进行证明即可；

(3)在直角梯形力8c。中，BCVAD,由于已证△4EQ是直角三角形，那么利用勾股定理有力。=嫄如从

而可证誓V&.

【解答】解：(1)如果直角三角形的两直角边长分别为人b,斜边长为c,那么。2+〃=/.

(2)•:R&BE经Rt/\ECD,

NAEB=/EDC,

又T/EDC+/DEC=90。,

:・/AEB+NDEC=90°,

AZJED=90°.

「S梯形ABCD-SRt4ABE+SRt&DEc+SRt^AED，

W(〃+6)(〃+〃)=\ah4-\ab+^c2,

ZZZx

整理，得理+加=。2.

(3)'：AD=\I2C,BC<AD,

:・a+b<y^c,即---<Zy/2.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，本题利用了全等二角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知

识.

3.(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等

的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1),这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在

直角三角形中两直角边〃、力与斜边c满足关系式/+从=/,称为勾股定理.

证明：•・•大正方形面积表示为5=/,又可表示为S=4x1H(b-〃)2,

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/.4x^ab+(b-a)2=c2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2）,也能验证这个结论,

请你帮助小明完成验证的过程.

（3）如图3所示，ZABC=ZACE=90°,请你添加适当的辅助线，证明结论〃+62=。2.

图1图2图3

【分析】（1）化简可得结论；

（2）根据四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积=大正方形的面积，即可证明;

（3）如图3,作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论.

【解答】证明：（1）•••大正方形面积表示为5=/,乂可表示为S=4x）b+（方-〃）2,

/.4x(b-a)2—ci.

・・.2a^+〃2,2«〃+“2=C2,

・・・。2+川=°2,

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

故答案为：。2+62=%

（2）证明：由图得，大正方形面积=；xMX4+/=（a+b）X（a+b）,

整理得，2ah+c2=a2+b2+2ab,

即/+〃=/；

（3）如图3,过力作/尸_L4氏过e作E/ZL片尸于尸，交BC的延长线于。，则四边形48。厂是矩形,

图3

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【分析】（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值,

即可证明；

（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形力8。。的周长；

（3）先根据高的定义画出4。，由（1）中结论求出4c的长，再根据△4EC的面积不变列式，即可求出高

的长.

【解答】⑴证明：由图得，:xMX4+/=（a+b）X（〃+力），

整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab,

即“2+〃=/：

（2）解：Va=3,6=4,

.*.（?=\'«2+b2=5,

梯形力BCD的周长为：a+c+3“+c—4a+2c=4X3+2X5=22；

（3）解：如图，8。是△/4C的高.

,/S2BC=%C・BD=%BX3,AC=V'42+32=5,

.3AB3x39

•-BD=^=~=S'

图4

【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理.，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与面积，锻

炼了同学们的数形结合的思想方法.

5.（1）问题情境：

勾股定理是一条占老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”

利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“元字证明”也颇为神奇，证明大需用任何数

学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出.

如图1和2,将4个全等的直角三角形拼成边长为（研方）的正方形，使中间留下一个边长为c的空白正方

形，画出边长为（a+力）的正方形，再移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为。和〃的两

个空白正方形.则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即。』标+死：

（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面枳法证明，美国总统伽菲尔德在1876

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年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：

(3)问题拓展：已知心△/8C的两直角边分别为a,b,斜边为c,求证：等W就.

a

图1图2图3

【分析】(1)结合图形可知得到/=/+/；

(2)可以利用梯形减去两个黑色直角三角形的面枳，整理可得到。2=小+〃，可证得结论；

(3)可把不等式两边平方，再结合勾股定理可证得.

【解答】(1)解：在图1中，白色部分为边为c的正方形，其面积为。2,

在图2中，白色部分为边长分别为a和8的两个正方形，其面积和为/+〃，

而人ac是直角三角形的三边，所以有/=/+〃,

故答案为：+为;

(2)证明：:S白三角形=S梯形・2S黑三角形，

Ay2=1(a+b)(a+b)-2X^ab,

即回=£?十〃；

(3)证明：YOW(a-b)2,

:.2ab^a2^h2,

：.a2+b2+2ab^2(a2+b2),

•••。2+62=-

・・・(a+6)2W2A

.•・『工2,

【点评】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的

应用.

6.综合与实践

正方形内“奇妙点”及性质探究:

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定义：如图1,在正方形48C。中，以8C为直径作半圆O,以。为圆心，。彳为半径作束，与半圆。交于

点P我们称点P为正方形力8co的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形力4CQ无论是位置关系

还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.

性质探究：如图2,连接。P并延长交48于点E,则。月为半圆。的切线.

证明：连接OP,OD.

由作图可知，DP=DC,OP=OC,

又，：0D=0D.•••△0尸。也△OCQ.CSSS）ZOPD=ZOCD=^°，。后是半圆。的切线.

问题解决：

（1）如图3,在图2的基础上，连接。及请判断N4OE和NCDO的数量关系，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段。£BE,CD之间的数量关系；

（3）如图4,已知点尸为正方形力8c。的一个“奇妙点”，点0为6c的中点，连接。户并延长交力8于点

E,连接CP并延长交48于点八请写出和月4的数量关系，并说明理由；

（4）如图5,已知点七，F,G,〃为正方形，&?£＞的四个“奇妙点”连接力G,BH,CE,。尸，恰好得到

一个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到/OPO=NOCO=90°,ZPOD=ZCOD,ZCDO=ZPDO=1

"DC，于是得到N8OP=NPOC,根据全等三角形的性质得到/POE=NBOE='80P.于是得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到PO=OC,根据线段的和差即可得到结论；

（3）如图4,连接OE,OD,根据三角函数的定义得到葛=母二也于是得到BE=沏^N沏：制C,

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根据正方形的性质即可得到结论：

(4)答案不唯一，根据图形即可得到结论.

【解答】解：(1)NBOE=NCDO,

理由如下：,:PD=DC,OD=OD,OP=OC,

：.^OPD^AOCD(555),

：.NOPD=NOCD=90°,ZPOD=ZCOD,ZCDO=ZPDO=|zPDC,

AZPOC+ZPZ)C=3600-NOPD-NOCO=180°,

・•・/尸OC+N8O尸=180°,

・•・ZBOP=ZPDC,

在RtAPOE和RiABOE中，

*：OE=OE,OP=OB,

:.区POE沿4BOE(HL),

：.ZPOE=NB0E=1480P.

VZCDO=ZPD0=|zPDC,

：./BOE=NCDO；

(2)线段。E,BE,C'。之间的数量关系是QE=8E+CO,

理由：由(1)知，△(?尸。乌△OC。，△POE/4BOE,

：.PD=DC,PE=BE,

*：DE=PE+PD,

:・DE=CD+BE；

(3)如图4,连接OE,OD,

Ai-----------------/-^f\D

（图4）

由（1）可知，4BOE=NCDO,

又7/台二/口:少二瓠。，点。为〃。的中点,

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/.tanZBOE=tanZCDO,

,,'BO='DC=2,

ABE=^BO=^x^BC=^BC,

•・•四边形488是正方形，

：.AB=BC,

ABE='8；

•・•点£是正方形ABCD的“奇妙点”，

：,DE=CD,

•:DF上CE,

工EF=CF,

；・EF=；CE,

・,・设斯=a,则CE=2"，

:AABH的面积=、X2a=/,正方形EFGH的面积=/,

:AABH的面积=正方形EFGH的面积；同理正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的!等等.

【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，全等二角形的判定和性质，解直角二角形，正确的识别

图形是解题的关键.

7.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为。，较短的直角边为

斜边长为c,结合图①，试验证勾股定理.

（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成K镖状，己知外围轮廓（粗线）的周长为24,OC=

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3,求该飞镖状图案的面积.

（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形/4CQ,正方形EFG//,正方形MNKT

40

的面积分别为&，S2,S3,若SI+S2+S3=40,则S2=_^_.

D

【分析】（1）通过图中小正方形面枳证明勾股