安徽省池州市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

安徽省池州市2024-2025九年级上学期12月月考数学（沪科版）试题卷注意事项：1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）1.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.答案：A抛物线的顶点坐标是．故选：A．2.若，，，则与的周长比是（）A. B. C. D.答案：C∵，∴这两个三角形的相似比为，∴与的周长比为．故选：C．3.若的三边长均扩大3倍，则的值（）A.不变 B.变大 C.变小 D.无法判断答案：A解：∵的边长都扩大3倍，∴所得的三角形与原三角形相似，∴的大小没有发生变化，∴的值不变，故选：A．4.已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限，∴，解得：．故选：D．5.如图，在四边形中，点，分别在，上，且．若，，则的长为（）A.3 B.6 C.8 D.9答案：B解：∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，故选：B．6.当时，下列函数中，随的增大而增大的是（）A. B. C. D.答案：D一次函数中，当时，函数值y随着x的值增大而减小，所以A不符合题意；反比例函数中，图象位于第一、三象限，当时，函数值y随着x的值增大而减小，所以B不符合题意；二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，当时，函数值y随着x的值增大而减小，所以C不符合题意；二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，函数值y随着x的值增大而增大，所以D符合题意．故选：D．7.如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（）A.48 B.46 C.42 D.40答案：A解：设正方形零件的边长为，在正方形中，，，，，即：．解得：．故选：A．8.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.16米答案：B解：由题意得：，，在中，，，在中，，，，米，故选：B．9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（）A.2 B. C.3 D.答案：A解：如图，连接交于点，∵四边形是正方形，，，根据题意，，，，，，，，中，，，，故选：A．10.如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D解：①由图象知，，，∴，故①正确；②把，代入中，得，∴，故②正确；③把，代入，得，解得：，∵，∴．∵直线与轴、轴相交于，两点，∴，，∴，，∴，，∴，故③正确；④由图象知不等式的解集是或，故④正确．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若函数是二次函数，则的值为________．答案：2∵是二次函数，∴，且，解得．故答案为：2．12.若为锐角，且，则________．答案：##60度解：∵是锐角，，∴，故答案为：．13.如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，连接，，过点作轴于点，，反比例函数图象经过的中点，且与交于点．则线段的长为______．答案：解：∵轴，，，∴，∴点A的坐标为，∵点是的中点，∴点C的坐标为，∵点和点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，当时，，∴∴，∴线段的长为．故答案为：．14.如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．（1）线段的长为________；（2）________．答案：①.②.解：（1）如图，连接．∵四边形为矩形，，∴，．∵是的中点，∴．在中，由勾股定理得．在矩形中，，，∴，∴．∵，，∴，∴．（2）如图，延长交于点．在中，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．答案：解：原式．16.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）画出关于轴对称的（点，，的对应点分别是点，，）；（2）以点为位似中心在第四象限内画出的位似图形，使得与的相似比为．答案：（1）见解析（2）见解析【小问1详解】解：如图，即为所求．【小问2详解】解：如图，即为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在中，是上的一点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．答案：（1）见解析（2）5【小问1详解】证明：∵，，∴；【小问2详解】解：∵，∴，即．∵，，∴，∴．18.研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．（1）当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？（2）小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度．答案：（1）当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米（2）小明的眼镜度数增加了50度【小问1详解】解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为．由图象可知，当时，，∴，解得，∴反比例函数表达式为．当时，．答：当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米．【小问2详解】解：当时，，（度）．答：小明的眼镜度数增加了50度．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接．（1）求的长；（结果保留根号）（2）点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：．答案：（1）（2）见解析【小问1详解】解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，．【小问2详解】证明：四边形是菱形，，，，又，，，，，．20.如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）（1）求，两地的距离；（结果精确到0.1米）（2）大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离．答案：（1），两地的距离为339.4米（2），两地的距离为米【小问1详解】解：如图，过点作于点．∵，，∴，，∴，，在中，米，∴（米），∴（米）．答：，两地的距离为339.4米．【小问2详解】解：如图，过点作于点，则．由（1）知米．∵，，∴，∴，∴，．∵，∴（米）．在中，，∴（米），∴（米）．答：，两地的距离为米．六、（本题满分12分）21.如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为．（1）求S与的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积．答案：（1）（2）时，围成的养殖场面积最大，最大面积为【小问1详解】解：由题意知养殖场的长为，则．∵，∴，∴S与的函数关系式为．【小问2详解】解：由题意，得．∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，S随的增大而减小．又∵，∴当时，S的值最大，即时，围成的养殖场面积最大，最大面积为．七、（本题满分12分）22.在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：（1）用含t的代数式表示，；（2）当t为多少时，的长度等于？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？答案：（1），（2）为0．2或3秒（3）为2或【小问1详解】解：用含的代数式表示，；故答案为，．【小问2详解】解：在中，根据勾股定理得，，，解得：或，当为0．2或3秒时，的长度等于．【小问3详解】解：以点为顶点的三角形与相似，且，①，，，，②，，，，即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似．八、（本题满分14分）23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）点的坐标为或【小问1详解】解：由题意，把，代入抛物线，得解得∴该抛物线的函数表达式为．【小问2详解】解：设直线的函数表达式为．把，代入，得解得∴直线的函数表达式为．设．∵轴