《概率论与数理统计》教案 第22课 点估计

课题点估计

课时2课时(90min)

知识技能目标：

(1)理解参数的点估计的概念

(2)掌握矩估计法及极大似然估计法

教学目标

素质目标：

(1)帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系

(2)培养学生的辩证唯物主义观

教学重点：参数的点估计的概念，矩估计法

教学重难点

教学难点：极大似然估计法

教学方法讲练结合法、问答法、讨论法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程主要教学内容及步骤

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解参

课前任务数估计和点估计的相关知识

【学生】完成课前任务

考勤【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

【教师】提出问题：

互动导入什么是参数估计

【学生】思考、讨论、回答

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解参数估计和点估计的相关知识

【教师】介绍参数估计的概念

数理统计的基本问题就是根据样本所提供的信息，对总体的分布或分布的数字特征等做出统计推断.本章

所要探讨的是这样一类问题，即在总体所服从的分布类型已知的条件下，估计某些未知的参数，如数学期望、

方差等.这类问题称为参数估计.参数估计的方式有两种，一种是参数的值估计(点估计)，另一种是参数的

范围估计(区间估计).对于这类问题，关键是构造合理的方法将这些未知参数估计出来.

第一节点估计

传授新知

用一个数值来估计某个参数，这种估计就是点估计.例如，要考察某城市拥有汽车的家庭所占的比例，抽

查了1000个家庭，然后估计出这个比例值为0.28,这个值就是"比例"这个未知数的点估计.

【教师】提出点估计的定义

AA

定义1设夕为总体X的待估计参数用样本X|，X2，的T统计量x2,'X“)来

A

估计'，则称伏％'、2，'X”)是夕的一个点估计量，对应于样本观测值M'W',称

A

/"，毛，'％)为®的点估计值.

在不至于混淆的情况下，统称估计量和估计值为估计.

那么，如何构造一个统计量'X“）作为0的估计量呢？对于点估计问题，关键是找一个合适

的统计量，所谓合适是指既有合理性，又有计算上的方便性.这里只介绍两种常用的点估计方法：矩估计法和

极大似然估计法.

一、矩估计法

样本取自总体，根据大数定律，样本矩在一定程度上反映了总体矩的特征，因而很自然想到用样本矩来估

计与之相应的总体矩，由此得到的参数估计称为矩估计法.

矩估计是一种简单、直观的估计方法，是由统计学家皮尔逊在19世纪末引进的

【教师】提出矩估计法的定义

定义2设总体X的分布函数为"X，a'4’’4）,其中，4，幻'4是待估计的k个未知参数，

X^X?''X“是来自总体X的n个样本，％，/，'X，，是样本观察值，假设X的l~k阶原点矩都存在，

则有

M=E（x，）=〃,（q，4，,q）（i=i,2,,k）

取样本的i阶原点矩4作为总体i阶原点矩从的估计量，即

得方程组

〃（a，a，,4）=自

t

解得

。尸以X「X『.、Xn）

t

称a为Q的矩法估计量，简称矩估计.

【教师】通过例题，介绍矩估计法的应用

2

砂S5o<x<e,

fx（x）=,

0,其他'参数e未知，X，X2,‘X”是来自X

例I设总体X具有概率密度

的样本，求°的矩法估计量.

例2设总体X~,p）,其中m已知，求p的矩估计量.

例3设总体X~,其中〃‘是未知参数.试求〃'"的矩估计量.

……（解析详见教材）

二、极大似然估计法

在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的可能性也大，若在一次试验中，某事件A发

生了，则有理由认为事件AI：匕其他事件发生的概率大，这就是所谓的极大似然原理，极大似然估计法就是依据

这一原理得到的一种参数估计方法.

极大似然估计法是费歇（R.A.Fisher）在1912年提出来的，是一种重要的点估计方法，所求的估计量有许

多优良性质.下面先介绍似然函数的概念.

1.似然函数

【教师】提出似然函数的定义

定义3设总体X的分布律或概率密度为/（代仍/=（4'名'4）是未知参数，％'、2，'X’,是

总体x的样本,则称Xi，'x”的联合分布律或概率密度函数

L5,x2,；。）=n/（%；°）

"（7-2）

为样本的似然函数，简记为3.

2.极大似然估计法

例4设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，且已知两种球的数目之比为1:3但不知是白球多还

是黄球多.现从中有放回地任取3个球，发现有两个白球.问：白球所占的比例是多少？

……（解析详见教材）

【教师】提出极大似然估计法的定义

定义4如果样本似然函数''"）在«（芭，七，,外处达到最大值，则称

AA

a（%,当，，%）（，=i,2'」）为参数e的极大似然估计值，而称相应的统计量a&，X?,'x"）为参

数"的极大似然估计量.

由定义可知，求参数的极大似然估计问题，其实就是求似然函数L的最大值问题.一般情况下，似然函数L

的最大值点的一阶偏导数为零，但直接对似然函数L求偏导，计算量比较大.我们知道，Mx是x的单调上升

函数，因此，InL与L有相同的最大值点,故只需求InL的最大值点即可.因此，求极大似然估计量的一般步

骤如下：

（1）根据总体X的分布律或概率密度⑶，由式（7-2）得出似然函数

〃夕）=口/（乙；夕）

/=|•

（2）对似然函数取对数

ln〃6)=lnf[fa；。)

1=1

（3）写出似然方程

------=0

（1。

人AA

若方程有解，则求出〃°）的最大值点9=/内，々，，王），于是夕=e（x「X2，，x“）即为夕的极

A

大似然估计量.设％‘七''X”为样本的观测值，则/外‘/''X"）为夕的极大似然估计值.

【教师】通过例题，介绍极大似然估计法的应用

例5设X，，，X”是总体X的一个样本，豆“2，•‘X”为相应的样本值.总体X的概率密度函数

fX」

r.\-ye'，x>0,

为[0'其他'°v0<8,求参数°的极大似然估计量和估计值.

例6设总体X服从参数为丸的泊松分布，石，看，'£为样本取值，求参数4的极大似然估计.

例7设X】，'X”为取自正态总体X~，不)的样本求参数〃'b的极大似然估计.

……(解析详见教材)

【学生】聆听、思考、理解、记忆

【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题

1.从某一正态总体中随机抽取一个容量为8的样本，样本值