成考高等数学(二)成人高考(专升本)试卷与参考答案(2025年)

成考高等数学(二)成人高考(专升本)试卷与参考答案(2025年)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内）1.设函数f(x)=ln(1+ax)在x=0处可导，且f′(0)=2，则常数a等于（）A.1  B.2  C.3  D.4【答案】B2.若函数y=e^{x}+e^{−x}，则y″−y的值为（）A.0  B.1  C.2  D.e^{x}+e^{−x}【答案】A3.设矩阵A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则|A^{2}|等于（）A.−2  B.2  C.−4  D.4【答案】D4.已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E(X^{2})=6，则λ等于（）A.1  B.2  C.3  D.4【答案】B5.曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A.e/2  B.e  C.2e  D.e^{2}/2【答案】A6.设f(x)=x^{3}−3x^{2}+2，则f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值之差为（）A.0  B.2  C.4  D.6【答案】C7.若级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\)收敛，则p的取值范围是（）A.p>0  B.p≥1  C.p>1  D.p≥2【答案】C8.设向量组α_{1}=(1,2,3),α_{2}=(2,4,6),α_{3}=(1,1,1)的秩为（）A.1  B.2  C.3  D.0【答案】B9.设z=xy^{2}，则∂^{2}z/∂x∂y等于（）A.2y  B.2x  C.2xy  D.y^{2}【答案】A10.设X~N(0,1)，则P(−1≤X≤1)约为（）A.0.50  B.0.68  C.0.95  D.0.99【答案】B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案直接写在题中横线上）11.若\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sinkx}{x}=3\)，则k=________。【答案】312.设f(x)=\(\int_{0}^{x^{2}}\sint\,dt\)，则f′(x)=________。【答案】2xsinx^{2}13.已知矩阵B=\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，则B^{n}=\(\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)，则B^{2025}=________。【答案】\(\begin{pmatrix}1&2025\\0&1\end{pmatrix}\)14.设随机变量Y的密度函数为f(y)=2y，0<y<1，则E(Y)=________。【答案】2/315.曲线y=x^{3}与直线y=8在第一象限所围图形面积为________。【答案】1216.设复数z满足z·\(\overline{z}\)=4且argz=π/3，则z=________。【答案】2(cosπ/3+isinπ/3)=1+i√3三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本题满分12分）求极限\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x}1x}{x^{2}}\)。【解答】利用泰勒展开e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})，原式=\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+x+\frac{x^{2}}{2}1x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}\)。【答案】1/218.（本题满分12分）计算定积分\(\int_{0}^{\pi/2}x\cosx\,dx\)。【解答】分部积分：设u=x,dv=cosxdx，则du=dx,v=sinx，\(\intx\cosx\,dx=x\sinx\int\sinx\,dx=x\sinx+\cosx+C\)，代入上下限：\([x\sinx+\cosx]_{0}^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot1+0(0+1)=\dfrac{\pi}{2}1\)。【答案】π/2−119.（本题满分13分）设函数f(x,y)=x^{2}+y^{2}−2x−4y+5，（1）求f(x,y)的极值；（2）判断极值类型。【解答】（1）求驻点：\(\dfrac{\partialf}{\partialx}=2x2=0\Rightarrowx=1\)，\(\dfrac{\partialf}{\partialy}=2y4=0\Rightarrowy=2\)，驻点(1,2)。（2）判别式：A=\(\dfrac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}=2\),B=\(\dfrac{\partial^{2}f}{\partialx\partialy}=0\),C=\(\dfrac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}=2\)，Δ=AC−B^{2}=4>0且A>0，故(1,2)为极小值点，极小值f(1,2)=0。【答案】（1）极小值0；（2）极小值点20.（本题满分13分）求解微分方程\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}+x^{2}\)，y(1)=2。【解答】方程为一阶线性非齐次：\(\dfrac{dy}{dx}\dfrac{1}{x}y=x^{2}\)，积分因子μ=e^{∫−1/xdx}=e^{−lnx}=1/x，两边同乘1/x：\(\dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx}\dfrac{y}{x^{2}}=x\Rightarrow\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)=x\)，积分得\(\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^{2}}{2}+C\Rightarrowy=\dfrac{x^{3}}{2}+Cx\)，代入y(1)=2：2=1/2+C⇒C=3/2，特解\(y=\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{3x}{2}\)。【答案】\(y=\dfrac{x^{3}+3x}{2}\)21.（本题满分15分）设随机变量X的密度函数为f(x)=\(\begin{cases}kx^{2},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求常数k；（2）求P(0<X<1/2)；（3）求E(X)。【解答】（1）由归一性：\(\int_{0}^{1}kx^{2}\,dx=1\Rightarrowk\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1\Rightarrowk=3\)。（2）P(0<X<1/2)=\(\int_{0}^{1/2}3x^{2}\,dx=3\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2}=\dfrac{1}{8}\)。（3）E(X)=\(\int_{0}^{1}x\cdot3x^{2}\,dx=3\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=3\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{3}{4}\)。【答案】（1）3；（2）1/8；（3）3/422.（本题满分15分）设矩阵A=\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，（1）求A的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵P使P^{T}AP为对角矩阵。【解答】（1）特征方程|A−λI|=0：\(\begin{vmatrix}2\lambda&1\\1&2\lambda\end{vmatrix}=(2\lambda)^{2}1=0\Rightarrow\lambda^{2}4\lambda+3=0\Rightarrow\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=3\)。对λ=1：解(A−I)x=0⇒x_{1}+x_{2}=0，取特征向量v_{1}=(1,−1)^{T}；对λ=3：解(A−3I)x=0⇒−x_{1}+x_{2}=0，取特征向量v_{2}=(1,1)^{T}。（2）单位化：u_{1}=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{T}\),u_{2}=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{T}\)，正交矩阵P=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)，则P^{T}AP=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\)。【答案】（1）λ=1,3；特征向量分别为(1,−1)^{T},(1,1)^{T}；（2）P=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)四、综合应用题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）23.某工厂生产两种产品A、B，每单位A利润4百元，每单位B利润5百元。生产受原料限制：2x+3y≤120，4x+y≤100，x≥0，y≥0，其中x,y分别为A、B的产量。（1）建立数学模型；（2）用图解法求最优生产方案及最大利润。【解答】（1）目标函数：maxz=4x+5y，约束：2x+3y≤120，4x+y≤100，x≥0，y≥0。（2）求可行域顶点：交点①：2x+3y=120与4x+y=100联立⇒x=15，y=30，z=4·15+5·30=210；边界点②：x=0⇒y≤40，z=200；边界点③：y=0⇒x≤25，z=100。比较得最优解x=15，y=30，最大利润210百元。【答案】（1）模型如上；（2）生产A15单位、B30单位，最大利润210百元24.设某电子元件寿命X（单位：千小时）服从指数分布，其平均寿命为2千小时。（1）写出X的密度函数；（2）求元件使用1千小时后仍能正常工作的概率；（3）若安装3个独立同型号元件并联