二轮复习专题二第3讲抛体运动与圆周运动学案

第3讲抛体运动与圆周运动

高频考向一运动的合成与分解

«三模型图解

一、小船渡河模型

方式图不说明

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃

了

渡河

当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短

£；'

时间〃船aa

深时间Uin=-

最短V船

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

//〃〃〃/〃〃/〃〃〃〃〃/〃〃/

1

当V水＜V船时，如果满足V水-V船cos0

。船0,

f

=0,渡河位移最短，Xmin=d

渡河

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

位移

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

当V水〉V船时,如果船头方1可与台速度

最短/;

/、、'

，、/a

%；、）士小K—3日Ldv水

方向垂直，渡河位移取短，Xmin-

V船

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

二、绳（或杆）端速度分解模型

◎提醒：当绳（或杆）斜拉着物体或物体斜拉着绳（或杆）运动时，绳（或

杆）两端连接的物体速度不同，但物体的速度沿绳（或杆）方向的分速度

大小相等。

«三典题突破”

I命题角度小船渡河模型

【典例1】一船在静水中的速度大小恒定为VI,水流速度的方向沿着

河岸向右且大小恒定为V2,且VI>V2,河岸宽度恒定为d。小船从O

点开始渡河，图中OB垂直于河岸，AB=BC=L。已知当小船划行

方向垂直于河岸时小船正好航行到C点。下列说法中正确的是（）

ABC

.viL

A9=d

B.若小船改变划行方向，最终到达对岸A点，则从0点到A点所

用时间等于小船航行到C点所用时间

C.若小船的划行方向沿OA方向,则小船最终会航行到BC之间的

某一点

D.若小船改变划行方向，最终到达对岸B点，则从O点到B点所

用时间为I，,

\Vf+V2

【解析】选C。小船的实际运动轨迹为OC,即速度方向沿OC方向,

所以根据几何知识可得吃=r，选项A错误；如图甲所示，小船航

V?L

行到A点的合速度和小船航行到C点的合速度不同，但是位移大小

相同，所以时间不同，选项B错误；若小船沿OA方向划船，与垂直

到达河岸方向的夹角为。，则tan。）=A>

W77dL2

册,说明当垂直对岸到达B点时船头和0B之间的夹角大于/

AOB,因此沿0A方向划船不会垂直到达B点,会航行到BC之间的

某一点，选项C正确；若小船改变划行方向，最终到达对岸B点，

则合速度指向B,如图乙所示，从0点到B点所用时间为t=

d

，选项D错误。

-v2

只名师点睛“三模型、两方案”解决小船渡河问题

渡河时间最短，

船头垂直河岸时,

渡河位移最小

（，船＞小的情况）快哪

、一渡河位移最小

（，船V，水的'情况）

正交分解（沿河岸、垂直于河岸）

M方号一［矢量三角形（常用于分析最值）

I命题角度2＞绳（杆）端速度分解模型

【典例2］（多选）（2021.淄博三模）如图，汽车从静止开始通过缆绳将

质量为m的货物从A处沿光滑斜面拉到B处，此过程中货物上升高

度为h,到B处时定滑轮右侧缆绳与水平方向间夹角为0,左侧缆绳

与斜面间夹角为20,汽车的速度大小为v,已知重力加速度为g，则

A.此时货物的速度大小为瑞v

B.此时货物的速度大小为嚼v

VOo\J

C.此过程中缆绳对货物做的功为专需

D.此过程中缆绳对货物做的功为嗯符+mgh

【解析】选A、D。把绳子左端点的实际速度分解为沿绳和垂直绳两

v绳

个方向，有V货二宝而，把绳子右端点的实际速度分解为沿绳和垂

CCSA

直绳两个方向，有Y==，联立可得V货二肾去V,选项A正确，

B错误；根据功能关系，缆绳对货物做的功转化成货物的动能和增加

的重力势能，有W绳二;m噫+mgh,代入数据，可得此过程中缆

绳对货物做的功为尝翁+mgh,选项C错误，D正确。

教师专用＜名师点睛速度分解类处理思路

«三类题特训”

1.如图所示，快艇在静水中的航行速度大小为I3m/s,某河流的水流

速度大小为5m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12s。若

快艇以最短路程渡河，则渡河的时间为（）

A.13sB.15sC.18sD.20s

【解析】选A。快艇要过河时间最短，船头方向需垂直河岸方向，最

短渡河时间：t二£,则有，河宽为d=V/二13m/sxl2s=156m；由

Vc

于静水速大于水流速，以最短路程渡河时，如图所示，快艇的合速度

大小为：v=^Vc-Vs=AJ132-52m/s=12m/s,以最短路程渡河

时，所需的时间t'A二号s=13s,选项A正确，B、C、D错误。

5

2.疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置,在水平地

面上竖直固定直杆A和B。将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定

一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上。开

始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度vo向左运动，当绳子与

杆A的夹角0=60。时重物的速度为v,加速度为a,规定向上为重物

速度、加速度正方向。下列说法正确的是()

V-近

A.v=2voBR.v-2

C.a>0D.a<0

【解析】选Ce重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于vo,

即vcos8=Vo,所以v二-^77，当e=60。时v=2V0,选项A、B错

误；重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角。增大，由v二福

VOoV

可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动，a>0，选项C正确,

D错误。

专用【加固训练】

1.如图所示，某河流中水流速度大小恒为VIzA处的下游C处有个

漩涡,漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r,AB=#r。为使

小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中

速度的最小值为（）

一厂标

/二、/

___/、一/

AB

I

A.2viB・3viC・2viD.，5Vl

【解析】选Co如图所示，当小船在静水中的速度V2与其在河流中的

速度V垂直时，小船在静水中的速度V2最小，故有：V2=Visin0,由

于漩涡的半径为r,AB=5r,依据几何关系，则有0=60。，因此

V2二坐VI,选项C正确,A、B、D错误。

2.（多选）如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的

半圆柱体，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆

未达到半圆柱体的最高点之前（）

A.半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动

B.半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动

C.半圆柱体以速度vo向右匀速运动，竖直杆同半圆柱体接触点和柱

心的连线与竖直方向的夹角为6时，竖直杆向上的运动速度为votan0

D.半圆柱体以速度V。向右匀速运动，竖直杆同半圆柱体接触点和柱

心的连线与竖直方向的夹角为0时，竖直杆向上的运动速度为vosin0

【解析】选B、C。竖直杆的实际速度是接触点沿切线方向的速度与

半圆柱速度的合速度，如图所示，根据速度的合成，运用平行四边形

定则，得v杆=votan0o竖直杆向上运动，0角减小，tan0减小,v杆

=votan0减小，但竖直杆不做匀减速运动，选项A错误，B正确；根

据速度的合成有v杆二votan9,选项C正确,D错误。

高频考向二抛体运动规律及应用

«旦模型图解

一、斜面上的平抛运动

图小运动分解

水平方向：X=vot,匀速直线运动；

8

竖直方向：y二;gt2,自由落体运

动；位移x合二42+y2;

技工i:分解位移使十解题V

tan0=

X

水平方向：Vx=Vo，匀速直线运动；

“

竖直方向：Vy二gt,自由落体运动；

速度v=q-+逮；

当物体垂直打在斜面上时有［an0

技巧：分解速度便于1择题

_Vx

一V、

。提醒：平抛运动中，某时刻速度、位移与初速度方向的夹角8、a

的关系为tan0=2tana,而不要误记为0=2a。

二、斜面上的类平抛运动

图小

+

情景

特物体所受合外力为恒力，且与初速度方向

空间存在方向向下的匀强电场

点垂直

运物体在垂直于斜面方向没有运动，物体沿小球受到重力和电场力作用，合

动斜面方向上的曲线运动可分解为水平方力竖直向下。带电小球的初速度

分向上初速度为V。的匀速直线运动和沿斜方1可与小球所受合力方向垂直，

解面向下初速度为零的匀加速直线运动做类平抛运动

网划磔提酉1:类平抛运动与平抛运动的区别

运动平面初速度方向加速度

F

类平抛运动任总平面任意方向a=-，与初速度方向垂直

平抛运动竖直平面水平方问重力加速度g,竖直向下

<«三典题突破2

I命题角度1>斜面上的平抛运动

【典例3】（多选）（2021.漳州二模）随着北京冬奥会的临近,滑雪项目

成为了人们非常喜爱的运动项目。如图，质量为m的运动员从高为H

的A点由静止滑下，到达B点时以速度vo水平飞出，经一段时间后

落到倾角为0的长直滑道上C点，重力加速度大小为g,不计空气阻

力，则运动员（）

A.落到斜面上C点时的速度vc=及、

B.在空中平抛运动的时间t二力tanO

&

C.从B点经I=干tan。时，与斜面垂直距离最大

0

D.从A到B的过程中克服阻力所做的功W克二mgH-；m相

【解析】选C、D。从B点飞出后，做平抛运动，在水平方向上有x

二vot,在竖直方向上有y=1gt\落到C点时,水平和竖直位移满足

1gt2。

tan9=^=—=聂，解得t=乎tan0,从B点到C点，只有重

入V01，V。片

力做功，根据动能定理可得mgy=1mvc-|mvo,解得vc=

2

v0^4tane+1,选项A、B错误；当与斜面垂直距离最大时，速度

方向平行于斜面，故有tan9弋二常,解得F二『an。，选项C正

确；从A到B的过程中重力和阻力做功,根据动能定理可得mgH-

W克二;m宕，解得W克二mgH-|mvor选项D正确。

4变式拓展

若弯曲滑道AB的高H加倍,运动员仍落在斜面上,则（）

A.运动员在B点水平飞出的速度加倍

B.运动员在B点飞出后在空中运动的时间加倍

C.运动员落到斜面上的速度大小不变

D.运动员落到斜面上的速度方向不变

【解析】选D。根据mgH=gmv2可得运动员水平飞出的速度v=

V2gH,若H加倍，则水平飞出的速度v变为也倍，选项A错误；

运动员从B点飞出后做平抛运动，则tan0二〒度st，解得t二

空器=2tan,若H加倍，则在空中运动的时间t变为也

倍，选项B错误；运动员落到斜面上的速度方向与水平方向夹角a

的正切值是位移方向与水平方向夹角9正切值的2倍，若H加倍，

则运动员落到斜面上的速度方向不变，其落到斜面上的速度大小U

二式7。不变若H加倍则运动员落到斜面上的速度大小变为血

倍，选项C错误，D正确。

国名师点睛处理平抛运动“一、二、三，，

尸、^根据题意，对平抛运动进行分解.

判断是分解速度还是分解位移

I

I

I

用边角关系

^回用平抛运动的相关结论

I命题角度2＞类平抛运动

【典例4］如图所示，倾角0=45。、长为L的斜面处在竖直向下的匀

强电场中。第一次将一不带电的小球从斜面顶端以速度vo水平向右

抛出，小球恰好落在斜面底端；第二次使小球带上+q的电量，仍以

速度vo从斜面顶端水平向右抛出，小球恰落在斜面的中点处；若把

电场方向改为水平向左（场强大小不变），将小球第三次以速度vo从斜

面顶端水平向右抛出，小球也落在斜面上。不计空气阻力，则小球在

第三次运动过程中，下列说法正确的是（）

A.小球距离斜面的最远距离为专

B.小球的落点与斜面顶端的距离为华

C.小球落在斜面上时的速度仍为vo

D.小球受到的电场力大小是其重力大小的2倍

【解析】选C。第一次不带电小球平抛：竖直方向Lsin9=1gt|z

水平方向Lcos0=voti,解得ti二穹；所以水平位移Lcos45°=voti

to

=vo?，解得3邛L；第二次带电小球做类平抛，竖直方向;L

sin0=1（g+臂）t2，水平方向;Lcos0=vot2,联立得qE=mg,第

三次小球的加速度a=&g,当小球垂直斜面方向上速度减为0时离

(TV0)2@[

斜面最远d=2a二求=16，选项A错误，D错误；竖直

方向Usin0=|gti,水平方向Lios0=vot3-|,解得t3=

则Lsin9=|g(?A,Usin0=|g谭)2,可得U=号，末态水平方

向的速度为Vx=VO-gt3=0,竖直方向的速度为Vy=gt3=VO,因此此

时物体的速度为竖直向下为VO,选项B错误，C正确。

旦名师点睛类平抛运动的处理方法

常规分解将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂

法直于初速度方向（即沿合外力7邪］）的匀加速直线运动

对于有些问题，可以对抛出点建立适当的直角坐标系，将

特殊分解

加速度a分解为ax、ay,初速度vo分解为vXxvyr然后分

法

别在x、y方向上列方程求解

“三类题特训1

1.（2021滨州二模）如图所示,O点为正四面体OABC的顶点,ABC

处在水平面上，D点为AB边的中点。在。点沿不同方向水平抛出两

个小球，甲球恰好落在A点，乙球恰好落在D点，空气阻力不计。

则甲球和乙球平抛初速度大小的比为（）

A.2：1B.3：1C.3：2D.72：1

【解析】选A。设O在面ABC的投影点为O"由几何知识可知加

Iv甲to'A

=2,由h/gt2可知两球竖直位移相同，t相同，则有——二疏二

v乙t

V甲

2：1,可得一二2：1,A正确，B、C、D错误。

v乙

2.（多选）如图所示，质量相同的小球1、2从同一位置分别以初速度

VI、V2正对倾角为6的斜面水平抛出，已知小球1垂直撞在斜面上，

小球2到达斜面的位移最小。下列说法正确的是（）

A.小球1、2的飞行时间之比为V1:2V2

B.小球1、2的飞行时间之比为vi：2^2V2

C小球1、2落至斜面时速度与水平方向夹角的正切值之比为1：V2

D.小球1、2落至斜面时速度与水平方向夹角的正切值之比为1:2

【解析】选A、D。小球1恰好垂直撞在斜面上，其速度与水平向的

夹角为（90。-0）,则tan（90°叫二田，小球2撞在斜面上，其位移

与水平方向的夹角为（90。-0）,其速度与水平方向的夹角为a,根据

位偏角正切值的二倍等于速度偏角的正切值，则tana=2tan（90°-0）

二兽，联立解得段二毛；，选项A正确，B错误；小球1、2落至斜

tan（90°-9）

面时速度与水平方向夹角的正切值之比为一—7一二

tan(90°-9)二;，选项C错误，D正确。

2tan(90°-0)

教师

专用【加固训练】

I.(2021.唐山一模)如图所示，水平地面固定半径为5m的四分之一

圆弧ABC,O为圆心。在圆心O右侧同一水平线上某点水平向左抛

出一个小球，可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D点，D点到水

平地面的高度为2m,g取10m/s2,则小球的抛出速度大小是()

A.芈/s

mB.m/s

J,

C普m/sn皿/

D.—m/s

【解析】选C。小球在竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度vy

"2ghED=AJ2X1()X(5-2)m/s=2^15m/s,垂直击中D点，

速度反向延长线过圆心，如图所示，

根据几何关系，则有sin0=^，解得0=37。，则在D点分解

KJ

速度可得vo==“皆m/s,选项C正确。

2.如图所示，半球形容器固定在水平地面上，开口向上，AD为球

的水平直径，O是球心，B是AO的中点，C是OD的中点。让一个

小球先后从A、B、0、C四点沿AD方向水平向右抛出，则小球从

哪一点抛出可能垂直打在容器内壁上（)

A.从A点抛出B.从B点抛出

C.从0点抛出D.从C点抛出

【解析】选B。如果小球抛出后能垂直打在容器内壁上，则打在容器

内壁上时小球速度的反向延长线必过0点、且过水平位移的中点，

因此小球不可能从A、O、C点抛出，只可能从B点抛出,故B正确,

A、C、D错误。

3.如图所示，质量为m带电量为q的小物块置于倾角为37。的长为

L绝缘光滑斜面上,当整个装置处于竖直向下的匀强电场中时，小物

块恰好静止在斜面顶端。（重力加速度大小为g,sin37。=0.6,cos37°

=0.8）

⑴请判断小物块带正电还是带负电。

⑵请求出电场强度的大小。

⑶现将电场方向突然改为水平向右，而场强大小不变，请求出小物

块到达斜面底端的时间。

【解析】（1）因为电场力方向向上与电场强度方向相反，所以小物块

中贝电。

⑵平衡时重力等于电场力则有mg=Eq,

解得E二詈。

⑶改变电场方向后对小物块受力分析，则在沿着斜面向下方向上

mgsin37°+qEcos37°=ma,

答案：（1）带负电（2道（3）10L

高频考向三圆周运动规律及应用

«旦模型图解

一、水平面上的圆周运动模型

图例特点

年一申①竖直方向：受重力和支持力，_力

受力平衡，合力为零

②水平方向：受静摩擦力（或静摩擦

力、拉力的合力）的作用，且静摩擦力

（或静摩擦力、拉力的合力）提供物体做

圆周运动的向心力

〃4/〃人

具有相同的锥度角e,摆长不同

力/、、、......…、

1

11\

\、//

…….一一一

具有相同的摆高、不同的摆长和不同

的锥度角

◎提醒：向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦

力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分

析中要避免再另外添加一个向心力。

二、竖直平面上的圆周运动模型

项目最局）点无支撑最局）点有支撑

图例

最局J

重力mg，弹力F弹向下或重力mg,弹力F弹向下、

点受

等十零向上或等十零

力

向心

V2V2

mg+F弹二m记mg±F弹=

力

恰好

F弹=0,v=dgR,在最mg=F弹，v=0,在最高

过最

高点速度不能为零点速度可为零

局J点

◎提醒：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，只有重力做功

的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。

“三典题突破2

命题角度1＞水平面上的圆周运动

【典例5】（2021.济南一模）小球a、b分别通过长度相等的轻绳拴在O

点，给a、b恰当速度，使两小球分别在不同水平面内做匀速圆周运

动，已知两小球运动过程中始终在同一以O点为球心的球面上，0a

与竖直面夹角为601Ob与竖直面夹角为30°,则a做圆周运动的周

期与b做圆周运动的周期之比为（）

【解析】选C。对球受力分析如图，

4兀2/4.jr~Lcos9

根据牛顿第二定律mgtan0=m翁Lsin0,解得T二寸兀『

n5/12S602座

Tb\]cos30°\13,C正确，A、B、D错误。

县名师点睛水平面内圆周运动模型解题流程

根据牛顿运动定律和

圆周运动知识列方程

命题角度2＞竖直平面上的圆周运动

【典例6］（多选）如图所示，带有支架总质量为M的小车静止在水平

面上，质量为m的小球通过轻质细绳静止悬挂在支架上的O点,绳

长为L,现给小球一初速度vo让小球在竖直平面内以0点为圆心做

圆周三动，小球恰能通过最局）点A,其中A、C为圆周运动的最局点

和最低点，B、D与圆心。等高。小球运动过程中，小车始终保持静

止，不计空气阻力，重力加速度为go则下列说法正确的是（）

o=V3gL

B.小球通过最低点C时，地面对小车支持力大小为Mg+6mg

C.小球通过B点时，小车受地面向左的摩擦力大小为2mg

D.小球通过D点时，小球处于失重状态

【解析】选B、D。由题意小球恰能通过最高点知A点速度Vi=VgL,

1

-mV2

A到C根据机械能守恒可得mgx2L二Tmvo21,解得C点速

度为vo=-\/5gL，小球通过C点时根据牛顿第二定律有F-mg=

,解得此时绳子拉力为6mg,通过对小车受力分析可得此时地

面支持力大小为Mg+6mg,选项A错误，B正确；A点到B点，根

1

-mV2

据机械能守恒定律可得mgL=2mv221,解得B点速度为V2

=V3gL，小球通过B点时，绳子拉力大小为3mg,所以小车受到向

左的摩擦力大小为3mg,选项C错误；小球通过D点时，小球有向

下的加速度，故小球处于失重状态，选项D正确。

囱教3师专用毛«）0名师点睛竖直平面上的圆周运动模型解题流程

r——判断是轻绳模型还是轻杆模

定模型一।

------型

对轻绳模型来说小绳=Tgr

田上।是能否通过最高点的临界

*确7>C临t界点一

点；而对轻杆模型来说,FN

=0是临界点

“通常情况下竖直平面内的圆

研究状态I一周运动只涉及最高点和最低

点的运动情况

、，对物体在最高点或最低点时

受力分析|一进行受力分析，根据牛顿第

二定律列出方程，F合=/向

v应用动能定理和机械能守恒

过程分析I一定律将初、末两个状态联系

起来列方程

«三类题特训》

1.（多选）如图所示,细绳的一端系着质量为m的物体B,B上放一

质量也为m的物体A,A和B一起放在表面光滑的转盘上，细绳另

一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量仍为m的小球C,A、B、

C可看作质点，A和B到。点的距离为R。，当物体B转动的角速度

为30时，A和B刚好没有发生相对滑动，则下列说法正确的是（）

o

cO

A.A和B间的静摩擦力为gmg

B.物体B转动的角速度30二就

C.若3o减小，当系统再次稳定后，A和B间的摩擦力大小不变

D.若3。减小，当系统再次稳定后，A和B间的摩擦力变大

【解析】选A、B、C。C物体平衡，绳的拉力F=mg,对A和B整

体用牛顿第二定律F=2ma，由于A和B刚好没有发生相对滑动，对

A运用牛顿第二定律Ffm=ma,解得Ff,n=|mg,选项A正确；对A

和B有卜'=2m3]Ko,解得3。=Y金，选项B正确；若3（）减小，

系统再次稳定时，绳的拉力不变，A和B间的摩擦力大小不变，选项

C正确，D错误。

2.如图（俯视图），用自然长度为lo,劲度系数为k的轻质弹簧，将质

量都是m的两个小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平

面内转动的圆盘上，物块P、Q和O点恰好组成一个边长为21。的正

三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kloe现

使圆盘带动两个物块以不同的角速度做匀速圆周运动，则（）

B

E

.堂

S

S/

吕Q

A.当物块P、Q刚要滑动时,圆盘的角速度为3二弋而

B.当圆盘的角速度为①二~篇时，圆盘对P的摩擦力最小

C.当圆盘的角速度为3二'医时，物块Q受到的合力大小为孚

\lL111L

D.当圆盘的角速度为⑴=、/罪时，圆盘对Q的摩擦力的大小等于

弹簧弹力的大小

【解析】选B。P、Q间的距离为210,而弹簧的原长为10,故弹簧的

弹力为Fk二kx二kl“当0)=\用时,可得物块随圆盘转动需要的

向心力为Fn二m①Di。=klo＜小klo，也为物体所受的合力,此时物体

和圆盘还未相对滑动，选项A、C错误；当3二'焉时，可得物块

随圆盘转动需要的向心力为Fn=mco2-210=y，根据合力与分力构成

的矢量三角形如图所示，

Fk

-、S

此时静摩擦力具有最小值为fmin=Fk-cos30°二2klo,选项B正确；

时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为Fn=m①2.21。

二竽，由力的三角形可知静摩擦力不等于弹簧的弹力，选项D错

误。

3.如图（甲）所示，一长为1的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上,

另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O