《第八章立体几何》章节训练习题

《第八章立体几何》章节训练习题

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

［基础题组练］

1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点〃是△4%的比'边的中点,

AB,〃。分别与轴，/轴平行，则在原图中三条线段/〃，AD,/。中（）

A.最长的是AB,最短的是AC

B.最长的是AC,最短的是AB

C.最长的是AB,最短的是AD

D.最长的是力C,最短的是力〃

解析：选B.由条件知，原平面图形中从而力欣4K/IC

2.如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，

卜底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图

形可能是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①⑤

解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件;

当截面不过旋转轴时，

圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；

故截面图形可能是①⑤.

3.己知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形,

侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）

解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2,且P

应为虚线，排除A,D；当正视图是直角三角形，由条件得

一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线为形成的投80

影，应为虚线，故答案为C.

4.如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三

楼柱的俯视图为（

解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱.故选D.

5.某三棱锥的三观图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）

正（主）视图恻（左）视图

俯视图

A.小B.2-72

C.3D.2^3

解析：选C.在棱长为2的正方体力腼•45。〃中，”为49的中点，该几何

体的直观图如图中三棱锥MBC故通过计算可得以C=DB=8工=2由，D、M=MC

=*,.,峪=3,故最长棱的长度为3,故选C.

6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形

和等腰直角三角形组成，止方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角

形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三

角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形

的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯

形，这些梯形的面积之和为^——X2=12.

答案：12

7.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线

长为12cm,则这个圆台的母线长为_____cm.

解析：如图，过点力作gLOE,交办于点C

在■中，Jc=12(cm),/7C=8-3=5(cm).

所以M=y/122+52=13(cm).

答案：13

8.已知正四棱锥K力版中，底面面积为16,一条侧棱的长为2皿，则该

棱锥的高为.

解析：如图，取正方形力以刀的中心0,连接照，A0,则VOv

就是正四棱锥〜腼的高.因为底面面积为16,所以40=2小./^V\

因为一条侧棱长为2，TT,

所以1，0=7快40=7448=6.

V

4

解：（1）如图.

（2）侧视图中.=寸42一修＞＜乎乂2同2=爪=2小.

则5k.=；X24X2#=6.

乙

［综合题组练］

1.（创新型）某几何体的三视图如图所示，贝J该几何体的侧视图中的虚线部

分是（）

A.圆弧B.抛物线的一部分

C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分

解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋

转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.

2.（创新型）某几何体的正视图和侧视图如图（1）,它的俯视图的直观图是矩

形。如图（2）,其中。4=6,QG=2,则该儿何体的侧面积为（

正视图侧视图

图⑴

图⑵

A.48B.64

C.96D.128

解析：选C.由题图（2）及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形

OABC,设⑦与y轴的交点为〃，则易知切=2,OD=2X2yf2\\\

=4镜，所以C0=«或+04=6=0A,所以俯视图是以6为\

边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4,）

所以该几何体的侧面积为4X6X4=96.故选C.

3.如图，在正方体/IMA44G〃中，点尸是线段4G上的

动点，则三棱锥AZO的俯视图与正视图面积之比的最大值

为（）

A.1B.A/2

C.小D.2

解析：选D.正视图，底面氏a〃三点，其中〃与。重合，随着点尸的变

化，其正视图均是三角形且点尸在正视图中的位置在边5G上移动，由此可知,

设正方体的棱长为4则S工程阳设46的中点为。随着点夕的移动，在

俯视图中，易知当点尸在笫上移动时，S彼视图就是底面三角形版的面积，当点

P在眼上移动时，点。越靠近4,俯视图的面积越大，当到达4的位置时，俯

视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S僭视图=才，所以与她的最大值为告=2,

»正视图12

2a

故选D.

4.（应用型）已知正方体被力■力出。〃的体积为1,点步在线段旗上（点"异

于氏C两点），点川为线段内的中点，若平面4肿截正方体力8aM0G〃所得

的截面为四边形，则线段用/的取值范围为（）

A.(0,|

B［。,I

1、12

C.5,1D.

_/72f3

解析：选B.由题意，正方体力比》45c〃的棱长为1,如

图所示，当点步为线段a'的中点时，截面为四边形如外出，当

0〈阳任《时，截面为四边形，当碗>:时，截面为五边形，故选

B.

5.已知直三棱柱/1Z?G44G的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形,

用一平面截此棱柱，与侧棱瞅,CC\,分别交于三点机N,0,若为

直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为£）

A.272B.3

C.273D.4

解析：选C.如图，不妨设加在8处，AM=A,CQ=m,则座c,

=斤+4,〃0=苏+4,,%>=（/?/77）2+4,由屹=川+/,得病\\'

一加+2=0./=力2—820即万28,该直角三角形斜边MB="卜\^、£

尸卷2事.故选C.，匕二3U

6.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为

长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员犯孤信的印信形状是“半正多面

体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多

面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半止多面体，它的所有顶点

都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有

个面，其棱长为.

图1图2

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在

正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，

因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一

个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为筋则乎x+x+乎x=l,解得户也

-1,故题中的半正多面体的棱长为明一1.

答案：26^2-1

第2讲空间几何体的表面积与体积

［基础题组练］

1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是（）

A.4nsB.2nSC.nSD.nS

J

解析：选A.由兀/=S得圆柱的底面半径是'/♦，故侧面展开图的边长为2

五所以圆柱的侧面积是4n£故选A.

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，

则此几何体的体积为（）

19

A,12K4

9

C-D.3

乙

解析：选D.如图，三棱锥£力8。为三视图所对应几何体的直观图,

由三视图可知，8,=92X3=3,点〃到平面4%的距离力=3,贝U以依二

乙

；邑械力=；义3X3=3,故选D.

OO

3.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，

用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去

部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）

C.79nD.99n

解析：选A.由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半

1A

球的半径为3,体积为5又三五X33=18n,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为

兀X32X5=45n.所以凿去部分的体积为18n+45n=63兀.故选A.

4.已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四分之一圆弧），则该

几何体的表面积为（）

俯视图

JI

B.34--

乙

n

C.2+]

解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的

；圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S=2X(1X1—;X冗X「)+2X(1><1)

+：X2冗X1X1=4.故选D.

5.已知圆锥的高为3,底面半径为小，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在

同一个球面上，则这个球的体积等于()

8

A-n

O

C.16JTD.32n

解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为此依题意得，4=(3一心2+(4)2,

4432

解得斤=2,所以所求球的体积【/=鼻九〃=可n乂23=方冗，故选B.

6.某四棱锥的三观图如图所示，则该四棱锥的侧面积是.

解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥

P-ABCD,如图所示，其中必J_底面/山切，四边形力比〃是正方

形，且必=2,/仍=2,PB=2电所以该四棱锥的侧面积S是

四个直角三角形的面积和，即S=2X（；X2X2+；X2X

答案：4+4位

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视

图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14

的圆柱，所以该几何体的体积r=1x32xnX14=6311.

答案：63n

8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图中的x的

值是

正视图侧视图

俯视图

解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则

11+2

体积1/=不义一^—X2Xx=3,解得＞=3.

答案：3

9.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点R。在正视图中所示位置，P为所在线段中点，。为顶点，求在

几何体表面上，从严到0点的最短路径的长.

解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表

面积是圆锥的侧而积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

5园谊恻=)(2na)・(、/5力=取冗才,

S圆柱例=(2na)•(2a)=4na,

S园柱底=n4,

所以Sn4+4Ji才+na=(^2+5)na.

(2)沿尸点与。点所在母线剪开圆柱侧面，如图.

B,---------------------iC

则PQ=①户+川=(n〃)2=a\Jl+n2,

所以从，点到。点在侧面上的最短路径的长为外口”.

10.如图，四边形力四为菱形，G为力。与必的交点，的上平面4BC。

(1)证明：平面4rL平面比〃

⑵若N4r=120°,AELEC,三棱锥£二4口的体积为算，求该三棱锥的侧

O

面积.

解：(1)证明：因为四边形口为菱形，所以

因为缈_L平面力励，所以4。1_跖

故力C_L平面BED.

又〃已平面AEC,

所以平面4cL平面BED.

(2)设/14=x,在菱形力比力中，由N/L%=120°,可得AG=GC=坐x,66=

因为4层La；所以在Rt△/尾中，可得用=乎K

乙

、历

由跳工平面力露，知△脉为直角三角形，可得龙=早乂

由已知得，三棱锥占月切的体积J-=禺・心w监=甥'=乎，

故x=2.

从而可得AE=EC=ED=m.

所以△口。的面积为3,△初〃的面积与△解的面积均为乖.

故三棱锥6力。〃的侧面积为3+2^5.

［综合题组练］

1.如图，以棱长为1的正方体的顶点力为球心，以位为半径作一个球面,

则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()

解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上

底面被球面截得的弧长是以4为圆心，1为半径的圆周长的所以所有弧长之

2JT3n

和为3乂丁=亏.故选C.

I乙

2.三棱柱力的486；的底面是边长为小的正三角形，侧棱A4」底面4闱

若球。与三棱柱力比T/G各侧面、底面均相切，则侧棱的长为（）

1m

A.-B.

乙乙

C.10.^3

解析：选C.因为球。与直三棱柱的侧面、底面均相切，

B

所以侧棱力4的长等于球的直径，设球的半径为R,则球心在A

底面上的射影是底面正三角形/a'的中心，如图所示.因为

心馅，所以止%片喙因为tan曰=写所以球的半产

"冗镜镜1~1

径R=〃）=ADtan-r=Vx^-=-,所以力4=22=2义不=1.

OZ0ZZ

3.设力，B,C,〃是同一个半径为4的球的球面上四点，△月缈为等边三角

形且其面积为电则三棱锥力力加体积的最大值为（）

A.12^3B.18小

C.24^3D.5473

解析：选B.如图，£是力C中点，材是△力比的重心，。为球心，连接第

〃物OD,故因为五做=子-力9=队「，所以力8=6,BM=RBE=MAH-4?=小曲.

OO

易知勿/_1平面所以在Rt△如"中，OM=7O#-BK=2,所以当〃，aMZL

点共线且〃JU少十〃"时，三棱锥小力比的体积取得最大值，且最大值

O

最X(4+6W=；X9/x6=18#.故选B.

O

I)

4.（应用型）如图，正方体力比》力/6〃的棱长为1,〃为8。的中点，。为线

段①上的动点，过点儿P,。的平面截正方体所得的截面为S,当。0=1时，S

的面积为.

解析：当Cgl时，。与G重合.如图，取4〃，力〃的

中点分别为r£连接力RAP,PC、,C\F,PG,DG力C,PF.

因为，'为4〃的中点，。为比、的中点，。为力。的中点,

所以犯=寓="=阳=与，PG糠CD,AF穗,DG

由题意易知CD糠孙

所以尸所以四边形为平行四边形，

所以阳所以檄"；

所以力，P,C,6四点共面，

所以四边形力/石射为菱形.

因为力G=■，PF=&,过点4P,0的平面截正方体所得的截面S为菱形

APCF,

所以其面积为枭G•勿=；x/xM=乎.

答案:平

7

5.（创新型）已知圆锥的顶点为S,母线S1,S3所成角的余弦值为曰囱与

O

圆锥底面所成角为45。.若的面积为5标.则该圆锥的侧面积为

解析：如图所示，设S在底面的射影为S',连接IS',SS'.△弘6的面

积为T*SA・SB・siR/ASB=2・S#•^/l-cos2ZA5^=^p・Sf=5标,所以Sf

=80,%=4小.因为眼与底面所成的角为45°,所以NS4S'=45°,/!$=

SA-cos45°—4，^乂丹-丁2415.所以底面周长/=2兀•AS'-445"，所以

乙

圆锥的侧面积为:义六后乂小何n=40-72n.

乙

答案：4072n

6.在三棱锥务应7?中，AC=CD=y[i,AB=AD=BD=BC=\,若三棱锥的所有

顶点，都在同一球面上，则球的表面积是

解析：由已知可得，BCVAB,BC1BD,

所以鸵_1_平面ABD,

设三棱锥外接球的球心为0,正三角形力劭的

a.

贝ij0。J_平面ABD,

连接06,0Q,0C,

在直角梯形中，有。归=与，BC=\,0C=0B=R,

o

7

可得：川=荷，

1乙

7

故所求球的表面积为4JIR=qJi.

J

7

答案：77口

J

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

［基础题组练］

1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）

A.4个B.3个

C.2个D.1个

解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以

确定四个平面.

2.已知4B,C,〃是空间四点，命题甲：A,B,C,〃四点不共面，命题乙:

直线"'和切不相交，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.若用B,C,〃四点不共面，则直线力。和仍不共面，所以M和

仍不相交：若直线力C和仍不相交，若直线力。和初平行时，力，B,Q〃四点

共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.

3.已知九A,4是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.卜工人卜〃h

B.IS

C.Wk,h,乙共面

D.h,h,&共点=L,k,A共面

解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两

条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确;

相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直

线不一定共而，如二楂锥的二条侧棱，故D错.

4.如图，力〃8/蜴G〃是长方体，。是4〃的中点，直线4。交平面14〃于

点M则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线B.A,M,0,B不共面

C.力，机C,。不共面D.B,5,0,M共面

解析：选A.连接4GAC,则

所以4,G,C,/四点共面，

所以4m平面4a

因为JW/1C,

所以比平面〃匕4.

又平面ABR,

所以."在平面力⑨4与平面力台〃的交线上,

同理儿。在平面/1CG4与平面/阳〃的交线上.

所以4M。三点共线.

5.在各棱长均相等的直三棱柱力跖中，已知必是棱夕”的中点，N是

棱/。的中点，则异面直线4材与笈V所成角的正切值为（）

A.小B.1

C.乎百

解析：选C.法一：如图，取力4的中点R连接/W,PB,

则由直三棱柱的性质可知力小〃形则N"V为异面直线4步与

外所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2,则刚三镜，PB

二小,BN—乖,所以月\?+硼?=所，所以NA仍=90°,在Rt

△7%V中，tanZ/^^故选C.

而=:3

法二：以/V为坐标原点，八况/V。所在的直线分别为X轴,

y轴，过点N与平面力%垂直的直线为z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，设的=2,则M。，0,0）,4（0,-1,2）,

B（小,0,0）,；I/（V3,0,1）,所以砺=（4，0,0）,

（十,1,-1）,设直线力也与aV所成的角为。，则cos8=|cos〈砺，福力

=上工="^=理则sin"也,=平.

而・|初木义乖553

6.如图所示，在空间四边形力池中，点反〃分别是边力8

力〃的中点，点凡G分别是边密切上的点，且/=痣=今则

CBCD3/\D：＜A

下列说法正确的是.1\\

①£7,'与G〃平行；

②〃与67/异面；

③£〃与。/的交点"可能在直线4c上，也可能不在直线力。上；

④EF与G"的交点"一定在直线ACAL.

解析：连接分/,用（图略），依题意，可得EH〃BD,FG〃BD,取EH〃FG,所

12

以E,F,G,，四点共面.因为EH=^BD,FG=~BD,敬EH/FG,所以跖是梯

乙o

形，曲与G〃必相交，设交点为也因为点也在外上，故点材在平面/〃上.同

理，点"在平面/!6Z?_L,所以点材是平面力切与平面467?的交点，又AC是这两

个平面的交线，所以点材一定在直线力。上.

答案：④

7.一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：

①力凡LGG②励与“成异面直线且夹角为60°；

③BD〃MN・、④力与平面力解所成的角为45°.

其中正确的是（填序号）.

解析：将平面展开图还原成正方体（如图所示）.

对于①，由图形知4,与G。异面垂直，故①正确；时（©^^^广

对于②，〃〃与*显然成异面直线.如图，连接及7,ED,贝I」T^7X

BM//GQ所以乙周9即为异面直线BD与%所成的角（或其补

角）.在等边材中，NJ侬=60°,所以异面直线切与％所成的角为60°,

故②正确；

对于③，协与助V为异面垂直，故③错误；

对于④，由题意得，6。_1_平面力比4所以N6仍是%与平面力解所成的

角.但在Rtas%中，N颂不等于45°,故④错误.综上可得①②正确.

答案：①②

8.已知直三棱柱四348G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC、=3则异面

直线AA与BG所成角的余弦值为.

解析：如图所示，将直三棱柱力仇二456；补成直四棱柱

ABC»A\B\C、D\,连接力〃，〃〃，则力〃〃阳，所以/〃力〃或其

补角为异面直线44与比;所成的角.因为N4以7=120°,AB

=2,BC=CC\=3所以AB尸小,力〃=镜.在中，Z

BCD\=60°,BC=1,DC=2,所以笈〃=，1?+22—2义1X2Xcos60°二小,

所以cos/B/〃=.手~3

2Xyj5Xy/25

答案：邛

0

9.在正方体14a"归G〃中，

(1)求。。与4〃所成角的大小;

⑵若反尸分别为力用力〃的中点，求4G与即所成角的大小.

解：⑴如图，连段8cAB、,由期846G〃是正方体,

易知AJ)〃B\C,从而BC与4C所成的角就是力C与4〃所成的

角.

因为阳=47=8,

所以/8。=60°.

即4〃与熊所成的角为60°.

⑵连接仍，在正方体/氏》48£〃中，AC1BD,AC//AQ

因为反产分别为力8,力〃的中点，

斫以EF〃BD,所以旌L16

所以夕U4C.

即4G与必所成的角为90°.

10.如图，在三棱锥月力8c中，44_L底面4比,〃是％的

中点.已知N胡「=三，A8=2,AC=2®为=2.求：\

⑴三棱锥的体积；B^—

(2)异面直线6。与力〃所成角的余弦值.

解:⑴Ww=1X2X2馅=2第，

三棱锥丹抽。的体积为?=1&.・必=皋2也乂2=芈.

JJJ

(2)如图，取阳的中点区连接应；AE,则加〃比；所以

N/1闲或其补角)是异面直线BC与/〃所成的角.

,厂2「+2,一乙力

在△力〃夕中，DE=2,AE=、2,AD=2,cosZADE==7

oZXZoXZ04

Q

故异面直线BC与成所成角的余弦值为本

［综合题组练］

1.(应用型)在棱长为1的正方体力发力48£〃中，E,尸分别是〃〃和脑的

中点，平面交棱融于点尸，则比=()

A芈B邛

03

C也D也

2“6

解析：选D.过点G作GG〃〃外交直线切于点G,过点0Q

E&HQ//CG交⑦延长线，。〃于点"Q,连接BQHF交.

/1〃于点尺HQ〃BR所以0,H,F,方四点共面，易求得仞"I'力/

=—；,由△尸如△必产可得给5=2,则勿=去/愈//7

____AFB

在Rt△物中，PE=、叵1=隼,故选D.

Y946

2.

如图，在直二面角4秘。中，△力劭，△血均是以4

物为斜边的等腰直角三角形，取力〃的中点区将应'

沿跖翻折到△从留在△力眼的翻折过程中，下列不可能

成立的是（）

A.8。与平面4座内某直线平行

B.5〃平面4庞

C.比、与平面4龙内某直线垂直

D.BC±

解析：选D.连接唐，当平面4鹿与平面腔重合时，〃以I平面4龙，所以

平面4成内必存在与％平行和垂直的直线，故A,C可能成立；

在平面庞7?内过2作切的平行线BF,使得BF=CD,

连接房则当平面4族与平面胶重合时，龙七平面4%

故平面4族内存在与质平行的直线，即平面4座内存在与W平行的直线，

所以勿〃平面4££,故C可能成立.

若又4BUE则4/为直线4片和a'的公垂线，所以48V四,

设46=1,则经计算可得四=个，

乙

与48〈龙矛盾，故D不可能成立.故选D.

3.如图，在正方形业旧中，点反尸分别为8a力〃的中点，将四边形WF

沿）翻折，使得平面切/必比平面ABEF,则异面直线劭与）所成角的余弦值为

解析：如图，连接龙交房于。，取物的中点G,连接gCG,则施〃劭

且OG=』BD，所以/函为异面直线劭与次所成的角或其补角.设正方形力他

乙

的边长为2,则2=废=1,的、=应川）+第=4,所以乎.易得

应LL平面CDFE,所以BEIDE,所以切=板可防=m，所以OG=\BD=^.易

乙乙

知位L平面力4序，所以成J_%又成=3跖=3，所以CG=也方方=岑.在

乙乙乙

噜，所以异面直线如与#所成外的余弦值为噜.

答案:噜

4.（创新型）如图，在矩形4如9中，AB=2M,E为边AB

的中点，将△力M沿直线如翻折成△4"：若"为线段4C的/个（二^

中点，则在△力如翻折过程中，下列四个命题中不正确的是““

________（填序号）.

①序，是定值；

②点财在某个球面」.运动；

③存在某个位置，使龙_L4a

④存在某个位置，使珈〃平面4座

解析：取〃。的中点区连接物;，BF,则•物力4〃且物』

夕”，FB〃ED®.FB=ED,

所以NM7?=N4班：

由余弦定理可得座=屐+所一2的・FB,cosN也俗是定值，所以科是在以

4为球心，；跖为半径的球上，可得①②正确；

由MF"A\D与/。〃£力可得平面收声//平面&DE,可得④正确；若存在某个位

置,使〃氏L/C,则因为"?+优=），即血因为4cn%=a则〃及i_平

面46K所以应J_4后与的」4c矛盾，故③不正确.

答案；③

5.（创新型）如图，已知正方体488484〃的棱长为2,长为2的线段

的一个端点材在棱〃〃上运动，点N在正方体的底面力比。内运动，则树的中点

〃的轨迹的面积是—

解析：连接〃V,则△极W为直角三角形,在Rt△期加中，也V=2,〃为梆的

中点，连接〃R则〃々1,所以点〃在以〃为球心，半径/Q1的球面上，又因

为点只能落在正方体上或其内部，所以点U的轨迹的面积等于该球面面积的

"故所求面积S=1X4冗*=+.

ooZ

JI

答案：77

乙

6.（应用型）如图所示，等腰直角三角形/比中，N/=90°,

BC=&DAVAC,DA_AB,若的=1,且夕为加的中点，求异面

直线BE与切所成角的余弦值.

解：如图所示，取力。的中点R连接打BF,

因为在△力切中，E,尸分别是力〃〃'的中点，所以EF〃CD.

所以/戚或其补角即为异面直线应与⑦所成的角.

在RtZk£N8中，AB=AC=LAE=\AD=^所以缈=坐.

,A,111

在Rt△分尸中，AF=-AC=-fAE=­f

所以序=*.

1'后

在Rt△为尸中，4B=LAF=~,所以防=手.

乙乙

小EF也

24Vio

在等腰三角形£即中，cos/FEB=方=逅=io,

2

所以异面直线BE与⑦所成角的余弦值为典.

第4讲直线、平面平行的判定与性质

［基础题组练］

1.设%£为两个平面，则〃〃£的充要条件是（）

A.。内有无数条直线与£平行

B.。内有两条相交直线与£平行

C.%£平行于同一条直线

D.£垂直于同一平面

解析：选B.对于A,。内有无数条直线与£平行，当这无数条直线互相平

行时，。与£可能相交，所以A不正确：对于B,根据两平面平行的判定定理

与性质知，B正确；对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平

行，所以C不正确；对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，

如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确.综上

可知选B.

2.已知创，是两条不同的直线，a,£,丫是三个不同的平面，则下列命

题中正确的是（）

A.若a1.y,t_L£，则/〃£

B.若mHn,归。，仁6,贝U。£

C.若/〃〃〃，ml.a,则aHB

D.若加〃〃，m//a,则n//a

解析：选C.对于A,若。J_y,则/〃£或/与£相交；对于

B,若/〃〃〃，//xza,忙8,贝ij。〃£或a与£相交；易知C正确；对于D,

若m//n,m//a,则n!/a或〃在平面a内.故选C.

3.如图，£,机N分别为正方体对应棱的中点，则平面以介与平面/W的位

置关系是（）

A.垂直B.相交不垂直

C.平行D.重合

解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点4B,a

将平面乙邮延展为平面正六边形4幽忆心因为尸M/13PR

//AM,且〃。与心相交，〃与4"相交，所以平面/初?〃平

面AMBNCL,即平面般ZV〃平面PQR.

4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E,厂分别为边4尻力〃上的点，且四：龙

=AF：FD=\：4,又〃，G分别为切的中点，则（)

A.BD〃平面EFGH,且四边形如第是矩形

B.EF〃平面BCD,旦四边形丽;〃是梯形

C.HG〃平面板,且四边形跃?〃是菱形

D.EH〃平面4DC,且四边形版H是平行四边形

解析：选B.由力£：EB=AF\FD=\：4知EF虻BD,

又的平面四，所以

EF〃平面BCD.又H,G分别为切的中点，所以HG%劭,所以）W用且

乙

EI¥HG.所以四边形£a7/是梯形.

5.在正方体力式》45G〃中，E,F,G分别是45,BC,

的中点，给出下列四个推断：

①/心〃平面AAM

②〃：〃平面BC队

③/%'〃平面BC队

④平面EFG//平面阳〃.

其中推断正确的序号是（）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

解析：选A.因为在正方体川无力■4月G〃中，E,F,G分别是4砥BC,BB、

的中点，所以尾〃常，因为肉〃力如所以用〃力如

因为/次平面力4〃u平面AAiBD,所以"7〃平面"〃〃，故①正确；

因为须〃4C,4c与平面比〃相交，所以用与平面阳〃相交，故②错误；

因为其F,G分别是40,RG，缪的中点，

所以/外〃阳，因为/冽平面比；〃，阳u平面

所以/%'〃平面阳如故③正确；

因为£户与平面以;〃相交，所以平面4G与平面比；〃相交，故④错误.故

选A.

6.在四面体力比。中，必，"分别是△比〃的重心，则四面体的四个

面中与朗V平行的是_______.

解析：如图，取切的中点区连接力反BE,1

则£V:物=1:2,/\\>\

EN：BN=\:2,

c

所以MN//AB.

因为/8u平面力助，，火平面力仍，力牝平面力"平面ABC,

所以协〃平面ABD,MN〃平面ABC.

答案：平面力劭与平面力8。

7.如图，正方体■ABC»A、BC以中,力Q2,点夕为力〃的中点，点尸在切

上.若用〃平面A8C则线段切、的长度等于.

解析：因为犷'〃三面四。，EFu平面4BC0,平面力比力!平面力力C

所以E汽〃AC,所以/,'为〃。的中点.

故EF=^AC=^2.

答案：镜

8.如图所示，在正四棱柱446G〃中，E,F,G,〃分别人方

是棱⑶，C。,〃〃，的中点，/V是8。的中点，点时在四边形(C'.]

夕次/及其内部运动，则材只需满足条件_______时，就有，叫〃平

面8/〃〃.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全|/外'?伊

部可能情况)4"

解析：连接〃V,〃/,FN,则可/〃如，I1N//ED,/7/n/ZV^//,DD\CBD=D,

所以平面/'//N//平面B、BDD\,只需；l/eFH,则他上平面/7ZV,

所以,即〃平面B、ED及

答案：点."在线段/月上(或点"与点〃重合;

9.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面G

川先尸所截而得到的，其中49=4,BC=2,8=3,BE=\.方[I/1

(1)求证：四边形为平行四边形；曲三缺

AR

(2)求朋的长.

解：⑴证明：由已知得平面力应〃平面〃GCE平面然G/Tl平面力麻=力£

平面力a/n平面DCC\F=CF,

所以为夕〃GE同理可得力尸〃所以四边形力星尸是平行四边形.

(2)在S上取点使以/=1,可得四边形8。定为矩形，的

即可得四边形力雁为平行四边形，