云南省丽江市某中学2024-2025学年高一年级上册期末检测数学试卷（含答案解析）

云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末检

测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={x|l</<9},8={-2,T,0,l,2},则彳08=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,2）D.{-2,-1,1,2）

2.下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（）

A.y=6X-6XB

C.y=-x3D

4.已知集合力:{（MJ，）/+/=1},8={（x,y）j，=2x},则月d3中元素的个数为（）

A.3B.2C.ID.0

5.已知a>2,8"+15a=17，则（）

A.a>b>2B.a>2>b

C.b>a>2D.力>2,但〃和6的大小关系无法确定

6.已知函数八…八口"一"若方程/（x）=1在区间［。,2句上恰有3个实根,

则②的取值范围是（）

7.已知非零实数小人满足4|〃|>6|6|,则下列不等式一定成立的是（）

试卷第I页，共4页

A.ay>IfB.a2>Ir

C.1<1D.网水bgJ"

ab»*

8.若命题“3.V£R,使得ar2+2x+IVO成立"为假命题，则实数a的取值范围是()

A.[1,+oo)B.[0,+oo)C.(-8,I)D.(-8,0]

二、多选题

9.若正整数小，〃只有1为公约数，则称小，〃互质.对于正整数〃，夕(〃)是小于或等于“

的正整数中与〃互质的数的个数，函数夕(〃)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例

如：夕(3)=2,"(7)=6,夕(9)=6,则下列说法正确的是()

A.9(5)二9(10)B.(p(2n-1)=1

C.夕(32)=16D.夕⑵+2)>吠2〃)，/?eN"

10.设函数/(x)=工卜|+及+。，下列命题中正确的有()

A.c=0时，y=/(x)是奇函数

B.6=0,c>0时，方程/'(X):0只有一个实根

C.y=f(x)的图象关于(0,c)对称

D.方程/'(x)二0至多有两个实根

11.设函数/(■»)=即”,则(

sinx-CIMLT

A./(x)的图象有对称轴B./(X)是周期函数

C./'(工)在区间0,彳上单调递增D./6)的图象关于点°；中心对称

三、填空题

12.已知＜0＜—.且＞in9-COS0=-,则sin6+cos6=__________

22S

13.函数几r)=sin2.r的图象与函数〃(x)=log^r的图象交点个数为

14.定义：min{x,.v}为实数中较小实数.已知人nun；”.其中a,6均为正实数,

试卷第2页，共4页

则人的最大值是

四、解答题

15.已知一次函数/(X)过定点(0,1).

(1)若/X】)=3,求不等式』I"三4解集.

*

(2)已知不等式＞4的解集是(/),〃)，求〃+2。的最小值.

16.已知函数，⑴I-u)“闷•:的部分图象如图.

(2)求函数/(x)的最小值，并求取最小值时的集合：

(3)若函数人用的图象向右平移〃，加＞0)个单位长度得到一偶函数的图象，求加的最小值.

17.已知函数、i川二“一、0；,若儿工|的最小正周期为兀.

(1)求大外的解析式；

⑵若函数乂(刃二八”-，卬，在|《勺上有三个不同零点修m/3，且毛＜七＜X3

①求实数。的取值范围；

②求2^十七＞・1,求实数。的取值范围.

18.设函数Hx)的定义域为。，对于区间/二S，b］(4＜b,/c。)，若满足以下两条性质之一,

则称/为/(*)的一个“7区间

性质1:对任意xe/,有/(x)£/；

性质2：对任意x£/,有/(*)吠/.

(1)分别判断区间［1,2］是否为下列两函数的“T区间”:

①y=3・x：

RJ=x♦丁：

ZT

(2)若回0］是函数G)=/+2x的b区间”，求加的取值范围；

试卷第3页，共4页

《云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CAABAAAAACABC

题号11

答案ABD

1.C

【分析】解出集合力中的不等式1<g.再根据集合交运算即可求解.

【详解】1<«<9,

即x2-1>OKx2-9<0,

即(x+l)(x-l)>0且。+3乂》-3)<0,

得-3<x<-1或1<A<3,

则力二(-3「1)U(1,3),

所以力「I4={-2,2}.

故选：C.

2.A

【分析】根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.

【详解】对A,令/'(x)=6、・6L则/(1)定义域为R,旦/(-X)=6"・6、=・/(工),所以

/(X)为奇函数，因为y=6-和y=-6"都是增函数，所以歹二6、-6"为增函数，故A正确：

对B,y=tanx在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；

对C,y二在定义域R内单调递减，故c错误；

对D,y=M+l不是奇函数，故D错误.

故选：A.

3.A

【分析】先求/'(x)的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可.

【详解】/(r)的定义域为0},定义域关于原点对称，

因为/(“拌4照=八)，

所以/(X)是奇函数，排除C选项；

答案第I页，共14页

=1,则/。）=丁;=0；

lnl

取x=则；卜21<0'排除B、D选项:

故选:A.

4.B

【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合/in4,即可求解.

【详解】由题意，集合力;｛（xj）/+y2=1｝出=｛（xj，）>=2x｝,

联立方程组/=1,整理得5f=l,解得“立或一叵,

y^2x44

当X=\时，可得>.=平；当尸一《时，可得｝.=_平，

所以4nH=晔鸣（一鲁阴.即/n8中元素的个数为2个.

枚选：B.

5.A

【分析】分别由题意证出2且b<a,得出结论即可.

【详解】由于。>2,所以17%=8“+15。>gz+'=广，因此b>2,

又因为17一Od）《信）♦（扮-I,即人<0,m<b<a

故选：A.

6.A

【分析】通过方程/（x）=2sin「，"''：=I解出,再由条件确定“一”的范围，得到

6）66

可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定②的取值范围.

,、

【详解】若方程/（、）「中nc八」I.

\6/

则sinjmr+H，=：・即&r+曰=”丁+三或♦把*eZ）,

\0/2666

小丘［。,24时,‘八「’<'*二J，T，

6［_66_

则”+*的可能取值为:,史.也.也,….

6nnnn

因为原方程在区间［0,2司上恰有3个实根，

答案第2页，共14页

圻吊所犹I7W

所以,2”？<,

解得

■4、

即②的取值范围是

故选：A.

7.A

【解析】由非零实数《,/>满足。|。|>回力|,通过分类讨论，求得a>3再结合函数的单调性,

不等式的性质等，即可求解.

【详解】由题意,非零实数。力满足〃|〃|>6|匕|,

当。>0,6>0时，由a|a|>5|6|,可得/>讨，即4>匕>0；

当a>0/<0时，由a|a|>b|b|,可得a>b；

22

当440,人〈0时，由a|a|>2)|2”，a>-bf可得0>a>6,

综上可得">b,

由某函数/'(x)=F在R上为单调递增函)数，可得加>^，所以A是正确的；

由/=(a+h)(a-b),正负不能确定，所以B不正确：

由正负不能确定，所以C不正确；

abaft

由小卜ii》昌卜3正负不能确定，所以D不正确.

25

故选：A.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，函数的单调性，以及作差比较法的应用，其中

解答中分类讨论求得。和△的关系，再结合不等式性质、函数单调性及作差比较进行求解是

解答的关键，着重考查推理与运算能力.

8.A

【分析】根据命题和它的否定命题•真一假，写出它的否定命题，再根据否定命题为真命题

即可求出a的取值范围.

【详解】命题“3x£R,使得ar2+2x+1V0成立"为假命题，则它的否定命题：

“丫”£”,加+2丫+120”为真命题

o>0

所以

A=4-4aS0

答案第3页，共14页

解得。>1,所以实数a的取值范围是[1,+oo）

故选：A.

9.AC

【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可.

【详解】对于选项A：小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1,2,3,4,

小于或等于10的正整数中与10互质的正整数为1,3,7,9,

因为。（5）=夕（10）=4,故A正确：

对于选项B：因为当〃=2时，夕（3）二2/1,故B错误；

对于选项C：小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为

I,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,

共有16个，所以火（32）=16,故C正确；

对于选项D：当〃=2时，因为夕（4）二夕（6）=2,故D不正确；

故选：AC

10.ABC

【分析】求须-x），由奇函数的定义判断A；由6=0,c>0,代入可得©）,4/（-x）=0,

通过解方程判断B；根据中心对称的条件进行证明是否满足〃2c-%）=f[-x）即可判断C；

举出反例如。=0,b=-2确定方程/Q）=0的根的个数即M判断D.

【详解】对于A,c=0,/（x）=x（x|+bx,定义域为R.

所以J（-X）=-X-x+b（-J）=-f{x},

则），=/（x）是奇函数，故A正确；

对于B,.=O,c>0,/（x）=JC|J+C=^T:CNN。令可得k=_«,

-x*+c.x<0

则方程r（x）=o只有一个实根，故B正确；

对于C,设函数了=/G）上的任意一点关于点（o,c）对称的点N（x,,y,）,

代入y=可得2c-y,=-xj-x,-6x,+c—y,=x,|v,|+bx,+c,

答案第4页，共14页

所以y=/M的图象关于(o,c)对称，故c正确:

对于D,当c=0,b=-2,/(x)=xx-2丫的根有x=0,x=2,x=-2,

此时方程/(x)=0有三个实根，故D错误.

故选：ABC.

II.ABD

【分析】A选项由偶函数得到)，轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周

期为2兀；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间。,：沙：是单调递增：D选

项由中心对称的定义验证是否成立即可.

、sin5(-jr)-sm5xsinSx、

tiTW)V/(*)-.TJ—.——二・二一一/(")•

sin(-x|cos(-jr)-sinx-ccnxsinx-COST

・・・/(x)是偶函数，关于y轴对称，故A正确：

7〃「㈤■-产中广-22^八)

、n(i-2,x1.<>>(K-211、im川、.

・•・7:2兀是函数/'(x)的一个周期，故B正确;

・・・/W的图象关于点］］中心对称.

故选：ABD.

7

12.-

5

【分析】利用同角公式中的平方关系求值即可.

【详解】由已知得⑸的：=I-2如>&056=1—2sm伐：80=

答案第5页，共14页

则II.〃’:，所以>in"+cos0=5+2sinAD0^*=卷=g,

故答案为：—.

13.3

【分析】在同一坐标系内作出函数/")=Sin2x与函数〃")=logs》的图象，由图象确定交点

个数即可.

［详解】函数/M=sin2x定义域为R,最小正周期为n,/x)nux=1,当0cxW1时，.几力>0,

函数贴)二唾到在定义域(0,+8)上是增函数，当0<xWl时，h(x)C0,当x>5时，h(x)>1,

因此函数/(x)=sin2x与函数A(x):log5x的图象交点横坐标只能在区间(1,5)上，

在同一坐标系内作出函数y=Ax\y=h(x)的部分图象，如图：

观察图象知，函数/(.丫)=sin2.r与函数/?(x)=log5x的图象交点个数为3.

故选：3

14.；/0S

【分析】利用不等式放缩消元力，可得.”，、4j这样就化为同变量的取值分析，从而

a*♦46*4a

先研究出人,再分析出最大值，即可.

【详解】・”,人均为正实数,</江乩，

♦4b

b

:当即”2g时.即nJJ

fb\b1

h，，.j》•i.1

in1aoja5446-*z2*।

当〃'b幻取到最大值「

当0<a<g时.A-mm|d1|

综上所述，力的最大值为5.

答案第6页，共14页

15.(I)：小，、域J(”

［2)12+86

【分析】(1)先运用待定系数法求出函数解析式，再解分式不等式即得；

(2)利用三个二次的关系，将一元二次不等式的解转化为对应方程的的根，利用韦达定理

和基本不等式即可求得.

【详解】(1)依题则W=kx+m(k#0),因为/«)过定点(0,1),所以〃？二1,即

/(工)二区+1(A+()),又/(1)=3,即k+1=3,所以左二2,

故不等式"“W［即'7可得！2<0,即”入二U,将其转化为不等式组得

XXXX

x(1-2jr)i0解得N二1或T<0,

x*0

故原不等式的解集为;x鼠,、或卜<0；

(2)由(1)知/'(x)=Ax+l(〃H0),又不等式/<x).x>4的解集是(瓦〃)，所以

kx2+x-4>0(AH0)的解集是(b,a),

即方程区2+工-4=0(女/0)有两根为4涉，由韦达定理,。+=且4<0,

kk

|44

则”-/)=一"/>且。>a>0,故一♦一二］,由

4ab

a♦乃,(a♦叫(工.2)■“♦I?♦212*8♦、

当且仅当7•一，即。=4-4S/2/>=』+23时，等号成立，所以a+2b的最小值为12+

ba

16.(I><(v)2sm'♦：,，对称中心Il)|A/.

-2.=♦w4；

,5x

⑴了

【分析】(1)由三角函数的性质求得力,@夕，即可求出函数/(x)的解析式，再令

丁,XinA./,即可求出它的对称中心；

J

2由，⑴\,:知儿”加二・2,再由三角函数的性质求解即可；

123J

答案第7页，共14页

（3）根据（1）中所求，结合图像平移可得g（x），再由对称性可求得〃？的表达式，以及其

最小值；

【详解】（1）由图象知74“

所以^=与=今=；,所以/（"■/•«（；i・.

又由图象知，:；•0./（（））日,

所以。,4MmpQ,

则-;+@=版.&wZ,所以.=H.

又”C.所以

kZ2）3

l、imp-、弓可得,所以X=2.

所以f（»）?、”“：一：,

令Lx」二板AeZ,x=2hr-=“Z

7XX

所以它的对称中心为。质:x；Ac/..

2由/⑴•2:',:知儿fin=-2,

\237

此时:，二；,"/，即''：♦Ux;/

2323

所以/（.»）取最小值时X的集合为|I»--♦M网A7；.

（3）/⑴-t1、•；向右平移机个单位长度得到J=/（l/〃）为偶函数，

即函数图象关于y轴对称，即为，〃）A”J'二"n；；‘7''

所以-工+色=履♦巴,AwZ.所以IW=-2H-5A/

2?2?

由于加＞0,所以当々=-1时，w=^.

所以机的最小值为4.

17.（I»/CTIJ：

答案第8页，共14页

⑵0（1.12（2姮,土）

316a

【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求出W即可.

<2）①根据（1）,利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论求解：②设八/2为方程

厂-W二0的两个不相等的实数根，由①可求得心,巧的取值范围，根据结

合三角函数的性质和三角恒等变换求得。4的关系，根据韦达定理求解乙4,代入小a的关

系式中，即可求得〃的取值范围.

【详解】（1）由/（x）的最小正周期为兀，W>0,得解得"二1，

所以函数人x）的解析式为二5m2”：）

2①由（I知》.、）-sin：（2x+；）-asin（2x+；）+；,

334

由Xs.r<5C,得力•；，♦"、"，

6436

令/=，irX2x・£）.函数I=♦；）在卜□上单调递增，f从0增大到1,

在上单调递减，，从1减小到：，则执巴，0</^1.

I7424

由函数2⑴在［」上］上有三个零点，得sin|2.一3八in（2x.；）+g二II在I与工］有三个不

等的实根，

则关于f的方程/（）=0可能在上有一个实根，另一个实根在41止，或一个实根是1,

另一个实根在|\|）上，

->0

加0)>04

当一个实根在（0.：）,另一个实根在（；，1）上时，'>««'><<»,即，-g+[<0,解得"<。,

43

^!)>0

1-a-♦»—>()

4

当一个根为0时，即：=0,则”=0,方程为『=0,f=o,不合题意：

当一个根是：，即|解得”=1,方程为「一♦!=（）,,=!，不合题意;

142447

］u4

当一个根是1,另一个实根在（；/）.由1-。+二=0,得。=彳，

243

方程为「-：,♦!=（）,解得‘=-1或,=!，不合题意，

答案第9页，共14页

所以a的取值范围是(Iy.

②设为方程L-画吟二C的两个不相等的实数根，不妨令L

由①知.f♦卜W.►1-'1•'()1.>1即X€(-),

323616P

f.=sin(2x,2x；+三即rw(一：.：),

Az4fi7IA17

&>一；，得2M>.；■Jrl，贝U23♦：>一£一x1.B1一%：，

4434312

而明*；”0二)，i-x}€(0.5),则纨m2,+；)>$in(=-xJ>0,

1h17AZ

则2,7'；-a「Al_山，二L,整理得(。-1)(8/-5"4)>0,而

则8/-5a-4>0,又1<。<£.解得S'>4旧<■<4,

?163

所以实数a的取值范围是70.

18.(l)xW[l,2]为y=3・x的一个“T区间”,不是p=X♦的一个“7区间”;

7T

(2)-2<w?<-1

(3)证明过程见解析

【分析】(1)根据函数单调性求出相应的值域，得到y=3-x£[l,2],满足性质],S，=，+]-

2X

不满足性质1，也不满足性质2,得到答案；

(2)分・1W/»<0,m<-1两种情况，结合函数单调性求出函数值域，从而得到不等式，求

出m的取值范围;

(3)记5={/(x)x07|},由单调性得到S=[/0),/(“),变形得到/(〃)・/。)<岳〃，

即S的长度大于/的长度，不满足性质1,因此需满足性质2,即SC/二⑦，即只需存在a£R

使得/.(〃)<〃，或存在R使得八/))>力，因为/，(x)=x显然不恒成立，所以存在常数c,

使得/(c)*c,f(x)一定存在b区间”，记g(x)=/(x)-x,结合零点存在性定理得到g(x)

有零点/,故3凡eR使得凡不属于火刈的所有叮区间”.

答案第10页，共14页

【详解】⑴xW[l,2]时，>=3-xG[l,2],满足性质1,

故r£[1,2]为y=3・x的一个“T区间”：

由对勾函数性质得V1+L在x£[1,2]上单调递增，

2x

|3|9

氐=1时.]•=1--=—,却=2时，r=2*—=—»

「

故卜-、/11的值域3为9~,

2jfL24.

・39]r3-

由于与[1，2]的交集为14,不满足性质1,也不满足性质2,

.24」L2.

toe[1,2]不是>,=X+』-的一个"区间”：

（2）若・1Ww<0,./（X）=x2+2x=（x+1）2T在xW卜上单调递增，

X/（,H）=+2"7,/'（0）=0,故危）=X2+2丫£+2用,[）7」，

由题意得〃厂+2w,07J4[w,o],即病+2m>m,解得加20或m<-I,

与-1<m<0取交集，得到加=-1,

若〃？<-1,/（X）=x2+2x=（X+1）~-1在x£[而,-1]上单调递减，在xW（T,（）]上单调递增,

故/（D-D:-】，

具史/（〃，）="产+LnJ（0）=0,

若〃/+2w?<0,即-2<m<0,与m<-1取交集得-2<w<-1,

此时&）皿=°'蚓Q）e[-l,o]<[m,o],满足要求，

若M+2m>0，即〃7>0或机<-2,与〃？<T取交集得m<-2,

此巾G）m\=〃/+2m,放八X）£+2,«7J,

由于“2+2m>0»m<-2,显然不能满足性质1和性质2,

所以不合要求，舍去，

综上，-24加WT：

（3）对于任意的区间/二[Q㈤,a<b,记S={/（x）x£/},

由题意，-<-1<0故仆）在/=[㈤上直调递减，

答案第11页，共14页

故S=/(%)，/(")]，

因为，所以/(〃)-/(〃)<4-〃，/(")-/(b)>b-a,

A-a

即S的长度大于•/的长度，不满足性质1,

因此，如果/为/(X)的“r区间”，需满足性质2,即STI/二⑦，

即只需存在aGR使得/(a)<a,或存在〃金R使何(/))>b,

因为/(。二*显然不恒成立，所以存在常数c,使得/'(c)He,

若f(4<c,取a=c,区间/=[a9b],a<h满足性质2.

利(c)>C,取力=C,区间/=[«,/?]a<b满足性质2,

综上，/(