《第十二章复数、算法、推理与证明》章节训练习题

《第十二章复数、算法、推理与证明》章节训练习题

第1讲数系的扩充与复数的引入

［基础题组练］

1.设i为虚数单位，则（—l+i）（l+i）=（）

A.2iB.-2i

C.2D.-2

解析：选D.（—1—i）（1+i）=—1—i+i+『=—1—1=—2.故选D.

2.设z=-3+2i,则在复平面内，对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选C.由题意，得，=一3一2。具在复平面内对应的点为（一3,—2）,

位于第三象限，故选C.

3.若复数z=1+l为纯虚数，则实数a=（）

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：选A.因为复数2=仔+1=（二+1=01一也为纯

1+1（1十1）（1—1）22

虚数，所以£+1=0且一^WO,解得a=-2.故选A.

乙乙

4.已知复数z满足（l+i）z=2,则复数z的虚部为（）

A.1B.-1

C.iD.-i

解析：选B.法一：因为（l+i）z=2,所以2="==1

l+i（l+i）（1—1）

-i,则复数z的虚部为一1.故选B.

法二：设z=a+历（a,力仁R）,则（1+i）（a+历）=a—（&+6）i=2,

a—b=2,

”..解得a=l,b=—l,所以复数z的虚部为一1.故选B.

0+。=0A,

5.若复数z满足上=匕其中i为虚数单位，则共加复数，=(

1-1

A.l+iB.1-i

C.-1-iD.-14-i

解析：选B.由题意，得z=i(l—i)=l+i,所以，=1—i,故选B.

6.已知(1I：)=a-\-bi(a,bGR,i为虚数单位)，则a+Z?=()

A.-7B.7

C.-4D.4

，2平44

解析：选A.因为1+-=1+:+K=-3—4i,

kVii

所以一3—4i=a+bi,则a=—3,Z?=—4,

所以a+Z?=-7,故选A.

7.已知i为虚数单位，则(2+i：=()

2—1

A.5B.5i

7127.12

C.--——iD.—~4--i

□□□□

…(2+i)(3-4i)10-51「

解析：地A.法：Q.—o,取匹a.

2-12-i

(2+i)(3-4i)(2+i)2(3-4i)(3+4i)(3-4i)「

法二:

2-i(2+i)(2—i)5i'

故选A.

8.若复数z满足z(l+i)=2i(i为虚数单位)，则|z|=()

A.1B.2

C.^2D.小

解析：选C.因为2=今==l+i，所以。=也.故选

1十1(1十1)(1—1)v

C.

9.己知a£R,i是虚数单位.若2=5+4刀z•z=4,则a=()

A.1或一1B.木或一木

C.-yfiD.木

解析：选A.法一：由题意可知z=d—所以z・z=（a+小i）（a一小

i）=3+3=4,故a=l或一1.

法二：z・z=|z[=4+3=4,故a=l或一1.

9

10.设z=l+i（i是虚数单位），则人丁：）

A.l+3iB.l-3i

C.—l+3iD.-l-3i

22

解析：选C.因为z=l+i,所以z2=(l+i)』+2i+i2=2i,rTTT=

2(1-i)2(1-i)2(1-i)2

则z—=2i—(1—i)=—

(1+i)(1-i)=1-i2=2""z

l+3i.故选C.

11.若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（）

4

A.-4B----

5

4

C.4D.z

o

解析:选D.因为|4+3i|=0T?=5,所以z=£~=

J41IJ41)\o-t~

3+41344

三+不，所以z的虚部为温

□000

12.设复数”,Z2在复平面内对应的点关于实轴对称，©=2+i,则久=（）

A.1+iB.7+71

□□

44

C.1+riD.l+-i

□J

解析：选B.因为复数z”Z2在复平面内对应的点关于实轴对称，©=2+i,

g、1c.叱i、iZ12+i（24-i）23,4.,门

所以Z2=2-i,所以一=7r=z=£+m,故选4AB.

z2，-i555

13.设复数z满足，=|1—i|+i（i为虚数单位），则复数z=

aQ+a<E2,解ML—=2<ca=<lo,,因此力=3-2H｝，归｛0｝，故阿上3

—2<K1}A{x\x£R,xWO}={x\—2<K0或0<^l}.

2.(综合型)若虚数(x—2)+yi(x,HR)的模为小，则上的最大值是()

X

A.乎B亚

乙3

D.小

解析：选D.因为(x—2)+yi是虚数，

所以y^O,

又因为|(x—2)+yi|=#,

所以(x—2尸+/=3.

因为」是复数x+历对应点与原点连线的斜率,

X

所以凰nax=taU加近

所以』的最大值为第.

3.—3+2i是方程2系+勿+<7=0的一个根，且p、q£R,则0+q=.

解析：由题意得2(—3+2i)2+/?(—3+2i)+0=0,

即2(5—12i)—3p+2〃i+q=0,

即(10—3夕+Q)+(—24+24i=0,

flO—3p+q=0,

所以彳IAA所以夕=12，g=26,所以0+g=38・

[—24+22=0.

答案：38

i+i?+['+…+J"B

4.己知复数2=-------7—7-----------,则复数Z在复平面内对应点的坐标为

1+1

解析：因为i4++i4++i4"3+i4”+4=i+i2+i3+i4=0,而？018=4X504

+2,

2320182

…i+i+i+-+i=i+i=—l+i

所以z=-------干-------T+7^TF

(—l+i)(1—i)2i.44、

=.1।•、Y\rr=k=i，对应的息为(0,1).

答案：(0,1)

39

5.复数©=一寸+(10—才)i,z=------+(2a—5)i,若z1+々是实数，求

a+52\~a

实数z的值.

_32

解：Zi+及=,」+(才-10)i+:----+(2a-5)i

a十5\~a

=岛+言+[(才-10)+(2a—5)]i

a—13,.„,、.

=(_7丁+(a'+2a-15)i.

(a+5)(a—1)

因为2+z2是实数，

所以，+2己-15=0,

解得a=—5或a=3.

因为a+5W0,

所以ar—5,故a=3.

6.若虚数z同时满足下列两个条件:

5

①z+]是实数；

②z+3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若无存在，请说明理由.

解：这样的虚数存在，z=-l—2i或Z=-2—i.

设z=a十〃i(a,且〃RO),

55

z+,=a+bi+—n-

za-\~bi

_,,5(a—bi)

一+6i+才+度

_(।5Z7](5bY

RRA

因为Z+浮实数，所以-W

又因为力WO,所以才+。2=5.①

又z+3=S+3）-bi的实部与虚部互为相反数,

所以a+3+6=0.②

a+6+3=0,

由①②得

+6=5,

a=-2,

解得\b=-2

故存在虚数z,z=—l—2i或z=-2—i.

第2讲算法与程序框图

［基础题组练］

1.执行如图所示的程序框图，如果输入的犬=-10,则输出的尸（)

A.0B.1

C.8D.27

解析：选C.开始x=-10,满足条件x<0,1=一7；满足条件x<0,才=一

4；满足条件x<0,x=-l；满足条件xWO,x=2,不满足条件xWO,不满足条

件x>3,y=2?=8.故输出的y=8.故选C.

2.执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）

S=2>=2015

A.-1B.2

1

Cr，2D.1

解析：选B.运行框图,首先给变量S,A赋值，5=2,k=2015.判断2015<2

018,S=±=T,420154-1=2016,判断2。16<2018,

=-,k=2016+1=2017,判断20I7<2018,S=—=2,k=2017+1=2

乙1

018,判断2018<2018不成立，输出S,此时S=2.故选B.

3.执行如图程序框图，若输入的〃为2018,则输出的是（）

A.前1008个正偶数的和

B.前1009个正偶数的和

C.前2016个正整数的和

D.前2018个正整数的和

解析：选B.模拟程序的运行过程知，该程序运行后计算并输出S=2+4+6

+…+2018的值.故选B.

4.执行如图所示的程序框图，若输出/的值为2,则输入x的最大值是（）

/输出i/

,I、

CW)

A.5B.6

C.11D.22

x>8,

解析：选D.执行该程序可知《解得即8<X<22,所

一2<3,

以输入X的最大值是22.

5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为一4时，条件框内应填写（）

窣

|i=l,《=10|

Ii=i+lI

/输出S/

A.7>3?R.y<5?

C.；>4?D.；<4?

解析：选D.由程序框图可知，5=10,7=1；5=8,7=2；5=4,7=3；S=

-4,J=4.由于输出的S=-4.故应跳出循环,故选D.

6.若［x］表示不超过x的最大整数，则如图中的程序框图运行之后输出的结

果为（）

A.600B.400

C.15D.10

199

解析：选B.根据题意，得[-5]=[4.975]=4,所以该程序框图运行后输出

的结果是40个0,40个1,40个2,40个3,4c个4的和，所以输出的结果为

5=40+40X2+40X3+40X4=400.故选B.

7.执行如图的程序框图，如果输入的a=—1,则输出的S=()

(W

/输尿7

A.2B.3

C.4D.5

解析：选B.由程序框图可得S=0,a=—1,K=1<6；

S=0+(—l)X1=T,a=l,仁2W6；

S=-1+1X2=La=-l,4=3W6；

S=l+(—1)X3=—2,a=l,仁4W6；

S=—2+1X4=2,a=­1,/=5W6；

S=2+(—1)X5=—3,a=l,仁6W6：

5=—3+1X6=3,a=-l,K=7>6,退出循环，输出S=3.故选B.

8.“欧儿里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，

如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图

（图中“aMOD。”表示之除以。的余数），若输入的a,6分别为675,125,则输

出的3=（）

两

/输/办/

c=aMOD6

A.0B.25

C.50D.75

解析：选B.初始值:@=675,6=125,第一次循环：c=50,a=125,6=50；

第二次循环：c=25,a=50,。=25；第三次循环：c=0,d=25,b=0,此时不

满足循环条件，退出循环.输出。的值为25,故选B.

9.执行如图的程序框图，如果输入的x=0,y=l,〃=1,则输出x,y的值

满足（）

A.y=2x

C.y=4xD.y=5x

解析：选C.x=0,y=l,/7=1,x=0,y=l,〃=2；

33

x=~,y=2,/?=3；x=~fy=6,此时z+/>36,输出x=~,y=6,满足

y=4x.故选C.

10.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更

相减损术”.执行该程序框图，若输入的a6分别为14,18,则输出的a=()

解析：选B.开始：a=14,力=18,

第一次循环：a=：4,。=4；第二次循环：5=10,力=4；

第三次循环：a=6,。=4；第四次循环：a=2,。=4；

第五次循环：a=2,6=2.

此时,a=b,退出循环，输出a=2.

11.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问皿

［开始J

题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，

n—1

七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五I

除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，

现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的/输力

I

“O”处应填入()w

a-2〃

A.1FezB.ez

a—2a—2

c.十工D.-3-

解析：选A.根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数

a：a=3A+2,a=5〃+3,a=7k,〃，/〃£Z,根据程序框图可知，数a已

经满足a=5〃+3,〃eZ,所以还要满足a=3A+2,keZ和a=70+2,mCZ并

且还要用一个条件给出，即a—2既能被3整除乂能被7整除，所以a—2能被

21整除，故在“O”处应填入kWZ,选A.

乙1

12.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7,则判断框内力的取值范

围是（）

丽

H

k=\

~r

s=o

——

S=S+2A"

(―L_r血

i+i|i

1

A.(30,42]B.(30,42)

C.(42,56]D.(42,56)

解析：选A.k=1.5—2,k=2,5=2+4=6,k=3,5=6+6=12,k=4,

5=12+8=20,k=5,5=20+10=30,k=6,S=30+12=42,k=7,此时不满

足S=42</〃退出循环，所以30〈〃忘42,故选A.

13.程序框图如图，若输入的S=l,k=l,则输出的S为_______.

(开，始)

1

/输入s"

k=k+1

।1।

S=2S+k

/输疝s/

［结束）

解析：第一次循环，〃=2,S=4;第二次循环，k=3,S=ll；第三次循环,

k=4,S=26；第四次循环，4=5,S=57.此时，终止循环，输出的S=57.

答案：57

14.执行如图所示的程序框图,输出的s的值为_______.

nC2017?

/SJ77

n=n+l

解析：依题意，数列卜in亍]的项以6为底期重复出现，且前6项和等于

n冗

0,因为2017=6X336+1,所以数列sin不一的前2017项和等于336X0+

O

sin彳ji=\当/3，执行题中的程序框图，输出s的值等于数列sin〒nn（的前2017

答案:平

15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为

牌出（5/

解析：第一步：^=1—1=0,£=1+1=2,x=0,y=2,/r=1<3；

第二步：s=—2,t=2,x=—2,y=2,A=2<3；

第三步：s=—4,t=0,x=—4,y=0,k=3,结束循环.故输出的结果为

（一4,0）.

答案：（一4,0）

16.执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为人从集合力中

任取•个元素，则函数尸exW[0,+8）是增函数的概率为.

解析：执行程序框图，X=—3,y=3；x=—2,y=0；x=—1,y=—I；x

=0,y=0；x=Ly=3；x=2,y=8；x=3,y=15；x=4,退出循环.则集合

/中的元素有一1,0,3,8,15,共5个，若函数y=*',［0,+8）为增函

数，则力o,所以所求的概率为三.

答案-

［综合题组练］

1.《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其

中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，

若输出的加的值为35,则输入的a的值为（）

陲

/输入<>7

m=2a-3,*=1

m=2m-3|i=i+l

/输中m/

丽

A.4B.5

C.7D.11

解析：选A.起始阶段有勿=2a—3,7=1,

第一次循环，力=2(2a—3)—3=4a—9,J=2；

第二次循环，加=2(4a—9)—3=8a—21,7=3；

第三次循环，勿=2(8a—21)—3=16a—45,f=4：

接着计算〃=2（16a—45）-3=325-93,跳H循环，

输出加=32d—93,令32a—93=35,得a=4.

2.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7,第二次输

入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为（）

A.0,0B.1,1

C.0,1D.1,0

解析：选D.当输入x=7时，b=2,因为不成立且x不能被6整除，

故6=3,这时方成立，故d=l,输出a的值为1.当输入＞=9时，b=2,因

为不成立且x不能被。整除，故。=3,这时斤＞才不成立且x能被〃整

除，故a=0,输出a的值为0.

3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提HI的秦九湘算法至今仍是多项式

求值比较先进的算法.已知比x）=20181+20W+・.・+2x+i,如图所

示的程序框图是求F（龙）的值，在“”中应填的语句是（）

A.n—iB.〃=，+l

C./7=2018-YD./7=2017-7

解析：选C.由秦九韶算法得f(x)=2018YO,7+2017/忏…+2升1=

(…((2018x+2017).Y+2016)x+…+2)x+1,所以程序框图的执行框内应填

写的语句是〃=2018-7,故选C.

4.(综合型)如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子定

理”.图中的Mod(A；ni)=n表示正整数"除以正整数/〃后的余数为/?,例如

Mod(10,3)=1.执行该程序框图，则输出的/等于()

醺

»=2

i=i+l

/^±7

A.23B.38

C.44D.58

解析：选A.执行程序框图，i=2,Mod(2,3)=2,Mod(2,5)=2#3,7=3,

Mod(3,3)=0W2,7=4,Mod(4,3)=1W2,7=5,Mod(5,3)=2,Mod(5,5)=

0W3,7=6,Mod(6,3)=0W2,(=7,Mod(7,3)=1W2,7=8,Mod(8,3)=

2,Mod(8,5)=3,Mod(8,7)=1W2,7=9,Mod(9,3)=0#2,7=10,Mod(10,

3)=1W2,7=11,Mod(11,3)=2,Mod(11,5)=1W3,7=12,Mod(12,3)=

0W2,7=13,Mod(13,3)=1#2,7=14,Mod(14,3)=2,Mod(14,5)=4N3,

7=15,Mod(15,3)=0W2,7=16,Mod(16,3)=1W2,7=17,Mod(17,3)=

2,Mod(17,5)=2W3,2=18,Mod(18,3)=0W2,2=19,Mod(19,3)=1H2,

7=20,Mod(20,3)=2,Mod(20,5)=0W3,7=21,Mod(21,3)=0W2,7=22,

Mod(22,3)=1*2,i=23,Mod(23,3)=2,Mod(23,5)=3,Mod(23,7)=2,

结束:循环，所以输出的了=23.故选A.

第3讲合情推理与演绎推理

［基础题组练］

1.观察下列各式：a+6=1,4+^=3,3+6'=4,H+6=7,才+斤=11,…,

则」。+〃。=()

A.121B.123

C.231D.211

解析：选B.法一：令a=H+ZA则句=1,&=3,4=4,a=7,…，得4

+2=4+&+】，从而&=18,@7=29,科=47,困=76,ao=123.

法二：由a+b=L4+斤=3,得劭=一1,代入后三个等式中符合，则才。

,05525

+/?=(C?+Z?)-2^=123.

2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a,b£R,则a-b=Ona=b”类比推出“若%,及WC,则z.-z2=

O=Zi-Z2”；

②“若a,b,c,d£R,则复数a+6i=c+di=a=c,6=d”类比推出“若

a,b,c,d£Q,则a一爪「=。+八/^=己=0,b=df,；

,

③'若a,Z?£R,则z—6>0na>6"类比推出"若z»&£C,则Z)—z2>0=>z1>z2\

其中类比得到的结论正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为&b,c,d都是有理数，

也是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确.

3.给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

记第/行的第/个数对为&•1，如劭3=(3,2；,则藐=()

A.5,n—ni)B.(加一1,n~m)

C.5一1,n-ni-\-1)D.(m,n~m+1)

解析：选D.由前4行的特点，归纳可得，若&w=(a,b),则a=〃，b=n-

m+1,所以@丽=(勿，方一/〃+1).故选D.

4.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是

天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这

就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号

叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二个符号叫地

支.如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农

历为丙寅年，则公元2047年农历为()

A.乙丑年B.丙寅年

C.丁卯年D.戊辰年

解析：选C.记公元1984年为第一年，则公元2047年为第64年，即天干循

环了六次，第四个为“丁”•地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047

年农历为丁卯年，故选C.

5.如图所示，椭圜中心在坐标原点，尸为左焦点，当崩_L诵时，其离心率为

"!二，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双

曲线”的离心率6等于

A号

C.yjb-10,75+1

22

解析：选A.设“黄金双曲线"的方程为?一7二1®。，〃。),

则4(0,拉，F(-c,0),A(a,0).

在“黄金双曲线”中，因为前工物

所以布・葩=0.

又沏=(c,b),AB=(—a,b),

所以tf=ac.而lf=c—a,所以c~~^=ac.

在等号两边同除以才，得d-1=&

解得6=掾[=与/舍去.

6.观察下列式子:、/T忘＜2,J而+夜市§4而+4沟+•药（8,

]7无+必公+小药+也短根据以上规律，第〃（〃£“）个不等式

乙

是.

解析：根据所给不等式可得第〃个不等式是，而+4西+・・・+

业・（〃+1）〈”二

乙

答案：，1X2十42X3十…+y〃-（〃十1）（"11）

乙

7.祖迪是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提

出了一条原理：“器势既同，则积不容异.”这里的“累”指水f「，：\

平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何

体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积\TT//

相等.设由椭圆4+与=1（力力0）所围成的平面图形绕y轴旋转

ab

一周后，得--橄榄状的几何体（称为椭球体）（如图），课本中介绍了应用祖眠原理

求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于

解析：椭圆的长半轴长为外短半轴长为6,现构造两个底面半径为，，高为

a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面

的圆锥，根据祖胞原理得出椭球体的体积/=2（/回柱-P1Hm）=2（nZ?%一；冗沅3）

4

=-nIfa.

J

4

答案：

J

8.设f(x)=3,+g先分别求AO)+Al),f(—1)+，(2),F(—2)+A3),

然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.

解：,⑹+^⑴=击+小

_]]_#-13_#_#

-14-^3+3+^/3-26-3，

同理可得：『(一1)+*2)=乎,F(—2)+*3)=平,

OO

并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.

归纳猜想得：当川+尼=1时，均有Hx)+f(xj=o-

证明：设为+为=1，

，⑴+，'出=就/房

(3X1+^^)+(3应+>\/5)________3为+3尼+2>\/5______

(3汨+"\/5)(3%+^5)3小+e+^5(3%+3吊)+3

_____+____________+________

一m(3x+3莅)+2X3~y/3(3为+3而+2水)-3,

9.给出下面的数表序列：

表1表2表3

113135

448…

12

其中表2,3,…)有"行，第1行的〃个数是1,3,5,2〃一

1,从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4,验证表4

各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表

〃(〃23)(不要求证明).

解：表4为1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项

为4,公比为2的等比数列.

将这一结论推广到表〃（〃23）,即表各行中的数的平均数按从上到

下的顺序构成首项为力，公比为2的等比数列.

［综合题组练］

1.（应用型）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优

秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中

至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有

哪位学生比另一位学生成绩好，并旦不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两

位学生，那么这组学生最多有（）

A.2人B.3人

C.4人D.5人

解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解.首先要证，没有任意两个同学的数

学成绩是相同的.假设力，另两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩

不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文

成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另

一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学的数学成绩是相同的.因为数学

成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条

件.易证3名同学的成绩等级分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，

优秀）时满足条件，因此满足条件的人数最多是3.

2.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，

割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与

有限的转化过程，比如在,2+/+小+…中“…”即代表无限次重复:，但原

式却是个定值x,这可以通过方程后i=x确定x=2,则1+—『=（）

B与

c.苧D.甲

乙Li

111而

解析：选C.1+-------:—=%即1+-=必即f—x—1=0,解得X\=—券~,

1x2

*+…

.=上泸(舍)，故&故选c.

乙一.上乙

-V~r~i—

1H—

3.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使

用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算

法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为"开方作法本源”图.下列数表

的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行

中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是

()

2017201620152014.....654321

403340314029......................119753

80648060...................................2016128

16124...........................................362820

A.2017X220,6B.2018X220,5

C.2017X220,5D.2018X220,6

解析：选B.从给出的数表可以看出，该数表每行的数都构成等差数列，其中

第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从

右到左的公差为4,……,第〃行从右到左的公差为2小，而从右向左看，每行

的第一个数分别为1=2X2,3=3X2°,8=4X2,,20=5X2%48=6X2%……,

所以第"行的第一个数为(〃+1)X2fl-2.显然第2017行只有一个数，为(2017+

1)X220,7-2=2018X2,源.故选B.

4.(应用型)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个

游戏，张老师的生日是勿月〃日，张老师把力告诉了甲，把〃告诉了乙，然后张

老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，

5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，

甲说：“我不知道，但你一定也不知道.”乙听了甲的话后，说：“本来我不知

道，但现在我知道了.”甲接着说：“哦，现在我也知道了.”请问，张老师的

生日是.

解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5

月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不

知道，但现在我知道了"，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦,

现在我也知道了"，可以得知张老师的生日为8月4日.

答案：8月4日

5.已知。是△力比内任意一点，连接加,倒工。并延长，分别交对边于H,

1nc-

。，则k+k+k=L这是一道平面几何题，其证明常采用“面

AADDCC

积法”：

OA'OB'0C5k瓯|5kM_S4ABe

1.

S&ABCS—wS2WSL

请运用类比思想猬想，对于空间中的四面体v-BCD,存在什么类似的结论,

并用“体积法”证明.

解：结论：在四面体旧BCD中,任取一点0,连接VO,DO,BO,。〃并延长,

分别交四个面于反F,G,〃点.

OEOFOGOH_

至+而+瓦+而=

证明如下：在四面体。及力与仁比72中，设其高分别为力，h,

-

刷花L7ic人一九最

OFVaIBCOGVo.fCDOHV(f.YBD

同理,

Di以1BG~V^-cjC//~七最

舐畔瑞库瑞

%庞。+匕x雷+V&ia)一%

Vv-BCDV\-BCD

6.我们将具有下列性质的所有函数组成集合机函数y=f(x)(x£〃)，对任

意、x,y,汇要仁〃均满足(3■:制"(x)+F(y)],当且仅当x=y时等号成立.

乙

(1)若定义在(0,+8)上的函数f(x)试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大

小；

(2)设函数g(x)=一六，求证：g(x)eJX

解：(1)对于+f(y)],

I4J2

令x=3,y=5得F(3)+f(5)W2F(4).

1

鼠

(2)证明：《咛三+就

2-

(小+用)2/+芯(为一尼)2

-4+^T=42'

当且仅当为=用时取等号，

所以《二；[^,久川)+鼠后)],

所以g(x)WM