解答题 三角函数、三角恒等变换与解三角形（专项训练10大题型+高分必刷）（全国通.用）（原卷版）2026年高考数学一轮复习讲练测

6/15解答题三角函数与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型1三角恒等变换与三角函数1．（2025·广东·一模）已知函数，其中．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若时，的最小值为4，求的值．2．（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值.(1)求的值及的取值范围；(2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值.此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通过辅助角公式“化一”，化为3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。1．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调递增区间及在上的值域；(2)若为锐角且，求的值.3．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．(1)求函数的对称中心及对称轴方程；(2)当时，求函数的最大值和最小值．4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围．5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数．若函数的相邻两条对称轴间的距离为．(1)求的值，并求函数在的值域；(2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值．6．（2025·辽宁大连·一模）已知函数，的部分图象如图所示.(1)求的值;(2)记求的解集.题型二：正余弦定理解三角形的边与角1．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.(1)求C的值；(2)求的值；(3)求的值.2．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求；(2)若，面积为，求c.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。1．（2025·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为且.(1)求A；(2)若，，求c的值.2．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求.3．（2025·四川巴中·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)若，点在边上，，求的面积.题型三：解三角形中角度最值范围1．（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且．(1)若，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．2．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若，，求a；(3)若为锐角三角形，求的取值范围.求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小.1．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的取值范围；(3)若，求外接圆面积的最小值.2．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）在中，内角对应的边分别是，且．(1)求角A的大小；(2)若的面积是，求的周长；(3)若为锐角三角形，求的取值范围．3．（2025·辽宁·一模）在中，角所对的边分别是，且满足(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范围.4．（2025·广东揭阳·三模）已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的最值；(3)若，，求的面积S的取值范围.题型四：解三角形中边长或周长最值范围1．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．(1)求；(2)若，求的边的最大值．2．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，且．(1)求；(2)若，求的周长最大值．在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、“商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解.基本不等式，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论重要不等式（和定积最大）当且仅当时取等号当且仅当时取等号辅助角公式及三角函数值域形如，，其中，对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围．2．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，．(1)求；(2)已知的面积为，求的最小值．3．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)若在上单调递增，求c的取值范围；(2)若，，求的最大值．4．（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.5．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．(1)求；(2)求的取值范围．8．（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的取值范围．6.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若，且，求的取值范围．7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且.(1)求；(2)若；求周长的取值范围.8．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且．(1)若，求A；(2)若是锐角三角形，求周长的取值范围．题型五：解三角形面积最值范围1．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.(1)求内角的大小；(2)若，求面积的最大值.1、常用三角形的面积公式：（1）；（2）；（3）（为三角形内切圆半径）；（4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。2、针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最值,进而对问题作出具体完整的解答,这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做出分析,明确选择面积求解公式;(2)运用正余弦定理,取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积公式中得到具体表达式;(3)根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围大小,即对应问题所求的面积范围值.1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为(1)求角；(2)若，求面积的最大值．2．（2025·江西新余·模拟预测）若的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求面积的最大值．3．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且.(1)若，求；(2)求△ABC面积的最大值.4．（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且．(1)求；(2)若，，求面积的最大值．5．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．题型六：三角形的角平分线、中线、垂线1．（2025·河南·模拟预测）如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且.(1)求；(2)若的内切圆的半径为，求的周长.2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，内角所对的边分别为、、，满足(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为2，求的面积；3．（2025·广东·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)设，求边上的高.1、涉及中线长的工具：在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，（1）向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）核心技巧：结论：（2）角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、涉及角平分线的工具：如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，（1）内角平分线定理：核心技巧：或（2）等面积法核心技巧（3）角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;1．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值．2．（2025·四川乐山·三模）在中，角的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，，的角平分线交于，求.3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）记的内角的对边分别为，已知，且．(1)求；(2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD．4．（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．(1)求的长；(2)求的面积．5．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求cosA；(2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长．6．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且．(1)求角的值；(2)若，求长的最大值．7．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)若，且，求边上中线的长．8．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)若，求；(2)当BC边上的中线最小时，求的面积.9．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，．(1)求；(2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求．10．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求边上的高的长.题型七：多三角形问题1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；(2)若，证明：.2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；(2)若，求的值．利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.1．（2025高三·全国·专题练习）在四边形中，平分．(1)求；(2)当取最大值时，求．2．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，．(1)求的周长(2)求四边形的面积．3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.

(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(2)为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.4．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形．(1)若，求的面积；(2)若，求的面积；(3)求的面积的最大值．题型八：三角函数与解三角形的综合1．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式及对称中心；(2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围．1．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为.(1)当时，求的值；(2)求函数的解析式及最大值.题型九：解三角形与平面向量的综合1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)求；(2)求的取值范围.解三角形与平面向量的综合题，关键在于灵活转化。通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转化为边与角的关系，再利用正弦、余弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的模、数量积等工具处理长度、角度与垂直、平行等问题。解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注意数形结合，理清向量与三角形元素之间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.2．（24-25高一下·青海海南·期末）在锐角中，角的对边分别是，向量，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值；(3)若，求的取值范围.3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，角的对边分别为.已知向量，，且.(1)求角的大小；(2)若是的中点，，求面积的最大值.4．（24-25高一下·河北沧州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且．(1)求A；(2)若，求面积的最大值；(3)若，求的取值范围．题型十：解三角形的实际应用1．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）.2．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.(1)求此山的高的值；(2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.1．（2025高三·全国·专题练习）2019年7月4日下午在辽宁开原突发的龙卷风，风力超过15级．路边一棵参天大树在树干某点处被龙卷风折断，剩余部分与折断部分的夹角为，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（参考数据：，，）(1)若，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．2．（2025高三·全国·专题练习）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转向东北方，沿铺设．现要修一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分视为直线段，要求市中心与铁路的距离为10km，问把分别设在距多远的地方才能使最小？并求出的最小值．3．（2026高三·全国·专题练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）.(1)求两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度.4．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度.5．（24-25高一下·吉林延边·期中）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.

(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？(2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？6．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：，，，1．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.(1)求的单调递增区间；(2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.2．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）(1)求的最小正周期､单调递增区间(2)在区间有两个不等的实根，求m的范围3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量.(1)若为钝角，且的最大值为，求的单调递增区间；(2)若为锐角，且是函数的一条对称轴，求函数在上的值域.4．（2025·河北唐山·模拟预测）在中，角所对的边分别是．已知，的面积为．(1)求；(2)为边上一点，①若是的平分线，求线段的长；②若，求．5．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，的面积为，为边上一点，满足，①求的周长；②求的长.6．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足.(1)求角；(2)若，求面积的取值范围；(3)证明：.7．（2025·黑龙江大庆·一模）在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.8．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，,点M在边BC上，AM是角A的平分线．(1)求角A；(2)求AM的长．9．（2025·广西·模拟预测）已知向量，，设函数．(1)化简并写出的最小正周期；(2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值．10．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.11．（24-25高一下·四川成都·期末）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.(1)求B的值；(2)