常用逻辑用语复习学案（解析版）

高一《数学》导学案审核：时间：§1.4-1.5常用逻辑用语知识点1命题的概念知识点2充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件名师点拨☞在逻辑推理中，p⇒q能表达成以下5种说法①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条是p；⑤p的必要条件是q.知识点3判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件.名师点拨☞1、充分条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．2、必要条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件知识点4充要条件1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件.2．条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.3．概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.4.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为：p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p5.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，若A⊇B，则p是q的必要条件①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若AB，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件；名师点拨☞充分必要条件判断精髓：推出关系推断依据条件关系备注p⇒qq⇒p小范围⇒大范围p是q的充分条件q是p的必要条件箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件知识点5全称量词与全称量词命题1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．2．全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x).4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．名师点拨☞判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以先把全称量词补充出来再判断.知识点6存在量词与存在量词命题1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x).4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．名师点拨☞判断一个命题是否为存在量词命题，一是看该命题是否含有存在量词；二是看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，我们可以先把存在量词补充出来再判断知识点7全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题p¬p结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等存在量词命题p¬p结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等名师点拨☞(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求改变量词知识点8命题的否定与原命题的真假1.命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【题型一、充分条件必要条件的判断】1．若为实数，则是的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题意，若，则或，故充分性不成立；若，则，故必要性成立.因此，是的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了不等式与充分必要条件综合，考查了学生综合分析，逻辑推理能力，属于基础题2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值的定义可得且，然后利用充分、必要条件的定义判定.【详解】且，所以“”是“”的充分不必要条件，故选:A.3．已知实数，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【详解】等价于，即，化简得，解得，则“”是“”的必要非充分条件故选：B4．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，“x<2”成立，但,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件，“”等价于，即能推出，∴“x<2”是“”的必要条件，故“x<2”是“”的必要不充分条件，故选:B.5．已知为实数，且.则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用必要不充分条件的定义判断即可．【详解】推不出；但，故选：B【题型二、根据充分条件必要条件的求参数】1．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．【答案】【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．设．是的充分不必要条件，所以．（两个等号不能同时取到），．故答案为：.2．已知条件p：2k－1≤x≤－3k，条件q：－1<x≤3且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】{k|k≤－1}【详解】因为p是q的必要条件，所以{x|－1<x≤3}{x|2k－1≤x≤－3k}，应满足：，解得k≤－1，故答案为：{k|k≤－1}3．已知；.（1）若，则是的什么条件？（2）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）p是q的必要不充分条件；（2）.【分析】（1）先求出命题，显然{x|0≤x≤2}⊆{x|－2≤x≤10}，即可得出结论.（2）利用p是q的充分不必要条件，代入求解不等式组即可.【详解】（1）因为，当时，q：，显然，且命题不等于命题q，所以p是q的必要不充分条件．（2）由（1），知p：，因为p是q：的充分不必要条件，所以，且两处不能同时取等号，解得，即．4．已知，集合或，（1）当时，求（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）当时，利用交集的定义计算可得；（2）是的充分不必要条件，可得，列不等式组解出实数a的取值范围．【详解】或，或（1）当时，或所以或或或（2）由题意得，∴（且等号不能同时成立），∴.5．集合，，（1）当，集合A是B的什么条件？（2）若A是B的必要不充分条件，求a的值.【答案】（1）既不充分也不必要条件；（2）或或【解析】（1）当时，分别化简集合A和B，利用定义可判断出集合A是B的既不充分也不必要条件；（2）分和两种情况，利用A是B的必要不充分条件，求出a的值．【详解】（1）当时，，，则集合A是B的既不充分也不必要条件；（2）当时，，满足题意；当时，，若A是B的必要不充分条件，则或，解得或综上可得：或或6．已知集合，（1）时，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把代入确定出，求出即可；（2）由是成立的充分条件，得到为的子集，分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．【详解】（1）当时，，则；（2）是成立的充分条件，，①若，则，解得；②若，由得到，解得：，综上：的取值范围是．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于中档题．【题型三、充分必要条件的证明】28．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【详解】（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．29．求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．【分析】由可得，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，将代入方程可得知必要性成立，由此得出证明.【详解】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根为的充要条件是．【点睛】本题考查充要条件的证明，要从充分性和必要性两方面来进行证明，考查推理论证能力，属于中等题.【题型四、命题的否定】1．命题“若，则”的否定为（

）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】因为的否定为，所以命题的否定为：若，则.故选B.【点睛】本题考查命题的否定，难度较易.对于“若，则”形式的命题，其命题的否定为：“若，则”，其否命题为：“若，则”，注意区分否命题和命题的否定.2．已知命题，则为A．或B．且C． D．或【答案】B【详解】因为或，所以为且．故选B．【点睛】本题考查命题的否定，属基础题.3．“且”的否定形式为___________.【答案】或##或【详解】原命题的否定形式为：或.故答案为：或.4．已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围．【答案】【分析】求出和，解不等式组即得解.【详解】解：由题得：或；：或.因为是的充分而不必要条件，所以，所以.所以的取值范围是.【题型五、判断全称量词命题及存在量词命题】1．下列语句不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个学生都充满阳光【答案】C【详解】A中的量词为“任意一个”，是全称量词；B中的量词为“都是”，是全称量词；D中的量词为“每一个”，是全称量词；C中的量词为“绝大多数”，是存在量词命题，不是全称量词．故选：.2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0B．∃x∈N，2x为偶数C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当时结论不成立），故A不正确；对B，是真命题(当时即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选：C.3．下列语句不是存在量词命题的是（

）A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行【答案】D【详解】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选：D.4．（多选题）下列存在量词命题中真命题是（

）A．B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．是无理数，是无理数D．【答案】ABC【详解】对于A，，使得，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若，则是无理数，是无理数，故C为真命题.对于D，，∴为假命题.故选：ABC.【题型六、全称量词命题及存在量词命题的否定】1．命题P：一元二次方程有实根，则命题P的否定且判断命题真假正确的一项为（

）A．命题P的否定：一元二次方程无实根，真命题B．命题P的否定：一元二次方程无实根，假命题C．命题P的否定：一元二次方程有实根，真命题D．命题P的否定：一元二次方程有实根，假命题【答案】B【详解】由题意，命题P：一元二次方程有实根的否定是：一元二次方程无实根由于恒成立，故对任意，方程都有实根，故为假命题故选：B2．命题“，”的否定是（

）A．，B．，C．， D．，【答案】D【解析】换量词，否结论，即得所给命题的否定.【详解】含有量词的命题否定，要换量词，否结论，命题“，”的否定是“，”故选：D.3．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】命题的否定是故选：A4．命题“任意，都有”的否定为（

）A．存在，使得B．不存在，使得C．存在，使得D．对任意，都有【答案】A【详解】命题“任意，都有”的否定为“存在，使得”，故选：A5．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论即得【详解】命题“，”的否定是“，”故选：B.6．命题的否定是__.【答案】【详解】命题的否定是：故答案为：．