2021年高考数学导数及其应用多选题之知识梳理与训练含答案

2021年高考数学导数及其应用多选题之知识梳理与训练含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，A．，故A错B．，且在单调递增，故：B正确C．有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①令，则当时，在单调递增，即：这与①矛盾，故C错D．设，且均为正数，则且，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．已知函数，则下列结论正确的是（）A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点C．若为增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，函数为奇函数，A选项正确；对于B选项，当时，，则，所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；对于C选项，，由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.令，则，则，所以，函数在上为增函数，当时，，此时，函数为减函数；当时，，此时，函数为增函数.所以，，，C选项正确；对于D选项，当时，，则.由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，，，由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.4．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（）A．若方程有两个不同的实数根，则；B．若方程恰好只有一个实数根，则；C．若，总有恒成立，则；D．若函数有两个极值点，则实数．【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交点，即可判断A选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C选项；有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.【详解】解：对于A，的定义域，，令，有，即，可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故A正确；对于B，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为,由大致图像可知或，故B错误；对于C，当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故C正确；对于D，有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由C可知，，即，则D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．5．设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】求导，分和进行讨论，当时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.【详解】，求导得当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；当时，令，即，解得，当变化时，，的变化情况如下表：极大值极小值故当，函数取得极大值，当，函数取得极小值又当时，；当时，；要使函数有且只有一个零点，作草图或则需，即，即，B选项，，满足上式，故B符合题意；则需，即，即，D选项，，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.6．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A．在内单调递增B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】AD【分析】求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A：，，当时，，所以函数在内单调递增；故选项A正确对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即，，，，即有且，，可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.7．已知函数，则下列说法正确的是（）A．当时，在单调递增B．当时，在处的切线为轴C．当时，在存在唯一极小值点，且D．对任意，在一定存在零点【答案】AC【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，当时，，，因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；对于C，当时，，，，当时，，，则恒成立，即在上单调递增，又，，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，由，可得，因为，所以，则，故C正确；对于选项D，，，令，得，，，则，令，得，则，令，得，则，此时函数单调递减，令，得，则，此时函数单调递增，所以时，取得极小值，极小值为，在的极小值中，最小，当时，单调递减，所以函数的最小值为，当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.8．已知函数有两个零点，则的可能取值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】求出的导数，讨论的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数，∴，①若，那么，函数只有唯一的零点2，不合题意；②若，那么恒成立，当时，，此时函数为减函数；当时，，此时函数为增函数；此时当时，函数取极小值，由，可得：函数在存在一个零点；当时，，，∴，令的两根为，，且，则当，或时，，故函数在存在一个零点；即函数在上存在两个零点，满足题意；③若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递减，当时，，，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；④若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递增，故函数在上单调递增，函数在上至多存在一个零点，不合题意；⑤若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递减，当时，，，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，的取值范围为，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.9．当时，恒成立，则整数的取值可以是（）.A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】将，当时，恒成立，转化为，.当时，恒成立，令，利用导数法研究其最小值即可.【详解】因为当时，恒成立，所以，当时，恒成立，令，则.令，因为，所以在上单调递增.因为，所以在上有且仅有一个实数根，于是在上单调递减，在上单调递增，所以.（*）因为，，所以，且，将代入（*）式，得，.因为在上为增函数，所以，即.因为为整数，所以.故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.10．关于函数，，下列结论正确的有（）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在惟一极小值点C．对任意，在上均存在零点D．存在，在有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A：当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜，故直线方程为，即切线方程为：，故选项A正确；对于B：当时，，，，恒成立，所以单调递增，又，，所以存在，使得，即，则在上，