广东省揭阳市部分学校2025-2026学年高一上学期11月期中联考试题 数学 含解析

2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合A2m3mZ，则（）

A．2AB．23A

C．3AD．32A

2．“aR,fxax3axx0是增函数”的否定是（）

A．aR,fxax3axx0是减函数

B．aR,fxax3axx0是减函数

C．aR,fxax3axx0不是增函数

D．aR,fxax3axx0不是增函数

3．若函数fx的定义域为0,22,6，则函数f2x的定义域为（）

A．0,2B．0,11,3

C．1,D．0,44,12

4．若ab2c，则下列错误的是（）

A．abB．a0

C．acD．b2ab2c0

5．函数fxx34x22x2的大致图象为（）

A．B．

C．D．

6．在ABC中，ABC3ACB，则“0ACB30”是“ABC为锐角三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位：cm3/s）与管道半径（单

位：cm）的四次方成正比．若气体在半径为5cm的管道中，流量为2500cm3/s，气体在半径为xcm的管

道中，流量大于3000cm3/s且小于4000cm3/s，则x的取值范围是（）

A．4500,4750B．4500,41000

C．4700,4900D．4750,41000

11

8．已知函数fx的定义域为0,，fxyxfyyfx，且f22，设af，bf，

28

2

cf，则（）

2

A．abcB．acbC．bacD．cab

二、多选题

9．下列结论正确的是（）

A．“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题

x23x

B．y是奇函数

x3

2

2x16262

C．等价于2x13xx2

3x2x277

D．集合xN*∣x是12与30的公约数}的真子集的个数为15

10．已知矩形ABCD的周长为12，则（）

A．ABBC6B．ACBD的最大值为62

198

C．的最小值为D．矩形ABCD面积的最大值为9

ABBC3

11．已知fx2是定义在R上的偶函数，fxf2x0，当0x1时，fxx21，则（）

A．f20B．xR，fx≤1

C．fx2fxD．f701341670

三、填空题

12．苏轼的《望江南·超然台作》全词如下：

春未老，风细柳斜斜．

试上超然台上看，半壕春水一城花．

烟雨暗千家．

寒食后，酒醒却咨嗟．

休对故人思故国，且将新火试新茶．

诗酒趁年华．

f4

若定义该词的第n行的字数（标点符号不计入字数）为fn，则f．

4

13．若关于x的不等式x216xm0的解集为5,n，则mn．

171

x,x

62

a1

14．已知函数fx6,x2为定义在R上的单调函数，则a的取值范围是．

x2

x2ax1,x2

四、解答题

15．已知集合Axx24x12，Bx6x2m．

ð

(1)当m2时，求AB，RAB；

(2)若AB，求m的取值范围．

16．已知幂函数fx6m2xm．

(1)求fx的解析式；

(2)求方程fxfx22的解集；

42

(3)判断函数gxfx2在0,1上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．

fx

17．如图，在一块锐角三角形空地ABC中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知

2

ABAC105m,BC20m，设DExm，矩形DEFG的面积为Sxm．

(1)求Sx；

(2)求内接矩形花园面积的最大值．

a

18．已知函数fxxb．

x1

(1)若a1，b0，求fx的值域．

(2)设集合Axfx0，Bxffx0．

①证明：当a0时，存在唯一的bR，使得AB．

②证明：当a1时，存在唯一的bR，使得AB．

19．已知函数fxmx2m4m2x3m3m2m0．

(1)当m1时，讨论fx在a,a2上的最小值；

(2)当m1时，求函数gxfx2的单调区间；

(3)讨论关于x的不等式fx0的解集．

题号12345678910

答案CDBABBDAADACD

题号11

答案BC

1．C

根据元素与集合的关系逐项判断即可.

236

【详解】对于A选项，若2A，则22m3，可得m1Z，所以2A，A错；

22

对于B选项，213A，B错；

对于C选项，3203A，C对；

对于D选项，32213A，D错.

故选：C.

2．D

应用特称量词命题的否定判断求解.

【详解】aR,fxax3axx0是增函数”的否定是aR,fxax3axx0不是增函数.

故选：D.

3．B

根据函数fx的定义域，可得出函数f2x的自变量x所满足的不等式，即可解得函数f2x的定义域.

【详解】因为函数fx的定义域为0,22,6，

对于函数f2x，有02x2或22x6，解得0x1或1x3，

故函数f2x的定义域为0,11,3.

故选：B.

4．A

利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BCD选项.

【详解】因为ab2c，

对于A，不妨取a0.1，b0.2满足前提，则ab，A错；

对于B，因为ab20，所以a0，B对；

对于C，由已知得ac，C对；

22

对于D，由不等式的性质可得b2a0，b2c0，故babc0，D对.

故选：A.

5．B

分析函数fx的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为,，3232，

fx22fxx4xx4xfx

所以函数fx为奇函数，排除AD选项；

令fx0可得x0或x2，

所以方程fx0在x2,2上的零点有且只有三个，排除C选项.

故选：B.

6．B

根据ABC为锐角三角形求出ACB的范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】在ABC中，ABC3ACB，

0ACB90

若ABC为锐角三角形，则0ABC3ACB90，解得22.5ACB30，

0BAC1804ACB90

因为ACB0ACB30ACB22.5ACB30，

所以“0ACB30”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，

故选：B.

7．D

设vkr4k0，当r=5，v2500时，求出k的值，再由vkx43000,4000可求出x的取值范围.

4

【详解】根据题意，设vkrk0，由题意可得54k2500，解得k4，故v4r4，

4

当rx时，v4x3000,4000，解得4750x41000，

故选：D.

8．A

fxyfxfyfx

变形得出，令gx，则gxygxgy，利用赋值法可求出a、b、c的

xyxyx

值，即可得出这三个数的大小关系.

fxyfxfy

【详解】对任意的x、y0,，在等式fxyxfyyfx两边同时除以xy可得，

xyxy

fx

令gx，则gxygxgy，

x

令xy1，可得g12g1，解得g10，

111

令y可得gxgg10，所以ggx，

xxx

f21

因为f22，则g21，所以gg21，

22

1

f

211

即1，所以af，

122

2

21221

令x=y=，则g2g1，所以g，

22222

2

f

2122

即，所以cf，

2224

2

111

令xy，则g2g2，

242

11111

令x，y，可得ggg213，

42842

1

f

813

即3，故bf，

188

8

4322

所以a，b，c，故abc，

888

故选：A.

9．AD

根据存在量词命题的定义，可判定A正确；根据函数定义域不关于原点对称，可判定B错误；当3x2x20

2

时，解得x1，可判定C错误；求得集合1,2,3,6，结合真子集个数的计算公式，可判定D正确.

3

【详解】对于A，根据存在量词命题的定义，可得“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以A正确；

x23x

对于B，由y满足x30，可得x3，则函数的定义域不关于原点对称，

x3

x23x

所以函数y为非奇非偶函数，所以B错误；

x3

22

对于C，当3x2x20时，解得x1，即当x(,1)时，3x2x20，

33

2

2x16262

所以不等式与2x13xx2不等价，所以C错误；

3x2x277

对于D，由xN*是12和30的公约数，可得x1,2,3,6，即集合1,2,3,6，

可得集合中真子集的个数为24115个，所以D正确.

故选：AD.

10．ACD

由矩形的性质可得ABCD，BCAD，结合矩形的周长可判断A选项；利用勾股定理结合重要不等式可判

191

断B选项；将代数式与ABBC相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用基本不等

ABBC6

式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为四边形ABCD为矩形，则ABCD，BCAD，

因为该矩形的周长为ABBCCDDA2AB2BC12，故ABBC6，A对；

对于B选项，由勾股定理可得AC2AB2BC2，

由重要不等式可得AB2BC22ABBC，

2

所以2AB2BC2AB2BC22ABBCABBC36，

ABBC

则AB2BC218，当且仅当时，即当ABBC3时，等号成立，

ABBC6

故ACAB2BC232，故ACBD2AC62，

故ACBD的最小值为62，B错；

1911919ABBC

对于C选项，因为ABBC10

ABBC6ABBC6BCAB

19ABBC8

102，

6BCAB3

ABBC63

AB

9ABBC2198

当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；

BCAB9ABBC3

BC

AB0,BC02

2

ABBC

对于D选项，四边形ABCD的面积为SABBC9，

2

ABBC

当且仅当时，即当ABBC3时，等号成立，

ABBC6

故矩形ABCD面积的最大值为9，D对.

故选：ACD.

11．BC

在等式fxf2x0中令x0可求出f2的值，可判断A选项；由偶函数的性质可得出

f2xf2x，结合题干等式可判断C选项；推导出函数fx是周期为4的函数，求出函数fx在

0,4上的值域，可判断B选项；利用函数的周期性求出f70的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，对任意的xR，fxf2x0，当0x1时，fxx21，

所以f01，

在等式fxf2x0中，令x0，可得f0f20，故f2f01，A错；

对于C选项，因为函数fx2是定义在R上的偶函数，则f2xf2x，

所以f22xf22x，即fxf4x，

所以fx2f2xfx，C对；

对于B选项，对任意的xR，fx2fx，

所以fx4fx2fx，即函数fx是周期为4的函数，

要求函数fx的值域，只需求函数fx在0,4上的值域即可，

当1x2时，02x1，

则22，

fxf2x2x1x210,1

当x0,1时，fxx211,0，

故当x0,2时，fx1,1，

则当x2,4时，4x0,2，fxf4x1,1，

故当x0,4时，函数fx的值域为1,1，故xR，fx1,1，B对；

对于D选项，因为8709，则07081，

2

故f70f70870811331670，D错.

故选：BC.

12．14

f4

结合函数的定义由内到外可计算出f的值.

4

f4

【详解】由题意可得f48，则ff214.

4

故答案为：14.

13．66

分析可知，关于x的方程x216xm0的两根分别为5、n，结合韦达定理可得出m、n的值，即可得解.

【详解】由题意可知关于x的方程x216xm0的两根分别为5、n，

5n16m55

由韦达定理可得，解得，故mn551166.

5nmn11

故答案为：66.

64

14．,

53

分析可知，函数fx在R上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，即可解得实

数a的取值范围.

171

【详解】因为函数fxx在,上为减函数，且函数fx为定义在R上的单调函数，

62

故函数fx在R上为减函数，

a1

所以fx6在,2上为减函数，则a0，

x2

a

函数fxx2ax1在2,上为减函数，则2，解得a4，

2

171

2a6

6264

且有，解得a，

a53

642a1

2

64

综上所述，实数a的取值范围是,.

53

64

故答案为：,.

53

．，ð或

15(1)ABx2x4RABxx6x6

(2)mm1

（1）当m2时，写出集合B，并求出集合A，利用交集的定义可求得集合AB，利用并集和补集的定义

ð

可求得集合RAB；

（2）分B、B两种情况讨论，根据AB，可得出关于实数m的不等式，综合可得出实数m的

取值范围.

【详解】（1）当m2时，Bx6x2mx6x4，

又因为Axx24x120x2x6，故ABx2x4，

，则ð或

ABx6x6RABxx6x6.

（2）因为AB，当B时，则2m6，解得m3；

当B时，62m2，解得3m1.

综上所述，实数m的取值范围是mm1.

16．(1)fxx

(2)2

(3)gx在0,1上为减函数，证明见解析

（1）根据幂函数的定义可得出关于m的等式，解出m的值，即可得出函数fx的解析式；

（2）根据函数fx的定义域和单调性结合fxfx22可得出关于x的等式与不等式，即可得出原方

程的解集；

（3）化简函数gx的解析式，任取x1、x20,1且x1x2，作差gx1gx2，变形后判断gx1gx2的

符号，结合函数单调性的定义即可得出结论.

1

m1

【详解】（1）因为函数fx6m2x为幂函数，则6m21，解得m，故fxx2x.

2

（2）因为函数fx的定义域为0,，且该函数在0,上为增函数，

xx22

由fxfx22可得x0，解得x2，

2

x20

故方程fxfx22的解集为2.

422

2

（3）函数gxfx2x在0,1上单调递减，证明如下：

fxx

任取x1、x20,1且x1x2，

22222222

gx1gx2x1x2x1x2

x1x2x1x2

2x1x2x1x2x1x2x1x22

x1x2x1x2，

x1x2x1x2

<<<

因为0x1x21，所以0x1x21，0x1x22，所以0x1x2x1x22，

xxxxxx2

121212

所以gx1gx20，即gx1gx2，

x1x2

故函数gx在0,1上为减函数.

17．(1)Sxx220x,0x20

(2)100

（1）设DExm，根据矩形的性质可证明△BDG∽△ABT，根据相似三角形的性质得出边长，进而得出

矩形的面积；

（2）将Sx220x配方，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）设DExm，取BC中点T，连接AT，

因为ABAC105m,BC20m，所以ATAB2BT220，

四边形DEFG为矩形，

DG//AT，

△BDG∽△ABT，

1

DE

DG，

21

ATBT

1

x

DG，DG20x

21

2010

矩形DEFG面积SxxDGx(20x)x220x,0x20；

2

（2）Sx220xx10100

故当DE的长度是10厘米时，矩形花园DEFG的面积最大，最大面积为100平方米．

18．(1),31,

(2)①证明见解析；②证明见解析.

1

（1）当a1，b0时，fxx，利用基本不等式可求得函数fx的值域；

x1

（2）①当a0时，求出集合A、B，根据AB可求得实数b的值，即可证得结论成立；

②假设存在实数bR，使得AB，不妨设x0A，则fx00，则ffx0f00，可求出实

数b的值，然后求出集合A、B，即可证得结论成立.

1

【详解】（1）若a1，b0，则fxx，该函数的定义域为xx1，

x1

11

当x1时，x10，由基本不等式可得fxx112x111，

x1x1

1

当且仅当x1x1时，即当x0时，等号成立；

x1

1

当x1时，x10，由基本不等式可得fxx11

x1

11

x112x113，

x1x1

1

当且仅当x1x1时，即当x2时，等号成立，

x1

综上所述，当a1，b0时，函数fx的值域为,31,.

（2）①当a0时，fxxb，则ffxfxbx2b，

由fx0，可得xb，由ffx0，可得x2b，

所以Axfx0b，Bxffx02b，

若AB，则b2b，解得b0，

所以，当a0时，存在唯一的bR且b0，使得AB；

1xx1bx11x2b1xb1

②当a1时，fxxb，

x1x1x1

若AB，不妨设x0A，则fx00，则x0B，则ffx00，

1x2

即ffx0f0b10，解得b1，此时fxx1，

x1x1

2

x2

22

fxx1x

则ffx，令ffx0，可得0，解得x0，

fx1x2x1

1

x1

此时AB0，

故当a1时，存在唯一的bR且b1，使得AB.

21

aa,a

2

113

．

19(1)fxmin,a

422

23

a3a2,a

2

(2)答案见解析

(3)答案见解析

3

【详解】（1）当m1时，fxx23x2，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x，

2

31

当a2时，即当a时，函数fx在a,a2上单调递减，

22

此时22；

fxminfa2a23a22aa

31333

当aa2时，即当a时，函数fx在a,上单调递减，在,a2上单调递增，

2