期末专题03 函数的概念与函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）10大考点（期末真题汇编福建专用）高一数学上学期人教A版（原卷版及全解全析） - 副本

2/14试卷第=page11页，共=sectionpages33页期末专题03函数的概念与函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）10大高频考点概览考点01求函数值考点02函数的定义域考点03函数的值域考点04函数相等考点05直接判断函数单调性、奇偶性考点06定义法证明函数的单调性考点07根据函数的单调性、奇偶性求参数值考点08根据函数的单调性、奇偶性解不等式考点09函数性质的综合应用考点10函数新定义地地城考点01求函数值1．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数，则（

）A．0 B．3 C．6 D．92．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数，则（

）A． B． C．0 D．2地地城考点02函数的定义域3．(24-25高一上·福建泉州·期末)使得有意义的的取值集合为.4．(24-25高一上·福建漳州·期末)函数的定义域为．5．(24-25高一上·福建福州第一中学·)函数，的定义域为.6．(24-25高一上·福建三明·期末)函数的定义域为．7．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)若，求m的取值范围.8．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知函数，(1)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)，，求实数的取值范围；(3)已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围．地地城考点03函数的值域9．(24-25高一上·福建厦门·期末)设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（

）．A． B． C． D．10．(24-25高一上·福建泉州·期末)若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数同时满足条件和对任意都有成立．(1)求的解析式；(2)求的定义域和值域；(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．12．(23-24高一上·安徽黄山·期末)已知函数．(1)求函数的定义域及其值域；(2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．地地城考点04函数相等13．(24-25高一上·福建漳州·期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与14．(24-25高一上·福建三明·期末)（多选）下列各组中的与为同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与地地城考点05直接判断函数单调性、奇偶性15．(24-25高一上·福建泉州·期末)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．地地城考点06定义法证明函数的单调性16．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数.(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；(2)对任意的都有成立，求实数的取值范围.17．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知函数为奇函数.(1)求实数，判断并根据定义证明的单调性；(2)求不等式的解集.18．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数是定义域为的奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并根据定义证明；(3)是否存在实数，对任意有.若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.19．(24-25高一上·福建漳州·期末)如图，已知直线，是，之间的一个定点，到，的距离分别为，，是上一个动点，设，作直线，且与直线交于点．(1)写出与的面积之和关于的函数解析式；(2)判断函数的单调性，并用定义法加以证明．地地城考点07根据函数的单调性、奇偶性求参数值20．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．21．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知函数，其中a为常数，且．(1)若是奇函数，求a的值；(2)证明：在上有唯一的零点；(3)设在上的零点为，证明：．22．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数是偶函数.(1)求实数的值；(2)若函数的最小值为，求实数的值.23．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数，.(1)若，写出的单调区间（不必证明）；(2)若是偶函数，求a的值；(3)若，，求的最小值.地地城考点08根据函数的单调性、奇偶性解不等式24．(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．25．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知函数，则不等式的解集为．26．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知函数．(1)①求的值；②求的值；(2)根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义；(3)判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围．27．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知函数．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)解不等式；(3)当时，若关于x的方程有解，证明：．28．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知奇函数，(1)求的值；(2)，，，求实数的取值范围；(3)，，，求的取值范围．地地城考点09函数性质的综合应用29．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知为上奇函数，，，则．30．(24-25高一上·福建福州第一中学·)（多选）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（

）A． B．C． D．31．(24-25高一上·福建南平·期末)（多选）对任意的，，函数满足，且，，则（

）A． B．是奇函数C．4为函数的一个周期 D．32．(24-25高一上·福建厦门·期末)（多选）已知函数，则（

）．A．的定义域为 B．在区间单调递增C．的图象关于对称 D．33．(24-25高一上·福建三明·期末)（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（

）A．是奇函数B．C．D．34．(24-25高一上·福建泉州·期末)（多选）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（

）A．B．C．直线是函数的一条对称轴D．若在区间上有8个零点，则所有零点的和为3235．(24-25高一上·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（

）A．函数为单调减函数B．C．若，使得成立，则D．函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为2036．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)（多选）已知函数，则（

）A．，使得是偶函数B．当时，函数有5个零点C．当时，函数在上最大值大于，则D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为地地城考点10函数新定义37．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（

）A． B． C． D．38．(24-25高一上·福建三明·期末)对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知的不动点集合为．(1)若，，，解不等式：；(2)若，①证明：当时，；②判断在区间上是否为单调函数，并说明理由．39．(24-25高一上·福建泉州·期末)函数和的定义域分别为，如果对于中的任意一个数，按照的对应关系，在中都有且仅有个确定的数与之对应，则称为的“函数”.例如：，则为的“函数”.(1)设，判断以下两种说法是否正确，并说明理由：①是的“函数”；②是的“函数”；(2)设，判断是否为的“函数”，若是，求；若不是，请说明理由；(3)设，若为的“函数”，求的取值范围.

培优01函数的概念与性质题型1函数的概念函数的四个特征：非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）；任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值；唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应；方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数.函数相等的三个条件：定义域相等值域相等解析式相等1．（24-25高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】判断两个函数是否相等【分析】需要从函数的定义域和对应关系两方面进行分析.如果定义域相同，对应关系也相同，那么这两个函数就是相同函数.【详解】对于A选项，对于，其定义域为.对于，当时，；当时，，它的定义域也是.但是与的对应关系不同，所以选项错误.对于B选项，的定义域为.，其定义域满足，定义域与不同，所以选项错误.对于C选项，，定义域为.，定义域为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以选项正确.对于D选项，的定义域为.，其定义域满足，定义域与不同，所以选项错误.故选：C.2．（24-25高一上·北京朝阳·期中）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【难度】0.65【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，且，所以它们是同一函数，故D正确；故选：D.3．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，.【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断.【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数；选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数；选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，故选：BD4．（24-25高一上·江西新余·阶段练习）下列各结论中正确的是（

）A．与表示同一函数B．，则是集合到的一个函数C．若函数的定义域是，则函数的定义域为D．若函数的值域是，则函数的值域是【答案】ABC【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等【分析】根据函数的定义域和解析式相同可判断A；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域可判断CD.【详解】对于A，，因为与定义域，解析式一致，故A正确；对于B，，则是集合到的一个函数，故B正确；对于C，分母不能为0，所以，又，得，所以的定义域为，故C正确；对于D，因为函数的值域是，所以的值域是，所以的值域是，故D不正确.故选：ABC.5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（）A．函数与是同一个函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．若函数的定义域为，则函数的定义域为D．函数的最小值为2【答案】ACD【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、抽象函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，利用函数的定义可判断；C选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D选项，利用基本不等式进行求解；【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，故函数与不是同一个函数，因此A不正确；对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点，所以，函数的图象与直线的交点最多有个交点，因此B正确；对于C，函数的定义域为，即，则对于函数有，则，故函数的定义域为，因此C不正确；对于D，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，故的最小值不为2，因此D不正确；故选：ACD.6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数为增函数，且，则．【答案】【难度】0.65【知识点】求函数值【分析】令，则，令，则，即，又在上，函数为增函数，故，解方程可得值，同理求出的值，利用单调性判断即可求解.【详解】令，则，再令，则，再令，则，所以，又在上，函数为增函数，所以，解得或，所以或，令，则，再令，则，再令，则，所以，又在上函数为增函数，所以，解得或，所以或，因为在上，函数为增函数，则，所以．故答案为：7．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意实数，，函数满足，且，则．【答案】/【难度】0.65【知识点】求函数值【分析】利用赋值法，分别令；；得到；；；再利用累加法得到即可求解.【详解】对于，令，得，解得，令，得，又，解得，令，得，即，所以，，，，故，所以．故答案为：8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则【答案】【难度】0.65【知识点】求函数值【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解.【详解】令，得到，所以，，，，，累加得到，即，故答案为：.题型2具体函数和抽象函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分.（5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①任何时候，定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则下，括号内式子的范围是相同的；（6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．1．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域【分析】根据解析式有意义列出不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则，解得且，故函数的定义域为，故选：C2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（

）A．R B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是.故选：D.3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域需满足：，解得.故选：D.4．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解.【详解】由于的定义域为，故，因此的定义域满足，解得且，故定义域为，故选：C5．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：，解得或，故定义域为：故选：D6．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可．【详解】由题：的定义域为，即，所以的定义域为，又中，综上：的定义域为，故选：D．7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．【详解】在中，，∴，∴的定义域是，故在中，解得，∴的定义域是.故选：A.8．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；（2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可；【详解】（1）设，由于函数定义域为，故，即，解得，所以函数的定义域为；（2）因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，由，得，所以函数的定义域为.9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】答案见解析【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域【分析】由函数的定义域为可得出，对实数的取值进行分类讨论，解该不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】由题意，，即.当或，即或时，不存在，即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义；当，即时，，的定义域为；当，即时，，的定义域为；当时，即时，，故的定义域为；当时，即时，，故的定义域为．综上：①当或时，的定义域为；②当时，的定义域为；③当时，的定义域为；④当或时，函数定义域为，不存在．题型3常见函数以及复杂函数（根式型，分式型）的值域对于复杂型根式型函数的值域的求法，通常采用换元法，得到不含根式的式子，然后根据定义域求解1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果.【详解】令，则可得，即，可得，当时，取得最大值2，即；所以其值域为.故选：A2．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值【分析】用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域.【详解】设，则，所以，因为，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以函数，的值域是，故选：D.3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分段函数的值域或最值【分析】当时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域.【详解】根据题意，当时，，令，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得，当时，取得最大值，此时；当时，，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此；综上可得，函数的值域为.故选：A.4．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：，当时，；当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，所以，即;当时，，当且仅当，即，原式取得最大值;另一方面因为，令，则，所以，所以所以，即;综上所述：函数的值域是.故选：A.5．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解.【详解】函数中，，，则，而，因此，所以函数的值域为.故选：A6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是【答案】B【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、抽象函数的值域【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.故选：B7．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解.【详解】因为，当时，；当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或2；当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或1，综上，得的值域为故选：C.8．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】由函数解析式得到，再通过换元结合基本不等式求解即可；【详解】，，所以，设，由，可得：，则，所以，，则，当且仅当，即，即时等号成立．故选：D．9．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为.【答案】【难度】0.65【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.【详解】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：.10．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为．【答案】【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可.【详解】，令，则，得，当时，取得最小值为，则函数的值域为故答案为：11．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为.【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域.【详解】当时，；当时，令，，则，，当且仅当，即时取等号，此时，所以所求值域为.故答案为：12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为．【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域.【详解】对于函数，有，可得，所以函数的定义域为，所以，当且仅当即当时等号成立，故函数的值域为.故答案为：.13．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．【答案】【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】利用换元法求值域即可.【详解】函数的定义域为，令，则，原函数变为，当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以当或时，，即当时，；当时，，因为在上单调递增，所以当时，，即当时，，综上所述，函数的值域为.14．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．【答案】【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】先由柯西不等式求出函数的最大值，再由端点处函数值求出最小值，从而得到结果.【详解】由，解得，，当且仅当，即时等号成立，又，，故．15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域.【答案】【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以定义域为，令，则，得，当时，得，当时，得，则，得，或，等号成立时，分别对应和，因为，则，或，得，或，则，或，综上知，函数的值域为：16．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．【答案】．【难度】0.65【知识点】绝对值三角不等式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求出值域.【详解】函数的定义域为R，由，当且仅当时取等号，因此，所以函数的值域是.17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的值域．【答案】【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值【分析】当得，使分子不含，再对分母进行配方求出范围．在执行这一操作前，应注意这一特殊情况.【详解】当时，当时，，因为，所以．故函数的值域为．题型4根据实际问题作出函数图象根据实际问题作出函数图象，注意定义域的范围限制1．（23-24高一上·江苏徐州·开学考试）中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】图象法表示函数、二次函数的图象分析与判断【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解.【详解】易知当时，，当时，交于，交于，如图，因为，则，在中，，所以为等腰直角三角形，所以，得到，所以，故所以，故选：C.2．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】图象法表示函数、函数关系的判断、函数图像的识别【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项.【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确；对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确；对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确；对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确.故选：.3．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】根据实际问题作函数图象、求分段函数解析式或求函数的值、三角形面积公式及其应用【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果.【详解】当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；所以，所以A正确，BCD错误；故选：A.=题型5已知函数类型求解析式以及求抽象函数的解析式待定系数法适用于已知函数解析式形式时，比如一次函数，二次函数，反比例函数等此时，先设出函数的解析式，代入题中所给条件，根据对应相等思想得到相关的参数等式，从而求出参数的值1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则.【答案】【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案.【详解】设，由，即，即，即，解得，所以.故答案为：.2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为.【答案】【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解.【详解】由已知设，因为，所以，因为，，所以，解得，所以.故答案为：.3．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意正实数，总有．(1)求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】求抽象函数的解析式、求函数值【分析】（1）令，进行赋值求解；（2）令，和，进行赋值求解.【详解】（1）令，则，故．（2）令，则，故．令，则，又，故．4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式.(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.(2)已知，求的解析式.【答案】(1)或(2)【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可；（2）利用换元法，令则，求出即可【详解】（1）是一次函数，∴设（k），∴∴或或（2）令则，，5．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求．【答案】．其中，．【难度】0.65【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案.【详解】设，由题设方程，取，可得．又，由上式，用替换，则．令，代入上式得，这正是柯西方程，因此，其中，所以，其中，.6．（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数，使得对任意的实数，都有．【答案】（是常数）【难度】0.65【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式【分析】通过特殊值法求出的值，再通过换元法将原式进行转化，然后根据转化后的式子得出为常数，进而求出函数的表达式，最后进行检验.【详解】令，得，解得．设，，那么，代入得则有．若，则上式为．即对任意非零实数，有，∴当时，为常数，可设，其中为常数，则；当时，也适合上式；综上所述，对任意，所求函数为，其中为常数，验证：函数（是常数）满足，且有；故函数（是常数）即为所求函数．故答案为：（是常数）题型6已知复合函数的解析式求解析式1.换元法适用于已知的解析式，求的解析式，可以设，注意新元的范围配凑法把复合函数的解析式配凑，直接取代1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、已知f（g（x））求解析式【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.【详解】因为，且，或，当且仅当即时取等.所以.故选：D.2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【难度】0.65【知识点】复合函数的定义域、已知f（g（x））求解析式【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解.【详解】由，则，又函数的定义域为，即，，所以函数的定义域为.故选：D.3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】利用换元法令，求解析式即可．【详解】令，则，且，则，可得，所以.故选：B.4．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.【详解】因为，所以，则.故选：A.5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知方程（且），且，则的解为．【答案】【难度】0.65【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解.【详解】∵（且）………①，易知①中的x与取值范围相同，于是将①中的x代得，整理得：（且）………②，再将①中的x代替得,整理得（且）………③可消去项得到：则（且），由此，解得.故答案为：．6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则．【答案】（且）【难度】0.65【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】运用换元法求解即可.【详解】由于，（且），则，所以,且，所以（且）．故答案为：（且）．7．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则．【答案】或2021.【难度】0.65【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可.【详解】令，则，令，则，解得或.而，故.因此.则，即，因此或当时，，时，此时；当时，.故答案为：或2021.题型7分段函数的定义域和值域以及相关求参数问题1.分段函数的定义域分段求，求出之后求并集2.分段函数的值域根据每一段的定义域分别求出每一段的值域，最后求并集3.若分段函数的值域为R时，当分段函数为单调递增函数时，左边最大值大于右边最小值，当分段函数为单调递减函数时，左边最小值小于右边最大值1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数则的定义域为．【答案】【难度】0.85【知识点】分段函数的定义域【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，所以函数的定义域为.故答案为：.2．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为．【答案】【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域、分段函数的定义域【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域．【详解】因为函数，所以的定义域为，即函数定义域为，故答案为：3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是．【答案】【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解.【详解】当时，由，得，解得，因此；当时，由，得，解得，因此，因此等价于，依题意，，所以的最大值为.故答案为：4．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则．【答案】【难度】0.65【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可.【详解】设，，，当时，，，无解，不符合题意；当时，，；当时，，，无解，不符合题意；当时，，．故答案为：5．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】利用分段函数的性质代入求解即可.【详解】因为，所以，则，故B正确.故选：B6．（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式【分析】分和两种情况解不等式即可得解.【详解】当时，，即显然恒成立，所以；当时，，解得；综上，的取值范围是．故选：A.7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）设函数，若，则（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量【分析】分析分段函数的单调性，结合单调性化简，求出，由此可求结论.【详解】当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，又，若，此时，不合题设，所以，即，由，可得，整理得，解得或（舍去），所以．故选：C.8．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】求分段函数值、求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】先求出的值域，利用换元法求解，的值域即可.【详解】由题意知，，当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是，当时，是单调递增的一次函数，取值范围是,所以的值域为.令，设，则，，得，当时，；当时，的取值范围是，所以的取值范围是，即的值域为.故选：B9．（24-25高二下·辽宁·期末）已知符号函数，，若，则实数a的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量【分析】依题意可得，画出的大致图象，从而即可分析出若，则，进而即可求出实数a的取值范围．【详解】由，则，所以的图象如下图所示，若（*），由分段函数可知：当时，由（*）可得，即，解得；当时，由（*）可得恒成立；当时，由（*）可得恒成立.综上可得.若，则有，即恒成立；，则有恒成立；若，则有，解得，综上分析，实数a的取值范围是．故答案为：．10．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据是的最小值可得答案.【详解】当时，，当且仅当即时等号成立，当时，为单调递减函数，所以，若是的最小值，则，解得.故选：B.11．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解.【详解】当时，函数在单调递减，，，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件，当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域不是，不符合条件；所以.故选：D12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【答案】C【难度】0.85【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.【详解】根据题意，作出的图象如下所示：

数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值，则只需，即可，故的最大值为.故选：C.13．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为.【答案】【难度】0.65【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解.【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值；故需满足，得，函数，，若函数的最小值为，则且，解得：综上可知，.故答案为：14．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】由题知的值域为，可得的值域为的真子集即可求的取值范围.【详解】易知函数，的值域为，若函数的值域为，存在实数，则的值域不为，即使函数，的值域为的真子集即可；利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，

所以根据图象可知，即的取值范围为.故答案为：.15．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）若，则实数的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据题意，分，与讨论，结合一次函数与二次函数的值域列出不等式，即可得到结果.【详解】当时，，当时，，若，则时，，则在上单调递减，在上单调递增，则，此时要满足函数的值域为，则，解得；若，则当时，；当时，，满足函数的值域为；若，则时，，则在上单调递增，则，此时要满足函数的值域为，则，解得；综上所述，实数的取值范围是.故答案为：16．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减，所以，此时单调递增，则，整理得，解得.综上所述，的取值范围是.故答案为：17．（24-25高三上·广东湛江·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为.【答案】【难度】0.85【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据一次函数、二次函数、分段函数的性质来求得的取值范围.【详解】当时，，显然，故只需，则.故答案为：18．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是．【答案】【难度】0.85【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解.【详解】由，可得分段函数，画出对应函数图象：

的值域为，且，,所以的值能使得取得最小值；由图可知：.故答案为：.19．（20-21高一上·天津南开·期中）设函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、二次函数的图象分析与判断、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果.【详解】画出函数的图象如下图所示：由可得，当时，恒成立；当时，，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：20．（24-25高三上·青海·期末）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量【分析】根据题意由得，，得到，构造函数，利用单调性即可求解.【详解】因为当时，单调递增，当时，单调递减，所以．由，得，所以．令，得，因为在上单调递增，所以，故选：A.题型8函数方程组法求解析式若出现两个变量时，令其中一个变量等于另外一个变量，从而得到一个二元一次方程组，解之可得1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求；（2）已知，求；（3）已知函数，求；【答案】（1）；（2）；（3）.【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式；（2）利用函数关系，列方程组求解析式即可；（3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式.【详解】（1）令，又，所以，所以，故；（2）由题设，联立，所以，则，故；（3）由题设，时，时，时，所以.2．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）或；（2）；（3），.【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；（2）设，利用换元法求解析式即可；（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.【详解】（1）因为为一次函数，可设.所以.所以，解得或.所以或.（2）设，则，，即，所以，所以．（3）由①，用代替，得②，得：，即，.令，则，.则：，.所以，.3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为一次函数，且对均满足.(1)求函数的解析式；(2)已知，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)最小值为9【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）设，根据题意列式求即可；（2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【详解】（1）设，则，可得，解得，，所以.（2）因为，所以，即；法一：所以，化简得，当且仅当时取等，所以，故的最小值为9；法二：，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为9.4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数.求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）或.（2），.（3），.【难度】0.65【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、求二次函数的解析式【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）用换元法求函数解析式.（3）用代替，得到一个新的关系式，解方程组，可求，再用换元法求的解析式.【详解】（1）因为为一次函数，可设.所以.所以或.所以或.（2）设，则，所以，.所以，.（3）由

①用代替，得：

②得：即，.令，则，.则：，.所以，.5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，求的解析式．【答案】【难度】0.65【知识点】函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组，再由换元法得解析式.【详解】用代替原方程中的，得到，即．联立方程组消去，得．再用换元法，设，则，∴且．即．6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则.【答案】【难度】0.65【知识点】函数方程组法求解析式【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可；【详解】由，①将替换成，可得：，②再将①中替换成：，可得：，③①②相减可得：，④③④相加可得：，所以，故答案为：题型9利用函数性质求函数解析式分段函数求解析式的一般方法是：利用分段函数的奇偶性，根据或得到另外一段函数的解析式在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.总结若,则,把代入上的解析式即可得到.利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:1.“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上;2.利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;3.利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式.注意:若是R上的奇函数时,不要遗漏的情形1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上单调函数，且，求函数.【答案】或【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、求函数值【分析】设，当时得，当时得，进而可得，进而可得.【详解】设，将代入中得，故，则，将代入中得，得，得，因函数在定义域上单调函数，，故，解得，即.2．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.【详解】因为函数为奇函数，即，所以，可得①，因为函数是偶函数，即，所以，可得②，联立①②可得，因此.故选：C.题型10画出具体函数图象根据基本初等函数的性质，通过平移翻折得到1．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的变换【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.【详解】，可得函数的大致图象如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.故选：C.2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程）（2）给定函数．（i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数f(x),g(x)的图象；

（ii），用表示f(x),g(x)中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，.【难度】0.85【知识点】解析法表示函数、图象法表示函数、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域；（2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象；（ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式.【详解】（1），该函数的图象如下：

由图象可知，定义域为R，值域为；（2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点，为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为，故在答题卡上的同一个坐标系画出函数f(x),g(x)的图象，如下：

（ii）的图象如下：

解析法表示为.题型11定义法判断具体函数和抽象函数的单调性常见函数单调性：①一次函数，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数；②反比例函数，当时，在和上分别为减函数；当时，在和上分别为增函数；但不能说在整个定义域内为增函数，因为此函数不连续③二次函数，看开口方向和对称轴④指数函数，对数函数，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数⑤对勾函数：叫做双勾函数，在上单调递增；在上是单调递减。⑥复合函数单调性：同增异减（注意函数定义域），讨论复合函数的单调性时要注意：1.若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;2.若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数1．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】因为函数的定义域为，对、，满足，又当时，，令，且，则，则，所以，所以在上单调递减，因为，所以，，则不等式可化为，所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B.2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；【答案】(1)(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值【分析】（1）利用赋值法，求；（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数.【详解】（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数.3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．(1)求的值；(2)求证：当时，；(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3)在上为减函数，理由见解析.【难度】0.65【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值【分析】（1）令并代入关系式，即可得；（2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证；（3）应用单调性定义，设，则，即可得结论.【详解】（1）令，则，故；（2）；（3）在上为减函数，理由如下：设，则，又，故，所以，即在上为减函数.4．（2025高三·全国·专题练习）设函数和的定义域为，且单调递增，，，若对任意的，不等式恒成立，试讨论，的单调性．【答案】，均为增函数．【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性【分析】设，由函数单调性的定义，根据单调递增，得，由得，再利用函数单调性的定义判断，的单调性．【详解】设，由于单调递增，则，由，得，即，所以，即则由①得，由②．故，均为增函数．5．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且.(1)求，的值；(2)用函数单调性的定义证明在上单调递减；(3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【难度】0.65【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案；（2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得；（3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可.【详解】（1）由，取，可得：，又当时，，则，再取，可得：；（2），，且，则，依题，则，即在上单调递减；（3）由已知，又由（1）得，则有，因在上单调递减，则恒成立，即恒成立，又，则，解得，故实数的取值范围为.6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.65【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值【分析】（1）利用赋值法，求；（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数；（3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围【详解】（1）由，故此令，则，则；（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数；（3）由已知条件得：，故，，，，由（2）可知在R上为增函数，，即，时，可得恒成立，令，由对勾函数性质可得在上单调递增，所以，所以综上，.7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，．(1)求的值；(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，解集为【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值【分析】（1）令，即可求解；（2）由，且，得到，再由当时，，即可求证；（3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可.【详解】（1）因为，，令，可得，所以．（2）对，且，则，因为，，则，又因为，可得，且当时，，则，即，所以在定义域上是增函数．（3）因为函数的定义域为，则，解得．由，得等价于，且，可得，由（2）可知：在定义域上是增函数．可得，解得，或（舍去），故，故不等式的解集为．题型12根据函数的单调性求参数值或取值范围根据函数的单调性和相关性质得到参数成立的不等式，从而求出参数的取值范围1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围.【详解】当时，，在上单调递增，不合题意；当时，由题意得，①当时，，显然不合题意；②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意；③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得.综上，可得实数的取值范围是.故答案为：2.（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.【详解】令，分以下两种情况讨论：（ⅰ）当时，对任意成立，由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数，所以实数应满足，即；（ⅱ）当时，对任意成立，由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数，所以实数应满足解得，所以．综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．3．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在单增，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围【分析】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围.【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增.且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意.当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.所以在上单调递增.要使有意义，则在上恒成立.当时，，因为，所以，满足，所以符合题意.当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为.那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意.综合以上三种情况，实数的取值范围是.故选:C.4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案.【详解】当时，在上单调递增，满足题意，当时，，满足题意，当时，，由对勾函数的性质知，若满足题意则，解得．综上，.故选：B．5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】由于函数是定义在上的减函数，所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的单调性求参数值【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当时，若，则，若，则，函数的值域不可能为；当时，，在上单调递增，在上单调递增，，若函数的值域为，则，解得；综上所述，实数a的取值范围是.故选：B.7．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.【详解】已知函数，当时，单调递增，所以最大值为；当且时，在上单调递增；所以要使函数在上单调递增，则，解得或(舍去).故答案为：.8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【难度】0.65【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果.【详解】因为是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：.题型13根据图象判断函数单调性画出函数的图象，从而得到函数的单调区间对于绝对值函数来说，IxI通常画出x>0的图象，把图象翻到左边IyI通常画出y>0的图象，把图象翻到下边If(x)I通常画出f(x)的图象，把图象从下面翻到上边1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为.【答案】、【难度】0.65【知识点】求函数的单调区间【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间.【详解】因为，由此画出函数的图象如图所示，由图可知，函数的单调递减区间为、.

故答案为：、.2．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域.【答案】(1)(2)答案见解析(3)单调递增区间为，函数的值域.【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、求函数的单调区间【分析】（1）对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可；（2）运用描点法画图；（3）根据图像，直接写单调区间.【详解】（1）由题意知当时，

当时，

所以（2）函数图象如图：

（3）由（2）知，函数的单调递增区间为，函数的值域.3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，(1)画出函数的图象；(2)求的值；(3)写出函数的单调区间．【答案】(1)作图见解析(2)(3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和.【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、求函数的单调区间【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象.（2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得.（3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间.【详解】（1）如图所示：（2）；（3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和．单调递增区间为：和.4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.(1)当时，直接写出函数的单调递增区间；(2)当时，求函数在区间上的最小值.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】求二次函数的值域或最值、求函数的单调区间【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解，（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论即可求解【详解】（1）当时，，，由二次函数的性质，作出函数的图象如下：故单调递增区间为（2）因为，时，所以，则在上单调递增，在上单调递减，当，即时，；当，即时，；综上可得.4．（23-24高一·上海·课堂例题）作出函数的大致图像，写出它的单调区间，并证明你的结论.【答案】图象见解析，函数的增区间为，，减区间为，，证明见解析【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、画出具体函数图象、求函数的单调区间【分析】根据函数作出图象，利用图象写出单调区间，再由函数单调性的定义，即可证明结果.【详解】因为，其图象如图所示，

由图象可知，函数的增区间为，，减区间为，，证明如下，任取，则，当时，，则，得到，所以在区间上单调递减，当时，，则，得到，所以在区间上单调递减，当时，，则，得到，所以在区间上单调递增，当时，，则，得到，所以在区间上单调递增.5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数(1)当时，画出函数的图象，根据图象写出单调递增区间；(2)若函数为上的增函数，求实数的取值范围.(3)若当，不等式恒成立，求实数的范围；【答案】(1)作图见解析，.(2).(3).【难度】0.65【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的单调性求参数、画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性【分析】（1）去绝对值化简可得，画出函数的图象，可得单调递增区间；（2）利用分段函数的单调性即可求解；（3）当时，，要使不等式恒成立，只需，利用二次函数性质即可求解.【详解】（1）当时，，由图可知，函数的单调递增区间为.（2），因为函数为上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围为.（3）当时，，要使不等式恒成立，只需.当，即时，，所以；当，即时，，此时无解.综上，的取值范围为.题型14复合函数的单调性对于复合函数,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间.【详解】对于函数，由可得或所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.故选：A.2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可.【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，则，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：C.3．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可．【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，设，由，解得或，所以在上单调递减，所以的单调减区间为.故选：B.4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递减区间为．【答案】【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可.【详解】由，解得，所以的定义域为，令，，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为，故答案为：5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、分段函数的单调性【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】当时，在单调递增，所以无最小值，不满足题意；当时，令，则，根据双钩函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，所以要想在上有最小值，只需满足即可；当时，令，解得，，解得，所以，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，单调递减，即函数在上单调递增，在上单调递减，且在处连续，所以在出取得最小值，所以要想在有最小值，只需满足即可；综上所述：满足题意的的取值范围是.故答案为：6．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.65【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间