黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题含解析

哈三十二中～学年度高二上学期期末考试数学试题本题共85分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.1.已知两个向量，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果.【详解】向量，且，则存在实数，使得，即，所以,解得,故，故选：B2.以为顶点的四边形是（）A.平行四边形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯形【答案】D【解析】【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.第1页/共11页【详解】在坐标系中画出ABCD，，，所以四边形ABCD是直角梯形；故选：D.3.过点，直线方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.【详解】因为直线过点，，所以直线方程为，故选：B.4.点到直线的距离（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.第2页/共11页【详解】点到直线的距离故选：A5.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解.【详解】因为为直径，所以圆心为，半径，所以圆的方程为.故选：C.6.已知是椭圆的直线交于（）A.B.3C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义可得，结合已知即可得答案.【详解】由椭圆的定义，知，所以，即，又，所以．故选：B第3页/共11页7.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（）A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间距离即可.【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点到坐标原点的距离为.故选：B.8.若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解.【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为，因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，，所以，即，所以，即，即，所以，则.故选：C.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目第4页/共11页要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分.9.关于直线，则下列结论正确的是（）A.倾斜角为B.斜率为C.在y轴上的截距为D.与直线垂直【答案】BC【解析】分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.【详解】直线变形得，直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确；令，，即直线在y轴上的截距为，C正确又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误故选：BC.10.若过点可以作出圆的两条切线，则实数可能的值为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】首先分析出点在圆外，则代入得到不等式，解出即可.【详解】过可作圆的两条切线，说明点在圆的外部，所以，解得或，故选：AD.对抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向下，准线方程为B.开口向下，焦点为第5页/共11页C.开口向左，焦点为D.开口向左，准线方程为【答案】AB【解析】【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.【详解】由题设，抛物线可化为，开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.故选：AB.三、填空题：本题3个小题，每题5分，共分.12.直线与圆相交所得的弦长为__________.【答案】【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.【详解】由，可知圆心为，半径为，所以到的距离，则直线与圆相交所得的弦长为.故答案为：.13.已知抛物线上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________.【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案.【详解】抛物线的准线为，所以该抛物线上点到其焦点的距离为.第6页/共11页故答案为：414.我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为__________．【答案】【解析】【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解.的虚轴长为，故答案为：.四、解答题：本题共四个小题，共分15.若直线经过直线与的交点，且与直线平行.（1）求直线的方程；（2）求直线与的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】1）先求得两直线的交点，再由直线与直线平行求解；（2）利用两直线间的距离公式求解.【小问1详解】因为直线过直线和的交点，由，解得，即点，第7页/共11页因为直线的斜率为2，且直线与直线平行，所以直线的方程为，即.【小问2详解】直线与直线的距离为.16.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形．（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解.【小问1详解】因为底面为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以；第8页/共11页【小问2详解】由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，设平面、平面的法向量分别为，则，，令，解得，故可取，所以，所以二面角的正弦值为.17.已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆.（1）求圆方程；（2）若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；（2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案.第9页/共11页【小问1详解】设圆的方程为，因为在圆上，所以，解得，满足，所以圆的方程为；【小问2详解】直线，对于，可得，解得，所以直线过定点，因为，所以点在圆内，所以不论为何值，直线与圆总相交.18.椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．【答案】（1）（2）【解析】1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.（2）直线l