《概率论与数理统计》模拟试卷

《概率论与数理统计》模拟试卷

一、填空题

1.三只考签由三个学生轮流放回抽取一次，每次取一只，设4表示第i只考签被抽到。=1,2,3),则“至少

有一只考签没亨被抽到"这一事件可表示为.

2.设P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AU8)=0.6,则P(A与)=.

3.一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次不放回从袋中各取一球，则第二次取到的是黑球

的概率为.

0,x<0

4.随机变量X的分布函数为尸(刈=彳0.4,OWxvl,则P{X=1)=.

1,x>1

5.设随机变量X~N(〃,25)，且尸{X>5}=0.5,则〃=.

Ax,0<x<1

6.设随机变量X的概率密度函数为.，则常数4=_____.

0,其'已

7.设随机变量X服从参数为七p的二项分布，且〃=16,D(X)=4,则〃=.

8.设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P{X=Y}=.

9.设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=E(X2)}=.

10.设随机变量X〜N(L1),y~N(-1,1),且X与y相互独立，则E[(X-Y)2]=.

11.D(X)=1,D(Y)=9,2H=0.5,则O(3X-2y+l)=.

12,设x和y的方差DX和0y都存在，且满足o(x+Y)=D(X-Y)，则x与y的相关系数

PXY=---------------•

13.设X1,X?,…,X1°是来自总体X%(0,1)的简单随机样本,则统计量％2+*；+-+乂；)服从自由度

n=的%1分布.

14.设来自总体X~N(〃,l)的容量为16的样本的样本均值x=5.11,其未知参数〃的置信水平为1—a的

置信区间为(4.62,5.60),则a=.

15.设正态总体X其中〃，，均未知，X「X2,…,X”为来自总体X的简单随机样本，记

22

x=-txi,Q=y(xi-X),则检验假设/：〃=o,M，o的/检验方法使用统计量

2、计算题

x,0<x<1

1.设随机变量X的概率密度函数=・2-工，1WX<2，求⑴P{XN1};⑵分布函数此r).

0,其他

2.设随机变量X的概率密度函数A(X)=<；嬴1,⑴求y=/的概率密度函数fY(y);⑵求Y的

数学期望E(y).

r4-y,0<r<1,0<y<1

3.设X,y的联合概率密度函数为二人，⑴求X和y的边缘概率密度函数

0,其他

力(x)和力.()，)；⑵推断x与y的是否独立？

4.将两封信随意投入3个邮筒，设x和y分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目，⑴求x和y的联合分

布律;⑵求X与丫的协方差Cov(X,Y).

2x

5.设总体X的概率密度函数/(用8)，万”，其中6>()为未知参数，X1,X2,…,X“是来自总

0,其他

休X的样木.⑴求未知参数。的矩估量量2;⑵推断所求的估量量J是否为。的无偏估量量.

1-W

6.设总体X的概率密度函数/(元夕)=而e'(-8cx<+8),其中。>()为未知参

数：-6,-3,-1,2,4,7,8,9为来自总体的X样本值，求6的极大似然估量值.

参考答案

一、填空题

i.AA2A2.0.33.0.34.0.65.5

9.±

6.27.0.58.0.410.6

2e

-又

11.2712.013.1014.0.0515.——rr-D

三、计算以下概率问题

1.解：(1)P{X>1)=1-P{X<1)=1-£X^=0.5

xr-

J°皿=万

当l〈xv2时，F(x)=£xdx+J'(2-x)dx=2x-y-1;当上之2时，F(x)=1;

0,x<()

v"

—,0<x<l

所以/")=〈2

尸

<x<2

\,x>2

1,0<x<l,

x

2.解：⑴/("=<Fr(y)=P{r<j}=P{e<y)

0,其他

当y<0时，鸟(y)=0;当yNO,时，FY(y)=P[X<\ny]=Fx(\ny),

,—,1<j

A(.v)=6U)，于是人(y)={y

0,其他

⑵E(K)=E(ex)=£e'dx=e-\

/•-KOfl|

3.解：⑴当0vxvl时，人(x)=，f(x,y)dy=|(x+y)dy=x+—；

J—xJ()2

当0<y<1时，人(y)=J：/(1,y)clx=£(%+y)公=y+g；

(2)v/(x,y)*fxMfY(y)X与V不是相互独立的。

4.解：⑴X和y各自的可能取值均为0,1,2,由古典概型计算得联合分布律

X

012

Y

01/92/91/9

12/92/90

21/900

(2)E(X)=0X4/9+1X4/9+2X1/9=2/3,E(K)=0x4/9+1x4/9+2x1/9=2/3

+2x0x1/94-2x1x0+2x2x0=2/9,

三、求解统计问题(本大题15分)

代夕2x20

1.解：⑴〃=E(X)=J0x示公=7，

一人3—

以X代替〃，得。的矩估量量为。=；x.

人

⑵£(夕)二七(；3乂—)=53£：(—')==、£(乂)=53]r0®不2一x^^=夕。是。的无偏估量量.

2.解」(。)=中(4。)力/卅=为工同

试题一

一、选择题(10小题，共30分)

1.设A,B为随机事件,则A,B中至少有一个发生可表示为()L

A.A\JBB.AfBC.A-BD.AJB

2.对于任意两个事件4与8,则必有P(A-B)=().

A.P(A)-P(AB)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(B)D.P(A)+P(B)

x0<x<A

3.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=0则常A二().

其他

A.1B.母C.2I).4

4.设。x=oy=2,x与y相关系数pxy=J,则D(x+y)=().

A.2B.4c.5D.6

5.某人射击中靶的概率为则在第2次中靶之前已经失败3次的概率为().

A.4〃2(1-〃)3B.4〃(1-〃)3C.10p2(l-p)3D.p2(l-〃)3

6.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则。(X=EX2}=().

A.1B.2C.e~'D.-e''

2

7.设总体X〜N(〃,9),其中"为未知参数，X1,X2，Xa为来自总体的容量为3的样本.下面四个关于

〃的估量中，1)是无偏的.

A.-X.H—X2H—X、B.-X.+—X-H—

3।3.3-414J4

C.-X.4--X,+-XRD.-X.H—H—X

6,6263613-2

R.设乂，工,…儿是来自总体XN(O,1)的样本，则统计量X：+代+…北一()

2

A.Z(8)B.r(8)C.尸(1,8)D.N(0,8)

9.设来自总体X~N(〃,1)的容量为25的样本，样本均值为反，其未知参数〃的置信水平为的置

信区间为('-0392,^+0392),则。=().

A.0.05B.0.01C.0.025D.0.1

10.设总体乂-"(4。2)，4，/均未知，Xpx2r.X”为来自总体X的样本，因为样本均值，S?为样本

2

方差，欲检验假设//()：b?=(TJ；H］：(T工团；，则检验统计量为().

2=3c./=3二又一〃()

5Tzy

二、计算题(7小题，每题10分，共70分)

1.男子有5%是色盲患者，女子有2%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是

色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

2.设离散型随机变量X分布律为

X卜1()14

Pk0.10.2a0.4

(i)求常数。；(2)设y=x?,求y的分布律;

3.设随机变量(x,y)分布律为

-1012

00.()00.05().050.20

10.100.100.150.05

20.100.150.000.05

(1)求X和丫边缘分布律；(2)求U=max(X,y)的分布律.

4.设X服从求⑴p{0.5<XK2};⑵QX

0»具他

5.随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，求y=3X-l的概密密度函数.

4肛,0<x<l,0<y<l

6.设X,y的联合概率密度函数为：/(x,y)=，求(1)X,y的边缘概率密度函

0,其匕

数；⑵COV(X,Y)

7.设总体X的密度函数为：：；，其中2>0为未知参数，X1,X?,…,X,为来自总体

的一组样本，求：(1)以的矩估量量；(2)4的最大似然估量量。

参考答案

一、选择题：

AABDA,DDAAB

二、计算题：

1设B表示色盲，Al表示取自男性，儿表示取自女性。

2

3

4、

一,0KxW2

5.2••(D

0,其它

2x,0<r<1,⑵，，0<y<1,

6.(1)f(x)=-0,其它…⑴‘八)"…(2')

x0,其它

224

⑵EX=-(V),EY=-(f),E(XY)=-(f)

339

1-i

7.(1)EX=-(2'),令£X=X…(2')，得/==(lz)

AX

〃―/》xi

⑵L(/l)=n(/lJ4)=/re3…⑵)

/=1

模拟二

参考数据：%05(⑸=1.7531,%025(15)=2.1315,①(1)=0.8413,①(2)=0.9772

一、填空题：(每空2分，共20分)

1.设P(4)=0.6,P(8)=0.5,A与B相互独立，则月：

2.袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取•个,无放回地取两次,则两次取到的均为新球的概率为.

3.设随机变量XN(l,4),则P(-l<Xv3)=—;假设P(X>〃)=().5,则。=—

%0<^<4

4.设X的密度函数/")=则分布函数尸{戈)=,

0.其它

5.设X~6(10000,0.1),使用中心极限定理计算P{XW1030h

6.设E(X)=1,E(X2)=3,则O(2X+1)=

7.设随机变量x,y相互独立,且x~N(o/),y〜N(I,4),则分布x—y〜

8.乂，乂2是来自总体、(4。2)的样本,当4/满足时，是〃的无偏估量.

9.设样本均值和样本方差为5=20,S?=16,样本容量〃=16,写出正态总体均值〃的置信水平为0.95的

置信区间______________________

二、求解以下概率问题［2小题，共28分)

1、(此题16分)离散型随机变量X的分布律为：

X-2-101

I]_

Pi

6336

(1)求P(-1.5<Xvl.5);(2)求分布函数/⑴；(3)求出期望E(X),方差。(X).

%,0<x<1

2、(此题12分)设随机变量X的密度函数/(x)=<2—x,l<x<2,(1)求P(X20.5);(2)求

0,其他

出期望E(X),方差D(X).

三、求解以下各题(3小题，共28分)

1、(此题8分)设随机变量X的密度函数=/I'I：：：2,求Y=e2x的概率密度.

0,具他

2、(此题8分)设随机变量X,y相互独立,且E(X)=l,E(y)=2,D(X)=2,D(y)=4,求

E(X2),相关系数以「。(乂丫).

3、(此题12分)设(X,y)的联合概率分布为

123

00.10.20.1

10.20.10.3

（1）求边缘分布律；（2）判别x与y是否相互独立；（3）求c（w（x,y）.

四、求解以下数理统计问题（3小题，共24分）

0<x<1

1、（此题8分）设总体X的密度函数为/（x）=什,夕>0为未知参

0,其他

数:乂,乂2,…,X〃，是取自总体的样本，求6的矩估量.

Ae-Ax

2、（此题8分）设总体X的密度函数为/（%）二•,4>0为未知参数，X1,X2,…,X。，是取

0.其他­

自总体的样本，求;I的最大似然估量.

3、（此题8分）要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从这批元件中随机抽取25个，测得其寿命

的平均值为950小时.该种元件寿命服从标准差为。=100小时的正态分布.试在显著性水平a=0.05下

确定这批元件是否合格？设总体均值为即检验假设

H)://>1000cH]:<1000.(参考值：“0.05=1MS,w()O25=1.96)

参考答案

0,

x<0

填空题：1.0.72.().33.0.6826,14.F(x)=<-x,0<x<45.0.8413

4------

1,共4

6.87.N(-l,5)8.a^b=\9.(20±2.1315)=(17.8685,22.1315)

二、求解以下概率问题

1.(1)P(-1.5<x<1.5)=P(X=-l)+P(X=0)+P(X=l)=%

—E(X2)《

oxv24'

(2)—2Wxv—1

122f

F(x')=«-1<x<0D(X)=E(X)-(EX)=-^4

O<x<1

x>1

2.(1)P(X20.5)=J；.忌+/(2-Q公=1+g=：

⑵E(X)=J：x•,以t+-外公=1

三、求解以下各题

1,l<x<2,3

I.o,其他，小y)=p(0')=*"y)

当yNO,时，、()，)=P(X«fn)，)=R；Iny),f(y)=F；(y).,

当），<0时，、（y）=o；Y

1

—,e<y<e

于是4(y)=2)，-

0,others

2.E(X2)=D(X)+(EX)2=2+1=3由于X,y相互独立，故以丫=0

3.解⑴：_______________________________________

Y12

01

XPj0.30.30.4

0.40.6

Pi⑵p{x=o,y=i}wp{x=o}p{y=i},故x,y不独立（其他做法也可以）

⑶E(X)=0*0.4+1*0.6=0.6，E(K)=1*0.3+2*0.3+3*0.4=2.1

E(xy)=1.3,Cov(X,y)=E(XY)-EXEY=13-0.6*2.1=0.04

四、求解以下数理统计问题

=公=浅?招=昌?从而。二

1.矩估量EX

"In"#=(),得幺=1

2.MLE:L(A)=An口产-mL(K)=n\nA-幺工X,令

“X

3.拒绝域/?=（—,-%）=（,「1.645）=出喘00O=-2.5V—1.645

/\［n"

所以拒绝原假设”0,即认为这批元件不合格.

模拟三

可能用到的数据：①⑴=0.8413,0（2）=0.9772,d25（35）=1.99006,/0025（36）=1.98667

一、填空题（此题共10空格，每空格3分，共30分）

1.抛一枚骰子，记录其出现的点数，该随机试验的样本空间为_______.

2.设AB为两随机事件，且P（4）=；,0（B）=g,P（同A）=g,则P（ADB）=_,P（AB）=

3.设连续型随机变量X的概率密度函数/（x）=《二._，则常数.

〔0,其它

4.设随机变量X的概率分布律为

X-103

Pi0.250.50.25

则P{|X-EX\<0.5）=_______.

5.设随机变量X服从［0,10］上的均匀分布，则关于y的二次方程V+4），+X=0有实根的概率为

6.设随机变量X的期望为1,方差为4,随机变量Y的期望为0,方差为1,且X,丫的相关系数pXY=-0.2,

则Z=X-2Y+1的数学