线段的垂直平分线-2024湘教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

4.6线段的垂直平分线湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，在△A8C中，AB=AC,4B的中垂线交AB于点。，交4C于点E,连接BE,

若ABCE的周长为7,且=则ZiABC的周长为（）

A.9

B.10

C.11

D.12

2.如图，在△48C中，^BAC=90°,AB=3,AC=4,8c=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一

点，则4P+8P的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD匕一点，且BC=EC,CT1BE交48于点尸，P是EB延长

线上一点，下列结论：①BE平分匕C8F：②CF平分乙DCB；③BC=FB；④PF=PC淇中正确结论的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在△A8C中，ZC=84°,分别以点4B为圆心，大于^力8的长为半径作弧，两弧分别交于点M,

N（点M在48上方），作直线MN交4c边于点D；在84和8C上分别截取BE,BF，使BE=BF,分别以点E,

尸为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在418c内交于点P,作射线8P.若射线8P恰好经过点D,则乙4

C.32°D.16°

5.如图，在△A8C中，按下列步骤作图:

A

第一步:在45,AC上分别截取AD,AE,使40=4E；

第二步:分别以点D,E为圆心、适当长（大于0E的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点F；

第三步:作射线力广交BCF点M：

第四步:过点M作MN14B于点N.

下列结论中，一定成立的是（）

A.CM=MNB.AC=AN

C.LCAM=LBAMD.Z.CMA=乙NMA

6如图,在ABE中,Z-C=90°,按以下步骤作图：①利用尺规在BC,B4上分别截取BE,BD,使

BE=BD；②分别以点。，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在NCBA内交于点尸；③作射线3尸

交4c于点G.若△8CG的面积为4,8c=4,P为A8上一动点，则GP的最小值为（）

C.3D.2

7.如图，在A/IBC中，AB=AC,AD,BE是△48C的两条中线，P是上一动点,

则下列线段的长度等于PC+PE的最小值的是（）

A.BE

B.AD

C.AC

D.3C

8.如图，在A/IBC中，Z-C=90°,48=30。，以4为圆心，任意长为半径画弧分别交48、4c于点M和N,

再分别以M、N为圆心，大于;MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接4P并延长交8。于点D,则下列说

法中正确的个数是（）

①AO是484C的平分线；@LADC=60°；③点。在48的垂直平分线上；④若力0=2dm,则点。至必8的

距离是1dm；G）S4DAC：S&DAB=1：3.

A.2B.3C.4D.5

9.如图，在△ABC中，4。是BC的垂直平分线，交BC于点D.若8c=8,AD=6,则图中阴影部分的面积

是（）

A.48B.24C.12D.6

10.如图，OE是△48C的边AB的亘直平分线，。为垂足，DE交AC于点、E,且力C=8,BC=5,则△BEC的

周长是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.如图，等腰△A8C的底边"=20,面枳为120,点F在边BC上，且8尸=A

3FC,£G是腰AC的垂直平分线，若点。在EG上运动，则△CDF周长的最小值/

为一.//

B

12.如图，在△ABC中，。是AC的中点，DEI4c交BC于£点。在DE上，且△OAB是等边三角形，。。=

1,0E=2,求8C的长为_______.

13.在RtzxABC中，ZC=90°,zS=30°,以顶点力为圆心，适当长为半径画弧,

分别交AC,于点E,尸；再分别以点E,尸为圆心，大于的长为半径画弧，

两弧交于点P,作射线｛尸交BCT点。.则。。与BO的数景关系是.

14.如图，在矩形力BCO中，48=6,4。=8.连接力。，在4c和4。上分别截取4E,力凡使4E=4尸，分别

以点E和点F为圆心，以大于;EF的长为半径作弧，两弧交于点G,作射线4G交CD于点H,则线段OH的长

是

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

如图，在R£Z\48C中，NA=90。，作BC的垂直平分线交AC于点D,延长"至点E,使CE=

(1)若AE=L求△AB。的周长；

(2)若人。=<8。，寸3tan44BC的值.

16.(本小题8分)

已知：P是00外一点.

p.D

(1)尺规作图：如图，过点P作出0。的两条切线尸E,PF,切点分别为E,“保留作图痕迹，不要求写作法

和证明)；

(2)在(1)的条件下，若点。在O。上(不与E,尸两点重合)，且2EP/=30。，求NEDF的度数.

17.(本小题8分)

己知：如图，团A8C中，EF是AB的垂直平分线，力。18。于点。，且。为CE的中点.

(2)若4BEF=55°,求4BAC的度数.

18.(本小题8分)

如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，团力8c的三个顶点力、B、C都在格点上.

(1)在图中画出与团力BC关于直线1成轴对称的团481G；

(2)在直线，上找出一点P,使得|P%-PC|的值最大，该最大值为一(保留作图痕迹并标上字母P)

(3)在正方形网格中存在个格点，使得该格点与8,C两点构成以BC为底边的等腰三角形.

19.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中有力，B两点，请在“轴上找一点C,将△4BC沿力C翻折，使点B的对应点。恰好

落在工轴上.

7A

•B

~d\«

(1)利用无刻度的直尺和圆规在图书找出所有符合条件的点C(不写作法，保留作图痕迹)：

(2)若点力的坐标为(1,4),点B的坐标为(5,2),请求出点C的坐标.

20.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AC<AB<EC,4。是高线，=a,4C=仇

(1)用直尺与圆规作NB4c的平分线4E(不写作法，保留作图痕迹).

(2)在⑴的前提下，判断①"40=/?②乙£4。=：(/?—a)中哪一个是正确的，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：T/B的中垂线交AB于点D,交AC于点E,

AE=BE,

•••△BCE的周长为7,

:.BC4-AC=7»

又•；AC-BC=1,

AC=4,BC=3,

••.△ABC的周长=2AC+BC=2x4+3=11.

故选：C.

利用中垂线得到BC+AC=7,再根据力C-8C=L解出AC=4,BC=3,继而得到结果.

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，明确点A、P、C在一条直线上时,

4P+PB有最小值是解题的关键.根据题意知8P=PC,故当点P在4c上时，4P+BP有最小值为4.

【解答】

解：如图，连接PC.

••・EF是8c的垂直平分线,

BP=PC

PA+BP=AP+PC.

••・兰点力，P,C在一条直线上时，P4+BP有最小值，最小值等于4c=4.

故选B.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰

三角形的性质是解题关键.

分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案.

【解答】

证明：•••8C=EC,

4CEB=乙CBE,

•••匹边形A8CD是平行四边形，

DC//AB,

:.乙CEB=Z-EBF,

:.乙CBE=Z.EBF,

.•.①BE平分NC8F.正确：

vBC=EC,CF1.BE,

Z.ECF=Z.BCF,

.•.②CF平分乙DC8,正确：

vDC//AB,

•••Z.DCF=乙CFB,

•••/.ECF=乙BCF,

:.Z.CFB=Z.BCF,

ABF=BC,

・•・③正确；

vFB=BC,CF1BE,

•••8E垂直平分FC,即P8垂直平分rC,

PF=PC,故④正确.

故选：0.

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】C

【解析】略

6.【答案】D

【解析】略

7.【答案】A

【解析】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

连接P8,只要证明=即可推出尸C+PE=P8+PE,由PE+QBZBE,可得P、B、E共线时，

PB+PE的值最小，最小值为8E的长度.

解：如图，连接PB,

vAB=AC,40是中线，

:.AD1BC,BD=DC,

PB=PC,

；.PC+PE=PR+PE,

PE+PB>BE,

:.P、B、E共线时，P8+PE的值最小，最小值为BE的长度，

故选：A.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解决本

题的关键是综合掌握以上知识.根据△ABC中，4c=90。，zB=30°,可得4BAC=60。，根据作图过程

可得4。是乙84c的平分线，可以判断①；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断②；根据。4=08,可

以判断③；根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等丁底与底的比可以判断⑤，进而

可得结论.

【解答】

解：在AABC中，ZC=90°,/-B=30°,

LBAC=60°,

根据作图过程可知：

八。是的平分线，故①正确;

:.Z.DAC=/-DAB=30°,

“=90°,

A/.ADC=60°,故②正确；

vZ.DAB=LB=30°,

:.DA=DB,

.••点。在48的垂直平分线上，故③正确；

vZ.DAC=30°,

:.DC==1dm,

根据角平分线上的点到角的两边距离相等，

.•.点。到的距离是1dm,故④正确；

.:乙B=30°,

:.AB=2AC»

•••点。至IL4B的距离二DC=1dm,

^&DAC:=1：2>故⑤错误.

综上所述：正确的有①②③④，共4个.

故选C

9.【答案】C

【解析】略

10.【答案】B

【解析】【分析】

直接利用线段垂直平分线的性质得出4E=BE,进而得出答案.

此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.

【解答】

解：因为。E是AMC的边AB的垂直平分线，

所以AE=BE,

因为4c=8,BC=5,

所以△8EC的周长是：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.

故选:B.

11.【答案】18

【解析】【分析】本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解

题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型.如图作AH1BC于H,连接,4D.由EG垂

直平分线段AC,推出。4=DC,推出OF+Z)C=AO+0F,可得当4、D、尸共线时，DF+0C的值最小，

最小值就是线段AF的长.

【解答】

解：如图，作441BC于H,连结40.

•••EG垂直平分线段/C,

•••DA=DC,

•.DF+DC=AD+DF,

••・当力、D、尸共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长,

=120,BC=20,

AAH=12,

•••AB=AC,AH±BC,

:.BH=CH=10,

•••BF=3FC,

CF=FH=5,

•••AF=yjAH2+HF2=V122+52=13,

•••。/+DC的最小值为13.

」.△C0F周长的最小值为13+5=18.

故答案为18.

12.【答案】解：连接0C,作0FL8C于点F,

•••。是4c的中点，DE1AC,

:.0A=0C,

•・・△。48是等边三角形，

AOA=OC=OB,Z-OAB=4OBA=60°,

Z.OAC=Z.OCA,Z-OBC=Z.OCB,

...lACB=-广-产丁=30°,

vDE=OD+OE=3,

在Rt/iCDE中，Z-DCE=30°,

CE=2DE=6,乙CED=60。,

vAD=DC,ED±AC,

vGB=OC,OF1BC,

CF=FB,

在RtZiOFE中，WEF=60°,

々EOF=30°,

EF=^0E=1,

CF=CE-EF=5,

/.BC=10.

【脩析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30。的直角三角形的性质，

掌握线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

连接。。，作。尸18。于点F,根据根据线段垂直平分线的性质，及等边三角形性质，证得447B=30。，再

根据含30。角的直角三角形的性质求出CE,结合等腰三角形的三线合一解答即可.

13.【答案】BD=2CD

【解析】【分析】

根据尺规作图得到4）平分乙。48,再根据已知条件，得出乙&4。=484。=30。，再根据N8力。=48=

30。，得到4。=03,进而可证明4。=08=2CD,可得结论.

本题考查作图-基本作图，含30。角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

求出各个角的度数，属于中考常考题型.

【解答】

解：•••乙C=90°,乙B=30°,

二“48=90°-30°=60°,

由作图可知40平分NCA8,

:.£CAD=乙BAD=30°,

:.AD=2CD,

v/.BAD=Z.B=30°.

:.AD=DB,

•••BD=2CD,

故答案为：BD=2CD.

14.【答案以

【解析】略

15.【答案】解：（1）如图，连接3D,设8c垂直平分线交BC于点凡

:.BD=CD,

CMBD-AB+AD+BD

=AB+AD+DC

=AB+AC,

-AB=CE,

ABD=AC+CE=AE=lt

故Zi/BD的周长为1.

(2)设=

BD=3x,

又•••BD=CD,

AC=AD+CD=4x,

在Rt△480中，AB=yjBD2-AD2=J(3x}2-x2=2>[2x.

=^=^=<2.

【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关

键.

(1)连接BD,设8C垂直平分线交6c于点F,再根据线段垂直平分线的性质求解即可；

(2)设=^ABD=CD=3%,AC=4x,由勾股定理可表示出AB=2，5x,从而可计算出tan乙48C=

〃一4X0

而一百五一V2・

16.【答案】【小题1】

作法不唯一，如图，PE,PF即为所求作

【小题2】

如图，连接0E,OFJ：PE,P尸为0。的两条切线.，OE1PE,OF1PF./.LOEP=WFP=90°.A

乙EOF=180°-乙EPF=150。.当点。在优弧EF上时，乙EDF=g乙EOF=75°；当点D'在劣弧即上时,

乙ED'F=180°-£EDF=105°.综上所述，4EDF的度数为75。或105。

【解析】1.见答案

2.见答案

17.【答案】【小题1】

证明：连接/1E,

-AD1BC于点D,且。为线段CE的中点,

•••4）垂直平分CE,

:.AC=AE,

£小垂直平分718,

:.AE=BE,

:.BE=AC；

【小题2】

解：•••■£=BE,Z-B=35°,

.•.血IE=匕8=35°,

Z.AED=z5+乙BAE=70°

'：AC=AE,

ALC-Z.AED=70°,

Z.BAC=1800-Z.B-Z,C=75°.

【解析】1.

本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和外角的性质,

由题意可判定AD垂直平分CE,由EF垂直平分力8,可得=即可证明结论；

2.

首先根据等边对等角得到ZBAE=£B=35。，然后利用三角形外角的性质得到乙A