2025北京大兴区高一（下）期末数学试题及答案

高中2025北京大兴高一（下）期末数学2025.07本试卷共4页，150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.3.某学校有高中学生500人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为160，150，190，为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，那么应抽取高二年级的人数为（）A.15 B.16 C.19 D.324.已知向量，，且，则（）A. B.0 C.1 D.25.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（）A. B. C. D.6.设，为两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（）A.2 B.4 C.5 D.88.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，且，则.其中真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.39.在锐角中，为的面积，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在编号分别为的n名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n所得的余数如果恰好为i，则选编号为i的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若两条不同直线，没有公共点，则，所有可能的位置关系是______.12.若非零向量与满足，则与夹角的大小为______.13.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．赔付金额/元01000200030004500车辆数/辆6008011012090若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______．14.已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______.15.如图，正四面体的所有棱长为1、、分别是棱、上的点，且，，给出下列四个结论：①存在、使得平面；②存在，使得；③不存在，使得平面平面；④三棱锥体积的最大值为.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知复数，，.（1）若是实数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.17.小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.（1）求图中的值；（2）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（3）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数.18.在中，.（1）求的值；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求编号和为5的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？说明理由；（3）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？20.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.21.类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且.（1）在图2中，用三面角余弦定理求的值；（2）在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910ADABDACDDC第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1112131415平行或异面##①.0.21##②.0.18##①.②.①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（1）（2）17.（1）（2）（3）718.（1）（2）若选择条件①：c=2由余弦定理b2=整理可得a2−4即条件①使ABC不存在；若选择条件②：a由正弦定理bsinB联立asinA=由a2=b2解得c=5或c=-3(舍),此时条件②使ABC存在且唯一，符合题意；所以其面积为1若选择条件③：cos易知sin利用正弦定理bsin由a2=b2解得c=5或c=-3(舍),此时条件③使ABC存在且唯一，符合题意；所以其面积为119.（1）（2）不公平；理由：易知两个编号的和为偶数的情况共有13种，如果两个编号的和为偶数算甲赢，则甲赢的概率为P则乙赢的概率为P显然两人赢的概率并不相等，因此这种游戏规则不公平.（3）对乙有利；20.（1）取PD的中点G,连接AG,FG.在△PCD中,PG=GD,PF=FC,所以GF‖CD,GF=因为AB∥DC,AB=DC,AE=EB,所以GF∥AE,GF=AE,所以四边形AEFG为平行四边形,所以EF∥GA,又GA⊂平面PAD,而EF不在平面PAD内,所以EF∥平面PAD.（2）连接PE,CE.在△PAD中,PA=AD,PG=GD,所以AG⊥PD.由(1)知EF∥AG,所以EF⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.根据勾股定理得PE=而EC=所以PE=EC,又PF=CF,所以EF⊥PC.又PC○PD=P,PC,