山东省菏泽市单县第一中学2026届高三第三次调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省菏泽市单县第一中学2026届高三第三次调研考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合M=xx2−2x−3≤0 ，N=xy=ln(x−4)A.(−1,4] B.(−1,3] C.(3,+∞) 2.设复数z=1+ai2−i，若z的实部与虚部相等，则实数a的值为(

A.3 B.1 C.−1 D.−33.如图函数图象的解析式可能是(

)

A.f(x)=(1−21+ex)cosx B.4.若平面向量a，b，c，两两的夹角相等，且|a|=2,|bA.2 B.8或2 C.8 D.2或105.已知关于x的不等式ax2−bx+1>0的解集为−∞, A.42 B.4 C.26.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a−ccosB=b−ccosA，则A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.将曲线y=e2x(e为自然对数的底数)绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则A.e B.e2 C.2e 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点Px0,y0的坐标可以表示为acos3θA.2 B.3 C.2 二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法中，正确的是(

)A.若向量e是与a=(1,2)同向的单位向量，则e=55,255

B.已知向量a=(3,4)，b=(7,1)，则a在b上的投影向量为710.已知函数f(x)=2cos(ωx+ϕ)，ω>0,|ϕ|<πA.ϕ=−π6

B.f(x)的图象上的所有点向左平移π6个单位长度得到函数y=2sin2x的图象

C.f(x)的图象在区间−11π12,π12内有2个对称中心

11.已知函数f(x)=1x−11−x−x+k的三个零点为a，b，c，且a<A.f(x)在(0,1)上单调递减 B.曲线y=f(x)是中心对称图形

C.∀k∈R，都有c>b+1三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：Snn为等差数列，则甲是乙的

条件(13.若f(x)=(x−1)2+ax+sinx+π14.设函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)，若f(x)有两个极值点x1，x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知数列an满足：a1(1)求a2(2)证明an−3是等比数列，并求数列(3)设bn=log2an−3，求数列16.如图，▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠BAC=135∘，D为边BC上一点，且AD(1)证明：b=(2)求▵ABC的面积．17.设正项数列an的前n项和为Sn，a1=1，且当n≥2(1)求an(2)求an3n的前n(3)在(2)的条件下解不等式：Tn<18.已知a>0且a≠1，函数f(x)=(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．19.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax2(1)求实数a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)=14x2在(k,k+1)内有唯一的根(3)若∀x>0,f(x)≤tln(x+1)+参考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.C

6.D

7.C

8.D

9.AB

10.ACD

11.D

12.充要

13.2

14.3ln2−15.解：(1)因为数列an满足：a所以a2=2a(2)证明：因为an+1=2a所以an+1因为a1=5，所以所以an−3是首项为2，公比为所以an

所以数列an的通项公式是a(3)由(2)知：bn

因为当n≥2时，bn所以数列bn是首项为1，公差为1所以数列bn的前n项和故Tn

16.解：(1)由∠BAC=135°，AD⊥在▵ADC中，有b得b=1(2)在▵ABD中，AD⊥AB，所以sin∠又∠ADB于是cb=2因为a=BC=BD+CD=3，∠BAC=135°，所以a2得5b2=则S▵

17.解：(1)正项数列an的前n项和为Sn，a1=1，且当n≥2时，当n=2时，2S1=2a1=a当n=3时，2S2=6=a3a3由n≥3时，由2Sn−1=两式相减可得2a化为an由an>0得an+所以数列an是首项和公差均为1的等差数列，则a(2)由(1)得an则Tn13两式相减可得23化简得Tn(3)由Tn<23，即设bn=2n+3所以bn+1<bn，则数列bn为递减数列，而b1=可知，当n≤2且n∈N∗时，bn>13则不等式Tn<2

18.解：(1)当a=2时，f(x)=x令f′(x)=0得x=2ln2，当0<x<2∴函数f(x)在0,2ln2(2)[方法一]【最优解】：分离参数f(x)=xaa则g′(x)=1−lnx在(0,e)内g′(x)>在(e,+∞)上g′∴g(x又g(1)=0，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0所以曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=lnaa有两个交点的充分必要条件是0所以a的取值范围是(1,e)∪[方法二]：构造差函数由y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点知f(x)=1，即xa=ax在区间(0,+∞构造函数g(x)=alnx−xln当0<a<1时，lna<0,x当a>1时，lna>0，令g′(x)=0得x=alna，当x∈0,a由于0<当x→+∞时，有alnx<xlna，即g(x)<0，由函数g(x)=a构造函数h(a)=a−elna，则h′(a)=1−ea=a−ea，所以h(a)的递减区间为(1,e)，递增区间为所以，实数a的取值范围为(1,e[方法三]分离法：一曲一直曲线y=f(x)与y=1有且仅有两个交点等价为xaax因为xa=ax，所以两边取对数得alnx=xln①当0<a<1时，②当a>1时，取g(x)=lnx上一点x0,ln当y=1x0x−1+lnx直线p(x)=xlnaa的斜率满足：0<记h(a)=lnaa,h′(a)=1−lnaa2，令h′(a)=0，有a=e．a∈(1,e),综上所述，实数a的取值范围为(1,e[方法四]：直接法f(x)=x因为x>0，由f′当0<a<1时，当a>1时，alna>0，由f′(x)>0得因为limx→+∞f(x)=0，且limx→0+f(x)=0，所以fa令lna=t，则t−1>lnt，令h(x)=lnx−x+1，则h′(x)=1x−1，所以h(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减，所以故实数a的范围为(1,

19.解：(1)由f(x)=ln(x+1)−ax因函数f(x)在x=2所以12+1当a=12时，当x∈−1,2时，f′当x∈2,+∞时，f′所以f(x)在x=故a=1(2)由(1)知方程f(x)=14x令g(x)=ln(x+1)−34x2+xg′则当0<x<1时，g′所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞因为g(2)=ln3−3+2=ln所以存在唯一的x0∈所以存在k=2，使得f(x)=14x(3)令h(x)=f(x)−tln则h①因为抛物线y=