中考数学二次函数压轴题专项练习：实际应用之区间顶点最值（解析版）

中考鼎君二法函烈

实际应用之区间顶点最值

例1【表格型】I.(2024•贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销

售，经市场调查发现销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价

x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.

销售单价力元•••1214161820•••

销售量w盒•••5652484440•••

(1)求y与x的函数表达式；

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,

赠送礼品后，为确俣该种糖果口销售获得的最大利润为392元，求机的值.

【解答】解：(1)设)，=辰+6(AHO).

.12k+b=56

14k+b=52

解得：尸2.

b=80

.\y=-2x+80；

(2)设日销售利润为w元.

w=(x-10)(-2x+80)

=-2x2+100x-800

=-2(x2-50x+625)-800+1250

=-2(x-25)2+450.

答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元;

(3)w=(x-10-w)(-2r+80)

=-2x2+(100+2〃z)x-800-80/M.

,**最大利润为392元，

2

・4X(-2)(-800-80m)-(100+2m)-392

4X(-2)

整理得：〃?2-60〃7+ii6=0.

(〃?・2)(m-58)=0.

解得：〃71=2,M2=58.

中考微君二法函微

当"?=58时，x=--L=54,

2a

，每盒糖果的利润=54-10-58=-14（元）.

・••舍去.

答：〃?=2.

例2【图象型】3.（2024•温江区校级自主招生）某商场购进一批衣服，每件的

进价为80元，出于营销考虑，要求每件衣服的售价不低于80元且不高于150

元，在销售过程中发现该衣服每周的销售量y（件）与每件衣服的售价x（元

）之间满足的函数关系如图所示.

（1）求p关于x的函数关系式及x的取值范围；

（2）若商场每周销售该衣服获得的利润为1100元，则每件衣服的售价是多

少元？

（3）设该商场每周销售这种衣服所获得的利润为w元，则将该衣服的销售单

价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设函数关系式为：y=k/b,

代入坐标（50,150）,（100,100）,得

[50k+b=150

1100k+b=100,

解得『二T,

b=200

即y关于x的函数关系式为/=-户200（80&XW150）；

（2）根据题意有：yX（x-80）=（-A+200）（X-80）=1100,

方程整理得/-280^17100=0,

解得x=90,或x=190（舍去），

答：每件衣服的售价为90元；

（3）根据题意，有：w=yX（彳・80）

中考微君二法函微

=（-x+200）（x-80）,

整理，得忏-/+280x-16000,

化为顶点式为：“=・（^-140）2+3600,

,?-1<0,80^^150,

・・・二次函数片・J+280x-16000有最大值,且当才=140时，取最大值,

B|J犷最大=3600,

即当售价为140元每件时，才能获得最大利润，最大利润为3600元.

对应练习：

1.水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元

的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果的售价降低0.1

元，每天可多售出5千克，张阿姨决定降价销售.

（1）若这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是一（100+50x）

千克（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利150元，张阿姨需将每千克的售价降低多少

元？

（3）求张阿姨每天盈利y（元）与每千克售价石（元）之间的函数关系式，

并求出每千克售价多少元时，每天盈利最大？

【解答】解：（1）,・,这种水果的售价降低0.1元，每天可多售出5千克，

・••若这种水果每千克的售价降低十元，则每天的销售量=100+」JX5=（

0.1

100+50x）千克.

故答案为：（100+50x）；

（2）设这种水果每千克的售价降低加元，则每千克的销售利润为（4-勿-2）=

（2-/77）元，每天的销售量为（I00+50M千克，

依题意得：（2-m）（100+50/v）=150,

整理得：苏-1=0,

解得：加1=1,他=-1（不合题意，舍去）.

答：张阿姨需将每千克的售价降低1元；

（3）依题意得：y=（a-2）（100+生亘X5）=・50，+400a・600（2WaW4

中考微君二法函微

）.

y=-50^+400z?-600=-50（d-4）2+200,

•・・・50<0,

・•・当a=4时，y取得最大值,最大值为200.

・,•当每千克售价为4元时，每天盈利最大.

2.某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每

月能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件,假定每

月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数.

（1）试求y与x之间的函数关系.

（2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的

利润最大？每月的最大利润是多少？

解：（1）设、=上]+比

把工=20,尸20和£=30,y=10代入可得款ftp一巴

[30k+b=10

解哦京,

/.y=—x+40（10<x<40）；

（2）每月获得利润P=（-°十40）（x-10）

=一比2十50i—400

=-（x-25）2+225,

当1=25时，P取得最大值，最大值为225,

答：销售价格定为25元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是225元.

3.（2024秋•武鸣区期中）江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名.现有

一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价

不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）

与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如表所示：

销售单价X（元/条）•••7090100•••

每天销售数量y（条）•••804020•••

（1）请求出歹与x的函数解析式；

（2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为卬元.写出卬与x的函数解析式；

（3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利

中考鼎君二法函烈

润是多少？

【解答】解：(1)设歹=左什力(左W0),

・・,经过(70,80),(90,40),

.j70k+b=80,

l90k+b=40，

解得：［片2,

lb=220

・\y=-2x+220(60^x^110)；

(2)w=(x-50)(-2x+220)

=-2x2+320x-11000；

(3)・・・-2<0,

・・・抛物线的开口方向向下，

•・・60WxW110,抛物线的对称轴为直线：工=-工=80,

2a

・••当x=80时，卬最大，w最大=30X60=1800.

答：将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润

是1800元.

4.(2024秋•北辰区期中)某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按

每件50元销售，一个月可售出500件.销售价每涨1元，月销售量就减少10

件.设销售价为每件x元(x250),月销量为y件，月销售利润为w元.

(1)当销售价为每件60元时，月销量为400件,月销售利润为8000

元：

(2)求歹与x的函数关系式，w与x的函数关系式，写出x的取值范围；

(3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润.

【解答】解：(1)一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，

一个月可售出500件.销售价每涨1元，月销售量就减少10件.当销售价为

每件60元时，得：

月销量为500-(60-50)X10=400(件)，

月销售利润为(60-40)X400=8000(元)，

故答案为：400,8000；

(2)由题意可得：了=500-10(%-50)=-lOx+1000,

中考微君二法函微

-10x+1000>0,

解得：XV100,

・・・50«100,

・・・0=(x-40)y=(x-40)(-lOx+1000)=-10x2+1400x-40000,

・・・歹与x的函数关系式为>=-lOx+1000(50WxV100),

卬与l的函数关系式为卬=-10x2+1400.r-40000(50^x<100)；

(3)Vw=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000(50^x<100),

・••当x=70时，w最大，最大值为9000,

・,・当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元.

5.(2024秋•钢城区期中)2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深

受大众喜爱.商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，

公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个.物价部门规

定，商品利润不得超过进价的50%,同时市场调查发现：销售单价每降低1

元，其销售量相应增加5个.

(1)设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x

的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围.

(2)那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润

是多少元？

【解答】解：(1)由题意得：y=75+5(125-x)=-5x+700,

・・,商品利润不得超过进价的50%,

即xW(1+50%)X80=120,

故卜=-5x+700GW120)；

(2)设每天所获销售利润为w元，xW120,

则w=y(x-80)=(-5x+700)(x-80)=・5(x-110)2+4500^4500,

即当x=110元(降低了15元)每天所获销售利润最大，最大利润是4500元,

即单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元.

6.(2024秋•丰台区校级期中)2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物

“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒

进价为30元.当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒.

中考微君二法函微

在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满

足函数关系：

y=-2x+180（30Wx<50）.

（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式

为漳=・2x2+240x・5400；

（2）求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大

利润是多少元？

宸宸琮琮莲莲

rhenrhencongcnnglianItan

【解答】解（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w=（%-30）（3180

）,

-2x2+240x-5400.

故答案为：w=-2^+240%-5400.

（2）由题意，Vvv=-2N+240x-5400=-2（x2-120x+3600）+1800=-2（

x-60）2+1800,

又30WxW50,抛物线开口向下，对称轴是直线x=60,

・••当x=50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大=-2（50-60）2+1800

=1600（元）.

7.（2024秋•北京期中）我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，

每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒.

为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，

同时段每小时的销量就增加2盒.设该礼盒售价为每盒x元J2100）,每

小时的销售利润为校元.

（1）求卬关于x的函数关系式，并直接写出了的取值范围；

（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销

售价应定为每盒多少元？

中考微考二法函微

(3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润.

【解答】解(1)由题意得，y=40+2(150-x)即y=340-2x(100^x<150

),

・・・w=(x-100)(340-2x)BP-2x2+540x-3400(100^x<150)

(2)由题意得，(x-100)(340-2x)=2400,

整理得F-270x+18200=0,

解得,=140,X2=130,

・・,要让利顾客，

.*.x=130,

答：销售价应定为每件130元；

(3)w=(x-100)(340-2x)

=340.Y-34000-2f+200x

=-2r2+540x-34000

=-2(x-135)2+2450(100^x<150)

-2<0,

・•・当x=135时，卬有最大值，w最大=2450,

答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元.

8.(2024秋•昆明期中)“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥旨红

之日.某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180

只.商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每

上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元.设每只大

闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元.

(1)用含x的式子表示涨价后每只大闸蟹的利润是(10出)元,每天

的销售量为(180・10x)只;

(2)写出歹与x的函数关系式和自变量x的取值范围；

(3)每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少

9•

【解答】解：(1)涨价后每只大闸蟹的利润=(30+x)-20=(10+x)元，

每天的销售量为(180-10x)只，

中考微考二法函微

故答案为：（10+x）,（180-10.r）；

（2）y=（10+x）（180-10x）

=1800-100x+180x-10x2

=-10x2+80x+1800（0WxW5）；

（3）V-10<0,

・・・抛物线的开口方向向下，

•••当x=-±-=4时，y最大，

2a

・・・0WxW5,

.••当x=4时，y最大=14义140=1960（元）,

・•・每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960元.

答：每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960

元.

9.（2024秋•河东区期中）某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，

每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期

可多卖出20件,在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元,则每件商品利润（20-丁元,每星期可售出C

300+2》）件:（用含x的代数式表示）

（2）若每星期售出商品的利润为y元，则一与x的函数关系式y=・

20N+i00x+6000；

（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解（1）设每件降价x元，则每件商品利润为60-x-40=20-x（

元），每星期可售出：（300+20X）件，

故答案为：（20-x）:（3OO+2OQ:

（2）y=（20-x）（300+20x）=-20N+100/6000.

因为降价要确保盈利，所以40V60-xW60（或40V60-XV60也可）.

解得0«20；

故答案为：y=-20x2+100x+6000；

（3）当x=--=-——理--=2.5元时；y有最大值，y=

2a2X（-20）,

中考微考二法函熬

2

4X（-20）X6000-100=6125^

4X（-20）

即当降价2.5元时，利润最大且为6125元.

10.（2024秋•西岗区期中）某果农销售每箱成本为40元的红富士苹果，市场

调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售20箱，若每箱苹果售

价每降低5元，平均每天多销售10箱.

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；

（2）每箱苹果的销售价为多少元时，该果农每天获得利润最大，最大利润是

多少元？

10（6X）

【解答】解：（1）y=20»0-=140-2X>

5

・,•平均每天销售量）（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为歹=140-

2x（40<x^60）；

（2）设该果农每天获得的利润为w元，根据题意得，

w=（x-40）・y=（x-40）（140-2r）=-2x2+220x-5600=-2（x-55）

2+450,

•・・・2<0,

有最大值，

当x=55时，卬有最大值为450元.

答：每箱苹果售价为55元时，该果农每天获得利润最大，最大利润为450元

11.（2024秋•江夏区校级期中）某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某

个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示：

第X天售价（元/件）日销售量（件）

1«3080-x40+4x

设销售该商品的日销售利润为y元.

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

（3）如果超市每销售一件商品，就捐赠小元给希望工程，若仅在第15天销

售利润额达到最大值，求〃7的取值范围.

中考微考二法函微

【解答】解(1)由题意得^=(80-X-20)(40+4工)=-4x2+200.v+2400,

*»y与x的函数关系式为^=-4x2+200x+2400；

(2)y=-4N+200X+2400=-4(x-25)2+4900,

V-4<0,l〈xW30,

・•・抛物线开口向下，

当工=25时，y取得最大值为4900,

・,・销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元；

(3)设捐赠后的销售利润为/元，

由题意得：/=-4/+200/2400-m(40+4x)=-4/+(200-4m)x+2400

-40加，

・・・对称轴为直线x=-200:4m=25-X

2X(-4)2

・・,仅在第15天销售利润额达到最大值，

A14.5<25-Xn<15.5,

2

解得19VMV21.

：.m的取值范围为19<w<21.

12.(2024秋•工业园区校级期中)某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会

吉祥物.该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价.现在售价为每个

50元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的

销售量将增加10个.设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为少元

(1)求出〃与x的函数关系式；

(2)该零售店如何定价，才能使得每天的利涧力最大，并求出最大利润.

【解答】解：(1)由题意，•・•售价为每个50元，每天可销售100个.售价

每降价1元，每天的销售量将增加10个，

・•・每天销售吉祥物的利润为％=(5O-X-3O)(100+10%)=-10(x-5)

2+2250(04W20)；

(2)由题意，・・•沙=-10(x-5)2+2250,且-10V0,

・••当x=5时,%有最大值，且最大值为2250,此时定价为：50・5=451元)

中考微君二法函微

13.(2024秋•浏阳市期中)某宾馆有80个房间供游客居住，当每个房间每天

的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，

就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储

存货物可获得40元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外

支出30元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x可且

全部用于出租储存货物.

(1)用含x的式子表示