微专题5电磁场中的空间立体问题和摆线问题听课正文

1.三种场力对带电粒子的作用特点(1)重力和电场力可以(不是一定)对带电粒子做功,而洛伦兹力永不做功.(2)在重力、电场力和洛伦兹力中的两者或三者共同作用下,带电粒子可能静止,也可能做匀速(匀变速)直线运动或类平抛运动,还可能做匀速圆周运动.①若只有两个场,合力为零,则粒子做匀速直线运动或处于静止状态.例如电场与磁场叠加满足qE=qvB时、重力场与磁场叠加满足mg=qvB时、重力场与电场叠加满足mg=qE时.②若三场共存,则合力为零时,粒子做匀速直线运动,其中洛伦兹力F=qvB的方向与速度v垂直.③若三场共存,则粒子做匀速圆周运动时,有mg=qE,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,即qvB=mv22.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解.组合场中的空间立体问题例1[2024·湖北武汉模拟]托卡马克装置是利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器(如图甲所示),简化的模拟磁场如图乙所示.已知半径为R的足够长水平圆柱形区域内分布着水平向右的匀强磁场Ⅰ,磁感应强度大小为B;圆柱形磁场区域Ⅰ外侧分布有厚度为L(长度未知)的环形磁场Ⅱ,其磁感应强度大小处处相等且也为B,其横截面图与纵截面图分别如图丙和图丁所示.某时刻氘原子核(质量为m,电荷量为q)从磁场Ⅰ最低点以大小为v=qBRm的速度竖直向下射入磁场Ⅱ,不计粒子的重力和空气阻力,不考虑相对论效应(1)要使氘核不射出磁场Ⅱ区域边界,求Ⅱ区域厚度L的最小值;(2)求该氘核从出发到第二次回到磁场Ⅰ最低点需要的时间;(3)若氘核从磁场Ⅰ最低点以大小为2v、与水平方向夹角为θ=60°的速度射入磁场Ⅱ(如图戊所示),则从出发到第二次回到磁场Ⅰ最低点的水平位移是多少?带电粒子在叠加场中运动的科技应用例2[2024·河北秦皇岛模拟]亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈.如图所示,两线圈通入方向相同的恒定电流,线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场.沿O1O2建立x轴,一圆形探测屏垂直于x轴放置,其圆心位于x轴上的P点.在线圈间加上平行于x轴的匀强电场,粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子.已知粒子质量为m、电荷量为q(q>0),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B,电场和磁场均沿x轴正方向,探测屏半径为R,不计粒子重力和粒子间相互作用.(1)若未加电场,求粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r;(2)若线圈中不通电,粒子恰好打在探测屏边缘,求探测屏中心与粒子源间的距离d1;(3)若要使粒子恰好打在探测屏的中心,求探测屏中心与粒子源间的最小距离d2.摆线问题配速法处理带电粒子在叠加场中的复杂运动:若带电粒子的初速度为零,则可以给带电粒子配上一对等大反向的速度;若带电粒子的初速度不为零,则可以对带电粒子的初速度进行分解,目的是使其中一个分速度对应的洛伦兹力与电场力(或重力等恒力)平衡,对应的分运动就是匀速直线运动(类似速度选择器),另一个分运动就是在另外一个分速度对应的洛伦兹力作用下的匀速圆周运动.这样带电粒子复杂的曲线运动就等效为匀速直线运动和另外一个匀速圆周运动的合成,这里运用等效原理和运动的合成与分解原理化难为易、化繁为简,这种方法称之为配速法.近些年,自招和高考中经常涌现摆线和应用配速法的问题.一般高考出现摆线问题是将竞赛问题降级处理的,不仅描述了粒子运动的情况,还配图加以说明,而且高考题还增设了条件,降低思维难度,符合高考选拔学生的标准.例3[2024·山东日照模拟]如图甲所示,在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场,电场方向竖直向上,场强大小为E,磁场方向垂直于纸面向里.在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy,y轴竖直向上.一个带正电小球A从O点以速率v0沿x轴负方向射出,恰好可以垂直打到地面.已知重力加速度大小为g,A受到的电场力大小恰好等于重力,运动过程中带电荷量不变,忽略空气阻力.(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B;(2)若大量与A相同的小球从O点以速率v0在xOy平面内沿各个方向先后射出,小球间的相互作用均不计,落地后均不反弹,求小球落地点区间的长度;(3)若撤去电场,小球从O点以某一速率沿y轴正方向射出,恰好不会打到地面.①求小球从O点射出时的速率v1;②已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示,求小球速率达到最小时两个位置之间的距离.【导思】撤去电场后,小球的速度和受力都在发生变化,小球做复杂的曲线运动.从运动分解的角度看,如何将小球的运动进行分解,使小球的运动变得清晰起来?【跟踪训练】1.(多选)[2024·湖北黄冈模拟]在中国古代,人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用以辨别方向,如今在科学研究中,科学家常用电场和磁场控制带电粒子的运动.如图甲所示,某一竖直方向存在上、下宽度分别为d2和d的匀强电场与匀强磁场,匀强电场方向竖直向下,匀强磁场沿水平方向垂直于纸面向里,磁感应强度大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从电场内紧贴上边界的O点由静止释放,运动到磁场下边界的P点(图甲中未画出)时粒子的运动轨迹正好与下边界相切.若以上电场和磁场同时存在于一足够大的区域,如图乙所示,重新让粒子从O点由静止释放,经过时间t粒子第一次到达最低点N.下列说法正确的是 (A.图甲中粒子从O点运动到P点的时间为(π+2)B.图乙中粒子经过N点时速度大小为2C.图乙中O、N两点的竖直距离为dD.图乙中O、N两点的水平距离为Bqdt2.[2024·江苏泰州模拟]高能微粒实验装置是用以发现高能微粒并研究和了解其特性的主要实验工具.为了简化计算,一个复杂的高能微粒实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型.如图甲所示,三维坐标系中,yOz平面的右侧存在平行于z轴方向周期性变化的磁场(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场.有一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能微粒从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平射出,微粒第一次经过x轴时恰好经过O点,此时速度大小为v0,方向与x轴正方向的夹角为45°.已知电场强度大小E=mgq,从微粒通过O点开始计