《概率论与数理统计》期末试题一答案

页眉内容

设与为互不相容的两个事件，，则0

事件与相互独立，则0.5。

1、设离散型随机变量X的分布函数为

〃0x<-l

产(x)=a-1<X<1

2

<—a1<x<2

3

a+bxN2

，则。

且

某人投篮命中率为，直到投中为止，所用投球数为4的概率为

设随机变最与相互独立，服从“0-1”分布，；服从的泊松分布，则

2、已知口（*）=16,。（丫）=99％¥=3，则D（X-2Y）=—36一,

3、设总体X服从正态分布b2）,从总沐中抽取样本X[,X2，X3，X4,则统

计量左：+号服从户（2,2）分布。

设总体服从正态分布其中为未知参数，从总体中抽取容量为16的样本，样本均值

则总体均值的的置信区间为一（4.51,5.49）—o（）

若，且与相互独立，则服从分布。

计算题（每小题10分，共60分）

（10分）已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。

求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第

二次取出的是次品。

解：（I）一只是正品一只是次品的概率为：..............

（2）第二次才取得次品的概率为：..................

（3）令表示“第一次取出的是正品“，表示“第一次取出的是次品”

B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）=^X^+1X^=1

7o7o4

页版内容

贞眉内容

1、(10分)设随机变量X的概率密度

/(x)=Ax+1OWxV2

V

-0其它

求：(1)的值；(2)的分布函数；(3)

解：(1)由可得,

所以，

f(x)=X4-1OMxV2

其它

(2)

x>2

(3)P{1.5<x<2.5)=+l)dx=

(10分)甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0・5,以

和分别表示甲和乙的命中次数,试求：(D和的联合分布律；(2)和的边缘

分布律。

解：(1)和的联合分布律为：

P(X=m,Y=n)=C™(0.2)m(0.8)2-mC；(0.5)n(0.5)2-"=x4(1-n,)

m,n分别为0,1.2。

(2)x和y的边缘分布律。

由于与相互独立，所以和的边缘分布律分别为：

P(X=m)=C；(0.2)m(0.8)2-m,m=0,1,2。

P(Y=n)=C；(0.5)n(05)2f,n=0,1,2。........

(10分)二维随机变量(，)的概率密度为

「：(x+y),0<x<290<y<2

0,其它｛

求：(1)(2)(3)(4)

虫脚内容

解：（1）

E(X2)=ffx2xQ(x+y)dxdy=

(2)

D(x)=E(X2)-(E(X))2=^-(J)2=

3636

(3)E(XY)=f：xyx：(x+y)dxdy=：........................

o，

(4)E(Y)=「fyx：(x+y)dxdy=：

4771

COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=------x-=一一-

36636

2、（io分）设总体x的概率密度为rGx0-\0<x<l

（i）1o,其它

（2）求8的最大似然估计量；（2）*6的矩估计量。

解.：（1）似然函数为：

取对数为：..................

由得，

则的最大似然估计量为：。.....

（2）EX=［，xexe_1dx=-5-..........................................

J。9+1

由得，的矩估计量为：.........

三.证明题（本大题共1小题，总计10分）

证：因为

E氏）=力。3=七击空击空击3-（8分）

i=li=l乙r=l4i=l1

由辛钦大数定律可知｛｝服从大数定律..

一、单项选择题

下述命题正确的是（B

如

与

✓A\昊

(J

X/互不相容，则与相互对立

姐

zB\r与

(—r

\/y相互对立，贝I」与互不相容

姐

与

/c\

(n

X/pK.相互独立，则与互不相容

如

与

zD

(裂

x互不相容，则与相互独立

2.一个寝室住有4个同学，那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一

页眉内容

天的概率是(D)

(A)0.25(B)0.35(C)0.55(D)0.65

3.若P(B|A)=0,则下列命题中正确的是(B)

(A)BA(B)AB=(C)AB(D)A-B=

4.相互独立且都服从正态分布，则(C)

(A)-8(B)9(C)45(D)60

5.若函数为随机变量的概率密度，则的可能取值区间(D)

(A)(B)(C)(D)

3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3,0.6,0.5,

则能将此程序编写成功的概率是(B)

(A)0.09(B)0.86(C)0.14(D)0.91

87设是两个事件，则以下关系中正确的是(B)

(A)(B)

(C)(D)

910个产品中有8个正品2个次品，从中无放回地任取3个，则恰有1个次品的

概率是(A)

7817

(C)—(D)——

6045

10若P(B|A)=1,则下列命题中正确的是(C)

(A)BA(B；P(A-B)=0(C)AB(D)A-B=

11相互独立且都服从正态分布，则(B)

(A)8(B)20(C)-16(D)12

设，，是来自(0,)上的均匀分布的样本，>未知，则下列样本数

中(C)不是统计量。

(A)2+X2(B)min(XtX2X3)(C)X3—0(D)^(X)+X2+X3)

(统计量无未知数)

II两个随机变量的协方差COV©,〃)=o,则3〃—C______.

(A)相互独立(B)互不相容(C)不相关(D)相等

二、判断题

虫脚内容

1.若随机事件A.B相互独立，则事件A.B互斥。（F）

2.事件A的概率P（A）等于0,事件A也有可能发生。（T）

3.事件的独立性具有传递性。（F）

4.函数的期望值等于期望的函数。（F）

5若随机事件A、B相互独立，则事件与B也相互独立。（T）

6事件的概率与试验的先后次序无关。（条件分布）（F）

7若事件的相关系数=0,则相互独立。（F）

（二0,可以推出不相关）

8估计量/二%J是总体方差的无偏估计量。（F）

三、填空题

1.设，，，，那么{123,4,6},（1,6）,①空

集。

2.设随机变量与相互独立，服从二项分布，服从二项分布，且，则

6-5=1；=根号0.76。

3.设随机变量X的分布列为

X-2-1012

P0.20.10.25a0.15

则=（1-0.2-0.1-0.25-0.15）0.3,X的期望（XP）0.1

4.离散型随机变量&的分布律为P（l=k尸，则c=36/49

c（1+1/4+1/9）=1,解得c;

5.从总体中抽取样本，得到5个样本值为5.2.3.4.1。则该总体平均数的矩估

计值是5—，总体方差的矩估计是15/2—。

6设两个事件A.B相互独立，，，则0.18,0.12o

7设随机变量服从正态分布，则

①⑴-①（0.5）,

①⑴,

P（|x-2|>2）=________L4）（1.5）（0.5）v

8设总体&服从参数为的泊松分布，为来自g的样本，为

样本均值，则，

9设随机变量X的分布列为

X-2-1012

P0.20.1a0.250.15

12则0.05,1.75o

离散型随机变量&的分布律为P（g二k尸，则c=12/11

一.选择题（将答案填写在答题纸上，每题3分，共30分）

页眉内容

1.设为两个随机事件，且，则下列正确的是[B]

(A)P(A8)=P(A)(B)P(AuB)=P(A)

(C)P(B\A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

2.已知为随机事件，・则全不发生的概率为…

3.如果事件满足，则下述结论正确的是[C]

(A)必然同时发生(B)发生，必发生

(C)不发生，必不发生(D)不发生，必不发生

4.甲乙两班学生同次考试的数学成绩分别为，则甲班学生的数学水平不如乙

班高，但比乙班整齐可表示为[B]

(A)E(X)>E(y),D(X)>D(y)

(B)

总分

E(X)<E(Y)9D(X)<D(Y)

(C)E(X)>E(Y),D(X)<D(Y)

(D)E(X)<E(Y\D(X)>D(Y)

5.设两个随机变量相互独立且方差分别为和，则[D]

(A)8(B)16(C)28(D)44

6.设为一个连续型随机变量，其概率密度函数为分布函数为，则对

于任意的值有[A]

(A)P{X=x}=0(B)Fr(x)=f(x)

(C)P{X=x}=f(x)(D)P{X=x}=F(x)

7.设，则服从・.]

(A)Y〜N(l,4)(B)Y~N(O,1)

(C)Y〜N(2,4)(D)Y〜N(l,2)

8.设，,其中a,b为常数，且，则•.・】

(A)a2o2

虫脚内容

⑻N(〃|i+b,a2a2-Z>2)；

(C)N(ap.+b,aH)；

(O)N(叩-瓦a2a2).

9.是两个任意的随机变量，则[D]

(A)D(X)+O(y)(B)D(X)-D(Y)

（C）D（x）+D（y）+2Co*x,y）

(D)D(X)^D(Y)-2COV(X9Y)

10.设随机变量，且相互独立，则（B）

/、2x-y

(A)2X-y~N(0J)；(B)——7=-〜N(0,l)；

2V3

2X-Y+1

(C)2X—y+l~N(l,9);(D)~N(0,l)

2A/3

二、填空题（将答案填写在答题纸上，每题3分，共30分）

L已知4/事件满足P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B\A)=0.8,则

P（A\JB）=（L7.

2.设随机变量服从参数为的泊松分布，则1

3.若相互独立，贝110.85.

4.随机变量X的概率密度函数为

，则3

5.设的分布为，若则2.

6.设X~则y=2X+2~N（2,4）.

7.重复掷一枚硬币4次，恰有2次正面向上的概率为0.375o

8.设的分布函数为，则。

9.设随机变量的密度函数为，用表示对的3次独立重复观察中事件

出现的次数，则9/64.

10,设服从参数为的泊松分布，且，则2o

三、综合题（每题10分，共40分）

1.已知某地区中男子有35%是高血压患者，女子有15%是高血压患者。此地区

男女比例为，现今从此地区随机的挑选一人，恰好是高血压患者，问此人是男

性的概率是多少？

页眉内容

2.随机变量（x,y）的联合概率密度为

\kxy,0<x<l,0<J<x

/山）］。，其它

求（1）々的值；（2）X的边缘概率密度；（3）P｛X<-｝.

2

3.两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的

概率为0・02,已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零

件放在一起，求：任意取出的零件是合格品（A）的概率.

4.二维随机变量（X,Y）的概率密度为

6-…，X>0,J>0

…H。，其他

求：（1）系数A；（2）X,Y的边缘密度函数；（3）问X,Y是否独立。

解答

三、计算题（每题10分，共40分）

1,解：设A=｛被观察者是高血压患者｝,Bl=｛被观察者是女子｝,B2=｛被观察者是男

子｝，则B1,B2互不相容，且，2分

P（Bl）=P（B）=1/2,P（A/B1）=15%,P（A/B2）=35%2分

故又贝叶斯公式可知所求概率为

P（叫）P（A|约）

P（川）=2分

35%x50%

2分

15%x50%+35%x50%

7

分

=102

2.解：（1）因为

，；

fofkxjdydx=^=l=k=8（2）因

为/⑶力寸。，其它

fx（x）=J：f（x,y）dy

（3）方法一:

虫脚内容

方法二:

0x<0

K(x)=，*40<x<1

1x>l

P(X<i)=Fx(i)=±

3.解：设Bi="取出的零件由第i台加工”

4.解：(1)由

=e-vdx^e-2ydy=^A所以A=2

(2)X的边缘密度函数：

Y的边缘密度函数：

(3)因，所以X,Y是独立的

一、判断题(每小题2分，共20分)

...)1.是事件为不可能事件的必要但是不充分条件.....

...)2.若事件相互独立，则事件也相互独立......

...)3.若，对任意事作，都成立....

...)4.对于连续型和离散型随机变量，，都有成立.

...)5.二维离散型随机变量的联合分布列和边沿分布列可以相互确定...

...)6.设二维连续型随机变量在上服从均匀分布，

则其联合密度函数为.....

...)7.若，贝IJ.............

...)8.若随机变量满足，则相互独立...

..)9.从总体中抽取样本，则和都是总体均值的无偏估计，但前者比后者更有

效............................

...)10.参数假设检验的原理是“小概率原理”..........

二、填空题(每小题2分，共20分)

1.从发芽率为0.9的一批种子里,随机地取100粒,用表示100粒中不发芽

的种子粒数，则.

2.设，且事件相互独立，则...............

3.设，则.

4.设，则......

5.设分别为的分布函数，若也是某随机变量的分布函数,

则

页眉内容

6.设为二维随机变量的联合密度函数，则......

7.设，，且独立，则......

8.设，则对于区间恒有（结果用

标准正态函数中（工）的值来表示）.

9.设，且独立，则有

10.设总体

，，，・

评卷人

得分三、计算题（每小题10分，共60分）

1.设10件产品中有7件正品，3件次品，每次随机从中抽

取一件，直到取到正品为上.记抽取次数为随机变量，在下

列两种情形下：（1）有放回（2）无放回，分别求的概率分布列.

2.设的概率密度函数为，分别求

（1）常数A的值；（2）g的分布函数尸（幻；（3）P（l<^<2.5）.

3.盒子里有3个黑球,2个红球,2个白球，从中一次随机地抽取4个球.表示其中黑球的个数,

而表示其中红球的个数，求（1）的联合分布列；（2）边沿分布列.

4.设二维随机变量的概率密度函数为

（1）分别求心喈与71的边沿密度函数力（幻和£（），）；（2）判断J和〃是否独立.

5.已知，

求（1）E（Z）和O（Z）；（2）X和Z的相关系数0xz.

6.设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的一个简单随机样本.分别用

矩估计法和极大似然估计法求的估计量.

一、判断题（每题2分，共计20分）

题号12345678910

11/11

对错77XXX7XX77

二、填空题（每题2分，共计2（）分）.

1.2、0.83、0.354、0.25

5.0.66、17、20

8、①（。）一①（4）9、F(n,ni)10、Z2(/z-l)

三、计算题（每题10分，共计60分）.

1、解：（1）-----------4分

虫脚内容

(2)

g1234

~P--73-^7~~327~~321

1010910981098

------------------8分

即

41234

~pTT__~T___~T_

To30T20120

------------------10分

2.解：(1)

.*.A=------------------2分

-------------10分

4.解:⑴--------4分

,,.广〃,,Jf8知公=4y(l-)3),0<y<l

L(y)=f(x,y)dx=<Jy------------8分

J80其它

力c、J"—),0<x<1,0<y<x

(2)・・・*x)%(y)=r工/*,y)

其它

..........................................10.

5、解：⑴

Cov{X,Y)=PXY4DX4DY=-6

页眉内容

E(z)=-EX+-EY=~,

323一_6分

i1XY\I1I

D(z)=-DX+-DY+2Cov(—,-)=-9+-\6+2——Cov(X,Y)=3

94329432

VVI11

(2)Cov(X,Z)=C”(X,—+—)=-O(X)+—Cm<X,Y)=--9+--(-6)=0

323232

Co(X,Z)”

10分

P-~4DX4DY

6解⑴

令E(X)=x=—y.

得6=土1.............4分

1-X

（2）似然函数为咐=卜+『'0）。＜皿『2,…,〃）

0其它

------6分

对数似然函数为LnL=nln«9+1）+In%

1=1

dlnL(e)n叱=

+£10——8分

de0+\r=l

所以解之得:10分

一、填空题（每题5分）

1.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为060.5。现已知目标被命中，则

它是甲射中的概率为（）。

2.设随机事件及其和事件的概率分别为0.4,0.3和0.6。若表示的对立事件，那么积事

件的概率为（）o

一、3.已知连续随机变量的概率密度函数为，则的数学期望为（）,的方差

（）o

4、若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布，且，则（）。

5.设由来自止态总体容量为9的简单随机样本得样本得样本均值，则未知参数的置信

度为0.95的置信区间是（）。

选择题（单选，每题5分）

虫脚内容

1、对于任意二事件，同时出现的概率，则()

(A)不相容(相斥)(B)是不可能事件

(C)AB未必是不可能事件(D)。(4)=0,或尸(3)=0

2.设为两随机事件，且，则下列式子正确的是()

(A)P(A+8)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(C)P(B|A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

3.已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数，的值为()

(A)//=4,p=0.6(B)/?=6,p=0.4

(C)H=8,/?=0.3(D)n-24,/;=0.1

4.对于任意两个随机变量，若，则)

(A)D(XY)=DXDY(B)o(x+y)=ox+"

(C)x,y独立(D)x,y不独立

5.设随机变量的概率密度为，且，是的分布函数，则对任意实数，有()

aI;

(A)F(-a)=\-^(p{x}dx(B)/(一4二耳-」夕(幻公

(C)F(-a)=F(a)(D)F(-a)=2F(a)-\

二、计算题(每题10分)

1.已知离散随机变量的概率分布为：

(1)写出X的分布函数尸(x)。(2)求X的数学期望和方差。

2.假设有两箱同种零件，第一箱内装50