2025年初二几何专项题库及答案

2025年初二几何专项题库及答案一、全等三角形1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。证明：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C。∵D为BC中点，∴BD=CD。∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。在△BDE和△CDF中，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF。2.已知：如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=30°，连接BC、DE交于点F。求证：BC=DE。证明：∵∠BAD=∠CAE=30°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。在△BAC和△DAE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC=DE。二、等腰三角形与直角三角形3.等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为6cm，求另外两边的长。解：分两种情况讨论：（1）若6cm为腰长，则底边长为20-6×2=8cm，此时三边为6cm、6cm、8cm，满足三角形三边关系；（2）若6cm为底边长，则腰长为(20-6)÷2=7cm，此时三边为7cm、7cm、6cm，满足三角形三边关系。综上，另外两边长为6cm、8cm或7cm、7cm。4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求CD的长。解：由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。△ABC的面积=½×AC×BC=½×3×4=6，又△ABC的面积=½×AB×CD，∴½×5×CD=6，解得CD=12/5=2.4。三、平行四边形5.如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接BE、DF。求证：BE=DF且BE∥DF。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC。∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=ED=½AD，BF=FC=½BC，∴ED=BF，且ED∥BF（AD∥BC），∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等），∴BE=DF且BE∥DF。6.已知▱ABCD的周长为36cm，AB=2BC，求各边的长。解：设BC=x，则AB=2x。平行四边形对边相等，周长=2(AB+BC)=2(2x+x)=6x=36，解得x=6，∴BC=AD=6cm，AB=CD=12cm。四、矩形、菱形与正方形7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形的对角线长及面积。解：∵矩形对角线相等且互相平分，∴OA=OB=½AC=½BD。又∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=OB=AB=4cm，∴AC=BD=2×4=8cm。在Rt△ABC中，BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√48=4√3cm，面积=AB×BC=4×4√3=16√3cm²。8.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，求菱形的边长和面积。解：菱形对角线互相垂直平分，设对角线AC=8cm，BD=6cm，交点为O，则OA=4cm，OB=3cm，边长=√(OA²+OB²)=√(4²+3²)=5cm，面积=½×AC×BD=½×8×6=24cm²。五、相似三角形9.如图，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，AC于E，若AD=2，DB=3，△ADE的面积为4，求△ABC的面积。解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比=AD/AB=2/(2+3)=2/5，面积比=相似比的平方=(2/5)²=4/25，设△ABC的面积为S，则4/S=4/25，解得S=25。10.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：AC²=AD×AB。证明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC∽△ACD（AA），∴AC/AB=AD/AC，即AC²=AD×AB。六、勾股定理综合应用11.如图，有一个长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体盒子，一只蚂蚁从顶点A出发，沿盒子表面爬到对角顶点G，求蚂蚁爬行的最短路径长度。解：将长方体表面展开，有三种展开方式：（1）前面+上面：路径长=√[(5+4)²+3²]=√(81+9)=√90=3√10≈9.49cm；（2）前面+右面：路径长=√[(5+3)²+4²]=√(64+16)=√80=4√5≈8.94cm；（3）左面+上面：路径长=√[(4+3)²+5²]=√(49+25)=√74≈8.60cm；比较得最短路径为√74cm。12.如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC的面积。解：作AD⊥BC于D，设BD=x，则DC=14-x。由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=13²-x²=169-x²，AD²=AC²-DC²=15²-(14-x)²=225-(196-28x+x²)=29+28x-x²，∴169-x²=29+28x-x²，解得28x=140，x=5，AD=√(169-25)=√144=12，面积=½×BC×AD=½×14×12=84。七、轴对称与旋转13.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边作等边△BCD（点D在△ABC外），连接AD。求证：AD平分∠BAC。证明：将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△EBC（∵△BCD为等边，∠DBC=60°），则BE=BA，∠EBA=60°，△EBA为等边三角形，∠BEA=60°，又∠BAC=120°，∠BAE=60°，∴点E在CA的延长线上，∠BEC=∠BAD（旋转性质），而∠BEC=∠BEA=60°（△EBA等边），∠BAD=60°，∠BAC=120°，∴AD平分∠BAC。14.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG（AD=AB，∠DAB=90°），则AG=AF，BG=DF，∠GAB=∠FAD，∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF，在△AGE和△AFE中，AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴EF=GE=GB+BE=DF+BE。八、综合解答题15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，E为AC上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠得到△FDE，点F落在AB边上。求CE的长。解：连接AD，∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=CD=3，AD=√(AB²-BD²)=√(25-9)=4。设CE=x，则AE=5-x，CF=2x（折叠后CF=2CE？不，折叠后CD=FD=3，∠C=∠DFE）。过F作FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，由折叠知FD=CD=3，∠FDE=∠CDE，设∠C=θ，则cosθ=(BC²+AC²-AB²)/(2×BC×AC)=(36+25-25)/(2×6×5)=36/60=3/5，sinθ=4/5，在△FBD中，BD=3，FD=3，△FBD为等腰三角形，FG=√(FD²-(BD/2)²)=√(9-2.25)=√6.75=3√3/2（此步错误，应重新分析）。正确解法：设F坐标为(x,y)，以D为原点，BC为x轴，AD为y轴，则D(0,0)，B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，AB方程：y=(4/3)x+4（错误，AB从A(0,4)到B(-3,0)，斜率为(0-4)/(-3-0)=4/3，方程为y=(4/3)x+4）。设E(3,m)（E在AC上，AC从A(0,4)到C(3,0)，方程y=(-4/3)x+4，故E点坐标为(t,(-4/3)t+4)，t∈[0,3]，CE=√[(3-t)²+(0-(-4/3t+4))²]=√[(3-t)²+(4/3t-4)²]=√[(3-t)²+(4/3(t-3))²]=√[(3-t)²(1+16/9)]=|3-t|×5/3，即CE=(5/3)(3-t)，t=3-(3/5)CE。折叠后F与C关于DE对称，DE为FC的中垂线，故DE⊥FC，且DE中点在DE上。FC的中点坐标为((t+3)/2,((-4/3t+4)+0)/2)=((t+3)/2,(-2/3t+2))，DE的斜率为[(-4/3t+4)-0]/(t-0)=(-4/3t+4)/t=(-4t+12)/(3t)，FC的斜率为[0-(-4/3t+4)]/(3-t)=(4/3t-4)/(3-t)=4(t-3)/(3(3-t))=-4/3，DE⊥FC，故斜率乘积=-1，[(-4t+12)/(3t)]×(-4/3)=-1，(16t-48)/(9t)=-1，16t-48=-9t，25t=48，t=48/25，CE=(5/3)(3-48/25)=(5/3)(27/25)=9/5=1.8。16.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF，分别交AD、BC于E、F，连接BE、DF。求证：四边形BEDF是平行四边形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠OEA=∠OFC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，又OB=OD（平行四边形对角线互相平分），∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分）。17.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠得到△FDE，点F落在AB边上。求BE的长。解：以B为原点，BA为y轴，BC为x轴，则B(0,0)，A(0,4)，C(4,0)，AC中点D(2,2)，设E(4,t)（t∈[0,4]），BE=4-t，折叠后F在AB上，设F(0,s)（s∈[0,4]），DE为CF的中垂线，故DE⊥CF，且CF中点在DE上，CF中点坐标为(2,t/2)，DE的斜率为(t-2)/(4-2)=(t-2)/2，CF的斜率为(s-0)/(0-4)=-s/4，DE⊥CF，故[(t-2)/2]×(-s/4)=-1，即(t-2)s=8①，又DF=DC=√[(2-4)²+(2-0)²]=√(4+4)=2√2，DF=√[(2-0)²+(2-s)²]=√(4+(2-s)²)=2√2，平方得4+(2-s)²=8，(2-s)²=4，2-s=±2，s=4或s=0（舍去s=0，因F在AB上非B点），故s=4，代入①得(t-2)×4=8，t=4，但E(4,4)与C(4,0)重合，矛盾，说明假设F(0,s)错误，正确解法：折叠后FD=CD=2√2，F在AB上设为(0,m)，则FD²=2²+(2-m)²=8，4+(2-m)²=8，(2-m)²=4，m=4或m=0（舍去m=0），故F(0,4)即A点，此时DE为CA的中垂线，E为BC中点(4,2)，BE=4-2=2。18.如图，在菱形