解答题 概率与统计（专项训练12大题型+高分必刷）（解析版）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题概率与统计根据近几年的高考情况，概率统计是高考的必考内容，并且在解答题中都有出现，这就要求学生对于概率统计的基础知识必须要求达标过关。同时兼顾基础与核心素养的考察，包含数学运算，逻辑推理等，结合其他知识的综合考察，如结合数列的马尔科夫链，与导数结合的最值范围求解。而从2025年刚考完的统计模块的知识，所以2026年高考考察概率的解答题可能性更大，但不避免依然考察统计部分内容。题型1超几何分布（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为．(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．【答案】(1)(2)【解析】（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件，．（2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为．，，的分布列如下：1234则该顾客的平均花费为元．1、超几何分布的特征：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个体，考察某类个体数X的概率分布；重点特征：④超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立。定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.可以将上面的超几何分布记为X~N：总体的个体总数；M：总体中特定类别个体数（如这里的次品，正品）；n：抽取的样本容量数学期望与方差:数学期望：E(X)=x1方差:或者：D(X)=数学期望与方差性质：；数学期望与方差的关系：.

1、（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．（2）当时，X的取值可能是2，3，4，且，，，则．当时，X的取值可能是0，1，2，且，，，则．故．2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占．(1)当时，①求出3件产品中恰有2件A等品的概率；②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；(2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．（参考数据：，）【答案】(1)①；②分布列见解析，(2)145【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率；②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件，则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为；②当时，A等品有4个，B等品有6个．X服从超几何分布，，1，2，3，，，，，∴X的分布列为X0123P．（2），，由于，则，即，即，由题意易知，从而，化简得，又，于是．由于函数在上单调递减，在上单调递增，而，从而，当时单调递增，又，．因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是．即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．3．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表：分组频数525402010(1)估计样本的中位数；(2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记．（i）求的分布列及期望；（ii）求．【答案】(1)65(2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）.【分析】（1）根据中位数的定义确定体重区间，进而可求得中位数的值.（2）（i）首先确定分层抽样的比例，然后确定的可能取值，并计算相应的概率，列出分布列，计算出期望；（ii）根据方差公式求出的值.【详解】（1）因为，，故样本的中位数落在内，

又，故中位数为（2）（i）和的人数比为，

分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和，故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为，所以的可能取值为，

，，，

故的分布列为期望为，

（ii）由（i）知，所以．题型2二项分布（2025·江西·模拟预测）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表：日均时长（分钟）[40，50]频数3050803010(1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；(2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为.（i）当时，求的分布列和数学期望；（ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：）【答案】(1)(2)（i）分布列见解析，；（ii）11次【分析】（1）第70百分位数为累计频数，第70百分位数落在区间，利用比例求解即可；（2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望；（ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案【详解】（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为，前两组累计频数，前3组累计频数，故第70百分位数落在区间，则第70百分位数约为；（2）（i）潜在高粘性用户的频率为，.易得的可能取值有0，1，2，3，则，，.故的分布列为0123；（ii）设至少需抽取次，则，即，.即，故至少需抽取11次.1、二项分布的特征：①每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；重点特征：④二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立。定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).数学期望和方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响.(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.【答案】(1)分布列见详解；.(2)【解析】（1）由已知随机变量X的取值有,则.；；；；；.所以X的分布列为X012345P方差.（2）设选择甲方案测试的学生人数为，则选择乙方案测试的学生人数为，并设通过甲方案测试合格的学生人数为，通过乙方案测试合格的学生人数为，当时，此时所有学生均选择乙方案测试，则，所以，不符合题意；当时，此时所有学生均选择甲方案测试，则，所以，符合题意；当时，，，所以，又，则，故当时，符合题意.综上，所以.所以当选择甲方案测试的学生人数为时，测试合格的人数的均值不小于3.2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．(1)估计甲队每局获胜的概率；(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）用频率估计概率，结合题意求概率即可；（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立重复性实验概率公式求分布列和期望；（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，分析可得，结合题意运算求解.【详解】（1）用频率估计概率，6局中甲共赢4局，则甲队每局获胜的概率为.（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，可得的分布列为：0123所以.（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，其中，因为两队积分相等，则，即，可得，又因为，，，，所以.3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次.(1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差；(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，）【答案】(1)分布列见解析，，(2)12门【分析】（1）由已知根据二项分布的概率计算公式分别计算概率，然后根据二项分布的期望和方差公式求解即可；（2）由已知可得，然后根据对数的运算求解即可.【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4，由，有，，，，，随机变量的分布列为：01234有，；（2）由目标至少被击中一次的概率为，又由目标至少被击中一次的概率超过，则，则，所以，所以至少需要12门大炮.题型3概率的独立性（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，故小李成功完成三道工序的概率为；（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；故.1、判断独立的方法：（1）、直接法：直接判断一个事件发生能否影响另一个事件发生的概率。（2）、定义法：若P(AB)=P(A)P(B)成立，则A事件与B事件相互独立，反之亦成立。（3）、转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与B，A与B，A与B也相互独立。2、n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂．(1)当时，求个周期结束后细胞数量为个的概率；(2)设个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）个周期结束后细胞数量为个,分以下三种情况，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，依次计算即可得出结果；（2）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望.【详解】（1）由题意可知，当时，个周期结束后细胞数量为个,则设第个周期分裂为个细胞，之后一直保持为个细胞，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，故,第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，故,前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，故，综上可知，.（2）个周期结束后，的取值可能为,其中,，，，所以分布列为.2．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)【解析】（1）解：可能取值为2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为；乙以2：0获胜的的概率均为甲以2：1获胜的的概率均为乙以2：1获胜的的概率均为∴即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为∴∴．3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．(1)求队全胜夺冠的概率；(2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见详解；【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率；（2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望．【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜，所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，所以队全胜夺冠的概率为．（2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，若，即队在第一轮，第二轮均失败，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为；②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为；③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为；②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为；③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况：①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为；②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为，所以，所以的分布列为：2345故的数学期望为．题型4条件概率与全概率（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立．(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；(2)求与对决过且最后获得冠军的概率；(3)求与对决过且最后获得冠军的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为．由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1．所以七名运动员各自夺冠的概率均为．（2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，．不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧．，，，，所以.（3）记事件“与对决过”．没有与对决过且最后获得冠军的概率．由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决．所以．代入得：．1．条件概率(1)条件概率的定义

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)性质

设P(A)>0，Ω为样本空间，则

①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；

③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A).2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A).3．求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得.4．全概率公式及应用(1)全概率公式

一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,，n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.

5．贝叶斯公式设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,，n，则对任意的事件，P(B)>0，有.1．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线加工的次品率分别为，生产出来的零件混放在一起，已知生产线加工的零件数分别占总数的.(1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入法）(3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一责任人奖励10元，用表示该责任人由3个零件获得的金额，求的期望及方差.【答案】(1)；(2)；(3)，.【分析】（1）由全概率公式计算求解即可；（2）利用贝叶斯公式计算即可；（3）设3个零件中的次品数为，则服从二项分布，再根据题意可得与的关系式，利用二项分布的期望和方差公式结合其性质计算即可.【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，分别表示“零件为生产线加工”，由题设，.由全概率公式，（2）由题意，所求概率为.（3）设3个零件中的次品数为，则.因为，所以，.2．（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.由全概率公式知，因为每名队员上场顺序随机，故，，，.所以，所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，，，，，因为.

由（1）知，所以.所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.3、（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少?(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.【答案】(1)(2)(3);分布列见解析.【解析】（1）选手A参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间：.（2）在第二轮比赛时，设1分队伍为，其中代表二（4）班，0分队伍为，其中代表二（3）班，在1分队伍中比赛后失败，其概率为，在0分队伍中比赛后胜利，其概率为，在第三轮比赛中进入1分队伍的不妨设有四支队伍，抽签后所有可能对手情况有共3种，重新遇上的情况只有，故其概率为，综上：两队在第三轮重新遇上的概率为.（3）设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是,则,且两两互斥,，设“任选一名自荐同学，计算该同学被选上”,则.可能的取值有：，X的分布列为X567P题型5概率的决策分析（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．(1)当时，求甲最终获胜的概率；(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，于是，与为互斥事件，由于，，则，即甲最终获胜的概率为．（2）由（1）可知，，若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，，则的分布列为：3则，若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0，，则的分布列为：10则，所以，由于，则，于是时，两种方案都可以选，当时，，应该选第二种方案，当时，，应该选第一种方案．解答思路：①某种情况下的期望值较好——数学期望进行比较分析，②某种情况比较稳定——方差进行比较，方差越大情况波动越大，越不稳定。③某种情况优于其他情况的概率——直接概率比较。1、（2025·吉林长春·模拟预测）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个.(1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率；(2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求；(3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由.【答案】(1)(2)(3)不公平，理由见详解【分析】（1）根据题意结合不放回抽样事件的概率计算公式求解；（2）根据题意结合独立重复试验概率公式运算求解，注意球颜色相同的所有可能情况；（3）根据题意结合独立重复试验概率公式求参与者获胜的概率，并与对比分析.【详解】（1）记“取出一个红色球和一个蓝色球”为事件A，则.（2）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球､蓝色球和绿色球的概率分别为、和，所以.（3）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球的概率都是，记“参与者获胜”为事件B，则，所以游戏不公平.2．（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.(1)求随机变量的分布列和数学期望：(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)应选择方案一，理由见解析【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论；法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论.【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，，，..（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.，，，，.，因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；法二：的值可能为、、、，，，，，则，，因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.3．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．【答案】(1)0.7(2)方案二更优惠，理由见解析(3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解；（2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；（3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策.【详解】（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为；（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，若乙选择方案一，则成交的金额为万元若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则，所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元因为，所以方案二更优惠；（3）设丙用方案一购买箱，则丙用方案一需要支付的金额为元，方案二需要支付的金额的期望为元，所以丙购买的金额的期望为万元因为为减函数，所以越大，越小，故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠.题型6正态分布（2025·浙江·三模）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表：循环寿命x（千次）组数y515ab5已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．(1)求a，b的值；(2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值．（ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）；（ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由．参考数据：若随机变量，则，，．【答案】(1)，．(2)（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%；（ⅱ）不合格，理由见解析【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解；（2）由题意，，（i）根据正态分布的对称性求概率即可；（ii）算出，然后由即可判断.【详解】（1）由题，①，②，由①②解得，．（2）由题，，，（ⅰ）因为；，所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%．（ⅱ）不合格．理由如下：由题，，所以，又，，故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格．正态分布：1、定义：.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差，则成随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2特点：①曲线是单峰的，其关于x=μ②曲线在x=μ处达到峰值③当x无线增大时，曲线无限接近x值⑤对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

⑥在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑦当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.3σ原则：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

均值与方差：若，则E(X)=μ，D(X)=σ2.1．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：平均尺寸标准差甲生产线p件M型零件806乙生产线q件M型零件704(1)求这40件M型零件尺寸的平均数；(2)求这40件M型零件尺寸的标准差；(3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件?参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③.【答案】(1)72；(2)6；(3)低于40件.【分析】（1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；（2）设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得；（3）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数.【详解】（1）由题设，，，所以；（2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差，所以，，而，即，所以，，而，所以，可得；（3）由（1）（2）知零件服从，则，这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有，所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件.2、（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）【答案】(1)，(2)分布列见解析，(3)【解析】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，由题可知：，解得，所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：．所以，.（2）样本中质量指标值在和的芯片数量为，所取样本的个数为件，质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、，所以，，，，，随机变量的分布列为：所以的数学期望．（3）由（1）可知：，则，，由题可知：．所以：，即.3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数101520301510已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）.(2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数）参考数据:，若，则.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案；（2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案.【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为，则样本平均数估计值，可得.由，则，，因为，所以.（2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则；可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为；由，两边取对数可得；因为，，所以，由为正整数，所以的最大值为.题型7统计中的回归分析（2025·浙江金华·一模）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）年份2021202220232024年份代号1234销量336993129附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）(2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．【答案】(1)与具有较强的线性相关关系(2)，（千辆）【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可；（2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解．【详解】（1）已知，，则，，则，，，所以，已知，故，又，代入相关系数公式，可得，因为，所以与具有较强的线性相关关系．（2）根据，由（1）可知，，所以，由，已知，，，则，所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）．线性经验回归方程与最小二乘法：将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，其中经验回归直线一定过点.残差分析对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差。刻画回归效果的方式(1)残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.

(2)残差平方和法

残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.

(3)利用刻画拟合效果

=.

越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.非线性回归方程：根据题目提示转化为线性回归方程，即非一次函数转化为一次函数，然后根据线性回归方程的公式求解参数。见的非线性函数转换方法：①、幂函数型两边取常用对数，，即，令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．②、指数函数型（且，）两边取自然对数，，即，令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．③、反比例函数型型令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．④、二次函数型令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．⑤、对数函数型令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：广告支出x（万元）24568销售额y（万元）2030506070(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，）(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，.【答案】(1)，可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度(2)，销售额为136万元.【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断.（2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可.【详解】（1）根据表格里的数据可得：，.所以...所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度.（2）根据公式可得：，.所以关于的线性回归方程为.当广告支出15万元时，销售额约为万元.2．（24-25山东·阶段练习）为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且．10.15108.403.040.1614.00－2.1011.670.2121.22(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值．参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．【答案】(1)模型建立与的回归方程更合适(2)(3)万元【分析】（1）求出相关系数，比较大小，越接近1回归方程更适合.（2）先换元用公式，求出线性回归方程，再回代求出非线性回归方程即可.（3）用（2）的方程代入利润方程得出利润z关于研发经费x的函数关系式，再用基本不等式可解决.【详解】（1）由题意知，，因为，所以用模型建立与的回归方程更合适.（2）令，回归方程为，因为，，所以关于的回归方程为，即.（3）由题意知，当且仅当，即时取等号,则，所以.当且仅当时等号成立，所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为万元.3．（24-25·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数．(1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)在（1）的条件下，（i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）；（ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由．参考数据：记4512.021.5520.2028545.073.42参考公式：．【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析(2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型；（2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程；（ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示.【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下：从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，减小速度越来越慢，呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型；（2）（i）两边取对数得，由于，故，，即，故，（ⅱ）会报警提示，理由如下：中，令得，故会报警提示.题型8统计中的独立性检验（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事男性25150女性5075(1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．附：．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，认为关注“湘超”赛事与性别有关(2)【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；（2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）列联表如下：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关．故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注“湘超”赛事与性别有关.（2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B，则，，则，所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为.1．独立性检验(1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d则.(2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

(3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.2．独立性检验的应用问题的解题策略解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算；(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.1．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示：组别半月板的健康状况合计半月板正常半月板损伤长期长跑40360400非长期长跑460140600合计5005001000(1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关；(2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性(2)分布列见解析，【分析】（1）由假设的定义及公式可得；（2）由分层抽样可求出正常与损伤的人数，再根据超几何分布求出概率，列表得到分布列及期望.【详解】（1）零假设为：“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系，则，故零假设不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性.（2）由分层随机抽样知识知，半月板正常的有人，半月板损伤的有人，则的可能取值为,则，所以的分布列为12故.2．（2025·陕西西安·一模）鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表：调查结果组别不满意满意合计本地游客80120200外地游客60140200合计140260400(1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关；(2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)无关；(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可得解.（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式求解即可.【详解】（1）零假设为：满意情况与游客的来源无关，因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关.（2）由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为，依题意，的可能值为，，，，所以这3人中满意人数X的概率分布列为：数学期望.题型9概率中的证明题（2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设）是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖.设中奖时共抽奖次.(1)证明：当时，；(2)证明：当时，；(3)当时，求的分布列和期望.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)分布列见解析，【解析】（1）证明：当时，由题意可得的可能取值有1，2，，，，故.（2）证明：当时，由题意可得的可能取值有1，2，3，，，，所以，易知当时，取最大值，故.（3）由题意可得的可能取值有1，2，3，4，，，，.故的分布列为1234故.解题方法与思路：掌握概率中的一些基础公式的积累和变形如：P(A如：P(A)=P(AB)+P(AB)（其中事件若事件A与事件B为互斥事件或者对立事件，则P(AB)=0，在对立事件中P(A)+P(B)=1对于所给证明形式进行递进式的推导与化简整理1、（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：单位：人一年内是否索赔驾龄合计不满10年10年以上是10515否9095185合计100100200(1)依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为．假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为.已知.（i）证明：；（ii）证明：，并给出该不等式的直观解释.附：，【答案】(1)司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.【解析】（1）零假设为：司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.根据表中数据，计算得.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.（2）（i）根据条件概率的定义，.（ii）由题意.由（i）中的结论及已知得，，由概率的性质知.由全概率公式，.根据条件概率的定义，.因为，所以要证，即证，即证.因为，所以成立.所以.式子说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.2．（2025·江苏连云港·模拟预测）人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙．(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程．(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：．【答案】(1)该棋手在第二局与甲比赛最大，过程见解析(2)①分布列见解析，；②证明见解析【分析】（1）分类讨论连胜两局的所有情况，依次计算出所有的概率，比较大小，判断结果；（2）①根据比赛情况，写出随机变量可能取值，根据独立事件乘法公式，分别求出所有概率，再根据期望的定义，写出数学期望的代数式，根据基本不等式，求出数学期望的最大值；②根据甲赢得比赛时，比赛得分的情况，计算出甲获胜的概率即可；【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛最大，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则．同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率，该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率，因为，所以该棋手在第二局与甲比赛最大．（2）①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，且，由题意得的所有可能取值为：2，4，6，，，．的分布列为：246所以的数学期望为：．由，得，当且仅当取等号，则，因此当时，的最大值为．②设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.可知甲最后赢得比赛的局数必为偶数，根据比赛规则，前两局比赛结果可能是，其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，事件表示“甲、乙各得1分”，因不限制局数，所以当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，所以，整理得，又，平方后整理可得．所以3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；(2)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)分布列见解析，(3)证明见解析【分析】（1）由混合前后，合格件数的总数相等，列出方程，即可证明；（2）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知服从二项分布，写出分布列和期望即可；（3）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即，化简变形即可证得.【详解】（1）甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，则合格件数为，乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，则合格件数为，混合后，总零件数为，合格品率为88%，则混合后合格零件数为，则，化简可得，即.（2）设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”则，，，即，解得：，所以，的可能取值为，且由题意知：，所以，，，，所以的分布列为：.（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以：，即，因为，所以，由，所以，即得：，所以，即，由因为，所以，因为，所以，所以.题型10概率与数列结合1、（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．【答案】(1)分布列见解析，；(2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和.【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；（2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，则的分布列为：X0123P.（2）依题意，，即，则有，当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列，则，时，，所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.2、（2025·湖南·一模）张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．【答案】(1)；(2)（或）；(3)【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值；（2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式；（3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出.【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故，第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，第3天晨跑的情况分两种：第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为，第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故.（2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为，张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为，所以，即，则，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列.由（1）得，，，所以，所以，则，所以，所以．（或）（3）记他前天中，第天晨跑的次数为．由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有，所以，所以，所以所以.（或解题方法与思路：求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(X求和：注意是数列中的倒序求和、错位相减、列项求和；利用等差、等比数列性质，研究单调性、最值或者求极限。1、（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；(2)①求证：数列（）是等比数列；②求队员赢得吉祥物的概率．【答案】(1)答案见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可；（2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解.【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8，可得，，，，，所以的分布列：45678（2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，向上点数不是3的倍数概率，则到达第步台阶有两种情况：①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为，②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为，所以（），则（），所以数列（）是首项为，公比为的等比数列．（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以（），所以活动参与者得到纪念品的概率为．2、（2024高三·全国·专题练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．(1)求及的分布列．(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​）【答案】(1)，分布列见解析；(2)，证明见解析；(3)（元）【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果；（2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果；（3）由（2）得到，即可求出结果.【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4，显然的值为25，50，则，所以，又的值为，则，所以的分布列为：25501000.40.240.36（2）依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为，因此当时，，，即，又，数列为等比数列，公比为1.2，首项为90．（3）由（2）得，，即，所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）．3、（23-24高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．【答案】(1)(2)分布列见解析(3)【分析】(1)由古典概率模型进行求解；(2)可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；(3)记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，，，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此．【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解.题型11概率与导数集合（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组